第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年高考備考高中數(shù)學(xué)個(gè)性化分層教輔尖子生篇《數(shù)列》一．選擇題（共10小題）1．（2023秋?上饒?jiān)驴迹┰O(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S20≠0，若1a9+1a12=1a10+1aA．﹣4 B．﹣2 C．0 D．22．（2024秋?東西湖區(qū)月考）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+y）＝f（x）f（y）﹣2f（x）﹣2f（y）+6，f（1）＝4，則f（1）+f（2）+…+f（99）＝（）A．299+198 B．299+196 C．2100+198 D．2100+1963．（2024秋?福建月考）用“作切線”的方法求函數(shù)f（x）零點(diǎn)時(shí)，若數(shù)列{xn}滿足xn+1=xn?f(xn)f′(xn)，則稱該數(shù)列為言蹊數(shù)列．若函數(shù)f（x）＝ax2+bx+c（a＞0）有兩個(gè)零點(diǎn)1和2，數(shù)列{xn}為言蹊數(shù)列．設(shè)an=lnA．2022 B．2023 C．22023 D．220224．（2024?古藺縣校級(jí)模擬）若數(shù)列{an}滿足nan＝（n+2）an﹣1（n≥2），a1＝2，則滿足不等式an＜310的最大正整數(shù)n為（）A．28 B．29 C．30 D．315．（2024?如皋市開(kāi)學(xué)）若數(shù)列{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列，a3＝1，數(shù)列{bn}為公差為6，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，則數(shù)列{anbn}前5項(xiàng)和的最小值為（）A．1874 B．1674 C．1476．（2024秋?大同月考）等比數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，a1＝1，且4a1，2a2，a3成等差數(shù)列，則SnA．12 B．49 C．167．（2024?潮陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）對(duì)于數(shù)列{an}，若滿足：nRn=a1+13a2+132a3+???+13n?1anA．223 B．233 C．2438．（2024?浙江模擬）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且對(duì)任意m，n∈N*（m＞n）均有am+n+am﹣n＝2am+2an．記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S7＝（）A．28 B．140 C．256 D．7849．（2024?開(kāi)福區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)f（x）＝x2﹣bx+c（b＞0，c＞0）的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x1，x2，若x1，x2，﹣1三個(gè)數(shù)適當(dāng)調(diào)整順序后可為等差數(shù)列，也可為等比數(shù)列，則不等式x?bx?cA．(1，52] C．(?∞，1)∪[52，+∞)10．（2024秋?泰州月考）一只蝸牛從數(shù)軸原點(diǎn)出發(fā)向正方向前進(jìn)1個(gè)單位長(zhǎng)度，接著后退12個(gè)單位長(zhǎng)度，然后再前進(jìn)14個(gè)單位長(zhǎng)度，接著后退A．34 B．23 C．5?1二．多選題（共5小題）（多選）11．（2023秋?解放區(qū)校級(jí)月考）設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1＝2，an+1A．{an}是遞增數(shù)列 B．{1aC．a(chǎn)1+2a2+3a3+?+10a10＝65 D．當(dāng)n≥2時(shí)，a1a2?an﹣1（an﹣1）＝1（多選）12．（2024秋?江西月考）下列函數(shù)中，存在數(shù)列{an}使得a1，a2，a3和f（a1），f（a2），f（a3）都是公差不為0的等差數(shù)列的是（）A．f（x）＝tanx B．f（x）＝log2x C．f（x）＝x2024 D．f(x)=lg（多選）13．（2024秋?廣西月考）數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1A．?dāng)?shù)列{an}是遞增數(shù)列 B．a(chǎn)n+2C．a(chǎn)n+1＜D．i=1n（多選）14．（2024春?啟東市期中）某同學(xué)玩一種跳棋游戲，拋擲一枚質(zhì)地均勻且標(biāo)有數(shù)字1～6的骰子，規(guī)定：若擲得數(shù)字小于或等于4，則前進(jìn)1步；若擲得數(shù)字大于4，則前進(jìn)2步．每次投擲互不影響，記某同學(xué)一共前進(jìn)n步的概率為pn，則（）A．p2B．p3C．pnD．p（多選）15．（2024?遼寧模擬）等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn與Tn，且S2nA．當(dāng)an＝2n﹣1時(shí)，T4＝52 B．當(dāng)Sn=n2時(shí)，bnC．4（a4+a7）＝5b3 D．a(chǎn)三．填空題（共5小題）16．（2023秋?大武口區(qū)校級(jí)月考）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且﹣a1，34a2，a3成等差數(shù)列，若a1＝1，則S417．（2024?南京自主招生）已知f(m)=m?1，m為奇數(shù)m2，m偶數(shù)，若a0=k=020244k，an+1＝f18．（2024?蜀山區(qū)自主招生）(1+2)202419．（2024?河池模擬）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，對(duì)?n≥2有an+1an﹣1＝kan，k為正整數(shù)，使a1024＝1024成立的k的值為．20．（2024秋?遼寧月考）已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（1）＝1，且對(duì)任意x＜0，均有f(1x)=xf(1四．解答題（共5小題）21．（2024秋?福建月考）已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Sn＝2an﹣4n+2．（1）求證：數(shù)列{an+4}為等比數(shù)列；（2）令bn=2an22．（2024?黔東南州開(kāi)學(xué)）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若存在正整數(shù)k，使得對(duì)任意正整數(shù)n，均有ka1+k2a（1）若an＝c＞0，且{an}為“k型”數(shù)列，求k的最小值；（2）若{an}為“3型”數(shù)列，且ai∈{0，1}（i＝1，2，…，n），設(shè)Sn的所有可能值個(gè)數(shù)為T(mén)（n），證明：i=1202423．（2024秋?廣西月考）數(shù)列{an}是正項(xiàng)遞增數(shù)列，由數(shù)列{an}中所有項(xiàng)構(gòu)成集合A，它的任意一個(gè)子集記為?k，定義集合B是每一個(gè)子集中的所有數(shù)之和（即分別寫(xiě)出1個(gè)數(shù)，2個(gè)數(shù)，…n個(gè)數(shù)之和）．（1）若A＝{1，2，3}，寫(xiě)出?1，?3以及集合B；（2）an＝n，將集合B中的元素分成n組，要求每組中最大項(xiàng)與最小項(xiàng)之比不超過(guò)2，證明一個(gè)符合題意的分組；（3）A＝{a1，a2，a3，…，an}，將集合B中的元素分成n組，要求與（2）相同，證明存在這個(gè)分組．24．（2024?歷城區(qū)校級(jí)模擬）已知復(fù)數(shù)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=inn2（i是虛數(shù)單位），Sn（1）求a1，a2，a3，a4的值；（2）求證：2n+1＞|a（3）求{S4n}的通項(xiàng)公式．25．（2024?東城區(qū)一模）有窮數(shù)列a1，a2，…，an（n＞2）中，令S（p，q）＝ap+ap+1+…+aq（1≤p≤q≤n，p，q∈N*），當(dāng)p＝q時(shí)，規(guī)定S（p，q）＝ap．（Ⅰ）已知數(shù)列﹣3，2，﹣1，3，寫(xiě)出所有的有序數(shù)對(duì)（p，q），且p＜q，使得S（p，q）＞0；（Ⅱ）已知整數(shù)列a1，a2，…，an，n為偶數(shù)，若S(i，n?i+1)(i=1，2，?，n2)，滿足：當(dāng)i為奇數(shù)時(shí)，S（i，n﹣i+1）＞0；當(dāng)i為偶數(shù)時(shí)，S（i，n﹣i+1）＜0．求|a1|+|a2|+…+|（Ⅲ）已知數(shù)列a1，a2，…，an滿足S（1，n）＞0，定義集合A＝{i|S（i+1，n）＞0，i＝1，2，…，n﹣1}．若A＝{i1，i2，…，ik}（k∈N*）且為非空集合，求證：S(1，n)＞a

