主講人：xxx第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.1.1洛必達(dá)法則（一）引入引入

洛必達(dá)法則在處理一些特殊的函數(shù)極限時(shí)能夠極大的簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，但是洛必達(dá)法則的研究者在學(xué)術(shù)界一直存在爭(zhēng)議，有種說(shuō)法稱(chēng)這個(gè)理論是由伯努利所提出，被洛必達(dá)發(fā)表，但其真實(shí)性有待考究。洛必達(dá)的聲譽(yù)勢(shì)必會(huì)受這一傳言的影響。這個(gè)爭(zhēng)議給我們提供了一個(gè)誠(chéng)信問(wèn)題的反面教材。所以我們做任何事都需要以誠(chéng)信為本，不斷在學(xué)習(xí)和生活中培養(yǎng)出良好的品德、品行。正所謂“薄德者，懷之不遠(yuǎn)也；才小者，見(jiàn)不能博也”亦是此理。引入

在運(yùn)用極限的運(yùn)算法則求函數(shù)的極限時(shí)，會(huì)遇到分子、分母同時(shí)趨于零或都趨于無(wú)窮大的情況，這樣的極限可能存在也可能不存在，通常稱(chēng)這種極限為未定式（或未定型）。分別記為型、型。例如，洛必達(dá)法則

設(shè)函數(shù)與滿(mǎn)足條件：（1）（或）；（2）在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且；（3），則。

注意：定理中把x→x0可換為x→x0+、x→x0-，或x→∞、x→+∞、x→-∞洛必達(dá)法則仍然成立。洛必達(dá)法則例1

求解當(dāng)x→0時(shí)，分子分母的極限都為0，所以是型未定式，由洛必達(dá)法則得洛必達(dá)法則例2

解當(dāng)x→0時(shí)，分子分母的極限都為0，所以是型未定式，由洛必達(dá)法則得求注

1.若用了一次洛必達(dá)法則之后，仍是未定式，且仍滿(mǎn)足洛必達(dá)法則中的條件，則可繼續(xù)運(yùn)用洛必達(dá)法則；

2.用洛必達(dá)法則求極限時(shí)，可以與其他求極限的方法結(jié)合起來(lái)，以簡(jiǎn)化計(jì)算。洛必達(dá)法則例3

求解當(dāng)x→0時(shí)，分子分母的極限都為無(wú)窮大，所以是型未定式，由洛必達(dá)法則得洛必達(dá)法則例4

解這是型未定式，如果分別對(duì)分子和分母求導(dǎo)得求這個(gè)極限不存在事實(shí)上，

說(shuō)明：不滿(mǎn)足洛必達(dá)條件時(shí)，不代表原極限不存在。此時(shí)無(wú)法利用洛必達(dá)法則，必須利用其它方法討論。課堂小結(jié)洛必達(dá)法則可與其他求極限方法結(jié)合使用；030201不滿(mǎn)足洛必達(dá)法則，不代表原極限不存在。洛必達(dá)法則必須針對(duì)型或型；主講人：xxx第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.1.2洛必達(dá)法則（二）引入

解決思路：經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q，轉(zhuǎn)化化為型和型未定式的極限。利用洛必達(dá)法則可解決型、型未定式的極限問(wèn)題，除了這兩種情形外，還可以來(lái)解決，等未定式的極限問(wèn)題。型的極限定義若乘積中有一個(gè)函數(shù)是無(wú)窮小，一個(gè)是無(wú)窮大，則稱(chēng)為型未定式。

方法：對(duì)于型未定式的極限，一般可將其寫(xiě)成或，使其變成型或型未定式，再用洛必達(dá)法則求極限。例1型的極限求解這是型未定式，先將函數(shù)變形為，再用洛必達(dá)法則型的極限定義若函數(shù)和都是無(wú)窮大，則稱(chēng)為型未定式。

方法：對(duì)于型未定式的極限，一般可通過(guò)通分，使其變成型或型未定式，再用洛必達(dá)法則求極限。型的極限例2求解這是型未定式，通分得小結(jié)與拓展

善于抓住知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，對(duì)應(yīng)馬克思主義哲學(xué)觀，抓住知識(shí)的本質(zhì)，即抓住主要矛盾，掌握解決主要矛盾的方式方法，通過(guò)轉(zhuǎn)化，次要矛盾也迎刃而解。可以通分化為型。型一般用取倒數(shù)的方法，化為型或型；主講人：xxx第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.2函數(shù)的單調(diào)性引入

