線性代數(shù)期末試卷及答案txt一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s\)線性無關(guān)的充分必要條件是（）。A.齊次方程組\(\sum_{i=1}^{s}k_i\alpha_i=0\)只有零解B.齊次方程組\(\sum_{i=1}^{s}k_i\alpha_i=0\)只有非零解C.齊次方程組\(\sum_{i=1}^{s}k_i\alpha_i=0\)只有無窮多解D.齊次方程組\(\sum_{i=1}^{s}k_i\alpha_i=0\)只有唯一解答案：A2.矩陣\(A\)可逆的充分必要條件是（）。A.\(\det(A)=0\)B.\(\det(A)\neq0\)C.\(A\)的行向量線性無關(guān)D.\(A\)的列向量線性無關(guān)答案：B3.若\(A\)為\(n\)階方陣，\(A^2=0\)，則\(A\)的秩為（）。A.\(n\)B.\(0\)C.\(1\)D.\(n-1\)答案：B4.矩陣\(A\)和\(B\)相似的充分必要條件是（）。A.\(A\)和\(B\)行等價(jià)B.\(A\)和\(B\)列等價(jià)C.\(A\)和\(B\)具有相同的特征值D.\(A\)和\(B\)具有相同的特征多項(xiàng)式答案：D5.矩陣\(A\)的特征值\(\lambda\)滿足（）。A.\(\det(A-\lambdaI)=0\)B.\(\det(A+\lambdaI)=0\)C.\(\det(A+\lambdaE)=0\)D.\(\det(A-\lambdaE)=0\)答案：A6.矩陣\(A\)和\(B\)的秩分別為\(r(A)\)和\(r(B)\)，則\(r(AB)\)的最大值為（）。A.\(r(A)+r(B)\)B.\(r(A)\cdotr(B)\)C.\(\min\{r(A),r(B)\}\)D.\(\max\{r(A),r(B)\}\)答案：C7.矩陣\(A\)可對(duì)角化的充分必要條件是（）。A.\(A\)是對(duì)稱矩陣B.\(A\)是正交矩陣C.\(A\)有\(zhòng)(n\)個(gè)線性無關(guān)的特征向量D.\(A\)有\(zhòng)(n\)個(gè)不同的特征值答案：C8.向量\(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\)構(gòu)成\(\mathbb{R}^n\)的一組基的充分必要條件是（）。A.它們線性無關(guān)B.它們線性相關(guān)C.它們是單位向量D.它們是正交向量答案：A9.若\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個(gè)特征值，則\(\lambda^n\)是\(A^n\)的一個(gè)特征值。這是因?yàn)椋ǎ?。A.\(A^n\)和\(A\)相似B.\(A^n\)和\(A\)有相同的特征多項(xiàng)式C.\(A^n\)和\(A\)有相同的特征值D.\(A^n\)和\(A\)有相同的特征向量答案：C10.矩陣\(A\)和\(B\)合同的充分必要條件是（）。A.\(A\)和\(B\)行等價(jià)B.\(A\)和\(B\)列等價(jià)C.\(A\)和\(B\)具有相同的秩D.\(A\)和\(B\)具有相同的特征值答案：C二、填空題（每題2分，共20分）11.若\(A\)為\(3\times3\)矩陣，\(\det(A)=2\)，則\(\det(A^T)=______\)。答案：212.若\(A\)為\(n\timesn\)矩陣，\(B\)為\(n\timesm\)矩陣，則\(AB\)的秩的最大值為\(\min\{r(A),r(B)\}\)，其中\(zhòng)(r(A)\)和\(r(B)\)分別表示\(A\)和\(B\)的秩，\(\min\{r(A),r(B)\}\)表示\(r(A)\)和\(r(B)\)中的較小值。答案：\(\min\{r(A),r(B)\}\)13.若\(A\)為\(n\timesn\)矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個(gè)特征值，則\(\lambda\)也是\(A^\)的一個(gè)特征值，其中\(zhòng)(A^\)表示\(A\)的伴隨矩陣。答案：\(A^\)14.若\(A\)為\(n\timesn\)矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個(gè)特征值，則\(\frac{1}{\lambda}\)是\(A^{-1}\)的一個(gè)特征值，前提是\(\lambda\neq0\)。答案：\(\frac{1}{\lambda}\)15.若\(A\)為\(n\timesn\)矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個(gè)特征值，則\(\lambda^2\)是\(A^2\)的一個(gè)特征值。答案：\(\lambda^2\)16.若\(A\)為\(n\timesn\)矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個(gè)特征值，則\(\lambda\)也是\(A^T\)的一個(gè)特征值。答案：\(A^T\)17.若\(A\)為\(n\timesn\)矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個(gè)特征值，則\(\lambda\)也是\(A^H\)的一個(gè)特征值，其中\(zhòng)(A^H\)表示\(A\)的共軛轉(zhuǎn)置矩陣。答案：\(A^H\)18.若\(A\)為\(n\timesn\)矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個(gè)特征值，則\(\lambda\)也是\(A^\)的一個(gè)特征值，其中\(zhòng)(A^\)表示\(A\)的共軛矩陣。答案：\(A^\)19.若\(A\)為\(n\timesn\)矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個(gè)特征值，則\(\lambda\)也是\(A^k\)的一個(gè)特征值，其中\(zhòng)(k\)為任意正整數(shù)。答案：\(A^k\)20.若\(A\)為\(n\timesn\)矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個(gè)特征值，則\(\lambda\)也是\(A+\muE\)的一個(gè)特征值，其中\(zhòng)(\mu\)為任意實(shí)數(shù)，\(E\)為單位矩陣。答案：\(A+\muE\)三、計(jì)算題（每題10分，共40分）21.計(jì)算矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的行列式。答案：\[\det(A)=1\cdot4-2\cdot3=4-6=-2\]22.計(jì)算矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)的秩。答案：\[r(A)=2\]因?yàn)榈谌惺乔皟尚械木€性組合。23.求矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的特征值和特征向量。答案：特征值\(\lambda_1=5\)，對(duì)應(yīng)的特征向量為\(\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)；特征值\(\lambda_2=-1\)，對(duì)應(yīng)的特征向量為\(\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}\)。24.求矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)的逆矩陣。答案：\[A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\frac{1}{2}&0\\0&0&\frac{1}{3}\end{pmatrix}\]四、證明題（每題10分，共20分）25.證明：若\(A\)為\(n\ti