2025年高考備考高中數(shù)學(xué)個(gè)性化分層教輔尖子生篇《數(shù)列》參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2023秋?上饒?jiān)驴迹┰O(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S20≠0，若1a9+1a12=1a10+1aA．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】方程思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a9a12＝a10a11，然后代入計(jì)算即可得到d＝0，即可得到結(jié)果．【解答】解：因?yàn)?a9+又因?yàn)榈炔顢?shù)列中，S20≠0，所以a1+a20≠0，所以a9+a12＝a10+a11＝a1+a20≠0．所以a9a12＝a10a11．又因?yàn)?a9+即(a化簡(jiǎn)可得：2a12所以a9﹣a10+a11﹣a12＝0．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．2．（2024秋?東西湖區(qū)月考）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+y）＝f（x）f（y）﹣2f（x）﹣2f（y）+6，f（1）＝4，則f（1）+f（2）+…+f（99）＝（）A．299+198 B．299+196 C．2100+198 D．2100+196【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【專題】整體思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】依次求出f（2）＝22+2，f（3）＝23+2，f（4）＝24+2，猜想f（99）＝299+2，再用等比數(shù)列求和．【解答】解：∵f（1）＝4＝2+2，∴f（2）＝f（1+1）＝f（1）f（1）﹣2f（1）﹣2f（1）+6，＝4×4﹣2×4﹣2×4+6＝6＝22+2，∴f（3）＝f（2+1）＝f（2）f（1）﹣2f（2）﹣2f（1）+6＝6×4﹣2×6﹣2×4+6＝10＝23+2，∴f（4）＝f（2+2）＝36﹣12﹣12+6＝18＝24+2，∴f（5）＝f（3+2）＝60﹣20﹣12+6＝34＝25+2，…∴f（99）＝299+2，∴f（1）+f（2）+?+f（99）＝（2+2）+（22+2）+?+（299+2）＝（2+22+?+299）+2×99=2(1?＝2100﹣2+198＝2100+196．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．3．（2024秋?福建月考）用“作切線”的方法求函數(shù)f（x）零點(diǎn)時(shí)，若數(shù)列{xn}滿足xn+1=xn?f(xn)f′(xn)，則稱該數(shù)列為言蹊數(shù)列．若函數(shù)f（x）＝ax2+bx+c（a＞0）有兩個(gè)零點(diǎn)1和2，數(shù)列{xn}為言蹊數(shù)列．設(shè)an=lnA．2022 B．2023 C．22023 D．22022【考點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合；等比數(shù)列的概念與判定；求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】根據(jù)題意，先求出xn+1，進(jìn)而再求xn+1?2xn+1【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝ax2+bx+c（a＞0）有兩個(gè)零點(diǎn)1，2，∴f（x）＝a（x﹣1）（x﹣2）＝a（x2﹣3x+2）（a＞0），∴f′（x）＝2ax﹣3a，則由題意得xn+1∴xn+1∵an=lnxn∴an+1所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以Sn∴S2022故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，屬中檔題．4．（2024?古藺縣校級(jí)模擬）若數(shù)列{an}滿足nan＝（n+2）an﹣1（n≥2），a1＝2，則滿足不等式an＜310的最大正整數(shù)n為（）A．28 B．29 C．30 D．31【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】A【分析】由題意先由遞推關(guān)系通過(guò)累乘法求通項(xiàng)公式，再由單調(diào)性解不等式即可得解．【解答】解：由題意nan＝（n+2）an﹣1（n≥2），即an所以an而a1=2×3由題意令an而an且發(fā)現(xiàn)a28＝290＜310，a29＝310，所以滿足不等式an＜310的最大正整數(shù)n為28．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推式和數(shù)列恒等式、數(shù)列的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．5．（2024?如皋市開(kāi)學(xué)）若數(shù)列{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列，a3＝1，數(shù)列{bn}為公差為6，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，則數(shù)列{anbn}前5項(xiàng)和的最小值為（）A．1874 B．1674 C．147【考點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．【專題】整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】A【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式先表示數(shù)列{anbn}前5項(xiàng)和，結(jié)合等式特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求解．【解答】解：由題意可得，bn＝1+6（n﹣1）＝6n﹣5，a3＝1，所以數(shù)列{anbn}前5項(xiàng)和為1q2+7×1q+13+19q+25q2＝25令f（q）＝25q2+19q+1q2+7q+13，則f易得，當(dāng)q＞12時(shí)，f′（q）＞0，f（q）單調(diào)遞增，當(dāng)0＜q＜12時(shí)，f′（q）＜0，故q=12時(shí)，f（q）取得最小值故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)的應(yīng)用，還考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．6．（2024秋?大同月考）等比數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，a1＝1，且4a1，2a2，a3成等差數(shù)列，則SnA．12 B．49 C．16【考點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．【專題】整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】先根據(jù)等差中項(xiàng)及等比數(shù)列得通項(xiàng)求出公比，再根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出Sn，判斷出數(shù)列{S【解答】解：設(shè)公比為q，由4a1，2a2，a3成等差數(shù)列，得4a2＝4a1+a3，又?jǐn)?shù)列{an}為等比數(shù)列，所以得4a1q=4所以Sn令bn則bn+1所以數(shù)列{2所以當(dāng)n＝1時(shí)，Sn故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式的應(yīng)用，等差數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)列單調(diào)性，屬于中檔題．7．（2024?潮陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）對(duì)于數(shù)列{an}，若滿足：nRn=a1+13a2+132a3+???+13n?1anA．223 B．233 C．243【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】將n3n=a1+13a2+13【解答】解：由已知得n3n則當(dāng)n≥2時(shí)，n?13所以①﹣②得n3n?又當(dāng)n＝1時(shí)，13=a故an所以an令an+8所以Sn的最大值為S5故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．8．（2024?