第四章：數(shù)列章末綜合檢測卷（試卷滿分150分，考試用時120分鐘）姓名___________班級_________考號_______________________一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1．（2023·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前4項分別為，則該數(shù)列的一個通項公式為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】觀察可知，該數(shù)列的一個通項公式為.故選：D.2．（2023·寧夏·高二銀川二中?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列，其前項和為，則（）A．24B．36C．48D．64【答案】B【解析】因為數(shù)列為等差數(shù)列，且，由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，又由.故選：B.3．（2023·高二課時練習(xí)）利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（，）的過程中，由n＝k到n＝k＋1時，左邊增加了（）A．1項B．k項C．2k－1項D．2k項【答案】D【解析】當(dāng)時，左，當(dāng)時，左，增加項為，共2k項.故選：D.4．（2023·內(nèi)蒙古·高二校聯(lián)考期末）等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A．6B．12C．15D．21【答案】C【解析】設(shè)，則，，因為為等差數(shù)列，所以，，也成等差數(shù)列，則，解得．故選：C5．（2023·江蘇蘇州·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，設(shè)的前n項和為，則（）A．B．C．1D．2【答案】D【解析】因為，所以，所以且，所以是首項為公比為的等比數(shù)列，所以，所以，，所以，所以，故選：D.6．（2023·北京·高三統(tǒng)考期中）數(shù)列滿足，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為數(shù)列滿足，所以，，，，則是以4為周期的周期函數(shù)，所以，故選：C.7．（2023·河南濮陽·高二范縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）有12個砝碼，總質(zhì)量為，它們的質(zhì)量從小到大依次構(gòu)成等差數(shù)列，且最重的3個砝碼質(zhì)量之和是最輕的3個砝碼質(zhì)量之和的4倍．用這些砝碼稱一個質(zhì)量為的物體，則需要的砝碼個數(shù)至少為（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】將12個砝碼的質(zhì)量從小到大依次設(shè)為，由題可知，，，所以，化簡得，，所以，由得，，，化簡得，，解方程得，所以，，，，，，滿足，，又因為，滿足，所以這些砝碼稱一個質(zhì)量為的物體，則需要的砝碼個數(shù)至少為6個.故選：C.8．（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測）等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，.設(shè)，則數(shù)列的前項和（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，所以，，所以，，因為，可得，所以，，所以，，所以，，即數(shù)列為等差數(shù)列，所以，，所以，，因此，.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．（2023·高二課時練習(xí)）（多選題）下列說法不正確的是（）A．?dāng)?shù)列可以表示為B．?dāng)?shù)列與數(shù)列是相同的數(shù)列C．?dāng)?shù)列的第項為1＋D．?dāng)?shù)列可記為【答案】ABD【解析】A選項，數(shù)列和數(shù)列，前者是有限項，后者是無限項，所以兩個數(shù)列不一樣，A選項錯誤.B選項，數(shù)列與數(shù)列的項的順序不相同，所以不是相同數(shù)列，B選項錯誤.C選項，，所以數(shù)列的第項為1＋，C選項正確.D選項，數(shù)列可記為，所以D選項錯誤.故選：ABD10．（2023·湖南·高二常德市一中?？茧A段練習(xí)）數(shù)列是等差數(shù)列，也是等差數(shù)列（）A．若，則數(shù)列也是等差數(shù)列B．若，，為常數(shù)，則是等差數(shù)列C．若，則是等差數(shù)列D．若，則可能是等比數(shù)列【答案】ABD【解析】設(shè)的首項為，公差為，的首項為，公差為，則，，對于A：，則是以為首項，為公差的等差數(shù)列，故A正確；對于B：，（，為常數(shù)），則是以為首項，為公差的等差數(shù)列，故B正確；對于C：令，，則，顯然不是等差數(shù)列，故C錯誤；對于D：令，，則，則為等差數(shù)列也為等比數(shù)列，故D正確；故選：ABD11．（2023·福建廈門·高二集美中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是等差數(shù)列的前項和，且，則下列選項正確的是（）A．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列B．C．的最大值為D．【答案】BC【解析】因為，所以，即，故B正確；所以數(shù)列為遞減數(shù)列，故A錯誤；所以的最大值為，故C正確；又因為，故D錯誤；故選：BC.12．（2023·黑龍江·高二牡丹江市第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正項等比數(shù)列，公比分別為，前項和分別為，若，且，則（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】對于A:因為，所以當(dāng)時，，又，所以，故，所以，故A正確；對于B:當(dāng)時，，即，將代入得，即，解得或，因為是正項等比數(shù)列，所以，故，所以，故B錯誤；對于C:由選項B可得，所以，則，又，則，故，故C正確；對于D:由選項B可得，所以，故，故D錯誤.故選:AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．（2023·高二課時練習(xí)）在等比數(shù)列中，若，則數(shù)列的前13項之積等于．【答案】【解析】是等比數(shù)列，，.14．（2023·重慶·高二重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，且為遞減數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】因為為遞減數(shù)列，，所以對恒成立，即對恒成立，所以.15．（2023·上海·高二復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，則數(shù)列的最大項為第項.【答案】【解析】依題意，，則，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，所以數(shù)列的最大項為第項.16．（2023·廣東佛山·高二高明區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列中，且滿足，則.【答案】【解析】由（）得，時，，相減得，，∴（），又，即，而，∴，所以時，，即，∴.四．解答題：本小題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2023·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）已知數(shù)列的前項和是，且，求的通項公式.（2）已知正項數(shù)列的前項和滿足，求數(shù)列的通項公式.【答案】（1）（2）【解析】（1）由可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，,∴經(jīng)驗證，當(dāng)時也成立.所以.（2）∵①∴，得，∴②②－①得：，∴即，∴，，，…，，∴.經(jīng)驗證，當(dāng)時也成立，所以.18．（2023·江蘇南通·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列中，前項和為，已知，.（1）求；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)公差為，由，，得，解得，所以，故；（2）由（1）得，所以.19．（2023·江西南昌·高二鐵路第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列前項和為，且.（1）若，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由題意，，解得，數(shù)列的通項公式為，，，數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列;（2）當(dāng)時，，數(shù)列的前項和，當(dāng)時，，數(shù)列的前項和，.20．（2023·湖南長沙·高二雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)是數(shù)列的前項和，若，求出所有值.【答案】（1）；（2）或【解析】（1）因為為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，，，，即，解得，所以，，所以.（2）由（1）知，所以化為：，即，，因為為增函數(shù)，所以，所以，所以或.21．（2023·江蘇南通·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）記數(shù)列的前項和為，已知.（1）設(shè)，證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析，；（2）【解析】（1）因為，當(dāng)時，，解得得；當(dāng)時，由，得，兩式相減得，即，則，即，又，故，所以，所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，即，所以．（2）由（1）得，所以,所以，則，兩式相減，得，所以．22．（2023·廣西桂林·?？寄M預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前項和為，且與的等差中項為.（1）證明：數(shù)列是等比