今天，我想和大家通過(guò)一個(gè)特殊的視角來(lái)審視2020年發(fā)生的新冠疫情，這是“新型冠狀肺炎曲線(xiàn)”。通過(guò)這條曲線(xiàn)，我們可以看到疫情的發(fā)展趨勢(shì)，也可以看到醫(yī)護(hù)工作者們?yōu)榱丝箵粢咔樗龀龅木薮筘暙I(xiàn)。引入

在研究疫情發(fā)展的過(guò)程中，我們不僅要觀察它的發(fā)展趨勢(shì)，還需要理解病毒傳播的速度和范圍。這就涉及到了我們今天要學(xué)習(xí)的主題——函數(shù)的單調(diào)性。函數(shù)的單調(diào)性可以描述函數(shù)在某區(qū)間上的變化趨勢(shì)，對(duì)于疫情發(fā)展曲線(xiàn)的分析具有重要意義。引入

從右圖看到，當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)，曲線(xiàn)是上升的，此時(shí)其上每一點(diǎn)處的切線(xiàn)與ｘ軸正方向的夾角都是銳角，切線(xiàn)的斜率大于零，也就是說(shuō)在相應(yīng)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)大于零；相反地，當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減時(shí)，曲線(xiàn)是下降的；其上每一點(diǎn)處的切線(xiàn)與ｘ軸正方向的夾角都是鈍角，切線(xiàn)的斜率小于零，也就是說(shuō)在相應(yīng)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)小于零。

反過(guò)來(lái)，能否用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)判定函數(shù)的單調(diào)性呢?這個(gè)結(jié)論是肯定的。yx0αbayx0αba定理設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則有

注：若把定理中的閉區(qū)間換成其他各種區(qū)間，結(jié)論仍然成立；并且f'(x)＞0與f'(x)＜0換成f'(x)≥0與f'(x)≤0（等號(hào)只在個(gè)別點(diǎn)處成立），定理的結(jié)論仍成立。函數(shù)的單調(diào)性判別法（1）若在(a,b)內(nèi)f'(x)＞0，則函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)增加；（2）若在(a,b)內(nèi)f'(x)＜0，則函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)減少。例1判定函數(shù)f(x)=3x2-x3的單調(diào)區(qū)間。解函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,+∞)，f'(x)=6x-3x2=3x(2-x)函數(shù)的單調(diào)性判別法x=0，x=2是單調(diào)性的分界點(diǎn)。令f'(x)=0得x1=0，x2=2。點(diǎn)x1=0，x2=2把定義域分成三個(gè)小區(qū)間。所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)與(2,+∞)上單調(diào)減少，在區(qū)間(0,2)上單調(diào)增加。x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f'(x)-0+0-f(x)函數(shù)的單調(diào)性判別法（1）單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)（導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)）外，也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。注意：

例如，（2）如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào)，則不改變函數(shù)的單調(diào)性。例如，函數(shù)的單調(diào)性判別法如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，只要用方程f'(x)=0的根及f'(x)不存在的點(diǎn)來(lái)劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間，就能保證f'(x)在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定符號(hào)，從而可以判定函數(shù)f(x)在每個(gè)部分區(qū)間上的單調(diào)性。由此可得到判定函數(shù)單調(diào)性的方法如下：綜合上述討論，可得以下結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性判別法04一般步驟求函數(shù)的定義域；求f'(x)。令f'(x)=0，求出f'(x)=0的根（駐點(diǎn)）及f'(x)不存在的點(diǎn)；030201用這些點(diǎn)將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干區(qū)間，在這些區(qū)間內(nèi)判別f'(x)的符號(hào)；根據(jù)f'(x)的符號(hào)確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性。討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性可按下列步驟進(jìn)行：例2解函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,+∞)，函數(shù)的單調(diào)性判別法判定函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間。令f'(x)=0得x=，又x=0時(shí)f'(x)不存在。點(diǎn)x=0，x=把定義域分成三個(gè)小區(qū)間。列表討論：函數(shù)的單調(diào)性判別法x(-∞,0)0(0,