浙江模擬）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且對(duì)任意m，n∈N*（m＞n）均有am+n+am﹣n＝2am+2an．記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S7＝（）A．28 B．140 C．256 D．784【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】令n＝1，得到（am+1﹣am）﹣（am﹣am﹣1）＝2，令bm＝am+1﹣am，求得bm﹣bm﹣1＝2，得出{bm}為等差數(shù)列，求得am+1﹣am＝2m﹣3+a2，利用累加法求得am=(m?2)2+(m?1)a2，再令m＝3，n＝2，得到a5+a1＝2a3+2a【解答】解：由數(shù)列{an}滿足a1＝1，且am+n+am﹣n＝2am+2an，令n＝1，可得am+1+am﹣1＝2am+2a1＝2am+2，即（am+1﹣am）﹣（am﹣am﹣1）＝2，再令bm＝am+1﹣am，可得bm﹣bm﹣1＝2，即數(shù)列{bm}是公差為2的等差數(shù)列，又由b1＝a2﹣a1＝a2﹣1，可得bm＝2m﹣3+a2，即am+1﹣am＝2m﹣3+a2，又由am即am=(m?2)2+(m?1)a2，所以a3＝1+2a2令m＝3，n＝2，可得a5+a1＝2a3+2a2，代入可得9+4a2+1＝2（1+2a2）+2a2，解得a2＝4，所以am即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an所以S7故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的定義和累加法求通項(xiàng)，屬于中檔題．9．（2024?開(kāi)福區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)f（x）＝x2﹣bx+c（b＞0，c＞0）的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x1，x2，若x1，x2，﹣1三個(gè)數(shù)適當(dāng)調(diào)整順序后可為等差數(shù)列，也可為等比數(shù)列，則不等式x?bx?cA．(1，52] C．(?∞，1)∪[52，+∞)【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】A【分析】根據(jù)題意，得到x1，x2是x2﹣bx+c＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根據(jù)，可得x1+x2＝b，x1x2＝c，不妨設(shè)x1＜x2，得到x1x2=(?1)【解答】解：由函數(shù)f（x）＝x2﹣bx+c（b＞0，c＞0）的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x1，x2，即x1，x2是x2﹣bx+c＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根據(jù)，則x1+x2＝b，x1x2＝c，因?yàn)閎＞0，c＞0，可得x1＞0，x2＞0，又因?yàn)閤1，x2，﹣1適當(dāng)調(diào)整可以是等差數(shù)列和等比數(shù)列，不妨設(shè)x1＜x2，可得x1x2所以x1+x則不等式x?bx?c≤0，即為x?52x?1故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次不等式與分式不等式的求解，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．10．（2024秋?泰州月考）一只蝸牛從數(shù)軸原點(diǎn)出發(fā)向正方向前進(jìn)1個(gè)單位長(zhǎng)度，接著后退12個(gè)單位長(zhǎng)度，然后再前進(jìn)14個(gè)單位長(zhǎng)度，接著后退A．34 B．23 C．5?1【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，依次求出該蝸牛一次前進(jìn)一次后退前進(jìn)的距離，求出通項(xiàng)公式，再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出前進(jìn)的總距離即可得解．【解答】解：該蝸牛一次前進(jìn)一次后退，稱為一次行動(dòng)，在第1次行動(dòng)中，蝸牛前進(jìn)了1?1在第2次行動(dòng)中，蝸牛前進(jìn)了14在第3次行動(dòng)中，蝸牛前進(jìn)了116因此在第n次行動(dòng)中，蝸牛前進(jìn)了xnn次行動(dòng)后，蝸?？偣睬斑M(jìn)了Sn數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，且恒有Sn經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間，即當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，(14)n將趨近于0，S所以經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間后，蝸牛將始終會(huì)在坐標(biāo)為23的位置附近前后爬行，B正確，ACD故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．二．多選題（共5小題）（多選）11．（2023秋?解放區(qū)校級(jí)月考）設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1＝2，an+1A．{an}是遞增數(shù)列 B．{1aC．a(chǎn)1+2a2+3a3+?+10a10＝65 D．當(dāng)n≥2時(shí)，a1a2?an﹣1（an﹣1）＝1【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】BCD【分析】由題意可得an＞0，且an≠1，由基本不等式可判斷A；由等差數(shù)列的定義可判斷B；由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式，計(jì)算可判斷C；由累乘法可判斷D．【解答】解：由a1＝2，an+1=2?1an，知a所以an+1?an=2?1an?an＜2?21由an+1=2?1所以1an+1?1所以{1an因?yàn)?a1?1=1，所以所以a1+2a當(dāng)n≥2時(shí)，a1a2故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由數(shù)列的遞推式求通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和等，屬于中檔題．（多選）12．（2024秋?江西月考）下列函數(shù)中，存在數(shù)列{an}使得a1，a2，a3和f（a1），f（a2），f（a3）都是公差不為0的等差數(shù)列的是（）A．f（x）＝tanx B．f（x）＝log2x C．f（x）＝x2024 D．f(x)=lg【考點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】AD【分析】轉(zhuǎn)化為選項(xiàng)所給函數(shù)與一次函數(shù)是否存在3個(gè)交點(diǎn)，且其中一個(gè)交點(diǎn)是另外兩個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)，即可滿足題意，A選項(xiàng)，根據(jù)f（x）＝tanx為奇函數(shù)，過(guò)原點(diǎn)的直線滿足要求，A正確；BC選項(xiàng)，不會(huì)有3個(gè)交點(diǎn)，舍去；D選項(xiàng)，判斷出f(x)=lg1+x1?x為奇函數(shù)，與過(guò)原點(diǎn)的直線會(huì)和函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，且原點(diǎn)是另外兩個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)，【解答】解：該題可轉(zhuǎn)化為判斷選項(xiàng)所給函數(shù)與一次函數(shù)是否存在3個(gè)交點(diǎn)，且其中一個(gè)交點(diǎn)是另外兩個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)，即可滿足題意，A選項(xiàng)，f（x）＝tanx為奇函數(shù)，過(guò)原點(diǎn)的直線與f（x）＝tanx有多個(gè)交點(diǎn)（包含原點(diǎn)），其中原點(diǎn)為兩個(gè)對(duì)稱交點(diǎn)的中點(diǎn)，滿足題意，故A正確；B選項(xiàng)，由于f（x）＝log2x與一次函數(shù)y＝kx+m最多兩個(gè)交點(diǎn)，不可能有三個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，f（x）＝x2024為偶函數(shù)，且與二次函數(shù)圖象形狀類似，與一次函數(shù)y＝kx+m最多兩個(gè)交點(diǎn)，不可能有三個(gè)交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，令1+x1?x＞0，解得﹣1＜x＜1，故又f(?x)=lg1?x1+x=?lgt=1+x1?x=?1+21?x在x∈（﹣1，1）上單調(diào)遞增，且y＝由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，f（x）在（﹣1，1）上單調(diào)遞增，且f（0）＝0，x→1時(shí)，f(x)=lg1+x故過(guò)原點(diǎn)的直線可以與奇函數(shù)f(x)=lg1+x且原點(diǎn)是另外兩個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)，故D正確．