第1頁（共1頁）2025年高考備考高中數(shù)學個性化分層教輔尖子生篇《計數(shù)原理》一．選擇題（共10小題）1．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）（3﹣2x3）（x+a）5的展開式中的各項系數(shù)和為243，則該展開式中x4的系數(shù)為（）A．﹣130 B．46 C．61 D．1902．（2024?貴州開學）(2x?1x)9A．﹣64C94 B．﹣64C93 C．323．（2024春?啟東市期中）2023年11月28日，中國空間站全貌高清圖像首次公布．中國空間站設(shè)計壽命為10年，長期駐留3人，最大可擴展為180噸級六艙組合體，以進行較大規(guī)模的空間應用．假設(shè)實驗艙要在3周時間內(nèi)開展A、B、C、D、E五項實驗，其中第一周安排2項實驗，第二周和第三周至少各安排1項實驗，A、B兩項實驗安排在同一周內(nèi)，則不同的實驗方案共有（）A．6種 B．12種 C．18種 D．24種4．（2024春?啟東市期中）學校要安排一場文藝晚會的8個節(jié)目的演出順序，學生的節(jié)目有6個，教師的節(jié)目有2個，如果教師的節(jié)目既不排在第一個，也不排在最后一個，那么不同的排法數(shù)為（）A．A88 B．C．A62A5．（2023秋?豐澤區(qū)校級月考）若(1?2x)A．a(chǎn)0＝1 B．a(chǎn)4＝80 C．|aD．(6．（2024春?青羊區(qū)校級月考）在(x?2)2024的二項展開式中，含x的奇次冪的項之和為S，當x=A．23035 B．﹣23035 C．23036 D．﹣230367．（2024春?長壽區(qū)期末）用0，3，5，7，9組成的無重復數(shù)字的五位數(shù)中，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字更大的五位數(shù)的個數(shù)為（）A．48 B．96 C．60 D．1208．（2024春?長治期末）（1﹣x）8展開式中x2的系數(shù)為（）A．﹣36 B．36 C．﹣28 D．289．（2024?鼓樓區(qū)校級三模）設(shè)（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）10＝a0+a1x+…+a9x9+a10x10，則a2等于（）A．45 B．84 C．120 D．16510．（2024?嶗山區(qū)校級二模）(xA．512 B．?512 C．1二．多選題（共5小題）（多選）11．（2024春?啟東市期中）南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中畫了一張表示二項式系數(shù)構(gòu)成的三角形數(shù)陣（如圖所示），在“楊輝三角”中，下列選項正確的是（）A．第10行所有數(shù)字的和為1024 B．C3C．第6行所有數(shù)字的平方和等于C12D．若第n行第i個數(shù)記為ai，則i=1（多選）12．（2024春?固始縣期末）某學校為迎接校園藝術(shù)節(jié)的到來，決定舉行文藝晚會，節(jié)目單中有A，B，C，D，E，F(xiàn)，G共7個節(jié)目，則下列結(jié)論正確的是（）A．若節(jié)目A與節(jié)目B相鄰，則共有1440種不同的安排方法 B．若節(jié)目E與節(jié)目F不相鄰，則共有3600種不同的安排方法 C．若節(jié)目C在節(jié)目D之前表演（可以不相鄰），則共有2520種不同的安排方法 D．若決定在已經(jīng)排好的節(jié)目單中臨時添加3個節(jié)目，現(xiàn)有節(jié)目次序不變，則共有336種不同的安排方法（多選）13．（2024春?田家庵區(qū)校級期中）我國南宋數(shù)學家楊輝在約1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項式系數(shù)表，數(shù)學愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究推廣，楊輝三角可以由組合數(shù)來表示．則下列結(jié)論正確的是（）A．第6行、第7行、第8行的第7個數(shù)之和為第9行的第8個數(shù) B．1+CC．第2020行的第1010個數(shù)最大 D．第12行中從左到右第2個數(shù)與第3個數(shù)之比為2：11（多選）14．（2024春?長壽區(qū)期末）已知集合A，B滿足B＝{（x，y，z）|x+y+z＝11，x，y，z∈A}，則下列說法正確的是（）A．若A＝{﹣2，0，1，13}，則B中的元素的個數(shù)為1 B．若A＝{x|x＝2k+1，k∈N}，則B中的元素的個數(shù)為15 C．若A＝N+，則B中的元素的個數(shù)為45 D．若A＝N，則B中的元素的個數(shù)為78（多選）15．（2024?雨花臺區(qū)校級三模）下列等式中正確的是（）A．