第=page11頁，共=sectionpages11頁浙江省杭州四中2024-2025學(xué)年高二（下）月考數(shù)學(xué)試卷（3月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.向量a=(?1,tA.80° B.90° C.120°2.已知復(fù)數(shù)z=a(1+i)是關(guān)于xA.22 B.1 C.23.已知(x+2x)A.40 B.60 C.80 D.1004.設(shè)a≠b，函數(shù)y=|2x+a|A.0 B.?1 C.?2 5.甲、乙兩位老師帶領(lǐng)六位同學(xué)分別去A、B兩所學(xué)校參加交流活動(dòng)，甲、乙老師將去往不同的學(xué)校，甲老師的隊(duì)伍中至少需要有兩位學(xué)生，乙老師的隊(duì)伍中至少需要有三位學(xué)生，且所有學(xué)生均參與活動(dòng)，則不同的參會(huì)方案的種數(shù)為(

)A.50 B.60 C.70 D.806.已知ω∈R，函數(shù)f(x)=(x?6A.π2 B.π3 C.π47.已知在△ABC中，∠A=90°，BC=2，∠A的角平分線與△A.1 B.3 C.3?8.21世紀(jì)以來，人工智能迅猛發(fā)展，在人工智能算法中，精確率Q、召回率R、卡帕(Kappa)系數(shù)κ是衡量算法性能的重要指標(biāo).在對某型號掃雷機(jī)器人的測試中，記A表示事件“選擇的位點(diǎn)實(shí)際有雷”，B表示事件“選擇的位點(diǎn)檢測到有雷”，定義：精確率Q=P(A|BA.κ=2QR?2P(A二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已為隨機(jī)變量X，Y，且X～N(μ1,A.若μ1=μ2，則E(X)=E(Y)

B.若μ1=μ210.設(shè)函數(shù)f(x)=A.f(x)是偶函數(shù) B.f(x)的最小正周期為π

C.f(x11.投擲一枚均勻的骰子8次，記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷一定出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是(

)A.第25百分位數(shù)為2，極差為4 B.平均數(shù)為3.5，第75百分位數(shù)為3.5

C.平均數(shù)為3，方差為3 D.眾數(shù)為4，平均數(shù)為4.75三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若雙曲線x2+my2=1的兩條漸近線之間的夾角為6013.已知x，y，z∈N*，且x+y+z=8，記隨機(jī)變量X為x，14.已知圓C：x2+(y?a)2=a2(a四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行乒乓球比賽，經(jīng)過大數(shù)據(jù)分析，每局比賽甲獲勝的概率約為23，乙獲勝的概率約為13．

(1)若比賽為三局兩勝制，設(shè)比賽結(jié)束時(shí)比賽場次為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(216.(本小題15分)

如圖，在四棱錐O?ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠ABC=π4，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為17.(本小題17分)

設(shè)拋物線Γ：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線l與拋物線Γ相交于兩點(diǎn)A、B，記AB的中點(diǎn)為C，AB的中垂線與y軸相交于點(diǎn)T(0,1)，已知直線FC平行于y軸．

(1)求p的取值范圍；

(18.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=13x3?a(x2+x+119.(本小題17分)

某電子器件由若干個(gè)相同的電子模塊構(gòu)成，每個(gè)電子模塊由4個(gè)電子元件按如圖所示方式聯(lián)接，其中每個(gè)電子元件導(dǎo)通的概率均為0.9．

(1)求每個(gè)電子模塊導(dǎo)通的概率p(保留兩位有效數(shù)字)；

(2)已知某電子器件由20個(gè)相同的電子模塊構(gòu)成，系統(tǒng)內(nèi)不同電子模塊彼此獨(dú)立，是否導(dǎo)通互不影響，當(dāng)且僅當(dāng)電子器件中不低于50%的電子模塊處于導(dǎo)通狀態(tài)時(shí)，電子器件才能正常工作答案和解析1.【答案】C

【解析】解：由于向量a=(?1,tan140°)與b=(cos100°,sin100°)，故2.【答案】C

【解析】解：復(fù)數(shù)z=a(1+i)是關(guān)于x的二次方程x2+px+4=0(a,p∈R)的一個(gè)解，

則a(1?i)3.【答案】B

【解析】解：令x=1，則展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為(1+2)n=729，解得n=6，

所以二項(xiàng)式(x+2x)6的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C6r(4.【答案】D

【解析】解：由指數(shù)函數(shù)y=2x的性質(zhì)可知，若a，b都大于0或都小于0，且函數(shù)y=|2x+a|與y=|2x+b|在[0,1]上的值域相同，

則a=b，與題意不符，

所以a，b異號，不妨設(shè)a>0，b<0，

則函數(shù)y=|2x+a|=2x+a，在[0,1]上單調(diào)遞增，

所以在[5.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意可得：

若甲老師隊(duì)伍有2名學(xué)生，乙老師隊(duì)伍里有4名學(xué)生，有C62=15種情況；

若甲老師隊(duì)伍有3名學(xué)生，乙老師隊(duì)伍里有3名學(xué)生，有C63=20種情況，

則共有15+20=35種情況，

再將兩組人員派往A，B兩所學(xué)校有35A22=706.【答案】C

【解析】解：由于函數(shù)f(x)=(x?6)2?sin(ωx)，存在常數(shù)a∈R，

f(x+a)為偶函數(shù)，

則：f(7.【答案】A

【解析】解：以直角頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸正方向，AC為y軸正方向，

建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)B(b,0)，C(0,c)，斜邊BC=2，所以b2+c2=4；