故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．（多選）13．（2024秋?廣西月考）數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1A．?dāng)?shù)列{an}是遞增數(shù)列 B．a(chǎn)n+2C．a(chǎn)n+1＜D．i=1n【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；排列及排列數(shù)公式．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】AB【分析】直接利用數(shù)列的關(guān)系式的變換和組合數(shù)的變換求出結(jié)果．【解答】解：設(shè)a，b，t∈N*，(a+t+b)!(a+t)!b!同理(a+t+b+m)!(a+t)!(b+m)!＞(a+b)!a!b!，a，b，t，m∈N*，而a2＝2＞a1，假設(shè)an+1對(duì)于A：an+1?a對(duì)于B：an(an)!(an+1)!=(an+1)!an對(duì)于C：2an+1=2?(an+n)!an!n!，對(duì)于D：當(dāng)n＝1時(shí)，關(guān)系式i=1n(a故選：AB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式，組合數(shù)的變換，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．（多選）14．（2024春?啟東市期中）某同學(xué)玩一種跳棋游戲，拋擲一枚質(zhì)地均勻且標(biāo)有數(shù)字1～6的骰子，規(guī)定：若擲得數(shù)字小于或等于4，則前進(jìn)1步；若擲得數(shù)字大于4，則前進(jìn)2步．每次投擲互不影響，記某同學(xué)一共前進(jìn)n步的概率為pn，則（）A．p2B．p3C．pnD．p【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用；n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；概率與統(tǒng)計(jì)；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】BCD【分析】首先說(shuō)明每投擲一次骰子，前進(jìn)一步的概率為P1=46=23，前進(jìn)兩步的概率為P2=26=1【解答】解：每投擲一次骰子，前進(jìn)一步的概率為P1=46=對(duì)于A，一共前進(jìn)了2步，可能是第一次前進(jìn)了兩步，或第一次、第二次各前進(jìn)一步，所以p2=1對(duì)于B，一共前進(jìn)了3步，可能是第一次前進(jìn)了兩步且第二次前進(jìn)了一步，或第一次前進(jìn)了一步且第二次前進(jìn)了兩步，或三次各前進(jìn)一步，所以p3=2×1對(duì)于C，一共前進(jìn)了n+2步，可能是前進(jìn)n步后繼續(xù)前進(jìn)2步，或前進(jìn)n+1步后，繼續(xù)前進(jìn)1步，所以pn+2=13p對(duì)于D，因?yàn)閜n+2=1所以數(shù)列{pn+1﹣pn}是以p2?p所以pn+1?p所以數(shù)列{pn+1+所以pn+1=1?1解得pn所以p2n=3故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查綜合應(yīng)用概率和數(shù)列的知識(shí)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．（多選）15．（2024?遼寧模擬）等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn與Tn，且S2nA．當(dāng)an＝2n﹣1時(shí)，T4＝52 B．當(dāng)Sn=n2時(shí)，bnC．4（a4+a7）＝5b3 D．a(chǎn)【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】AC【分析】由Sn=n(【解答】解；于A：因?yàn)閍n＝2n﹣1，所以Sn=代入S2nTn=4n3n+1得Tn＝n（3n對(duì)于B：由A知Tn＝n（3n+1），由bn=T1，n=1Tn?對(duì)于C：由S2n所以S10所以4（a4+a7）＝5b3，故C正確．對(duì)于D：由C知S2n所以S14T7故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2023秋?大武口區(qū)校級(jí)月考）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且﹣a1，34a2，a3成等差數(shù)列，若a1＝1，則S4【考點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】方程思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】15．【分析】由﹣a1，34a2，a3【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)椹乤1，34a2，所以2×3所以2×3因?yàn)閍1＝1，且各項(xiàng)均為正數(shù)，所以解得q＝2，所以S4故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．17．（2024?南京自主招生）已知f(m)=m?1，m為奇數(shù)m2，m偶數(shù)，若a0=k=020244k，an+1＝f【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】6073．【分析】根據(jù)遞推公式，逐步計(jì)算各項(xiàng)分析即可．【解答】解：由題意，a0a1a2=f(aa4故a7=4則a10+3×2020=41，即a6070＝4，a6071＝2，a6072故滿足ak＝0的最小k為6073．故答案為：6073．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，以及數(shù)列的遞推式，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．18．（2024?蜀山區(qū)自主招生）(1+2)2024【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】9．【分析】設(shè)an＝（1+2）n+（1?2）n，由二項(xiàng)式定理推得a2024為整數(shù)，考慮（1?2）【解答】解：設(shè)an＝（1+2）n+（1?2）則a2024＝（1+2）2024+（1?2）由二項(xiàng)式定理可得a2024為整數(shù)，而（1?2）2024＝（2?1）2024故所求小數(shù)點(diǎn)后第100個(gè)數(shù)字為9．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列與二項(xiàng)式定理的綜合，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．19．（2024?河池模擬）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，對(duì)?n≥2有an+1an﹣1＝kan，k為正整數(shù)，使a1024＝1024成立的k的值為32．【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】整體思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】32．【分析】由已知遞推關(guān)系求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，尋求數(shù)列項(xiàng)的周期性規(guī)律，結(jié)合周期即可求解．【解答】解：因?yàn)閿?shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，對(duì)?n≥2有an+1an﹣1＝kan，所以an+1=k所以a3=ka2a1=2k，a4=ka3a2=k2，a5=故數(shù)列{an}是以6為周期的周期數(shù)列，則a1024＝a4＝k2＝1024，則k＝32．故答案為：32．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)列遞推關(guān)系在數(shù)列項(xiàng)的求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．20．