k=18B．k=28C．k=28D．k=0三．填空題（共5小題）16．（2024春?啟東市期中）將6個相同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，恰有2個空盒的放法數(shù)為．17．（2024?商洛模擬）(2x2?3x)(2?118．（2024?廣東一模）（a+x）（1﹣x）2024展開式中x2024的系數(shù)為﹣2023，則a的值為．19．（2024?金鳳區(qū)校級三模）（x﹣y）（x+y）6的展開式中x3y4的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．20．（2024?香洲區(qū)校級模擬）(2x?1四．解答題（共5小題）21．（2024春?啟東市期中）某單位有11名外語翻譯人員（每名翻譯人員都能從事英語或俄語翻譯），其中能從事英語翻譯x人，且x滿足A8（1）問既能從事英語翻譯也能從事俄語翻譯的有幾人？（2）現(xiàn)要從中選出8人組成兩個翻譯小組，其中4人翻譯英語，另4人翻譯俄語，則有多少種不同的選派方式？22．（2024春?啟東市期中）在以下兩個條件中任選一個條件，補充在下面問題中的橫線上，并完成解答．①所有項的系數(shù)之和與二項式系數(shù)之和的比為729：64；②前三項的二項式系數(shù)之和為22．問題：在(23（1）證明展開式中沒有常數(shù)項；（2）求展開式中所有的有理項．23．（2024春?棗莊期中）已知(2x+13x（1）求n的值；（2）求展開式中有理項的系數(shù)之和．（用數(shù)字作答）24．（2024春?長壽區(qū)期末）如圖，在一個3×3的網(wǎng)格中填齊1至9中的所有整數(shù)，每個格子只填一個數(shù)字，已知中心格子的數(shù)字為5．（1）求滿足第二橫排、第二豎排的3個數(shù)字之和均為15的不同的數(shù)字填寫方案種數(shù)；（2）求滿足第二橫排的數(shù)字從左到右依次增大，第二豎排的數(shù)字從上到下依次增大的不同的數(shù)字填寫方案種數(shù)．25．（2024?沙坪壩區(qū)校級開學）已知函數(shù)fn(x)=(1+λx)n=a0+（1）若n＝8，a7＝1024，求ai（i＝0，1，2，3，?，8）的最大值；（2）若λ＝2，求r=0nra（3）若λ＝﹣1，求證：k=0n

2025年高考備考高中數(shù)學個性化分層教輔尖子生篇《計數(shù)原理》參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）（3﹣2x3）（x+a）5的展開式中的各項系數(shù)和為243，則該展開式中x4的系數(shù)為（）A．﹣130 B．46 C．61 D．190【考點】二項式定理的應用．【專題】對應思想；定義法；二項式定理；數(shù)學運算．【答案】A【分析】令x＝1，由（1+a）5＝243求得a，再利用二項展開式的通項公式求解．【解答】解：令x＝1，則（1+a）5＝243，解得a＝2，所以（3﹣2x3）（x+2）5展開式中x4的系數(shù)是：3×C故選：A．【點評】本題考查二項式定理相關(guān)知識，屬于中檔題．2．（2024?貴州開學）(2x?1x)9A．﹣64C94 B．﹣64C93 C．32【考點】二項式定理的應用．【專題】對應思想；定義法；二項式定理；數(shù)學運算．【答案】B【分析】根據(jù)題意寫出二項式展開式的通項公式即可．【解答】解：(2x?1x)9的展開式的通項公式為Tr+1=C9r（﹣1）r則令9﹣2r＝3時，即r＝3，則x3項的系數(shù)為C93×（﹣1）×26故選：B．【點評】本題考查二項式定理相關(guān)知識，屬于中檔題．3．（2024春?啟東市期中）2023年11月28日，中國空間站全貌高清圖像首次公布．中國空間站設(shè)計壽命為10年，長期駐留3人，最大可擴展為180噸級六艙組合體，以進行較大規(guī)模的空間應用．假設(shè)實驗艙要在3周時間內(nèi)開展A、B、C、D、E五項實驗，其中第一周安排2項實驗，第二周和第三周至少各安排1項實驗，A、B兩項實驗安排在同一周內(nèi)，則不同的實驗方案共有（）A．6種 B．12種 C．18種 D．24種【考點】排列組合的綜合應用．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；數(shù)學運算．【答案】B【分析】由排列、組合及簡單計數(shù)問題，結(jié)合分類加法及分步乘法計數(shù)原理求解．【解答】解：①若A、B兩項實驗安排在第一周，則不同的實驗方案有C3②若A、B兩項實驗不安排在第一周，則不同的實驗方案有C3即不同的實驗方案共有6+6＝12種．故選：B．【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數(shù)問題，重點考查了分類加法及分步乘法計數(shù)原理，屬中檔題．4．（2024春?