第八章理想流體的有旋流動(dòng)

和無(wú)旋流動(dòng)在許多工程實(shí)際問(wèn)題中，流動(dòng)參數(shù)不僅在流動(dòng)方向上發(fā)生變化，而且在垂直于流動(dòng)方向的橫截面上也要發(fā)生變化。要研究此類問(wèn)題，就要用多維流的分析方法。本章主要討論理想流體多維流動(dòng)的基本規(guī)律，為解決工程實(shí)際中類似的問(wèn)題提供理論依據(jù)，也為進(jìn)一步研究粘性流體多維流動(dòng)奠定必要的基礎(chǔ)。

有旋流動(dòng)的基本概念及基本性質(zhì)二維平面勢(shì)流理論本章內(nèi)容：重點(diǎn)：流函數(shù)、勢(shì)函數(shù)基本有勢(shì)流動(dòng)及其疊加第一節(jié)流體流動(dòng)的連續(xù)性方程中心點(diǎn)O（x,y,z）上流體質(zhì)點(diǎn)的速度為、、，

密度為，在方向上，單位時(shí)間通過(guò)左面流入的流體質(zhì)量為：

則在方向單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)微元體表面的凈通量同理可得和方向單位時(shí)間通過(guò)微元體表面的凈通量因此，單位時(shí)間流過(guò)微元體控制面的總凈通量為：

控制體內(nèi)由于流體質(zhì)量的變化率為：

由此，流場(chǎng)中任一點(diǎn)的連續(xù)性方程的一般表達(dá)式為:

或

連續(xù)性方程表示了單位時(shí)間內(nèi)控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增量等于流體在控制體表面上的凈通量。它適用于理想流體和粘性流體、定常流動(dòng)和非定常流動(dòng)。

在定常流動(dòng)中，由于

或?qū)τ诓豢蓧嚎s流體（=常數(shù)）對(duì)于二維可壓縮和不可壓縮流動(dòng)，則有第二節(jié)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分解流體微團(tuán)：移動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)。

剛體運(yùn)動(dòng)：移動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)等式右端加入同理令：則：以微小流團(tuán)的底面ABCD的平面運(yùn)動(dòng)為例進(jìn)行分析t時(shí)各點(diǎn)速度（1）平移運(yùn)動(dòng)：矩形ABCD各角點(diǎn)具有相同的速度分量，導(dǎo)致矩形ABCD平移

,下移

,ABCD的形狀不變,變?yōu)?。將整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程看成平移運(yùn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)的合成。（2）變形運(yùn)動(dòng)：1）線變形運(yùn)動(dòng)：X方向上：

AB、DC在δt時(shí)間內(nèi)變化同理，y方向上

AD、BC在δt時(shí)間內(nèi)變化這一過(guò)程可視為矩形ABCD先線性變化為，再經(jīng)角變形為。線變形速度:單位時(shí)間內(nèi)單位長(zhǎng)度流體線段的伸長(zhǎng)或縮短量。沿x軸方向的線變形速率為：沿y軸、z軸方向的線變形速率為：●對(duì)于不可壓縮定常流體，上式等于零，表明流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)中體積不變?！袢齻€(gè)方向的線變形速率之和所反映的實(shí)質(zhì)是流體微團(tuán)體積在單位時(shí)間的相對(duì)變化，稱為流體微團(tuán)的體積膨脹速率?！癫豢蓧嚎s流體的連續(xù)性方程也是流體不可壓縮的條件。2）角變形運(yùn)動(dòng)：X方向上：y方向上：在δt時(shí)間內(nèi)，B較點(diǎn)A橫向多移動(dòng)線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了同理，在δt時(shí)間內(nèi)，D較點(diǎn)A縱向多移動(dòng)線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了單位時(shí)間內(nèi)直角的變化量角變形速度（剪切變形速度）：直角的變化量：角變形速度：（3）旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)流體微團(tuán)只發(fā)生角變形流體微團(tuán)只發(fā)生旋轉(zhuǎn)，不發(fā)生角變形流體微團(tuán)在發(fā)生角變形的同時(shí)，還要發(fā)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)有旋流動(dòng)、無(wú)旋流動(dòng)：流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度是否為零。（a）

