第1章函數(shù)、極限與連續(xù)

本章知識(shí)結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖

A函數(shù)的概念與性質(zhì)

函數(shù),反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

A常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù)

數(shù)列極限

函數(shù)極限

極限無(wú)窮小與無(wú)窮大

極限的運(yùn)算法則

A兩個(gè)重要極限

------------?連續(xù)與間斷點(diǎn)

任馬頭.

-----?連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

一、教學(xué)要求

1.在初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，加深對(duì)函數(shù)概念的理解和對(duì)函數(shù)幾何特性（單調(diào)性、奇偶性、周期性、

有界性）的了解。

2.理解反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的定義，會(huì)求函數(shù)的反函數(shù)，會(huì)進(jìn)行函數(shù)的復(fù)合與分解；了解基本

初等函數(shù)的定義域、圖形與性質(zhì)。

3.掌握常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)的含義、數(shù)學(xué)表達(dá)，會(huì)建立簡(jiǎn)單經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。

4.理解數(shù)列極限、函數(shù)極限的描述性定義和性質(zhì)。

5.理解無(wú)窮小的概念和基石性質(zhì)，會(huì)利用無(wú)窮小的性質(zhì)計(jì)算極限；理解高階無(wú)窮小、等價(jià)無(wú)

窮小的概念，會(huì)比較無(wú)窮小。

6.掌握極限的四則運(yùn)算法則；了解復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則；熟練掌握極限計(jì)算。

7.了解極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則；熟練掌握利用兩個(gè)重要極限及無(wú)窮小等價(jià)替換定理計(jì)算極限。

8.理解函數(shù)連續(xù)與間斷的概念，會(huì)判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的類理；理解函數(shù)的連續(xù)性；了解閉區(qū)間

上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最值定理、介值定理、零點(diǎn)定理）。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù)、無(wú)窮小的比較、極限運(yùn)算法則、兩個(gè)重要極限、函數(shù)連續(xù)與

間斷的概念、函數(shù)的連續(xù)性

2.教學(xué)難點(diǎn)：反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)、數(shù)列與函數(shù)的極限、極限的存在準(zhǔn)則、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)

的性質(zhì)

三、教學(xué)內(nèi)容及課時(shí)劃分

1.1函數(shù)的概念和性質(zhì)2課時(shí)

1.2反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)2課時(shí)

1.3常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)介紹2課時(shí)

1.4數(shù)列、函數(shù)的極限2課時(shí)

1.5無(wú)窮小與無(wú)窮大1課時(shí)

1.6極限運(yùn)算法則2課時(shí)

1.7極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限3課時(shí)

1.8函數(shù)的連續(xù)性2課時(shí)

習(xí)題課2課時(shí)

計(jì)18課時(shí)

2

1.1函數(shù)的概念和性質(zhì)

教學(xué)目的：理解函數(shù)的概念、函數(shù)的基本性質(zhì)

教學(xué)重難點(diǎn)：

1、教學(xué)重點(diǎn)：鄰域的概念、函數(shù)的基本性質(zhì)

2.教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)的有界性

教學(xué)課時(shí)：2

教學(xué)過(guò)程：

函數(shù)表示了變量之間的相依關(guān)系，是微積分的研究對(duì)象。本章從討論函數(shù)的概念開(kāi)始，

通過(guò)對(duì)一般函數(shù)特性的概括，引出初等函數(shù)，為學(xué)習(xí)“經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)”打下基礎(chǔ).

一、區(qū)間與鄰域

區(qū)間分為有限區(qū)間與無(wú)窮區(qū)間.

有限區(qū)間有四個(gè)：

開(kāi)區(qū)間(。,/?)={工|。<工</?};

閉區(qū)間[〃,句=卜|〃WZ?};

半開(kāi)半閉區(qū)間[凡3=;

(4,司=<X<Z?}；

無(wú)窮區(qū)間有五個(gè)：[a,+8)={x|x2a};

(4,+8)={小>。}；

(-<x),a]={x\x<a};

(-8,4)=何為<〃}；

(-<o,+oo)=R.

鄰域是一種特殊的區(qū)間，是后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)極限、微分、積分等知識(shí)時(shí)常用一個(gè)重要概念。

定義1.1設(shè)ae/LKeR且3>0,則集合，目,一《<5，稱為點(diǎn)。的鄰域，記

作也即=一2〃+5),這是以點(diǎn)。為中心，區(qū)間長(zhǎng)度為2b的開(kāi)區(qū)間，

正數(shù)3叫做鄰域的半徑.在數(shù)軸上，U(a,3)表示到點(diǎn)〃的距離小于5的所有點(diǎn)的集合.

3

集合0<k一4<#｝稱為點(diǎn)a的去心b鄰域，記作也即

U(a,#)=(a-3,a)I(a,a+S).

另外，點(diǎn)。的左3鄰域定義為。一(。?)=(。一3,〃],點(diǎn)。的右b鄰域定義為

U‘(a?)=[a,a+b).

當(dāng)不必指明鄰域半徑時(shí)，上述記號(hào)中的正數(shù)3可省略，即鄰域、空心鄰域、左鄰域和右

鄰域可簡(jiǎn)記為U(a),U(a),夕(〃)和。+(〃).

【例1】利用區(qū)間表示不等式父+工一2>0的全部解.