啟東市期中）學校要安排一場文藝晚會的8個節(jié)目的演出順序，學生的節(jié)目有6個，教師的節(jié)目有2個，如果教師的節(jié)目既不排在第一個，也不排在最后一個，那么不同的排法數(shù)為（）A．A88 B．C．A62A【考點】部分位置的元素有限制的排列問題．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；數(shù)學運算．【答案】C【分析】由排列、組合及簡單計數(shù)問題，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理求解．【解答】解：學校要安排一場文藝晚會的8個節(jié)目的演出順序，學生的節(jié)目有6個，教師的節(jié)目有2個，如果教師的節(jié)目既不排在第一個，也不排在最后一個，那么不同的排法數(shù)為A6故選：C．【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數(shù)問題，重點考查了分步乘法計數(shù)原理，屬中檔題．5．（2023秋?豐澤區(qū)校級月考）若(1?2x)A．a(chǎn)0＝1 B．a(chǎn)4＝80 C．|aD．(【考點】二項式定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理；數(shù)學運算．【答案】C【分析】利用二項式定理，求指定項的系數(shù)，各項系數(shù)和，奇次項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和．【解答】解：對于A中，令x＝1，可得a0＝﹣1，所以A錯誤；對于B中，（1﹣2x）5＝[﹣1﹣2（x﹣1）]5，由二項展開式的通項得a4=C對于C中，|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|與（1+2（x﹣1））5的系數(shù)之和相等，令x﹣1＝1即|a0|+|對于D中，令x＝2，則a0令x＝0，則a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5＝1，解得a0+a可得(a0+故選：C．【點評】本題考查了二項式定理的應用，考查了學生的運算求解能力，屬于中檔題．6．（2024春?青羊區(qū)校級月考）在(x?2)2024的二項展開式中，含x的奇次冪的項之和為S，當x=A．23035 B．﹣23035 C．23036 D．﹣23036【考點】二項展開式的通項與項的系數(shù)．【專題】對應思想；定義法；二項式定理；數(shù)學運算．【答案】B【分析】利用二項式定理得(x?2)2024的二項展開式，令x分別取2【解答】解：由題得(x?2所以當x=2時有0=2當x=?2時有(?22所以①﹣②得?2故S=?2故選：B．【點評】本題考查二項式定理的應用，屬于中檔題．7．（2024春?長壽區(qū)期末）用0，3，5，7，9組成的無重復數(shù)字的五位數(shù)中，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字更大的五位數(shù)的個數(shù)為（）A．48 B．96 C．60 D．120【考點】數(shù)字問題．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；數(shù)學運算．【答案】A【分析】根據(jù)特殊位置優(yōu)先安排，萬位上的數(shù)字不能為0，先排萬位，再排其他數(shù)位，最后根據(jù)定序問題求解即可．【解答】解：萬位上的數(shù)字不能為0，先排萬位，再排其他數(shù)位，則用0，3，5，7，9組成的無重復數(shù)字的五位數(shù)的個數(shù)為A4所以個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字更大的五位數(shù)的個數(shù)為962故選：A．【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數(shù)問題，屬中檔題．8．（2024春?長治期末）（1﹣x）8展開式中x2的系數(shù)為（）A．﹣36 B．36 C．﹣28 D．28【考點】二項式定理．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】D【分析】直接利用二項式的展開式以及組合數(shù)的應用求出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)二項式的展開式Tr+1=C當r＝2時，展開式中x2的系數(shù)為C8故選：D．【點評】本題考查的知識點：二項式的展開式，組合數(shù)，主要考查學生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．9．（2024?