（b）

只由流體微團(tuán)本身是否旋轉(zhuǎn)來(lái)確定，與它的運(yùn)動(dòng)軌跡無(wú)關(guān)。無(wú)旋流動(dòng)有旋流動(dòng)在一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可分解為三部分：①以流體微團(tuán)中某點(diǎn)的速度作整體平移運(yùn)動(dòng)②繞通過(guò)該點(diǎn)軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)③微團(tuán)本身的變形運(yùn)動(dòng)線速度旋轉(zhuǎn)角速度線變形速率剪切變形速率亥姆霍茲運(yùn)動(dòng)分解定理第三節(jié)理想流體運(yùn)動(dòng)方程定解條件一、理想流體運(yùn)動(dòng)方程X方向從左面單位時(shí)間流入控制體的動(dòng)量為：右面單位時(shí)間流出控制體的動(dòng)量為：X方向單位時(shí)間控制體內(nèi)的動(dòng)量差為：同理，y方向和z方向單位時(shí)間控制體內(nèi)的動(dòng)量差為因此，控制面單位時(shí)間的動(dòng)量?jī)敉繛椋嚎刂企w單位時(shí)間的動(dòng)量變化量為：作用在控制體內(nèi)流體上的質(zhì)量力為：對(duì)理想流體：X方向壓強(qiáng)的合力為：同理，y、z方向壓強(qiáng)的合力為：則，壓強(qiáng)的合力為：根據(jù)動(dòng)量定律：展開可得：用當(dāng)?shù)丶铀俣群瓦w移加速度表示：同樣可得y和z方向的運(yùn)動(dòng)微分方程該推導(dǎo)過(guò)程也可采用牛頓第二定律進(jìn)行推導(dǎo)理想流體歐拉運(yùn)動(dòng)方程物理上表示了作用在單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力、表面力和慣性力相平衡；對(duì)歐拉運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行變形：方程對(duì)壓縮和不可壓縮流體都適應(yīng)。作用在單位質(zhì)量流體上的力（質(zhì)量力、表面力）使流體產(chǎn)生相應(yīng)的加速度；矢量形式蘭姆方程同理：如果流體是在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，流場(chǎng)是正壓性的，則：

此時(shí)存在一壓強(qiáng)函數(shù):

將壓強(qiáng)函數(shù)對(duì)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)有:代入歐拉方程：寫成矢量形關(guān)系式

理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下的運(yùn)動(dòng)微分關(guān)系二、定解條件理想流體的運(yùn)動(dòng)應(yīng)滿足連續(xù)方程和歐拉方程。1、起始條件t=0時(shí)刻方程組滿足的條件起始條件是研究非定常流動(dòng)必不可少的定解條件。2、邊界條件方程組的解在流場(chǎng)邊界上應(yīng)滿足的條件，邊界可以是固體，也可以是流體的。（2）流體交界面兩流體互不滲透時(shí)，交界面上的法向速度相等、兩側(cè)溫度連續(xù)。（3）無(wú)窮遠(yuǎn)處一般給定該處流體的流速、壓強(qiáng)和密度。（4）流道的進(jìn)出口（1）固體壁面條件壁面上流體的方向速度為零。一般給定該處流體的流速和壓強(qiáng)。第四節(jié)理想流體運(yùn)動(dòng)方程的積分矢量形式條件:理想正壓性流體、有勢(shì)的質(zhì)量力、定常無(wú)旋。在流場(chǎng)中任取一微元線段dl，其在三個(gè)坐標(biāo)軸的投影分別為dx、dy、dz，將它們分別乘歐拉公式并相加，得:積分上式為歐拉積分的結(jié)果，表明理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下作定常無(wú)旋流動(dòng)時(shí)，單位質(zhì)量流體的總機(jī)械能在流場(chǎng)中保持不變，它們可以相互轉(zhuǎn)換。二、伯努利積分

條件：理想正壓性流體、有勢(shì)的質(zhì)量力、定常有旋在流場(chǎng)中沿流線取一有向微元線段dl，其在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為：,表明理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下作定常有旋流動(dòng)時(shí)，單位質(zhì)量流體的總機(jī)械能沿流線保持不變。通常沿不同流線積分常數(shù)值有所不同。積分有：