【解】先對(duì)不等式左端分解因式，原不等式為

(x+2)(x-l)>0,

則x>1或x<-2.故

|x|x2+x-2>0|=(-oo,-2)U(l,+oo).

二、函數(shù)的概念

1.函數(shù)的定義

定義1.2設(shè)%)，是兩個(gè)變量，。是非空實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于任意的xe。，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)

法則了,都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，則稱這個(gè)對(duì)應(yīng)法則/是定義在。上的函數(shù)。

其中x叫做自變量，j叫做因變量，x的取值范圍。叫做這個(gè)函數(shù)的定義域，通常將定

義域記為。廣當(dāng)x的取遍Df內(nèi)的所有實(shí)數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值)，的全體

W,=｛小=/(用心。｝

叫做這個(gè)函數(shù)的值域.

習(xí)慣上常用y=/(x)表示函數(shù)。

2.函數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明

(1)函數(shù)的兩個(gè)要素

定義域與對(duì)應(yīng)法則是函數(shù)的兩個(gè)要素.只有兩個(gè)函數(shù)具有相同的定義域和相同的對(duì)應(yīng)法

則時(shí)，它們才是相同的函數(shù)，否則就不是相同函數(shù).

4

(2)函數(shù)的定義域

在求函數(shù)的自然定義域時(shí)應(yīng)遵守以下原則:

(1)偶次方根下被開(kāi)方數(shù)非負(fù)；

(2)分式中分母不能為零；

(3)對(duì)數(shù)中的真數(shù)大于零；

(4)三角函數(shù)y=tan.i中x#火4+],y=CQt.t中xW；

(5)反三角函數(shù)y=arcsinx與y=arccosx中1;

【例2】求函數(shù)y二*Z三的定義域.

.ln(2-x)

【解】欲使函數(shù)有意義，則應(yīng)有

x+l>0x>-l

<2-x>0即1x<2

ln(2-x)=0x^\

故所求函數(shù)的定義域?yàn)镺=[-1,1)J(1,2).

3.函數(shù)的表示方法

函數(shù)的表示方法主要有三種：表格法、圖形法和解析法(公式法).

4.幾種特殊的函數(shù)

IIx,x>()

(1)絕對(duì)值函數(shù)y=x=4，￡>r=(-8,+8),卬.=[0,+8),其圖形如圖1.1(a)

11[一為X<0

l,x>0

(2)符號(hào)函數(shù))，=§811尸，0,x=0,Df=R,Wf={1,0,-1},x=sgnx?|H，其圖形如

—1,x<0

圖1.1(b).

(3)取整函數(shù))，=[x],表示不大于工的最大整數(shù).[5.15]=5,[-7.8]=-8,Df=R,Wf=Z.

其圖形如圖1.1(c).

觀察這三個(gè)函數(shù)，易知在定義域的不同部分，函數(shù)分別用不同的算式表示。于是可給出

分段函數(shù)的概念。

5

(a)(b)(c)

圖1.1

5.分段函數(shù)

把定義域分成若干個(gè)區(qū)間，在不同的區(qū)間內(nèi)用不同的數(shù)學(xué)算式表示的函數(shù)稱為分段函數(shù).

三、函數(shù)的幾何特性

研究函數(shù)的目的就是為了了解它所具有的性質(zhì)，以便掌握它的變化規(guī)律.

1.單調(diào)性

定義1.3設(shè)函數(shù)y=/(x)定義域?yàn)閰^(qū)間/u。/.如果對(duì)于區(qū)間/內(nèi)的任何兩點(diǎn)七

和當(dāng)，當(dāng)再〈為，總有〃為)</(々)(或/(為)>/(々))，則稱函數(shù)》=/(幻在區(qū)間/內(nèi)

單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減)，/叫做單調(diào)增區(qū)間(或單調(diào)減區(qū)間).

［例3］證明f(x)=X3在(-00,+Q0)內(nèi)是單調(diào)遞增的.

【證明】任取W(y,+8)且芭<々，則有

2

)-/(X()=Xj-xf=(x2-X))(^2+x2x(+x()=(x2-Xj)(9+gxJ>0,

2

即/(X2)>/(x,),也就是說(shuō)/(X)=/在S4W)內(nèi)單調(diào)遞增的.

函數(shù)的單調(diào)性與自變量取值范圍有關(guān).例如函數(shù))，在區(qū)間(-8,0)內(nèi)是單調(diào)遞減的,

在(0,+8)內(nèi)是單調(diào)遞增的，但在(-8,+8)內(nèi)不單調(diào).

2.奇偶性

定義1.4設(shè)函數(shù)>=/*)的定義域以關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.如果對(duì)于任意恒有

/(-X)=-f(x),則稱y=/(x)為奇函數(shù)；如果對(duì)任意的恒有/(—x)=/a),

則稱)，=/*)為偶函數(shù).

6

例如y=/在(-8,+8)內(nèi)是偶函數(shù)；)，=%3在(-00,+00)內(nèi)是奇函數(shù).而)，=工2+犬3是

非奇非偶函數(shù)。

顯然偶函數(shù)的圖形關(guān)于)，軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖形關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(如圖1.2所示).

圖1.2

ex+e~xe(-e~x

【例4］判定函數(shù)f(x)=與函數(shù)放幻=的奇偶性.