鼓樓區(qū)校級三模）設(shè)（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）10＝a0+a1x+…+a9x9+a10x10，則a2等于（）A．45 B．84 C．120 D．165【考點】二項式定理．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；二項式定理；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】D【分析】根據(jù)給定等式，利用二項式定理及組合數(shù)的性質(zhì)計算作答．【解答】解：依題意，a=C=?=C故選：D．【點評】本題考查的知識要點：賦值法，組合數(shù)，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題．10．（2024?嶗山區(qū)校級二模）(xA．512 B．?512 C．1【考點】二項展開式的通項與項的系數(shù)．【專題】方程思想；定義法；二項式定理；數(shù)學運算．【答案】A【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式求解．【解答】解：二項式展開式的通項公式為Tk+1=C6k?(x2log83)6?k?(?令12﹣3k＝0，解得k＝4，則展開式的常數(shù)項為T5=C64?(log83)2?(?log92)4故選：A．【點評】本題考查二項式展開式的應用，屬于中檔題．二．多選題（共5小題）（多選）11．（2024春?啟東市期中）南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中畫了一張表示二項式系數(shù)構(gòu)成的三角形數(shù)陣（如圖所示），在“楊輝三角”中，下列選項正確的是（）A．第10行所有數(shù)字的和為1024 B．C3C．第6行所有數(shù)字的平方和等于C12D．若第n行第i個數(shù)記為ai，則i=1【考點】二項式定理；二項式系數(shù)與二項式系數(shù)的和．【專題】整體思想；綜合法；二項式定理；數(shù)學運算．【答案】ACD【分析】根據(jù)第n行數(shù)學特征確定二項式，結(jié)合二項式系數(shù)和公式、組合數(shù)公式、二項式定理逐一判斷即可．【解答】解：A：第10行所有數(shù)字是（x+1）10二項式系數(shù)，因此第10行所有數(shù)字的和為210，A正確；B：C3=C=C53C：所求的和表達式為：(c因為（1+x）2n＝（1+x）n（1+x）n＝（Cn0+所以展開式中xn的系數(shù)為Cn即(c而(1+x)因此有(c于是(c60D：因為i=1n+1(故選：ACD．【點評】本題主要考查了二項展開式系數(shù)和的求解，屬于中檔題．（多選）12．（2024春?固始縣期末）某學校為迎接校園藝術(shù)節(jié)的到來，決定舉行文藝晚會，節(jié)目單中有A，B，C，D，E，F(xiàn)，G共7個節(jié)目，則下列結(jié)論正確的是（）A．若節(jié)目A與節(jié)目B相鄰，則共有1440種不同的安排方法 B．若節(jié)目E與節(jié)目F不相鄰，則共有3600種不同的安排方法 C．若節(jié)目C在節(jié)目D之前表演（可以不相鄰），則共有2520種不同的安排方法 D．若決定在已經(jīng)排好的節(jié)目單中臨時添加3個節(jié)目，現(xiàn)有節(jié)目次序不變，則共有336種不同的安排方法【考點】排列組合的綜合應用．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；數(shù)學運算．【答案】ABC【分析】利用捆綁法，插空法等求得每個選項的排列數(shù)可判斷其正確性．【解答】解：若節(jié)目A與節(jié)目B相鄰，共有A2故A正確；若節(jié)目E與節(jié)目F不相鄰，共有A5故B正確；因為節(jié)目C在節(jié)目D之前表演與節(jié)目D在節(jié)目C之前表演的情況是一樣的，所以共有A7故C正確；添加第一個節(jié)目有8種情況，添加第二個節(jié)目有9種情況，添加第三個節(jié)目有10種情況，共有8×9×10＝720種不同的安排方法，故D錯誤．故選：ABC．【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數(shù)問題，重點考查了相鄰問題及分步乘法計數(shù)原理，屬中檔題．（多選）13．（2024春?田家庵區(qū)校級期中）我國南宋數(shù)學家楊輝在約1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項式系數(shù)表，數(shù)學愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究推廣，楊輝三角可以由組合數(shù)來表示．則下列結(jié)論正確的是（）A．第6行、第7行、第8行的第7個數(shù)之和為第9行的第8個數(shù) B．