上節(jié)小結(jié)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解平移運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)變形運(yùn)動(dòng)流體是否有旋的判定理想流體歐拉運(yùn)動(dòng)方程理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，作定常無(wú)旋流動(dòng)時(shí)，單位質(zhì)量流體的總機(jī)械能在流場(chǎng)中保持不變，它們可以相互轉(zhuǎn)換。理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，作定常有旋流動(dòng)時(shí)，單位質(zhì)量流體的總機(jī)械能沿流線保持不變，它們可以相互轉(zhuǎn)換。第五節(jié)渦線渦管渦束渦通量一、渦線、渦管、渦束渦線:渦線是在給定瞬時(shí)t，曲線上每一點(diǎn)切線與該點(diǎn)流體微團(tuán)的速度的方向相重合。渦線的微分方程為非定常流動(dòng)中，渦線的形狀和位置隨時(shí)變化；只有在定常流動(dòng)中，渦線的形狀和位置才保持不變。渦管、渦束：在渦量場(chǎng)中任取一不是渦線的封閉曲線，在同一時(shí)刻過(guò)該曲線每一點(diǎn)的渦線形成的管狀曲面稱作渦管。截面無(wú)限小的渦管稱為微元渦管。渦管中充滿著的作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的流體稱為渦束，微元渦管中的渦束稱為微元渦束或渦絲。在渦量場(chǎng)中取一微元面積dA，其上流體微團(tuán)的渦通量為二．渦通量（旋渦強(qiáng)度）旋渦強(qiáng)度也是旋轉(zhuǎn)角速度矢量的通量。旋渦強(qiáng)度不僅取決于旋轉(zhuǎn)角速度，而且取決于面積A。

dA與旋轉(zhuǎn)角速度的方向垂直第六節(jié)速度環(huán)量、斯托克斯定理在流場(chǎng)的某封閉周線上，流體速度矢量沿周線的線積分速度環(huán)量是標(biāo)量，它的正負(fù)與速度的方向、線積分的繞行方向有關(guān)。一、速度環(huán)量規(guī)定沿封閉周線繞行的正方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?，被包圍面積的法線的正方向應(yīng)與繞行的正方向形成右手螺旋系統(tǒng)。二、斯托克斯（Stokes）定理在渦量場(chǎng)中，沿任意封閉周線的速度環(huán)量等于通過(guò)該周線所包圍曲面面積的旋渦強(qiáng)度，即:

這一定理將旋渦強(qiáng)度與速度環(huán)量聯(lián)系起來(lái)，給出了通過(guò)速度環(huán)量計(jì)算旋渦強(qiáng)度的方法。

沿封閉曲線反時(shí)針?lè)较駻BCDA的速度環(huán)量可將斯托克斯定理從微元封閉周線推廣到任意有限封閉周線。對(duì)任一微元封閉周線對(duì)所有的微元封閉周線但周線k內(nèi)的各微元段速度的線積分都要計(jì)算兩次，且繞行方向相反，故積分之和等于0.應(yīng)用斯托克斯定理的條件：區(qū)域內(nèi)任意封閉周線都能連續(xù)地收縮成一點(diǎn)而不越出流體的邊界：若為多連通區(qū)域，則將其拆分為幾個(gè)單連通區(qū)域。若有多個(gè)內(nèi)周線：?jiǎn)芜B通區(qū)域解：旋轉(zhuǎn)角速度的分量為：帶入渦線方程積分后得渦線方程為：速度環(huán)量為：由于封閉周線所在平面Z=0，帶入旋轉(zhuǎn)角速度的表達(dá)式，可求得流體微團(tuán)的渦量為：第七節(jié)湯姆孫定理亥姆霍茲定理理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，沿任何由流體質(zhì)點(diǎn)組成的封閉周線的速度環(huán)量不隨時(shí)間變化。一、湯姆孫定理（Thomson）在流場(chǎng)中任取一由流體質(zhì)點(diǎn)組成的封閉周線K，它隨流體運(yùn)動(dòng)而移動(dòng)變形，但組成該線的流體質(zhì)點(diǎn)不變。由于封閉線K始終由同樣的流體質(zhì)點(diǎn)組成，