22

【解】因?yàn)?(一幻=，所以f(x)在定義域(-8,一8)內(nèi)是偶函數(shù);

又因?yàn)間(-x)=ee=ee=-g(x),所以g(x)在定義域(-8,+8)內(nèi)是奇函數(shù).

思考：任意一個(gè)函數(shù)都可表示為偶函數(shù)與奇函數(shù)之和？

3.周期性

定義1.5設(shè)y=f(x)的定義域?yàn)椤S如果存在非零常數(shù)7,使得對(duì)任意的

x^D^x+T都有

/(x+T)=/(x),

則稱y=/(x)為周期函數(shù)：稱T為函數(shù)y=/(x)的一個(gè)周期.

通常所說(shuō)的周期是指周期函數(shù)的最小正周期，同樣記為T.

例如正弦函數(shù)y=sinx中，±2乃,±4乃,±6心…都是它的周期，其最小正周期7=2萬(wàn).

4,有界性

引子：y=sinx在(-oo,+oo)上的圖像介于水平線)，=-1與y=l之間，故其為有界函數(shù).

定義1.6設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)椤V數(shù)集Xu。,.如果存在正數(shù)M,使得對(duì)所

的的X,都有

7

則稱函數(shù)y=/(x)在X上有界.或稱)，=f(X)是X上的有界函數(shù).否則稱>'=f(X)在X

上無(wú)界，y=/(_r)也就稱為X上的無(wú)界函數(shù).

顯然，如果函數(shù)》=/(幻在X上有界，則存在無(wú)窮多個(gè)這樣的M,使得|/(x)歸”.

【例5】函數(shù))，=,在(0,+OD)內(nèi)無(wú)界，而在［1,+8］內(nèi)有界.可見(jiàn)函數(shù)的有界性同樣與自

變量的取值范圍有關(guān).

又如：

y=丁匚,丁0<1，有界

1+廠1+廠

),=?弋有界

四、作業(yè)

習(xí)題1.12(2)(4)；4(1)(5)(6)；5(2)(3)

1.2反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

教學(xué)目的：1.理解反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的定義，會(huì)求函數(shù)的反函數(shù)，會(huì)進(jìn)行函數(shù)的復(fù)合與分解.

2.了解基本初等函數(shù)定義域、圖形與性質(zhì)

教學(xué)重難點(diǎn)：

1、教學(xué)重點(diǎn)：及合函數(shù)的概念

2、教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的分解

教學(xué)課時(shí)：2

教學(xué)過(guò)程：

一、反函數(shù)

定義1.7設(shè)函數(shù))，=/(%)的定義域?yàn)椤?，值域?yàn)閃/,如果對(duì)W/中的任何一個(gè)實(shí)數(shù)了,

有唯一的一個(gè)XE。/,使/(x)=y成立.那么把y看成自變量，R看成因變量，由函數(shù)的

定義，x就成為y的函數(shù)，稱這個(gè)函數(shù)為y=/a)的反函數(shù)，記X=/T()，)，其定義域是

值域是。廣

8

按照習(xí)慣，函數(shù)），=/*）的反函數(shù)就寫成：y=/-'?-

將y=/"）與其反函數(shù)y=的圖形畫在同一坐標(biāo)平面上，

如圖1.3所示.

定理1.1（反函數(shù)存在定理）單調(diào)函數(shù)y=/（x）必存在單調(diào)的反

函數(shù)，且具有與），=/（,）相同的單調(diào)性.

注：求解y=/*）的反函數(shù)步驟：

（1）求出y=/（x）的值域W/；

（2）用），表示x,即寫出x=/T（y）；

（3）對(duì)換x與），，得到反函數(shù)），二尸。）以及其定義域叫.

【例1】求），=l+ln（K—1）的反函數(shù).

【解】因?yàn)椋?l+ln（x—l）的定義域?yàn)閧x|x>l},值域?yàn)镽.由），=l+ln（x—l）,得

x-\=eyl

即X=1+，T

因此，所求的反函數(shù)為y=\+ex\xER.

二、三角函數(shù)與反三角函數(shù)

1.三角函數(shù)

中學(xué)階段，同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)），=sinx,y=cosx,）：=lanx這三種三角函數(shù)，熟悉它們

的定義域、圖形和性質(zhì)。下面再介紹幾種三家函數(shù).

（1）余切函數(shù)y=cotx

y=cotx=—!—的定義域?yàn)閧x|尤。4乃,keeZ},以"為周

lanx

期，為奇函數(shù)，且在其一個(gè)周期內(nèi)是單調(diào)遞減的.（如圖1.4）

圖1.4

（2）正割函數(shù)丁=5?5

9

y=secx=—!—的定義域?yàn)椤?十乙，4EZ，，以2〃為周期，且為偶函數(shù)

cosx2,

（3）余割函數(shù)丁=?50￥

y=cscx=」一的定義域?yàn)閧x|xwk;r,ZeZ},以2）為周期，且為奇函數(shù).

sinx

2.反三角函數(shù)

（1）反正弦函數(shù)y=arcsinx

7Trr

正弦函數(shù)），=sinx在區(qū)間-展萬(wàn)上單調(diào)增加，它的反函數(shù)稱為反正弦函數(shù)，記為

y=arcsinx,其定義域?yàn)椋?1,1］,值域?yàn)?，在其定義域上單調(diào)增加.（如圖1.5）

（2）反余弦函數(shù)y=arccos工

余弦函數(shù)）=以^X在［07］上單調(diào)增加，它的反函數(shù)稱為反余弦函數(shù)，記為

y=arccosx,其定義域?yàn)椋?1,1］,值域?yàn)椋?,7］（如圖1.6）.