1+CC．第2020行的第1010個數(shù)最大 D．第12行中從左到右第2個數(shù)與第3個數(shù)之比為2：11【考點】二項式定理的應用．【專題】綜合題；整體思想；綜合法；推理和證明；數(shù)學運算．【答案】ABD【分析】根據(jù)楊輝三角讀出數(shù)據(jù)即可判斷A；利用組合數(shù)公式判斷B；分析各行數(shù)據(jù)的特征，即可判斷C；求出第12行中從左到右第2個數(shù)與第3個數(shù)，即可判斷D．【解答】解：對于A：第6行，第7行，第8行的第7個數(shù)字分別為：1，7，28，其和為1+7+28＝36；而第9行第8個數(shù)字就是36，故A正確；對于B：因為1+C51+C對于C：由圖可知：第n行有n+1個數(shù)字，如果n是偶數(shù)，則第n2如果n是奇數(shù)，則第n+12和第n+1所以第2020行的第1011個數(shù)最大，故C錯誤；對于D：依題意：第12行從左到右第2個數(shù)為C121=12所以第12行中從左到右第2個數(shù)與第3個數(shù)之比為12：66＝2：11，故D正確．故答案為：ABD．【點評】本題主要考查歸納推理，屬于中檔題．（多選）14．（2024春?長壽區(qū)期末）已知集合A，B滿足B＝{（x，y，z）|x+y+z＝11，x，y，z∈A}，則下列說法正確的是（）A．若A＝{﹣2，0，1，13}，則B中的元素的個數(shù)為1 B．若A＝{x|x＝2k+1，k∈N}，則B中的元素的個數(shù)為15 C．若A＝N+，則B中的元素的個數(shù)為45 D．若A＝N，則B中的元素的個數(shù)為78【考點】排列組合的綜合應用．【專題】對應思想；定義法；排列組合；數(shù)學運算．【答案】BCD【分析】對于A，由集合B的定義即可列舉出集合B中所有的元素即可判斷；對于B，A中的元素均為正奇數(shù)，對x分類討論即可驗算；對于C，原問題等價于將11個大小相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲、乙、丙3個人，每人至少分1個，利用隔板法即可驗算；對于D，原問題等價于將14個大小相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲、乙、丙3個人，每人至少分1個，利用隔板法驗算即可．【解答】解：由題意得B＝{（﹣2，0，13），（﹣2，13，0），（0，﹣2，13），（13，0，﹣2），（13，﹣2，0），（13，0，﹣2）}，所以B中的元素的個數(shù)為6，A錯誤．由題意得A中的元素均為正奇數(shù)，在B中，當x＝1時，有（1，1，9），（1，3，7），（1，5，5），（1，7，3），（1，9，1）共5個元素，當x＝3時，有（3，1，7），（3，3，5），（3，5，3），（3，7，1）共4個元素，當x＝5時，有（5，1，5），（5，3，3），（5，5，1）共3個元素，當x＝7時，有（7，1，3），（7，3，1）共2個元素，當x＝9時，有（9，1，1）共1個元素，所以B中的元素的個數(shù)為5+4+3+2+1＝15，B正確．B＝{（x，y，z）|x+y+z＝11，x，y，z∈N+}，可轉(zhuǎn)化為將11個大小相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲、乙、丙3個人，每人至少分1個，利用隔板法可得分配的方案數(shù)為C102=45，所以BB＝{（x，y，z）|x+y+z＝11，x，y，z∈N}＝{（x，y，z）|（x+1）+（y+1）+（z+1）＝14，x+1，y+1，z+1∈N+}，可轉(zhuǎn)化為將14個大小相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲、乙、丙3個人，每人至少分1個，利用隔板法可得分配的方案數(shù)為C132=78，所以B故選：BCD．【點評】本題考查排列組合相關(guān)知識，屬于中檔題．（多選）15．（2024?雨花臺區(qū)校級三模）下列等式中正確的是（）A．k=18B．k=28C．k=28D．k=0【考點】組合及組合數(shù)公式．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；二項式定理；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】BCD【分析】直接利用二項式的展開式以及組合數(shù)的變換求出結(jié)果．【解答】解：對于A：k=18C對于B：k=28C對于C：k?1k!=k！?(k?1)！k！(k?1)！=對于D：（1+x）8?（1+x）8＝（1+x）16，對于（1+x）16，其含有x8的項的系數(shù)為C168，對于（1+x）8?（1+x）8，要得到含有要從第一個含有x8的項的系數(shù)，需要從第一個式子中取出k個x，再從第二個式子中取出8﹣k個x，對應的系數(shù)為k=08故選：BCD．