由理想流體的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程或

斯托克斯定理和湯姆孫定理表明：理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，渦旋不會(huì)自行產(chǎn)生，也不會(huì)自行消失。

流場(chǎng)中原來(lái)有旋渦和速度環(huán)量的，永遠(yuǎn)有旋渦并保持原有的環(huán)量；原來(lái)沒(méi)有旋渦和速度環(huán)量的，就永遠(yuǎn)沒(méi)有旋渦和環(huán)量。二、亥姆霍茲定理（Helmholtz）

亥姆霍茲關(guān)于旋渦的三個(gè)定理，解釋了渦旋的基本性質(zhì)，是研究理想流體有旋流動(dòng)的基本定理。亥姆霍茲第一定理：在理想正壓性流體的有旋流場(chǎng)中，同一渦管各截面上的旋渦強(qiáng)度相同。對(duì)于封閉周線ABB’A’A，沿包圍渦管任一截面封閉周線的速度環(huán)量都相等第一定理說(shuō)明，在理想正壓性流體中，渦管既不能開始，也不能終止。但可以自成封閉的環(huán)形渦管，或開始于邊界、終止于邊界。亥姆霍茲第二定理（渦管守恒定理）理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，流場(chǎng)中的渦管始終由相同的流體質(zhì)點(diǎn)組成。渦管上流體質(zhì)點(diǎn)將永遠(yuǎn)在渦管上，即渦管是由相同的流體質(zhì)點(diǎn)組成的，但其形狀可能隨時(shí)變化。封閉周線K包圍的面積內(nèi)渦通量等于零。周線K上的速度環(huán)量等于零；K上的速度環(huán)量將永遠(yuǎn)為零亥姆霍茲第三定理（渦管強(qiáng)度守恒定理）理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，任一渦管強(qiáng)度不隨時(shí)間變化，永遠(yuǎn)保持定值。渦管的旋渦強(qiáng)度不隨時(shí)間變化周線K上的速度環(huán)量為常數(shù)K上的旋渦強(qiáng)度為常數(shù)整個(gè)渦管各個(gè)截面旋渦強(qiáng)度都不變第八節(jié)平面渦流假設(shè)在理想不可壓縮的重力流場(chǎng)中，有一象剛體一樣以等角速度繞自身軸旋轉(zhuǎn)的無(wú)限長(zhǎng)鉛垂直渦束，其渦通量為J。渦束周圍的流體在渦束的誘導(dǎo)下繞渦束軸等速圓周運(yùn)動(dòng)。流動(dòng)可以分為：渦束內(nèi)的流動(dòng)為有旋流動(dòng)，稱為渦核區(qū)，其半徑為；渦束外的流動(dòng)區(qū)域?yàn)闊o(wú)旋流動(dòng)，稱為環(huán)流區(qū)。環(huán)流區(qū)速度分布根據(jù)斯托克斯定理，沿任何圓周流線的速度環(huán)量為環(huán)流區(qū)內(nèi)半徑為r的點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)處的伯努利方程:環(huán)流區(qū)，隨著環(huán)流半徑的減小，流速上升而壓強(qiáng)降低；在渦束邊緣上，流速達(dá)該區(qū)的最高值，而壓強(qiáng)則是該區(qū)的最低值。渦核區(qū)：渦束內(nèi)部的速度分布為

由于渦束內(nèi)部為有旋流動(dòng)，伯努利積分常數(shù)隨流線變化，故其壓強(qiáng)分布可由歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程導(dǎo)出。對(duì)于平面定常流動(dòng)，歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程為:

或

積分得:

在與環(huán)流區(qū)交界處得渦核區(qū)的壓強(qiáng)分布為：渦管中心的壓強(qiáng)最低，其大小為：渦核區(qū)邊緣至渦核中心的壓強(qiáng)差為由此可見，渦核區(qū)和環(huán)流區(qū)的壓強(qiáng)差相等在渦束內(nèi)部,半徑愈小,壓強(qiáng)愈低，沿徑向存在較大的壓強(qiáng)梯度，所以產(chǎn)生向渦核中心的抽吸作用，渦旋越強(qiáng)，抽吸作用越大。自然界中的龍卷風(fēng)和深水旋渦就具有這種流動(dòng)特征，具有很大的破壞力。在工程實(shí)際中有許多利用渦流流動(dòng)特性裝置，如鍋爐中的旋風(fēng)燃燒室、離心式除塵器、離心式超聲波發(fā)生器、離心式泵和風(fēng)機(jī)、離心式分選機(jī)等。上節(jié)小結(jié)渦通量（旋渦強(qiáng)度）斯托克斯（Stokes）定理適用條件：?jiǎn)芜B通區(qū)域多連通區(qū)域湯姆孫定理理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，速度環(huán)量不隨時(shí)間變化。同一渦管各截面上的旋渦強(qiáng)度相同渦管始終由相同的流體質(zhì)點(diǎn)組成渦管強(qiáng)度不隨時(shí)間變化，永遠(yuǎn)保持定值。亥姆霍茲定理平面渦流分渦核區(qū)、環(huán)流區(qū)；流速最大位于渦核區(qū)和渦流區(qū)邊緣第九節(jié)速度勢(shì)流函數(shù)流網(wǎng)對(duì)無(wú)旋流動(dòng)，流體微團(tuán)的角速度為零。函數(shù)稱為速度勢(shì)函數(shù)。因此，存在速度勢(shì)函數(shù)

的流動(dòng)為有勢(shì)流動(dòng)，簡(jiǎn)稱勢(shì)流。一、速度勢(shì)成為全微分的充要條件。無(wú)旋條件是速度有勢(shì)的充要條件。無(wú)旋必然有勢(shì)，有勢(shì)必須無(wú)旋。所以無(wú)旋流場(chǎng)又稱為有勢(shì)流場(chǎng)。根據(jù)全微分理論，勢(shì)函數(shù)的全微分可寫成按矢量分析對(duì)于圓柱坐標(biāo)系，則有速度勢(shì)的存在與流體是否可壓縮、流動(dòng)是否定常無(wú)關(guān)。

勢(shì)流中有一曲線AB，速度沿該曲線積分為上式表明，有勢(shì)流動(dòng)中沿AB曲線的速度線積分等于終點(diǎn)B和起點(diǎn)A的速度勢(shì)之差。如速度勢(shì)是單值、連續(xù)的，則該線積分與積分路徑無(wú)關(guān)。當(dāng)速度沿封閉周線積分時(shí)，周線的速度環(huán)量等于零。速度勢(shì)函數(shù)的性質(zhì)勢(shì)函數(shù)φ滿足拉普拉斯方程拉普拉斯算子柱坐標(biāo)系中不可壓縮的有勢(shì)流動(dòng)，勢(shì)函數(shù)φ是調(diào)和函數(shù)二、流函數(shù)平面、不可壓縮流體的連續(xù)性方程流線的微分方程為表示該函數(shù)函數(shù)Ψ稱為流場(chǎng)的流函數(shù)

Ψ=常數(shù)，可得流線微分方程式Ψ=常數(shù)的曲線即為流線。對(duì)于極坐標(biāo)系，可寫成若給定一組常數(shù)值，就可得到流線簇。或者說(shuō)，只要給定流場(chǎng)中某一固定點(diǎn)的坐標(biāo)（x0，y0）代入流函數(shù)Ψ