（3）反正切函數(shù)y=arctanx

7171

正切函數(shù)），=tan尤在（一一,一）上單調(diào)增加，它的反函數(shù)稱為反正切函數(shù)，記為

22

=arctanx,其定義域?yàn)椋ㄒ?,+8）,值域?yàn)椋ㄒ?,/）（如圖1.7）.

（4）反余切函數(shù)y=arccolx

余切函數(shù)y=cotx在［0,乃）上單調(diào)遞增，它的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記為

y=arccotx,其定義域?yàn)椋ㄒ?,+oo）,值域?yàn)椋?,乃）（如圖1.8）.

注：正弦函數(shù)y=sinx在除-于-,-外其他單調(diào)區(qū)間上也具有反函數(shù)，只是此時(shí)的

2_

反函數(shù)不稱為反正弦函數(shù).顯然，余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)也如此.

;步上

圖L5圖］.6圖1.7圖1.8

10

【例2】求下列各式的值

(1)arcsinl(2)arccos(-l)(3)cos(arcsing)

【解】(】)arcsinl=—

2

(2)arccos(-l)=^

小/.1、萬(wàn)百

(3)cos(arcsin—)=cos—=----

262

三、復(fù)合函數(shù)

【定義1.8]設(shè)函數(shù)y=/(〃)，定義域?yàn)镈f；〃=g(x),定義域?yàn)橹涤驗(yàn)?/p>

如果叫那么稱函數(shù)

y=/[g(x)]，1￡何?；谩辍?}

為由函數(shù)y=/(〃)和〃=以幻構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，其中x為自變量，)，為因變量，〃稱為中間

變量.{Mg(x)￡Oj就是復(fù)合函數(shù)的定義域.習(xí)慣上稱函數(shù)〃=g(x)為內(nèi)函數(shù)，函數(shù)

>=/(〃)為外函數(shù).

【例3】設(shè)y=ln〃，u=Vl+v,v=sinx,構(gòu)造復(fù)合函數(shù)并求其定義域.

【解】因y=ln〃的定義域?yàn)?0,+8),〃=Jl+y的定義域?yàn)閇-1,+8),值域?yàn)?/p>

[0,-KO],y-sinx的定義域?yàn)?-8,十8),值域?yàn)閇-1,1].由于[0,e]。(0,十8)工0,

[-1,1]A[-1,+OO)^0.故復(fù)合函數(shù)為y=lnJl+sinx,定義域?yàn)?Avr—],攵￡Z}.

【例4】分析下列函數(shù)由哪些簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成，并求復(fù)合函數(shù)的定義域.

(1)y=sin(2+?y(2)y=sin2(2+Vx)(3)產(chǎn)產(chǎn)i+/

【解】(1)y=sin(2+Hy由函數(shù)y=sin〃,〃=u=2+五復(fù)合而成，定義域?yàn)?/p>

{x|x>0}；

(2)y=sin2(2+6)由函數(shù)>=〃2,〃=5畝匕口=2十五復(fù)合而成，定義域?yàn)?/p>

{x|x>0)；

(3))，=*加如/)由函數(shù)丁=/,4=203111，/=1+/復(fù)合而成，定義域?yàn)?/p>

-rc>,+ro).

11

四、基本初等函數(shù)與初等函數(shù)

1.基本初等函數(shù)

我們接觸到的函數(shù)大部分都是由幾種最常見(jiàn)、最基本的函數(shù)經(jīng)過(guò)一定的運(yùn)算而得到，這

幾種函數(shù)就是我們已經(jīng)很熟悉的函數(shù)，它們是

常值函數(shù)y=C(。為常數(shù))

鬲函數(shù)(白為常數(shù))

指數(shù)函數(shù))，="(。為常數(shù)，且。工1)

對(duì)數(shù)函數(shù)y=iogtzx(。為常數(shù)，。>0且。。1)

三角函數(shù)y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotA-,y=secx,y=escx

反三角函數(shù)y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx

這六種函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).

作業(yè)：請(qǐng)將基木初等函數(shù)的名稱、表達(dá)式、定義域、圖形及性質(zhì)列表表示出來(lái).

2.初等函數(shù)

初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算及有限次復(fù)合運(yùn)算所得到的，并可以用

一個(gè)式子表示的函數(shù).

注：一般來(lái)說(shuō)，分段函數(shù)不是初等函數(shù).但絕對(duì)?值函數(shù)例外，因?yàn)閥=W又可表示為》二行,

所以絕對(duì)值函數(shù)是初等函數(shù).

函數(shù)y=￡.的一般形式為匕。)『⑺，稱形如[〃切””的函數(shù)為鬲指函數(shù)，具中f(x),

g(x)均為初等函數(shù)，且八幻>0,由恒等式

[/(x)]^x)=eA，(r),n/(v)

因此，哥指函數(shù)是初等函數(shù).例如(sinA-)COSV(x>0),(l+l/x)A(x>0或x<-1).等都是初等函數(shù).

五、作業(yè)

習(xí)題1.21(4)；2(1)(5)(6)；3(2)；4(1)(4).