△ABC的外接圓M的方程為(x?b2)2+(y?c2)2=1，角平分線AD沿直線y=x延伸，

代入圓的方程，得(x?b2)2+(x?c2)2=1，解得x=0(8.【答案】A

【解析】解：由已知得：k=p0?pe1?pe=P(AB)+P(AB?)?P(A9.【答案】AC【解析】解：對于A，由正態(tài)分布的期望公式得，E(X)=μ，故A正確；

對于B，由正態(tài)分布的方差公式得，D(X)=σ12，故B錯(cuò)誤；

對于C，由正態(tài)分布的對稱性得，P(X≤1)=P(X≥3)，

所以P(X≤1)+P(X≤310.【答案】AC【解析】解：對于A，∵f(x)=cosx+|sinx|，

∴f(?x)=cos(?x)+|sin(?x)|=cosx+|sinx|=f(x)，即f(x)是偶函數(shù)，故A正確；

對于B，∵f(x+π)=cos(x+π)+|sin(x+π)|=11.【答案】BD【解析】解：不妨設(shè)1≤x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6≤x7≤x8≤6，

對于A，這8個(gè)數(shù)可以是1，2，2，2，3，3，4，5，故不一定出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故A錯(cuò)誤．

對于B，因?yàn)槠骄鶖?shù)為3.5，所以x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=3.5×8=28，

又第75百分位數(shù)為3.5，所以x6+x7=7，所以x6=3，x7=4，

所以x1+x2+x3+x4+x5+x8=21，且x1≤12.【答案】?13或【解析】解：已知雙曲線方程為x2+my2=1，

則其漸近線方程為x=±?my，

即y=±1?mx，

又兩條漸近線之間的夾角為60°，

13.【答案】1049【解析】解：首先原問題總情況可理解為將8個(gè)完全相同的小球排成一排，利用兩個(gè)隔板區(qū)分成三組，故有C72=21種情況，

當(dāng)最小的數(shù)為1時(shí)，有兩種情況，

①有一個(gè)1，此時(shí)即將剩余7個(gè)小球分成兩組，但是不能再分成一個(gè)和6個(gè)，故不可在第一個(gè)和第二個(gè)，及最后一個(gè)和倒數(shù)第二個(gè)中插入隔板，有C41=4種，

此時(shí)有13C41C=12種情況，

②有兩個(gè)1，有C32=3種情況，

故最小值為1時(shí)的概率P1=12+321=57，

當(dāng)最小數(shù)為2時(shí)，有兩種情況，

①有一個(gè)為2，剩余6個(gè)小球分為3和3，故C31=3種，

②有兩個(gè)為2時(shí)，有C14.【答案】2×【解析】解：x2+(y?a)2=a的圓心為C(0,a)，半徑為a，顯然O(0,0)在圓上，

且在y=x3上顯然除原點(diǎn)外，y=x3與x2+(y?a)2=a2還有1個(gè)公共點(diǎn)M(m,m3)，m>0，

則y=x3與x2+(y?a)2=a15.【答案】(

1

)分布列見解析，E(X)=229；

(

2【解析】解：(

1

)X所有可能的取值為

2，3，

P(X=2)=X23P54E(X)=2×59+3×49=229；

(

2

)

設(shè)A=“甲最終獲勝”，B=“共進(jìn)行了

5

場比賽甲獲勝”，

則P(A16.【答案】解(Ⅰ)∵CD//AB，∴∠MDC為異面直線AB與MD所成的角(或其補(bǔ)角)．

作AP⊥CD于點(diǎn)P，連接MP．

∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP．

∵∠ADP=π4，∴DP=22．

∵M(jìn)D=MA2+AD2=2，

∴cos∠MDP=DPMD=12，∠MDC=∠M【解析】(Ⅰ)求異面直線所成的角，可以做適當(dāng)?shù)钠揭?，把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，然后在相關(guān)的三角形中借助正弦或余弦定理解出所求的角．平移時(shí)主要是根據(jù)中位線和中點(diǎn)條件，或者是特殊的四邊形，三角形等．∵CD//AB，∴∠MDC為異面直線AB與MD所成的角(或其補(bǔ)角)．

(Ⅱ)在立體幾何中，求點(diǎn)到平面的距離是一個(gè)常見的題型，同時(shí)求直線到平面的距離、平行平面間的距離及多面體的體積也常轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離．本題可以先“轉(zhuǎn)化”：當(dāng)由點(diǎn)向平面引垂線發(fā)生困難時(shí)，可利用線面平行或面面平行轉(zhuǎn)化為直線上(平面上)其他點(diǎn)到平面的距離．∵AB/?/平面OCD，所以點(diǎn)B和點(diǎn)A到平面OCD的距離相等．

連接OP，過點(diǎn)A作AQ⊥O17.【答案】(23,+∞)；

【解析】解：(1)易知拋物線的焦點(diǎn)F(p2,0)，

設(shè)A(2pm2,2pm)，B(2pn2,2pn)，

此時(shí)C(p(m2+n2),p(m+n))，

因?yàn)橹本€FC平行于y軸，

所以p(m2+n2)=p2，

解得m2+n2=12，

易知kTC?kAB=?1，kAB=2pm?2pn2pm2?2pn2=1m+n，直線TC的方程為y18.【答案】(

1

)

(3,?30)；

(

2【解析】解：(1)當(dāng)

a=3

時(shí)，f(x)=13x3?3x2?3x?3，f′(x)=x2?6x?3，f′′(x)=2x?6=0，解得x=3，

即f(x)

的對稱中心為(3,?30)；

(2)證明：由于x19.【答案】0.8；

增大，理由見解析．

【解析】解：(1)該電子模塊導(dǎo)通即電子1、4必須導(dǎo)通且電子2、3至少要有一個(gè)導(dǎo)通，

所以p=0.92?(1?0.