（2024秋?遼寧月考）已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（1）＝1，且對(duì)任意x＜0，均有f(1x)=xf(11?x)【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】22018【分析】要利用數(shù)列的遞推思想和累乘法來(lái)求出f(1【解答】解：令an=f(1n)，則a又由f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則?f(1n)=(?n)f(1n+1)，即a所以a2=a1a當(dāng)n＝1時(shí)，由于0?。?，所以a1＝1也滿足上式，即an所以f(1k=11010因?yàn)镃2019k=由于C2019由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)可得：C2019則k=11010故答案為：22018【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的遞推式，屬于中檔題．四．解答題（共5小題）21．（2024秋?福建月考）已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Sn＝2an﹣4n+2．（1）求證：數(shù)列{an+4}為等比數(shù)列；（2）令bn=2an【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）5．【分析】（1）利用an與Sn的關(guān)系式可得an＝2an﹣1+4，即an+4＝2（an﹣1+4），即可得證．（2）由（1）可得an+4=6?2n?1，則bn=13×(12)n?1，設(shè)b1+b2+?+bn＝T【解答】解：（1）證明：由Sn＝2an﹣4n+2可得，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2a1﹣4+2，解得a1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣1＝2an﹣1﹣4（n﹣1）+2，即Sn﹣1＝2an﹣1﹣4n+6，則an＝Sn﹣Sn﹣1＝（2an﹣4n+2）﹣（2an﹣1﹣4n+6）an＝2an﹣2an﹣1﹣4，即an＝2an﹣1+4，即an+4＝2（an﹣1+4），即an又a1+4＝6，所以數(shù)列{an+4}是首項(xiàng)為6，公比為2的等比數(shù)列．（2）由（1）得an+4=6?2設(shè)b1+b2+?+bn＝Tn，則T=1=1令13×(2?1即2n﹣1＜20，即2n＜40，又n∈N*，25＝32，26＝64，所以滿足條件的最大整數(shù)為n為5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和的關(guān)系，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．22．（2024?黔東南州開(kāi)學(xué)）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若存在正整數(shù)k，使得對(duì)任意正整數(shù)n，均有ka1+k2a（1）若an＝c＞0，且{an}為“k型”數(shù)列，求k的最小值；（2）若{an}為“3型”數(shù)列，且ai∈{0，1}（i＝1，2，…，n），設(shè)Sn的所有可能值個(gè)數(shù)為T(mén)（n），證明：i=12024【考點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合．【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理．【答案】（1）3．（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)條件可先得出k+k2+?+kn＞2n，取n＝1得出k＞2，再利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)適當(dāng)放縮可證明k＝3滿足條件，從而得出結(jié)果；（2）先根據(jù)條件得出a1＝1，再設(shè){an}的前n項(xiàng)中有m（1≤m≤n）項(xiàng)為1，其余項(xiàng)為0，利用適當(dāng)放縮得出對(duì)任意m（1≤m≤n），均有{an}為“3型”數(shù)列，最后利用等比數(shù)列求和公式即可證明結(jié)論．【解答】解：（1）因?yàn)閍n＝c＞0，所以Sn＝nan＝nc＞0．又{an}為“k型”數(shù)列，所以對(duì)任意正整數(shù)n，均有ka即k+k2+?+kn＞2n．當(dāng)n＝1時(shí)，k＞2．因?yàn)閗∈N*，所以當(dāng)k＝3時(shí)，k+k2+?+kn＞2+22+?+2n≥2+2+?+2＝2n，從而3a1+3故k的最小值為3．（2）由題意可知3a因?yàn)閍i∈{0，1}（i＝1，2，?，n），令n＝1，則3a1＞2a1，所以a1＝1，所以{an}中至少有一項(xiàng)為1．設(shè){an}的前n項(xiàng)中有m（1≤m≤n）項(xiàng)為1，其余項(xiàng)為0，則Sn＝m×1+（n﹣m）×0＝m．不妨設(shè)ai則i1＝1，i2≥2，…，im﹣1≥m﹣1，im≥m，從而3i因?yàn)?a所以3a則對(duì)任意m（1≤m≤n），均有{an}為“3型”數(shù)列，故Sn的所有可能值個(gè)數(shù)為n，即T（n）＝n，從而i=12024【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列與函數(shù)綜合應(yīng)用，屬于難題．23．（2024秋?廣西月考）數(shù)列{an}是正項(xiàng)遞增數(shù)列，由數(shù)列{an}中所有項(xiàng)構(gòu)成集合A，它的任意一個(gè)子集記為?k，定義集合B是每一個(gè)子集中的所有數(shù)之和（即分別寫(xiě)出1個(gè)數(shù)，2個(gè)數(shù)，…n個(gè)數(shù)之和）．（1）若A＝{1，2，3}，寫(xiě)出?1，?3以及集合B；（2）an＝n，將集合B中的元素分成n組，要求每組中最大項(xiàng)與最小項(xiàng)之比不超過(guò)2，證明一個(gè)符合題意的分組；（3）A＝{a1，a2，a3，…，an}，將集合B中的元素分成n組，要求與（2）相同，證明存在這個(gè)分組．【考點(diǎn)】數(shù)列的單調(diào)性；集合中元素個(gè)數(shù)的最值．【專題】新定義；轉(zhuǎn)化思想；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）?1＝{1}或{2}或{3}，?2＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5，6}；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）直接由?k、集合B的定義即可求解；（2）通過(guò)分析得知，只需證明n(n+1)2＜2n+1?2，構(gòu)造函數(shù)f（n）＝n2+n+4﹣4?2n（3）分析得知只需證明?s?(b【解答】解：（1）?1＝{1}或{2}或{3}，?2＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5，6}，（2）證明：不難發(fā)現(xiàn)B={1，2，3，??????，n(n+1)2}不妨讓最大數(shù)與最小數(shù)之比等于2，可以分為[1，2]，[3，6]，[7，14]，……，[n(n+1)假設(shè)分為n組，這樣最后一個(gè)數(shù)是第i=1n只需證明n(n+1)?n（n+1）+4＜4?2n?n2+n+4＜4?2n，令f（n）＝n2+n+4﹣4?2n，只需f（n）＜0，f′（n）＝2n+1﹣2n（4ln2），f″（n）＝2﹣2n?4?（ln2）2＜0，所以f′（n）在n∈N*上單調(diào)遞減，所以f′（n）＜f′（1）＜0，所以f（n）＝n2+n+4﹣4?2n＜f（1）＜0，所以n(n+1)2即不必分至n組即可將n(n+1)2在已經(jīng)分好的組中再多分幾組，均可滿足題意，僅[n(n+1)4，n(n+1)4故可分至n組，故該分組符合題意；（3）證明：要證12bk＜s＜bk，其中bk＝a1+a2只需證明?s?(b假設(shè)s＞bk＝a1+a2+???+ak，從而?ai∈s，ai≥ak+1使得s≥ak+1，所以2s＞a1+a2+???+ak+ak+1＝bk，所以s＞1故存在這樣的分組．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于新概念題，考查了轉(zhuǎn)化思想、導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用及邏輯推理能力，屬于難題．24．（2024?歷城區(qū)校級(jí)模擬）已知復(fù)數(shù)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=inn2（i是虛數(shù)單位），Sn（1）求a1，a2，a3，a4的值；（2）求證：2n+1＞|a（3）求{S4n}的通項(xiàng)公式．