PAGE1第1頁(yè)共2頁(yè)華僑大學(xué)2015年高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題(A卷)華僑大學(xué)2015年高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題(A卷)考試時(shí)間：2015年6月6日(星期六)上午8：30—11：00境內(nèi)（外）生院別班級(jí)準(zhǔn)考證號(hào)姓名成績(jī)大題一二三四五六七八九滿分28881010121266得分一、填空題(本題共7小題，每小題4分，滿分28分，把答案直接填在題中的橫線上)１、設(shè)向量，，，且，則數(shù).２、設(shè)函數(shù)，則.３、設(shè)則.４、設(shè)，則.５、微分方程的通解為.６、對(duì)數(shù)螺線在對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的切線的直角坐標(biāo)方程為.７、設(shè)曲線積分在面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，其中具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則.(本題滿分8分)已知具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，，求．三、(本題滿分8分)設(shè)．試補(bǔ)充定義，使得函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)．(本題滿分10分)在曲面上求一切平面，使得該切平面平行于平面，且點(diǎn)到該切平面的距離等于點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．(本題滿分10分)計(jì)算，其中為有向曲面，其法向量與軸正向的夾角為銳角．六、(本題滿分12分)證明不等式：當(dāng)時(shí)，；并由此求數(shù)列極限：．七、(本題滿分12分)設(shè)為一條平面曲線，其上任意一點(diǎn)到軸的距離，恒等于該點(diǎn)處的切線在軸上的截距，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)試求曲線的方程；(2)在(的部分)上求一點(diǎn),使得在該點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的平面圖形面積最?。?、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上滿足，且在開區(qū)間內(nèi)取得最小值．證明：．九、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在上滿足：求．考試時(shí)間：2015年6月6日(星期六)上午8：30—11：00華僑大學(xué)2015年高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題(A卷)參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)填空題（本題共7小題，每小題4分，滿分28分）1、3；2、；3、；4、；5、；6、；7、．二、(本題滿分8分)解：【4】．【8】三、(本題滿分8分)解：設(shè)，則【3】．【6】由于在上連續(xù)，因此補(bǔ)充定義,就可使在上連續(xù)．【8】四、(本題滿分10分)解：設(shè)切點(diǎn)為，則法向量．【2】要使得切平面平行于已知平面，應(yīng)有，又因?yàn)辄c(diǎn)在曲面上，所以有，解得．從而切平面方程為，即．【7】又點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為，點(diǎn)P到切平面的距離為．故所求切平面為．【10】五、(本題滿分10分)解：取為的下側(cè),記為與所圍成的閉區(qū)域,【2】則由公式，有【5】．【8】于是．【10】六、(本題滿分12分)證：(1)顯然，當(dāng)時(shí),有．【1】令,則（），故在上單調(diào)增加．【4】于是當(dāng)時(shí),有,即．從而．【6】(2)由(1)知，當(dāng)時(shí)，．【7】從而．【10】而，由夾逼準(zhǔn)則可知．【12】七、(本題滿分12分)解：(1)在點(diǎn)處的切線方程為，其在軸上的截距為:．由題意建立方程:,即:．【3】解得．【5】由過點(diǎn)，得：．故曲線的方程為．【6】(2)由得在點(diǎn)處的切線方程為．其在軸、軸上的截距分別為:、．從而所圍成圖形的面積為．【8】設(shè),由,得唯一駐點(diǎn),又在內(nèi)，在內(nèi)，故在處取得唯一極小值即最小值．【11】從而點(diǎn)即為(部分)上所求點(diǎn).【12】八、(本題滿分6分)證:設(shè)在內(nèi)的最小值為,又由條件知在處可導(dǎo)，故．【1】由題設(shè)知在與上可導(dǎo)從而連續(xù),故由中值定理有；．【5】從而．【6】