)(

,+∞)f'(x)+0-0+f(x)所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)與(

,+∞)都單調(diào)增加，在區(qū)間(0,

)上單調(diào)減少。04確定定義域；求駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；030201列表；判斷符號(hào)，寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間。課堂小結(jié)一般步驟：函數(shù)單調(diào)性的判定定理主講人：xxx第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.3函數(shù)的極值（一）情境引入題西林壁蘇軾橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同。不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中。情境引入在這首詩(shī)中，蘇軾描述了從不同角度觀看廬山所得到的不同的景象。在函數(shù)圖像中，極值點(diǎn)通常出現(xiàn)在函數(shù)曲線(xiàn)的拐點(diǎn)處，即函數(shù)從上升轉(zhuǎn)為下降或從下降轉(zhuǎn)為上升的地方。這與實(shí)際山峰和山谷的地形特點(diǎn)相似。通過(guò)將山峰和山谷的特點(diǎn)與函數(shù)的極值進(jìn)行類(lèi)比，我們可以更好地理解極值的概念和判斷方法。觀察與思考函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x1、x2、x3、x4處的函數(shù)值f(x1)、f(x2)、f(x3)、f(x4)，與它們左右近旁各點(diǎn)處的函數(shù)值，相比有什么特點(diǎn)?

yxOaby=f(x)x1

f(x1)x2

f(x2)x3

f(x3)x4

f(x4)函數(shù)極值的定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)于該鄰域內(nèi)異于點(diǎn)x0的x，（1）f(x)＜f(x0)，則稱(chēng)f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值，點(diǎn)x0是f(x)的極大值點(diǎn)。（2）f(x)＞f(x0)，則稱(chēng)f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值，點(diǎn)x0是f(x)的極小值點(diǎn)。極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值，x0為函數(shù)的極值點(diǎn)。例題講解

是函數(shù)的極大值，

是函數(shù)的極小值，顯然，極小值大于極大值

。

是函數(shù)的極大值點(diǎn)；是函數(shù)的極小值點(diǎn)；Oxyaby=f(x)極值概念的幾點(diǎn)說(shuō)明函數(shù)的極值點(diǎn)一定在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)；極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)值；函數(shù)的極大（?。┲悼赡懿恢挂粋€(gè)，而且函數(shù)的極大值未必大于極小值；極值是一個(gè)局部概念，反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況。拓展提升—低谷與高峰極值僅僅是一個(gè)小區(qū)間內(nèi)的結(jié)果，最值才是整體最終的結(jié)果。極小值與極大值如同人生的“低谷”與“高峰”，所有的曲折都是暫時(shí)的，只是人生路上的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，并不代表一生的結(jié)果。當(dāng)代青年學(xué)生要有局部和整體思想，正確看待成功和失敗，勝不驕，敗不餒。問(wèn)題探究極值與導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系？在極值點(diǎn)處，曲線(xiàn)如果有切線(xiàn)，則切線(xiàn)是水平的。

yxOaby=f(x)x1

f(x1)=0

x2

f(x2)=0

x3

f

(x3)=0

x4

f(x5)=0

x5極值存在的必要條件定理1設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，則函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)=0。導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，（即方程f'(x)=0的實(shí)根）叫做函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)。典型例題例1oxyx=0為

f(x)=x3

的駐點(diǎn),但不是極值點(diǎn)。x

=0是函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)，同時(shí)也是函數(shù)的極小值點(diǎn)。

oxyy=|x|極值點(diǎn)有可能是駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)。例2思考：極值存在的充分條件？

yxOx1x2aby=f(x)在極大值點(diǎn)附近在極小值點(diǎn)附近

f

(x)<0

f

(x)>0

f

(x)>0

f

(x)<0極值存在的第一充分條件定理2設(shè)函數(shù)f(x)在x0連續(xù)，且在x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，（1）當(dāng)x＜x0時(shí)，f'(x)＞0，而當(dāng)x＞x0時(shí)，f'(x)＜0，那么f(x)在x0取得極大值f(x0)；（2）當(dāng)x＜x0時(shí)，f'(x)＜0，而當(dāng)x＞x0時(shí)，f'(x)＞0，那么f(x)在x0取得極小值f(x0)；（3）如果f'(x)在x0的兩側(cè)不變號(hào)，則x0不是f(x0)的極值點(diǎn)。方法總結(jié)04030201確定函數(shù)的定義域，求f'(x)；求方程f'(x)=0的根（駐點(diǎn)）和不可導(dǎo)點(diǎn)；用（駐點(diǎn)）和不可導(dǎo)點(diǎn)順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)開(kāi)區(qū)間，并列成表格；考察f'(x)符號(hào)在每個(gè)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)左右的符號(hào)，從而確定是否為極值點(diǎn)。求解函數(shù)極值的一般步驟例題例