【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）a1＝i，a2＝﹣4，a3＝﹣9i，a4＝16；（2）證明見(jiàn)解析；（3）S4n【分析】（1）根據(jù)通項(xiàng)公式直接求解即可；（2）分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)，求出ann+an+1n+1，從而可求得|ann+an+1（3）根據(jù)通項(xiàng)公式結(jié)合復(fù)數(shù)的周期求出a4n﹣3，a4n﹣2，a4n﹣1，a4n，然后利用分組并項(xiàng)求和法可求得結(jié)果．【解答】解：（1）因?yàn)閍n=i所以a1＝i，a2＝﹣4，a3＝﹣9i，a4＝16；（2）證明：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an因此無(wú)論n為奇數(shù)還是偶數(shù)，|a（2n+1）2﹣[n2+（n+1）2]＝2n2+2n，當(dāng)n＞0時(shí)，上式大于0．所以（2n+1）2＞n2+（n+1）2，即2n+1＞n（3）因?yàn)閍n=i所以a4n?3所以a4n?3a4n?2所以S4n＝（a1+a3）+…+（a4n﹣3+a4n﹣1）+（a2+a4）+…+（a4n﹣2+a4n）＝（8﹣16）i+（8﹣16×2）i+???+（8﹣16n）i+（16×1﹣4）+（16×2﹣4）+???+（16n﹣4）＝[8n﹣16×（1+2+???+n）]i+16×（1+2+???+n）﹣4n＝[8n﹣8n（n+1）]i+8n（n+1）﹣4n＝8n2（1﹣i）+4n．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列與復(fù)數(shù)的綜合，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式、并項(xiàng)求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．25．（2024?東城區(qū)一模）有窮數(shù)列a1，a2，…，an（n＞2）中，令S（p，q）＝ap+ap+1+…+aq（1≤p≤q≤n，p，q∈N*），當(dāng)p＝q時(shí)，規(guī)定S（p，q）＝ap．（Ⅰ）已知數(shù)列﹣3，2，﹣1，3，寫(xiě)出所有的有序數(shù)對(duì)（p，q），且p＜q，使得S（p，q）＞0；（Ⅱ）已知整數(shù)列a1，a2，…，an，n為偶數(shù)，若S(i，n?i+1)(i=1，2，?，n2)，滿足：當(dāng)i為奇數(shù)時(shí)，S（i，n﹣i+1）＞0；當(dāng)i為偶數(shù)時(shí)，S（i，n﹣i+1）＜0．求|a1|+|a2|+…+|（Ⅲ）已知數(shù)列a1，a2，…，an滿足S（1，n）＞0，定義集合A＝{i|S（i+1，n）＞0，i＝1，2，…，n﹣1}．若A＝{i1，i2，…，ik}（k∈N*）且為非空集合，求證：S(1，n)＞a【考點(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列的應(yīng)用；數(shù)列的求和．【專題】整體思想；定義法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）（1，4）、（2，3）、（2，4）、（3，4）；（2）n﹣1；（3）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）結(jié)合題意，逐個(gè)計(jì)算即可得；（2）由題意可得S（1，n）＞0，S（2，n﹣1）＜0，可得當(dāng)i≠n2時(shí)，有|ai|+|an﹣i+1|≥2，當(dāng)i=n2時(shí)，|an2+an2+1|≥1，結(jié)合|ai|+|an﹣i（3）將S(1，n)?(ai1+ai2+?+aik)展開(kāi)，從而得到證明aim與a【解答】解：（1）（p，q）為（1，4）時(shí)，S（p，q）＝﹣3+2+（﹣1）+3＝1＞0，（p，q）為（2，3）時(shí)，S（p，q）＝2+（﹣1）＝1＞0，（p，q）為（2，4）時(shí)，S（p，q）＝2+（﹣1）+3＝4＞0，（p，q）為（3，4）時(shí)，S（p，q）＝（﹣1）+3＝2＞0，故p＜q，且使得S（p，q）＞0的有序數(shù)對(duì)有（1，4）、（2，3）、（2，4）、（3，4）；（2）由題意可得S（1，n）＞0，S（2，n﹣1）＜0，又an為整數(shù)，故S（1，n）≥1，S（2，n﹣1）≤﹣1，則S（1，n）﹣S（2，n﹣1）＝a1+an≥2，同理可得S（2，n﹣1）﹣S（3，n﹣2）＝a2+an﹣1≤﹣2，即有|a2+an﹣1|≥2，同理可得，當(dāng)i≠n2時(shí)，有|ai+an﹣i即當(dāng)i≠n2時(shí)，有|ai|+|an﹣i+1|≥|ai+an﹣i當(dāng)i=n2時(shí)，|S(n故|a1|+|a2|+?+|an|＝（|a1|+|an|）+（|a2|+|an﹣1|）+?+（|an2|+|an2+1|）≥（|a1+an|）+（|a2=2(n?2（3）證明：對(duì)于數(shù)列a1a2，…an，A＝{i1，i2，?，ik}，不妨設(shè)i1＜i2＜?＜ik，①首先考慮im﹣im﹣1≥2（m＝1，2，?，k），2≤i1＜ik≤n﹣1的情況，由于S（i1，n）≤0，S（i1+1，n）＞0，故ai1＜0同理a故S(1，n)＞0＞a②再考慮i1，i2，…，ik中有連續(xù)一段是連續(xù)的正整數(shù)的情況，此時(shí)ip﹣1?A，iq+1?A，im+1﹣im＝1，（m＝p，p+1，…，q﹣1），1≤p≤q﹣1≤k﹣1，因?yàn)镾(ip，n)?S(iq+1，n)=aip+1+aip+2故這說(shuō)明此連續(xù)的q﹣p項(xiàng)的和為負(fù)．同理，當(dāng)含有多段的連續(xù)正整數(shù)的情況時(shí)，每段的和為負(fù)，再由①中結(jié)論，可得S(1，n)＞0＞a③若在①②中i1＝1，i2＝2，…，im＝m，im+1?A，由于S（im+1，n）＞0，此時(shí)去掉前m項(xiàng)，則可轉(zhuǎn)化①②的情況，所以有S(1，n)＞0＞a④若A＝{1，2，3，…，m}（m≤n﹣1），則am+1+am+2+?+an＞0，所以此時(shí)有S（1，n）＞ai1綜上，結(jié)論成立．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列新定義問(wèn)題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行合理的計(jì)算、分析、推理等方法綜合解決．

考點(diǎn)卡片1．集合中元素個(gè)數(shù)的最值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】求集合中元素個(gè)數(shù)的最大（小）值問(wèn)題的方法通常有：類分法、構(gòu)造法、反證法、一般問(wèn)題特殊化、特殊問(wèn)題一般化等．需要注意的是，有時(shí)一道題需要綜合運(yùn)用幾種方法才能解決．2．?dāng)?shù)列的單調(diào)性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】數(shù)列的單調(diào)性是指數(shù)列是遞增還是遞減的性質(zhì)．由于數(shù)列{an}中的每一項(xiàng)an與它的序號(hào)n是一一對(duì)應(yīng)的，所以數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號(hào)n，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項(xiàng)an，記為an＝f（n）．也就是說(shuō)，當(dāng)自變量從1開(kāi)始，按照從小到大的順序依次取值時(shí)，對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值f（1），f（2），…，f（n），…就是數(shù)列{an}．【解題方法點(diǎn)撥】﹣定義判斷：根據(jù)數(shù)列的定義或通項(xiàng)公式判斷其單調(diào)性．﹣遞推關(guān)系：利用數(shù)列的遞推關(guān)系分析其單調(diào)性．﹣數(shù)列差：分析數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的差an+1﹣an的符號(hào)判斷單調(diào)性．【命題方向】常見(jiàn)題型包括利用定義、遞推關(guān)系、數(shù)列差判斷數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合具體數(shù)列進(jìn)行分析．下列通項(xiàng)公式中，對(duì)應(yīng)數(shù)列是遞增數(shù)列的是（）A．a(chǎn)n＝1﹣nB.aC．a(chǎn)n＝2n2﹣5n+1D.a解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，an＝1﹣n，有an+1﹣an＝1﹣（n+1）﹣1+n＝﹣1，是遞減數(shù)列，不符合題意，對(duì)于B，an=14n，有an+1﹣a對(duì)于C，an＝2n2﹣5n+1，有an+1﹣an＝2（n+1）2﹣5（n+1）+1﹣2n2+5n﹣1＝4n﹣3，由于n≥1，則an+1﹣an＝4n﹣3＞0，是遞增數(shù)列，符合題意，對(duì)于D，an=n+3，n≤2，2n?1，n＞2，則故選：C．