【點評】本題考查的知識點：二項式的展開式，組合數(shù)，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024春?啟東市期中）將6個相同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，恰有2個空盒的放法數(shù)為30．【考點】其他組合形式及計算．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；數(shù)學運算．【答案】30．【分析】由排列、組合及簡單計數(shù)問題，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理求解．【解答】解：將6個相同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，則恰有2個空盒的放法數(shù)為C4故答案為：30．【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數(shù)問題，重點考查了分步乘法計數(shù)原理，屬中檔題．17．（2024?商洛模擬）(2x2?3x)(2?1【考點】二項式定理．【專題】對應思想；定義法；二項式定理；數(shù)學運算．【答案】960．【分析】利用二項展開式的通項公式分析運算求解．【解答】解：(2?1x)7的展開式的通項為可得(2x2?3x)(2?1故答案為：960．【點評】本題考查二項展開式的通項公式，屬于中檔題．18．（2024?廣東一模）（a+x）（1﹣x）2024展開式中x2024的系數(shù)為﹣2023，則a的值為1．【考點】二項式定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；二項式定理；數(shù)學運算．【答案】1．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合二項式定理，即可求解．【解答】解：（1﹣x）2024展開式的通項公式為Tr+1（a+x）（1﹣x）2024展開式中x2024的系數(shù)為﹣2023，則a?C20242024+1?C故答案為：1．【點評】本題主要考查二項式定理，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024?金鳳區(qū)校級三模）（x﹣y）（x+y）6的展開式中x3y4的系數(shù)為﹣5（用數(shù)字作答）．【考點】二項式定理的應用．【專題】對應思想；定義法；二項式定理；數(shù)學運算．【答案】﹣5．【分析】求出（x+y）6展開式的x2y4、x3y3的系數(shù)后可求展開式中x3y4的系數(shù)．【解答】解：（x+y）6展開式的通項公式為Tr+1故（x+y）6展開式中x2y4系數(shù)為C64=15，x3y3故（x﹣y）（x+y）6的展開式中x3y4的系數(shù)為15﹣20＝﹣5．故答案為：﹣5．【點評】本題考查二項式定理相關(guān)知識，屬于中檔題．20．（2024?香洲區(qū)校級模擬）(2x?1【考點】二項式定理的應用．【專題】對應思想；定義法；二項式定理；數(shù)學運算．【答案】840．【分析】利用二項式展開式的通項公式求解．【解答】解：展開式的通項公式為Tr+1令5?56r=0所以常數(shù)項為T7故答案為：840．【點評】本題考查二項式展開式的通項公式相關(guān)知識，屬于中檔題．四．解答題（共5小題）21．（2024春?啟東市期中）某單位有11名外語翻譯人員（每名翻譯人員都能從事英語或俄語翻譯），其中能從事英語翻譯x人，且x滿足A8（1）問既能從事英語翻譯也能從事俄語翻譯的有幾人？（2）現(xiàn)要從中選出8人組成兩個翻譯小組，其中4人翻譯英語，另4人翻譯俄語，則有多少種不同的選派方式？【考點】排列組合的綜合應用．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；數(shù)學運算．【答案】（1）3；（2）255．【分析】（1）結(jié)合組合數(shù)公式求解；（2）由排列、組合及簡單計數(shù)問題，結(jié)合分類加法及分步乘法計數(shù)原理求解．【解答】解：（1）由A8x＜6整理得：x2﹣19x+84＜0，解得：7＜x＜12，又0＜x?8且0＜x﹣2?8，x∈N*，所以x＝8，所以既能從事英語翻譯也能從事俄語翻譯的有8+6﹣11＝3人．（2）由（1）可知，只能從事英語翻譯的5人，只能從事俄語翻譯的3人，既能從事英語又能從事俄語的3人，按“多面手”的參與情況分成三類情況：①多面手有1人入選，C3②多面手有2人入選，C3③多面手有3人入選，C3綜上所述，共有15+105+135＝255種選人方案．【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數(shù)問題，重點考查了分類加法及分步乘法計數(shù)原理，屬中檔題．22．（2024春?