，便可得到一條過(guò)該點(diǎn)的確定的流線。因此，借助流函數(shù)可以形象地描述不可壓縮平面流場(chǎng)。（1）對(duì)于不可壓縮流體的平面流動(dòng)，流函數(shù)Ψ永遠(yuǎn)滿足連續(xù)性方程。二、流函數(shù)的性質(zhì)（2）對(duì)于不可壓縮流體的平面勢(shì)流，流函數(shù)Ψ滿足拉普拉斯方程，流函數(shù)也是調(diào)和函數(shù)。對(duì)于平面無(wú)旋流動(dòng)定常流動(dòng)時(shí)，兩條流線間的流量保持不變。（3）平面流動(dòng)中，通過(guò)兩條流線間任一曲線單位厚度的體積流量等于兩條流線的流函數(shù)之差。這就是流函數(shù)的物理意義。在兩流線間任一曲線AB，則通過(guò)單位厚度的體積流量為三、流網(wǎng)在不可壓縮的平面無(wú)旋流動(dòng)中，同時(shí)存在速度勢(shì)和流函數(shù)它們的關(guān)系是等勢(shì)線簇[常數(shù)]和流線簇[常數(shù)]互相正交的條件。在同一流場(chǎng)中流線和等勢(shì)線正交，它們構(gòu)成的正交網(wǎng)格，稱為流網(wǎng)。解：合速度及其與x軸的夾角為積分可得：流函數(shù)由于取C=0不影響流動(dòng)的流譜，因此流函數(shù)為解：合速度及其與x軸的夾角為根據(jù)伯努利方程得：第十節(jié)幾種簡(jiǎn)單的平面勢(shì)流一、均勻等速流定義：流速的大小和方向沿流線不變的流動(dòng)為均勻流；若流線平行且流速相等，則稱均勻等速流。

積分得等勢(shì)線與流線垂直各流線與x軸的夾角等于若均勻直線流動(dòng)在水平面上或者流體為氣體流場(chǎng)中壓強(qiáng)處處相等二、源流和匯流如果在無(wú)限平面上流體不斷從一點(diǎn)沿徑向直線均勻地向各方流出，則這種流動(dòng)稱為源流，這個(gè)點(diǎn)稱為源點(diǎn)。若流體不斷沿徑向直線均勻地從各方流入一點(diǎn)，則這種流動(dòng)稱為匯流，這個(gè)點(diǎn)稱為匯點(diǎn)。這兩種流動(dòng)的流線都是從原點(diǎn)O發(fā)出的放射線，即從源點(diǎn)流出和向匯點(diǎn)流入都只有徑向速度

。點(diǎn)源點(diǎn)匯

現(xiàn)將極坐標(biāo)的原點(diǎn)作為源點(diǎn)或匯點(diǎn)，則根據(jù)流動(dòng)的連續(xù)性條件，流體每秒通過(guò)任一半徑為r的單位長(zhǎng)度圓柱面上的流量qv都應(yīng)該相等＋qv

—源流—流出（vr與r同向）－qv

—匯流—流入（vr與r反向）等勢(shì)線簇是同心圓簇，流線是極角不同的徑線，兩者正交。而且除源點(diǎn)或匯點(diǎn)外，整個(gè)平面上都是有勢(shì)流動(dòng)。當(dāng)r=0時(shí)，→∞，vr→∞，源點(diǎn)和匯點(diǎn)都是奇點(diǎn)。因此，、vr

只有在源點(diǎn)和匯點(diǎn)以外才能應(yīng)用。壓力分布如果XOY平面是無(wú)限水平面，則根據(jù)伯努利方程壓強(qiáng)p隨著半徑r的減小而降低。適應(yīng)范圍：三、勢(shì)渦平面渦流的渦束半徑趨于零時(shí)，平面上的渦核區(qū)縮為一點(diǎn)，稱為渦點(diǎn)。這樣的流動(dòng)稱為勢(shì)渦或自由渦流。渦點(diǎn)是一個(gè)奇點(diǎn)，該式僅適用于r>0的區(qū)域當(dāng)Γ>0時(shí)，環(huán)流為反時(shí)針?lè)较?；?dāng)時(shí)Γ<0時(shí)，環(huán)流為順時(shí)針?lè)较?。點(diǎn)渦的等勢(shì)線簇是經(jīng)過(guò)渦點(diǎn)的放射線，而流線簇是同心圓。而且除渦點(diǎn)外，整個(gè)平面上都是有勢(shì)流動(dòng)。渦點(diǎn)以外勢(shì)流區(qū)的壓強(qiáng)和前述二維渦流流場(chǎng)壓強(qiáng)分布相同。零壓強(qiáng)處的半徑為：上述各式的實(shí)際適用范圍為的區(qū)域。以上幾種簡(jiǎn)單的平面勢(shì)流實(shí)際中很少應(yīng)用，但它們是勢(shì)流的基本單元，若把幾種基本單元疊加在一起，可以形成許多有實(shí)際意義的復(fù)雜流動(dòng)。第九節(jié)簡(jiǎn)單平面勢(shì)流的疊加勢(shì)函數(shù)、流函數(shù)等于幾個(gè)有勢(shì)流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)、流函數(shù)的代數(shù)和。