12

1.3常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù)

教學(xué)目的：掌握常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)的含義、數(shù)學(xué)表達(dá)，會(huì)建立簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

教學(xué)重難點(diǎn)：

1、教學(xué)重點(diǎn)：常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù)

2、教學(xué)難點(diǎn)：建立簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

教學(xué)課時(shí)：2

教學(xué)過(guò)程：

在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中，首先分析出問(wèn)題的變量，然后建立變量之間的函數(shù)關(guān)系，即建立數(shù)學(xué)模

型，最后進(jìn)行求解，達(dá)到對(duì)實(shí)際問(wèn)題解決的目的.下面介紹幾個(gè)常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù).

一、單利與復(fù)利公式

1.單利公式

單利是指僅對(duì)本金計(jì)息，利息不計(jì)息的增值方式.

設(shè)現(xiàn)有本金，每期利率為幾期數(shù)為〃，則

第一期末的本利和為

4=、+4-=4(1+廠)

第二期末的本利和為

A2=A0(l+r)+AQr=A0(l+2r)

第〃期末的本利和為

A=Aa[\+nr)

2.復(fù)利公式

設(shè)現(xiàn)有本金4,每期利率為廣，期數(shù)為若每期結(jié)算一次，則第一期末的本利和為：

A=4+4/=4(i+r),

將本利和A再存入銀行，第二期末的本利和為：

再把木利和存入銀行，如比反復(fù)，第，期末的本利和為：

4=4(1+中，

例如設(shè)為本金，按年為期，年利率為R,則第〃年末的本利和為：

4=4(1+和

13

二、需求函數(shù)與供給函數(shù)

1.需求函數(shù)

商品的需求量是該商品價(jià)格的函數(shù)，稱為需求函數(shù).用勒）表示對(duì)商品的需求量，P表

示商品的價(jià)格，則需示函數(shù)為：

QLQAP），

鑒于實(shí)際情況，自變量產(chǎn)，因變量0）都取非負(fù)值.

一般地，需求函數(shù)是價(jià)格的遞減函數(shù).在直角坐標(biāo)系中作出它的圖形稱為需求曲線.

實(shí)際中，常用以下函數(shù)來(lái)近似表示需求函數(shù)：

線性需求函數(shù)：Q?=b-aP,其中。

某函數(shù)需求函數(shù)：QfkP。,其中％＞0,。＞0

指數(shù)需求函數(shù)：Q,=ae",其中。＞0*＞0

需求函數(shù)。〃=Q/）（P）的反函數(shù)，稱為價(jià)格函數(shù)，記作：

P=P（Q3

也反映商品的需求量與價(jià)格的關(guān)系，有時(shí)也稱為需求函數(shù).

2.供給函數(shù)

商品的供給量是該商品價(jià)格的函數(shù)，稱為供給函數(shù).用Q表示對(duì)商品的需求量，P表

示商品的價(jià)格，則需示函數(shù)為：

QS=QS（P），

鑒于實(shí)際情況，自變量P,因變量Q都取非負(fù)值?

一般地,商品供給函數(shù)是價(jià)格的遞增函數(shù).在直角坐標(biāo)系中作出它的圖形稱為供給曲線.

實(shí)際中，常用以下函數(shù)來(lái)近似表示供給函數(shù)：

線性函數(shù)Qs=aP-b,其中。＞0力＞0

事函數(shù)＜2,.=&/，其中/:＞0,。：＞0

指數(shù)函數(shù)4=比"，其中?！?,?！?

將需求曲線和供給曲線畫在同一坐標(biāo)系中（如圖1.9）.由于需求函數(shù)

是遞減函數(shù)，供給函數(shù)是遞增函數(shù)，它們的圖形必相交于一點(diǎn)E（Q",加），

14

該點(diǎn)叫做均衡點(diǎn)，該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的價(jià)格P”就是供、需平衡的價(jià)格，也叫均衡價(jià)格；這一點(diǎn)所對(duì)應(yīng)

的需求量或供給量Q“就叫做均衡需求量或均衡供給量.Q。=Qs稱為均衡條件.

【例1】某商品每天的需求函數(shù)與供給函數(shù)分別為

)1,

。對(duì)28戶2，QS=-P^

試求市場(chǎng)達(dá)到供需平衡時(shí)的均衡價(jià)格和均衡需求量.

【解】由均衡條件Q〃=q,得128P2=(p)

解得尸=尸=4

從而。=Q*=8.

故市場(chǎng)供需均衡時(shí)的均衡價(jià)格為4單位，均衡需求量為8個(gè)單位.

三、成本函數(shù)與平均成本函數(shù)

1.成本函數(shù)

成本是指生產(chǎn)某種一定數(shù)量產(chǎn)品需要的費(fèi)用，它包括固定成本和可變成本.

如果記總成本為7T,固定成本為尾，可變成本為VC,設(shè)。為產(chǎn)品數(shù)量，那么總成本

函數(shù)

TC(Q)=FC+VC(Q)

其中FC20.顯然成本函數(shù)是單調(diào)增加函數(shù)，它隨產(chǎn)量的增加而增加.