確定函數(shù)f(x)=2x3-9x2+12x-3的極值解y

2x3

9x2

12x

3（1）函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,+∞)，（2）f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)，

（3）駐點(diǎn)為x1=1、x2=2。（4）列表分析：（5）極大值：f(1)=2，極小值：f(2)=1。

xf'(x)f(x)(-∞,1)(1,2)(2,+∞)+-+12００極大值極小值課堂小結(jié)2個(gè)關(guān)鍵0302014個(gè)步驟極值定義①可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在極值點(diǎn)處的f'(x)=0；②極值點(diǎn)左右兩邊的導(dǎo)數(shù)必須異號(hào)。1個(gè)定義①確定定義域；②求f'(x)=0的根；③列表；④判斷符號(hào)，寫(xiě)出極值。主講人：xxx第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.3函數(shù)的極值（二）復(fù)習(xí)xyoab極小值點(diǎn)極大值點(diǎn)口訣：左負(fù)右正為極小，左正右負(fù)為極大。第一判別法：討論可疑極值點(diǎn)左右兩側(cè)的一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)是否變號(hào)來(lái)判斷。極值的第二充分條件定理

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)，且f'(x0)=0，f'

'(x0)≠0，則（1）當(dāng)f'

'(x0)＜0時(shí)，函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極大值；（2）當(dāng)f'

'(x0)＞0時(shí)，函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極小值。注：如果函數(shù)在駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)為零，則極值的第二充分條件失效，這種情況必須使用極值的第一充分條件判斷。例題例1求函數(shù)f(x)=x3-3x的極值。解函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,+∞)，

f'(x)=3x2-3，f'

'(x)=6x，令f'(x)=0，得x1=-1，x2=1，

由于f'

'(-1)=-6＜0，所以f(-1)=2為極大值，f'

'(1)=6＞0，所以f(1)=-2為極小值。例題例2求函數(shù)f(x)=(x2-1)3+1的極值。解函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,+∞)，

f'(x)=6x(x2-1)2，f'

'(x)=6(x2-1)(5x2-1)，令f'(x)=0，得駐點(diǎn)x1=-1，x2=0，x3=1。

因f'

'(0)=6＞0，由極值的第二充分條件知，x=0為函數(shù)的極小值點(diǎn)，

但f'

'(-1)=f'

'(1)=0，極值的第二充分條件對(duì)x=±1失效，因此改用極值的第一充分條件。因?yàn)閒'(x)在x=±1的兩側(cè)不變號(hào)，所以x=±1均不是函數(shù)的極值點(diǎn)，函數(shù)只有極小值f(0)=0。課堂小結(jié)用二階導(dǎo)求極值（二階導(dǎo)數(shù)為零時(shí)，改用第一判別法。）主講人：xxx第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用——用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值4.4導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)xyoab極小值點(diǎn)極大值點(diǎn)口訣：左負(fù)右正為極小，左正右負(fù)為極大。定義域→求導(dǎo)→令f'(x)=0→列表→求極值函數(shù)的極值引入極值是一個(gè)局部概念，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小。在社會(huì)生活實(shí)踐中，為了發(fā)揮最大的經(jīng)濟(jì)效益，常常遇到這樣一些問(wèn)題：在一定條件下，怎樣使“用料最省”、“產(chǎn)品最多”、“成本最低”，“效率最高”等問(wèn)題，這些問(wèn)題的解決常常可轉(zhuǎn)化為求一個(gè)函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題。問(wèn)題探究觀察下列圖形，找出函數(shù)的最值的規(guī)律：Oxyabx3x2x1Oxyabx1x2x3Oxyabx2x1圖1圖3圖2連續(xù)函數(shù)在[a,b]上必有最值；并且在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處取到。知識(shí)小結(jié)求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下：注意函數(shù)的最值概念是整體性的；函數(shù)的最大值（最小值）唯一；函數(shù)的最大值大于等于最小值；函數(shù)的最值可在端點(diǎn)