勢(shì)流疊加原理速度分量為原有速度分量的代數(shù)和將簡(jiǎn)單的勢(shì)流疊加起來(lái)，得到新的復(fù)雜流動(dòng)的流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)，可以用來(lái)求解復(fù)雜流動(dòng)。一、匯流和勢(shì)渦疊加的流動(dòng)——螺旋流二、源流和匯流疊加的流動(dòng)——偶極流一、匯流和勢(shì)渦疊加——螺旋流匯流勢(shì)渦等勢(shì)線方程流線方程螺旋流的速度分布代入伯努利方程，得流場(chǎng)的壓強(qiáng)分布其適用范圍應(yīng)為：等勢(shì)線簇和流線簇是兩組互相正交的對(duì)數(shù)螺旋線簇，稱為螺旋流，流體從四周向中心流動(dòng)。研究螺旋流在工程上有重要意義。例如旋流燃燒室、旋風(fēng)除塵設(shè)備及多級(jí)離心泵反導(dǎo)葉中的旋轉(zhuǎn)氣流即可看成是這種螺旋流。二、源流和匯流疊加的流動(dòng)——偶極流A點(diǎn)（-a，0）—源流B點(diǎn)（a，0）—匯流疊加匯流源流疊加偶極流定義源流和匯流無(wú)限接近的同時(shí)，流量無(wú)限增大(即a→0，qv→∞)以至使2aqv保持一個(gè)有限常數(shù)值M的極限情況。在這種極限情況下的流動(dòng)稱為偶極流，M稱為偶極矩或偶極強(qiáng)度。偶極流是有方向的，一般規(guī)定由點(diǎn)源指向點(diǎn)匯的方向?yàn)檎颉?/p>

常數(shù)

常數(shù)偶極流速度勢(shì)φ偶極流流函數(shù)Ψ偶極流流線方程偶極流等勢(shì)線方程即流線的圖像是圓心為（）.半徑為并與x軸在原點(diǎn)相切的圓族，如圖中實(shí)線所示。對(duì)速度勢(shì)函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，得出的偶極流的速度分布為上節(jié)小結(jié)勢(shì)函數(shù)無(wú)旋是流場(chǎng)有勢(shì)的充要條件勢(shì)函數(shù)為調(diào)和函數(shù)流函數(shù)流函數(shù)為調(diào)和函數(shù)平面流動(dòng)中，兩條流線的流函數(shù)之差為通過(guò)兩條流線間任一曲線單位厚度的體積流量平面流動(dòng)中，流函數(shù)Ψ滿足連續(xù)性方程。等勢(shì)線與流線正交。勢(shì)流疊加原理螺旋流——匯流+勢(shì)渦偶極子流——匯流+源流第十二節(jié)均勻等速流繞過(guò)圓柱體的平面流動(dòng)均勻直線流+偶極流均勻直線流偶極流勢(shì)函數(shù)流線方程零流線方程取流函數(shù)可見，零流線為以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓和x軸。零流線自x軸的負(fù)端至點(diǎn)A，分成兩股，沿上下兩個(gè)半圓周至點(diǎn)B，重新匯合，直至x軸的正端。由于流體不能穿過(guò)流線，零流線的圓可以用圓柱體的橫截面代替。公式的適應(yīng)范圍：且流函數(shù)勢(shì)函數(shù)速度分布在零流線的圓上，速度為：

A點(diǎn)（-r0，0），

A點(diǎn)為前駐點(diǎn)

B點(diǎn)（r0，0），B點(diǎn)為后駐點(diǎn)

C、D點(diǎn)，速度達(dá)最大值在處，，這表示，在離開圓柱體無(wú)窮遠(yuǎn)處是速度為V∞的均勻直線流。沿包圍圓柱體圓周的速度環(huán)量為