2.平均成本函數(shù)

平均成本是指生產(chǎn)單位產(chǎn)品所花費(fèi)的成本，記為AC,設(shè)。為產(chǎn)品數(shù)量，則平均成本函

數(shù)

=遜二生+4

QQQ

ECVC

其中一稱為平均不變成本，記為4尸。；一稱為平均可變成本，記為4VC.因此，有

AC=AFC+AVC

四、收益函數(shù)與利潤(rùn)函數(shù)

1.收益函數(shù)

生產(chǎn)者銷售一定數(shù)量的產(chǎn)品或勞務(wù)所獲得的全部收入，稱為總收益，記為丁R.生產(chǎn)者出

售一定數(shù)量的產(chǎn)品時(shí)，單位產(chǎn)品的平均收入，即單位產(chǎn)品的平均售價(jià)，稱為平均收益，記為

AR.

如果記77?為總收益，AA為平均收益，。為銷售量，則TR,AR都是。的函數(shù)

15

77?=77?(0,AR=^^~

其中TR,。取正值.

如果產(chǎn)品的銷售價(jià)格戶保持不變，銷售量為。，則

TR(Q)=PQ,AR=P

2.利潤(rùn)函數(shù)

利潤(rùn)是指收益與成本之差，記為乃，乃是銷售量。的函數(shù)，則有

爪Q)=TR@-TC(Q)

利潤(rùn)函數(shù)1（。）可能會(huì)出現(xiàn)下列三種情形:

(1)乃(Q)=TR(Q)—TC(Q)>0,表示有盈余;

(2)^(Q)=TR(Q)-TC(Q)<0,表示出現(xiàn)虧損;

(3)7r(Q)=TR(Q)-TC(Q)=0,表示盈虧平衡.

我們把盈虧平衡時(shí)的產(chǎn)量（銷量）Q）稱為盈虧平衡點(diǎn)（又稱為保本點(diǎn)）.盈虧平衡點(diǎn)在

分析企業(yè)經(jīng)營(yíng)管理、產(chǎn)品定價(jià)和生產(chǎn)決策時(shí)具有重要意義

【例2】設(shè)每月生產(chǎn)某種商品。件時(shí)的總成本為：7T（Q）=20+2Q+0.5Q2（萬(wàn)元），每

售出一件該商品時(shí)的收入是20萬(wàn)元.

（1）求總利潤(rùn)函數(shù)和平均利潤(rùn)函數(shù).

（2）求每月生產(chǎn)20件（并售出）的總利潤(rùn)和平均利潤(rùn).

【解】（1）由題意銷售價(jià)格「為2。，故總收益函數(shù)TR（Q）=20Q,

乂總成本函數(shù)7C(。)=20+20+O.5Q2,

故總利潤(rùn)函數(shù)膜Q)=TR(Q)-76(2)=202-(20+22+0.502)

=-0.5C2+180-20

平均利潤(rùn)函數(shù)％（Q）=型0=-（）.5。一次+18

（2）由（1）當(dāng)Q=20件時(shí)，該商品的總利潤(rùn)%（20）=—0.5X202+18X20-20=140（萬(wàn)元）

平均利潤(rùn)為=盧方=7（萬(wàn)元）.

16

【例3】某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，據(jù)調(diào)查其需求函數(shù)為x=-900P+45000,生產(chǎn)該產(chǎn)品的

固定成本是27000（）元，而單位產(chǎn)品的變動(dòng)成本為10元，為獲得最大利潤(rùn)，出廠價(jià)格應(yīng)為多

少？

【解】成本函數(shù)7C（Q）=270000+10。，需求函數(shù)為。=-900P+45000

于是TC(P)=-9000P+720000

4攵益函數(shù)7R(尸)=PQ=-900P2+45000P

利潤(rùn)函數(shù)萬(wàn)(P)=TR(P)-TC(P)=-900(P2-60P+800)

=-90(XP-30)2+9(XXX)

當(dāng)尸=30時(shí)，取得最大利潤(rùn)90000元

所以該產(chǎn)品的出廠價(jià)應(yīng)定為30元.

五、作業(yè)

習(xí)題1.31；3；4；5；6

1.4數(shù)列、函數(shù)的極限

教學(xué)目的：了解中國(guó)古代的極限思想：理解數(shù)列極限、函數(shù)極限的描述性定義和性質(zhì)

教學(xué)重難點(diǎn)：

1、教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列極限、函數(shù)極限的描述性定義

2、教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列極限的性質(zhì)解釋

教學(xué)課時(shí)：2

教學(xué)過(guò)程：

一、中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的極限思想

1.劉徽的割圓術(shù)

“割圓術(shù)”就是用圓的內(nèi)接正六邊形、正十二邊形、…、正3?2"邊形去逼近圓，即用正

多邊形的面積（周長(zhǎng)）代替圓面積（周長(zhǎng)）（如圖1.10）.

17

隨著正多邊形邊數(shù)的增加，正多邊形的面積（周長(zhǎng)）越來(lái)越接近于圓面積（周長(zhǎng)）.如

果設(shè)正六邊形、正十二邊形、……、正3?2"邊形的面積分別為

S1,S?,S「…，S”,如此下去，就構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮數(shù)列

S1,§2,S3,…，Sn,-

其中5'=3,2'1/?飛皿’77.隨著內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)的增加，正

圖1.10

多邊形面積5“=3?2'1/?、而上7也越來(lái)越趨向于一個(gè)穩(wěn)定的值，這個(gè)穩(wěn)定值就是圓的面

積S=TTR2.