啟東市期中）在以下兩個條件中任選一個條件，補充在下面問題中的橫線上，并完成解答．①所有項的系數(shù)之和與二項式系數(shù)之和的比為729：64；②前三項的二項式系數(shù)之和為22．問題：在(23（1）證明展開式中沒有常數(shù)項；（2）求展開式中所有的有理項．【考點】二項式系數(shù)與二項式系數(shù)的和．【專題】計算題；整體思想；綜合法；二項式定理；數(shù)學運算．【答案】（1）證明見解答；（2）T1=C【分析】選①，所有項的系數(shù)和為3n，二項式系數(shù)之和為2n，根據(jù)比例關(guān)系可得結(jié)果，選②，由Cn0+Cn【解答】解：若選①，令x＝1，則所有項的系數(shù)和為3n；二項式系數(shù)之和為2n．因為展開式中的所有項的系數(shù)之和與二項式系數(shù)之和的比為729：64，所以3n2n故Tr+1若選②，因為前三項的二項式系數(shù)之和為22，則Cn0+Cn1+C故Tr+1（1）證明：若Tr+1是常數(shù)項，則2?43r=0故展開式中沒有常數(shù)項．（2）Tr+1是有理項，當且僅當2?4又因為0?r?6，r∈Z，所以r＝0，3，6．故展開式中有3個有理項，分別為T1=C【點評】本題主要考查二項式定理，屬于中檔題．23．（2024春?棗莊期中）已知(2x+13x（1）求n的值；（2）求展開式中有理項的系數(shù)之和．（用數(shù)字作答）【考點】二項式定理．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】（1）7；（2）702．【分析】（1）求出第三、第四項的系數(shù)，再列式計算即得．（2）由（1）的結(jié)論，求出展開式的有理項的系數(shù)即可計算得解．【解答】解：（1）依題意，(2x+13x顯然第三項系數(shù)為2n?2Cn因此2n?2Cn所以n的值為7．（2）由（1）知Tk+1=2當k＝0時，展開式中對應的有理項為T1當k＝3時，展開式中對應的有理項為T當k＝6時，展開式中對應的有理項為T所以展開式中有理項的系數(shù)之和為128+560+14＝702．【點評】本題考查的知識點：二項式的展開式，組合數(shù)，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．24．（2024春?長壽區(qū)期末）如圖，在一個3×3的網(wǎng)格中填齊1至9中的所有整數(shù)，每個格子只填一個數(shù)字，已知中心格子的數(shù)字為5．（1）求滿足第二橫排、第二豎排的3個數(shù)字之和均為15的不同的數(shù)字填寫方案種數(shù)；（2）求滿足第二橫排的數(shù)字從左到右依次增大，第二豎排的數(shù)字從上到下依次增大的不同的數(shù)字填寫方案種數(shù)．【考點】排列組合的綜合應用；計數(shù)原理的應用．【專題】對應思想；定義法；排列組合；數(shù)學運算．【答案】（1）1152；（2）3456．【分析】（1）依題意第二橫排或第二豎排的其它2個數(shù)字之和必然為10，將剩下的數(shù)字分為個組合，按照分步乘法計數(shù)原理計算可得；（2）先排5的左邊與上邊，再排5的右邊與下邊，最后將剩下的數(shù)字全排列．【解答】解：（1）要使第二橫排和第二豎排的3個數(shù)字之和均為15，則第二橫排或第二豎排的其它2個數(shù)字之和必然為10，則要從1和9，2和8，3和7，4和6這四個組合中選出兩個組合填寫，首先選一個組合填到第二橫排的兩個空中，再選一個組合填到第二豎排的兩個空中，最后將其余四個數(shù)全排列，故有C4（2）先從1、2、3、4這四個數(shù)字中選2個數(shù)字分別排到5的左邊和上邊，有A4再從6、7、8、9這四個數(shù)字中選2個數(shù)字分別排到5的右邊和下邊，有A4最后將其余四個數(shù)字排到剩下的四個位置，有A4按照分步乘法原理可得，一共有A4【點評】本題考查排列組合相關(guān)知識，屬于中檔題．25．（2024?沙坪壩區(qū)校級開學）已知函數(shù)fn(x)=(1+λx)n=a0+（1）若n＝8，a7＝1024，求ai（i＝0，1，2，3，?，8）的最大值；（2）若λ＝2，求r=0nra（3）若λ＝﹣1，求證：k=0n【考點】二項式定理的應用．【專題】對應思想；定義法；二項式定理；數(shù)學運算．【答案】（1）1792；（2）r=0n（3）證明見解析．【分析】（1）由二項式定理求得a7，從而求得λ，然后設(shè)最大at，解不等式組at（2）由題意可得(1+2x)n=r=0（3）用fn（x）寫出等式左邊的和式，然后由組合數(shù)公式Cn【解答】解：（1）f8a7不妨設(shè)ai中at（t＝0，1，2，3，?，8），則atai中的最大值為a5（2）若λ＝2，(1+2x)n=r=0令x＝1得，r=0n（3）證明：若λ＝﹣1，fnk=0n=C因為Cn所以k=0=x[C＝x[x+（1﹣x）]n﹣1＝x．【點評】本題考查二項式定理的相關(guān)應用，屬于中檔題．