3．等差數(shù)列的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等差數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an＝a1+（n﹣1）d；前n項(xiàng)和公式為：Sn＝na1+d2n（n﹣1）或Sn=n(a1+an)2（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，則有2am＝ap等差數(shù)列的性質(zhì)（1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；（2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)和相等，并且等于首末兩項(xiàng)之和；（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，則as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項(xiàng)，特別地，當(dāng)s+t＝2p時(shí)，有as+at＝2ap；（5）若數(shù)列{an}，{bn}均是等差數(shù)列，則數(shù)列{man+kbn}仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍為等差數(shù)列，公差為﹣d．（7）從第二項(xiàng)開(kāi)始起，每一項(xiàng)是與它相鄰兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，也是與它等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍為等差數(shù)列，公差為kd（首項(xiàng)不一定選a1）．【解題方法點(diǎn)撥】例：已知等差數(shù)列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6為方程x2﹣10x+16＝0的兩個(gè)實(shí)根．（1）求此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）268是不是此數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第多少項(xiàng)？若不是，說(shuō)明理由．解：（1）由已知條件得a3＝2，a6＝8．又∵{an}為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此數(shù)列的第136項(xiàng)．這是一個(gè)很典型的等差數(shù)列題，第一問(wèn)告訴你第幾項(xiàng)和第幾項(xiàng)是多少，然后套用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首項(xiàng)和公差d，這樣等差數(shù)列就求出來(lái)了．第二問(wèn)判斷某個(gè)數(shù)是不是等差數(shù)列的某一項(xiàng)，其實(shí)就是要你檢驗(yàn)看符不符合通項(xiàng)公式，帶進(jìn)去檢驗(yàn)一下就是的．4．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等差數(shù)列是常見(jiàn)數(shù)列的一種，數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，已知等差數(shù)列的首項(xiàng)a1，公差d，那么第n項(xiàng)為an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m項(xiàng)為am，則第n項(xiàng)為an＝am+（n﹣m）d．【解題方法點(diǎn)撥】eg1：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2+1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并判斷{an}是不是等差數(shù)列解：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝12+1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴an=2，n=1把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{an}不是等差數(shù)列考察了對(duì)概念的理解，除掉第一項(xiàng)這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，但如果把首項(xiàng)放進(jìn)去的話就不是等差數(shù)列，題中an的求法是數(shù)列當(dāng)中常用到的方式，大家可以熟記一下．eg2：已知等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)分別為a﹣1，2a+1，a+7則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為解：∵等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)分別為a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．這個(gè)題很好的考察了的呢公差數(shù)列的一個(gè)重要性質(zhì)，即等差中項(xiàng)的特點(diǎn)，通過(guò)這個(gè)性質(zhì)然后解方程一樣求出首項(xiàng)和公差即可．【命題方向】求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是一種很常見(jiàn)的題型，這里面往往用的最多的就是等差中項(xiàng)的性質(zhì)，這也是學(xué)習(xí)或者復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)重點(diǎn)掌握的知識(shí)點(diǎn)．5．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等差數(shù)列是常見(jiàn)數(shù)列的一種，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S【解題方法點(diǎn)撥】eg1：設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若公差d＝1，S5＝15，則S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+5×42d＝5a1+10＝15，即a則S10＝10a1+10×92故答案為：55點(diǎn)評(píng)：此題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出首項(xiàng)a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝4n2﹣25n．求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)的和Tn．解：∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，該等差數(shù)列為﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3項(xiàng)為負(fù)，其和為S3＝﹣39．∴n≤3時(shí)，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴Tn點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)的絕對(duì)值的和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．其實(shí)方法都是一樣的，要么求出首項(xiàng)和公差，要么求出首項(xiàng)和第n項(xiàng)的值．【命題方向】等差數(shù)列比較常見(jiàn)，單獨(dú)考察等差數(shù)列的題也比較簡(jiǎn)單，一般單獨(dú)考察是以小題出現(xiàn)，大題一般要考察的話會(huì)結(jié)合等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)考察，特別是錯(cuò)位相減法的運(yùn)用．6．等比數(shù)列的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等比數(shù)列（又名幾何數(shù)列），是一種特殊數(shù)列．如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，因?yàn)榈诙?xiàng)與第一項(xiàng)的比和第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的比相等，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1時(shí)，an為常數(shù)列．