同樣若設(shè)正六邊形，正十二邊形，…，正3+2”邊形的周長(zhǎng)分別為G，。2,G，…，C”，

于是得另一數(shù)列

G,c2,G，…，C"，…

其中G=3x2"ixRxsin」^,隨著內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)（這里為3.2”）的增加，正多邊

“3x2”

形周長(zhǎng)G=3x2"ixRxsin」^,也越來(lái)越趨向于一個(gè)穩(wěn)定的值，這個(gè)穩(wěn)定值就是圓的周

"3x2"

氐C=2兀R.

2.截杖問(wèn)題

一尺之桎，日取其半，萬(wàn)世不竭.

1111

_-_F9

2?48

這是一個(gè)無(wú)窮數(shù)列，通項(xiàng)為」7,當(dāng)〃無(wú)限增大時(shí)，［會(huì)無(wú)限地變小，并且無(wú)限地接近常數(shù)

2〃2〃

0.“萬(wàn)世不竭”表示的意思是，雖然每次取卜.的長(zhǎng)度越來(lái)越小，但永遠(yuǎn)不等于（）.

二、數(shù)列的極限

1.數(shù)列極限的定義

在“割圓術(shù)”和“截杖問(wèn)題”中，均涉及到對(duì)于一人無(wú)窮數(shù)列，當(dāng)項(xiàng)數(shù)〃無(wú)限增大時(shí)，

通項(xiàng)的變化情況.

當(dāng)〃無(wú)限增大時(shí)，

數(shù)列s，S2,S3,…，S.,…的通項(xiàng)5'=3?2”抬2燈。上7無(wú)限趨近于5=切?2；

數(shù)列G，G，G，…，C，…的通項(xiàng)G=3x2"ixAxsin」^無(wú)限趨近于。=2?R；

DXN

數(shù)列7777,…，工7,…的通項(xiàng)為IT無(wú)限趨近于0，

2482"2"

18

下面再看幾個(gè)數(shù)列｛五｝的通項(xiàng)五在〃無(wú)限增大時(shí)的變化趨勢(shì):

,其通項(xiàng)乙二2隨〃的增大而逐漸減小,越來(lái)越趨近于0；

n

⑵數(shù)列，,2」,土…,/一,…，其通項(xiàng)七=」一隨〃的增大而增大,越來(lái)越趨近于1；

2345n+\n+\

(3)數(shù)列1,2,3,4,…,〃，…，其通項(xiàng)工=〃隨〃的增大而增大,且無(wú)限增大；

(4)數(shù)列1,一！」,-1,…,W,…，其通項(xiàng)五二W隨著〃的變化在0的兩側(cè)跳

234nn

動(dòng)，并隨著〃的增大而趨近于0；

(5)數(shù)列1,一1,1,一1「,,(-1)"+1一，其通項(xiàng)乙二(一1)向隨著〃的增大始終交替取值1和-1,

而不趨向于某一個(gè)確定的常數(shù)；

(6)數(shù)列《……的各項(xiàng)都是同一個(gè)數(shù)a,故當(dāng)〃越來(lái)越大時(shí)，該數(shù)列的項(xiàng)也總

是確定的常數(shù)a.

定義1.9當(dāng)〃無(wú)限增大時(shí)，如果數(shù)列｛怎｝的通項(xiàng)七無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)那么就稱

數(shù)列｛%｝收斂,常數(shù)a稱為數(shù)列｛xn｝的極限，記為

limx=a或x—>a｛nfco)

/I—KC

否則稱數(shù)列｛%｝發(fā)散.

根據(jù)定義，數(shù)列(1),(2),(4),(6)為收斂的數(shù)列，它們的極限分別是0,1,0,“?也

即lim1二0,lim/一二l,lim上3一二0,lima=〃.而數(shù)列(3),(5)為發(fā)散的數(shù)列.

/1->□0〃n->ao〃+]〃->8〃

下面給出以后常用的一些數(shù)列極限：

(1)lima(。為常數(shù))(2)=(a為常數(shù)且。＞0)

oc

(3)lim/=0("為常數(shù)且|同vl)(4)lim=1為常數(shù)且。＞0)

"-＞00

(5)lim\/n=1

n—>x

2.收斂數(shù)列的重要性質(zhì)

4=/(〃)，〃eN*.因此數(shù)列的圖形就是一個(gè)點(diǎn)列.

下面觀察一下前面討論過(guò)的數(shù)列的圖形(如圖1.11).

n

19

數(shù)列是一個(gè)收斂數(shù)列，從圖1.11中可以看出，()〈工二工41,由函數(shù)的有界性可

知，數(shù)列是有界的.同時(shí)，當(dāng)〃無(wú)限增大時(shí)，,無(wú)限趨近于唯確定的常數(shù)o.

⑺〃

一般地，收斂數(shù)列具有如下性質(zhì).

性質(zhì)1收斂數(shù)列是有界的.

性質(zhì)2收斂數(shù)列的極限是唯一的.

三、函數(shù)的極限

1.自變量趨于無(wú)窮時(shí)的極限(即當(dāng)X-8時(shí)，函數(shù)f(x)—?)

自變量X趨于無(wú)窮(記戈-8)可分為兩種情況：自變量工趨于正無(wú)窮(記X-E)

和自變量X趨于負(fù)無(wú)窮(記X—>-8).