在圓柱面上流體在圓柱面上各點(diǎn)的速度都是沿切線方向的，也就是說(shuō)理想流體繞圓柱體無(wú)環(huán)量的平面流動(dòng)不會(huì)與圓柱面發(fā)生分離。不可壓縮理想流體的圓柱面上壓強(qiáng)分布無(wú)量綱的壓強(qiáng)系數(shù)與圓柱體半徑、無(wú)關(guān)理論線亞臨界超臨界達(dá)朗伯疑題理想流體繞圓柱體無(wú)環(huán)流流動(dòng)時(shí)，圓柱體上既不承受升力，也不承受阻力。流體作用在圓柱面上的壓強(qiáng)合力可分為：與來(lái)流方向垂直的升力與來(lái)流方向平行的阻力。粘性流體繞圓柱體無(wú)環(huán)量流動(dòng)時(shí)，圓柱體上既不承受升力，但承受阻力。第十三節(jié)均勻等速流繞過(guò)圓柱有環(huán)流的平面流動(dòng)●無(wú)環(huán)流圓柱繞流+環(huán)流無(wú)環(huán)流的流動(dòng)環(huán)流（勢(shì)渦）疊加的結(jié)果當(dāng)時(shí)的圓周為一條流線符合流體既不穿過(guò)又不脫離流線的繞流條件，可用圓柱體代替均勻等速流+偶極流環(huán)流駐點(diǎn)的位置（1）疊加的環(huán)流

時(shí)上部為速度增高區(qū)域，下部為速度降低區(qū)域。當(dāng)駐點(diǎn)在圓柱面上時(shí)，

此時(shí)，討論：當(dāng)，則則有兩個(gè)駐點(diǎn)。隨著速度環(huán)量增大，θ也增大，駐點(diǎn)向中間移動(dòng)。當(dāng)時(shí)，駐點(diǎn)移動(dòng)到最下方。當(dāng)時(shí)，和上述的情況類似，只是駐點(diǎn)的位置在上部。當(dāng)時(shí)，?？闪詈蜑榱?，得（）（）兩個(gè)駐點(diǎn)，一個(gè)在圓柱體內(nèi)，無(wú)效解。另一個(gè)在圓柱體外的駐點(diǎn)A.圓柱面上的壓強(qiáng)分布1、壓強(qiáng)分布在圓柱面上列無(wú)窮遠(yuǎn)處和圓柱面上的伯努利方程則可得當(dāng)、、、為常數(shù)時(shí)，

2、阻力、升力庫(kù)塔－儒可夫斯基公式作用在單位長(zhǎng)度圓柱體上的阻力和升力為：上式即為庫(kù)塔（美國(guó)）—儒可夫斯基（俄羅斯）公式。意義：理想流體繞圓柱體有環(huán)流的流動(dòng)中，在垂直于來(lái)流方向上，流體作用在單位長(zhǎng)度的圓柱體上的升力等于流體的密度、來(lái)流速度和環(huán)量的乘積。升力的方向?yàn)榈姆较蚍喘h(huán)流轉(zhuǎn)。第十四節(jié)葉柵的庫(kù)塔-儒可夫斯基公式一、葉型（翼型）●定義：飛機(jī)機(jī)翼與汽輪機(jī)等流體機(jī)械的葉片截面形狀。型線弦長(zhǎng)彎度二、葉柵葉柵平均直徑當(dāng)D/h>10～15時(shí)，可近似將葉柵視為排練在一個(gè)平面上，稱平面葉柵。柵距進(jìn)氣角出氣角取控制面ABCDA，AB、CD線上的壓強(qiáng)和速度均一且為常數(shù)，控制面內(nèi)流體上的力R分為：葉型對(duì)流體的反作用力控制面外流體對(duì)控制面以內(nèi)流體的作用力R分量為每秒流進(jìn)/出控制面的流體質(zhì)量為動(dòng)量方程：繞封閉周線ABCDA的速度環(huán)量：令根據(jù)伯努利方程：葉柵的庫(kù)塔-儒可夫斯基公式孤立葉型認(rèn)為則孤立葉型前后足夠遠(yuǎn)處的速度完全相同。繞儒可夫斯基翼型的速度環(huán)量為：升力為：升力系數(shù)：沖角較小時(shí)：第十五節(jié)庫(kù)塔條件均勻等速流以一定沖角流向翼型，如沿下表面的氣流能繞過(guò)后緣點(diǎn)，