考點卡片1．計數(shù)原理的應用【知識點的認識】1．兩個計數(shù)原理（1）分類加法計數(shù)原理：N＝m1+m2+…+mn（2）分步乘法計數(shù)原理：N＝m1×m2×…×mn2．兩個計數(shù)原理的比較分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理共同點都是計數(shù)原理，即統(tǒng)計完成某件事不同方法種數(shù)的原理．不同點分類完成，類類相加分步完成，步步相乘n類方案相互獨立，且每類方案中的每種方法都能獨立完成這件事n個步驟相互依存，每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨立完成這件事）注意點類類獨立，不重不漏步步相依，步驟完整【解題方法點撥】1．計數(shù)原理的應用（1）如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分類加法計數(shù)原理；（2）如果完成一件事的各個步驟是相互聯(lián)系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分步乘法計數(shù)原理．2．解題步驟（1）指明要完成一件什么事，并依事件特點確定是“分n類”還是“分n步”；（2）求每“類”或每“步”中不同方法的種數(shù)；（3）利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法總數(shù)；（4）作答．【命題方向】分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理是推導排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎(chǔ)，也是求解排列、組合問題的基本思想方法．常見考題類型：（1）映射問題（2）涂色問題（①區(qū)域涂色②點的涂色③線段涂色④面的涂色）（3）排數(shù)問題（①允許有重復數(shù)字②不允許有重復數(shù)字）2．數(shù)字問題【知識點的認識】﹣數(shù)字問題涉及數(shù)字的排列組合、數(shù)字的特性以及數(shù)位的安排．例如：求解由數(shù)字構(gòu)成的不同整數(shù)的數(shù)量、分析某一數(shù)字在特定數(shù)位上的可能性、或求解滿足特定條件的整數(shù)個數(shù)．﹣數(shù)字問題通常涉及到計數(shù)原理在數(shù)字排列中的應用，以及整數(shù)的分配與組合．【解題方法點撥】﹣首先分析題目中的數(shù)字特性，如數(shù)字的范圍、允許的重復次數(shù)等．﹣使用排列數(shù)或組合數(shù)來計算數(shù)字的不同排列組合方式，必要時采用分類討論的方式處理特殊情況．﹣在涉及限制條件（如某些數(shù)位必須滿足特定要求）時，先處理限制條件，再進行組合計算．【命題方向】﹣典型的數(shù)字問題命題包括：計算由給定數(shù)字組成的不同整數(shù)的數(shù)量，或者確定某一數(shù)位上特定數(shù)字出現(xiàn)的頻率．﹣可能涉及到數(shù)字排列的特殊情況，如求解滿足某些數(shù)位條件的整數(shù)個數(shù)，或計算某些數(shù)字在排列中的特定組合數(shù)量．﹣在更復雜的問題中，可能需要結(jié)合多種計數(shù)方法，如遞推公式或生成函數(shù)來處理數(shù)字的排列組合．3．部分位置的元素有限制的排列問題部分位置的元素有限制的排列問題4．組合及組合數(shù)公式【知識點的認識】1．定義（1）組合：一般地，從n個不同元素中，任意取出m（m≤n）個元素并成一組，叫做從n個元素中任取m個元素的一個組合．（2）組合數(shù)：從n個不同元素中，任意取出m（m≤n）個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中，任意取出m個元素的組合數(shù)，用符號Cn2．組合數(shù)公式：Cnm=n(n?1)(n?2)(n?m+1)m!=n!m!(n?m)!．m，n3．組合數(shù)的性質(zhì)：性質(zhì)1C性質(zhì)2Cn+15．其他組合形式及計算其他組合形式及計算6．排列組合的綜合應用【知識點的認識】1、排列組合問題的一些解題技巧：①特殊元素優(yōu)先安排；②合理分類與準確分步；③排列、組合混合問題先選后排；④相鄰問題捆綁處理；⑤不相鄰問題插空處理；⑥定序問題除法處理；⑦分排問題直排處理；⑧“小集團”排列問題先整體后局部；⑨構(gòu)造模型；⑩正難則反、等價轉(zhuǎn)化．對于無限制條件的排列組合問題應遵循兩個原則：一是按元素的性質(zhì)分類，二是按時間發(fā)生的過程進行分步．對于有限制條件的排列組合問題，通常從以下三個途徑考慮：①以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；②以位置為主考慮，即先