【例1】考察下列函數(shù)，當(dāng)X-8時(shí)，，函數(shù)/(X)f?

(1)f(x)=—(2)/(x)=ex(3)/(x)=sinx

x

產(chǎn)，/"尸,=sinx

圖1.12

【解】如圖可看出，

(1)當(dāng)Xf+R時(shí)有‘TO,當(dāng)X——8時(shí)也有Lf0,所以當(dāng)X.8時(shí)有Lf0.

XXX

(2)當(dāng)Xf+00時(shí)有，f+oo,當(dāng)X—>-8時(shí)有短―0,所以當(dāng)X—>8時(shí)/不能趨向于

一個(gè)確定的常數(shù).

(3)無(wú)論是X—>+oo還是X—>Y0時(shí)，sinx都不能趨向于一個(gè)確定的常數(shù)，所以當(dāng)xfoo

時(shí)sinx也不能趨向于一個(gè)確定的常數(shù).

定義1.10設(shè)函數(shù)>=f(x)在自變量x充分大時(shí)總有定義，如果當(dāng)自變量x無(wú)限增大時(shí).

20

函數(shù)值/(x)無(wú)限趨近某個(gè)確定的常數(shù)a,那么稱a為函數(shù))，=/*)當(dāng)xf”時(shí)的極限,

記作

limf(x)=a或/(式)一>a(x—>+8)

否則，稱函數(shù)/(工)當(dāng)了一斗8時(shí)的極限不存在.

定義1.11設(shè)函數(shù))，=/(x)在自變量X充分小時(shí)總有定義，如果當(dāng)自變量X無(wú)限減小時(shí),

函數(shù)值/(X)無(wú)限趨近某個(gè)確定的常數(shù)4,那么稱。為函數(shù))，=/(冷當(dāng)X-—8時(shí)的極限,

記為

lim/(x)=a或f(x)->?(x->-oo)

.r—>-<o

否則，稱函數(shù)/(?當(dāng)x―時(shí)的極限不存在.

例如，lim-=0,lim-=0,limer=0.

XT+XiX-XXTF

【定義】設(shè)函數(shù)y=/E)在自變量N充分大時(shí)總有定義，如果自變量國(guó)無(wú)限增大時(shí)，函

數(shù)值無(wú)限接近一個(gè)確定的常數(shù)。，則稱〃為函數(shù)y=/(x)當(dāng)x趨于無(wú)窮(x-8)時(shí)

的極限，記為

limf(x)=〃或f(x)->a(x-8)

.r->oo

由于X->8包含了Xf+8和XfYO兩種情況，因此可以得到：

定理1.2函數(shù))，=/(幻當(dāng)Xf8時(shí)極限存在的充分必要條件是函數(shù))，=/“)當(dāng)

Xf+00時(shí)和X-—8時(shí)極限都存在且相等.即

limf(x)=a<=>limf(x)=limf(x)=a

X-KCX->-00

2.自變量趨于有限值小時(shí)的極限(即當(dāng)x―陶時(shí)，函數(shù)/(x)->?)

【例2】討論當(dāng)工逐漸靠近1時(shí)，函數(shù)值y=Y—3x+3的變化情況.

【解】我們列出自變量x->l時(shí)的某些值，考察對(duì)應(yīng)函數(shù)值的變化趨勢(shì)

X0.90.990.999???1???1.0011.011.10

y1.111.01011.001001???1???0.9990010.99010.91

從表中可看出，當(dāng)x越靠近1,對(duì)應(yīng)函數(shù)值越靠近常數(shù)1,即不一>1時(shí)，ynf—Bx+Bf1.

x2-1

【例3]討論當(dāng)工趨于1時(shí)，函數(shù)值f(x)=--的變化趨勢(shì).

x-i

【解】列出自變量Xfl時(shí)的某些值，考察對(duì)應(yīng)函數(shù)值的變化趨勢(shì)

21

X0.750.90.990.99991…1.0000011.011.251.5

/（幻1775179L99—1.9999-2.000001r01r252^

x-1

當(dāng)Xfl時(shí)，f（x）=----------->2（XW1）

x-1

【例4】討論當(dāng)x趨于0時(shí)，函數(shù)/(X)=」的變化趨勢(shì).

X

觀察函數(shù)/(x)的圖形(如圖1.13)

圖1.13

由圖1.13容易看出，當(dāng)x趨于0時(shí)，,無(wú)限地增大，不趨近于某個(gè)確定的常數(shù).

x

【例5】討論當(dāng)x趨于0時(shí)，函數(shù)/。)=sin1的變化趨勢(shì).

x

將函數(shù)/(x)=sin-的值列表如下

x

2,1212212_L2

X7t713〃245萬(wàn)...5〃ITT34兀71

fM-i010-1…10-10I

從圖1.14可以看出，當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，函數(shù)/(x)=sin，的圖形在-1與1之間無(wú)限

x

次地?cái)[動(dòng)，即/(X)不趨近于某個(gè)確定的常數(shù).

定義1.12設(shè)函數(shù)/(X)在小的某去心鄰域U&0)內(nèi)有定義，如果當(dāng)X無(wú)限趨向于題時(shí),

函數(shù)值無(wú)限趨近某個(gè)確定的常數(shù)那么稱〃為函數(shù)/(工)當(dāng)X—七時(shí)的極限，記為

limf(x)=a或/(x)—>a*—>x