等比數(shù)列和等差數(shù)列一樣，也有一些通項(xiàng)公式：①第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式，an＝a1qn﹣1，這里a1為首項(xiàng)，q為公比，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)通項(xiàng)公式其實(shí)就是指數(shù)函數(shù)上孤立的點(diǎn)．②求和公式，Sn=a1(1?qn)1?q，表示的是前面n項(xiàng)的和．③若m+n＝q+p，且都為正整數(shù)，那么有am?an等比數(shù)列的性質(zhì)（1）通項(xiàng)公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調(diào)性：a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1?{an}是遞增數(shù)列；a1＞00＜q＜1或?a1＜0q＞1{an}是遞減數(shù)列；q＝1【解題方法點(diǎn)撥】例：2，x，y，z，18成等比數(shù)列，則y＝．解：由2，x，y，z，18成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案為：6．本題的解法主要是運(yùn)用了等比數(shù)列第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式，這也是一個(gè)常用的方法，即知道某兩項(xiàng)的值然后求出公比，繼而可以以已知項(xiàng)為首項(xiàng)，求出其余的項(xiàng)．關(guān)鍵是對(duì)公式的掌握，方法就是待定系數(shù)法．7．等比數(shù)列的概念與判定【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等比數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，因?yàn)榈诙?xiàng)與第一項(xiàng)的比和第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的比相等，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1時(shí)，an為常數(shù)列．【解題方法點(diǎn)撥】﹣定義：對(duì)于等比數(shù)列an，如果存在常數(shù)r使得an+1an﹣判定：可以通過(guò)計(jì)算相鄰兩項(xiàng)的比值是否相同來(lái)判定是否為等比數(shù)列．﹣公式：通項(xiàng)公式為an=a1?r【命題方向】常見(jiàn)題型包括給出數(shù)列的若干項(xiàng)，判斷是否為等比數(shù)列，以及求解公比和通項(xiàng)公式．下面四個(gè)數(shù)列中是等比數(shù)列的為_(kāi)____．（填序號(hào)）①1，1，2，4，8，16，32，64；②在數(shù)列{an}中，已知a2a1③常數(shù)列a，a，?，a，?；④在數(shù)列{an}中，an+1an=q（q為常數(shù)，且q≠0），其中n解：對(duì)于①，∵11≠2對(duì)于②，在數(shù)列{an}中，由a2a1=2，∴不能得到數(shù)列{an}是等比數(shù)列，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，常數(shù)列a，a，?，a，?中，當(dāng)a＝0時(shí)，該數(shù)列是等比數(shù)列，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，在數(shù)列{an}中，an+1an=q（q為常數(shù)，且q≠0），其中n由等比數(shù)列的定義，得數(shù)列{an}是等比數(shù)列，故④正確．故答案為：④．8．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列{an}的公比為q（q≠0），其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=a2．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)公比不為﹣1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn．9．求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列{an}的公比為q（q≠0），其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=a2．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)公比不為﹣1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn．【解題方法點(diǎn)撥】﹣代入計(jì)算：將具體問(wèn)題中的n值和公比r代入前n項(xiàng)和公式，計(jì)算數(shù)列的前n項(xiàng)和．﹣公式推導(dǎo)：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題推導(dǎo)出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．﹣綜合應(yīng)用：將前n項(xiàng)和公式與其他數(shù)列性質(zhì)結(jié)合，解決復(fù)雜問(wèn)題．【命題方向】常見(jiàn)題型包括利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算具體和，推導(dǎo)數(shù)列和公式，解決實(shí)際問(wèn)題．設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a2＝﹣1，a1﹣a3＝﹣3，則S6＝_____．解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由于a1+a2＝﹣1，a1﹣a3＝﹣3，則a1+a故S610．?dāng)?shù)列的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、數(shù)列與函數(shù)的綜合2、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合3、數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用數(shù)列與銀行利率、產(chǎn)品利潤(rùn)、人口增長(zhǎng)等實(shí)際問(wèn)題的結(jié)合．11．?dāng)?shù)列的求和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】就是求出這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和，一般來(lái)說(shuō)要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1+12n（n﹣1）d或S②等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：③幾個(gè)常用數(shù)列的求和公式：（2）錯(cuò)位相減法：適用于求數(shù)列{an×bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．（3）裂項(xiàng)相消法：適用于求數(shù)列{1anan+1}的前n項(xiàng)和，其中{an}為各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，即（4）倒序相加法：推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)（a1+an）．（5）分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可．【解題方法點(diǎn)撥】典例1：已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n項(xiàng)和為Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn=1an2?1（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前分析：形如{111×3=1=50解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴a1+2d=72a1+10d=26∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn=3n+n(n?1)2×2=n2（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn=1∴Tn=1即數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=n點(diǎn)評(píng)：該題的第二問(wèn)用的關(guān)鍵方法就是裂項(xiàng)求和法，這也是數(shù)列求和當(dāng)中常用的方法，就像友情提示那樣，兩個(gè)等差數(shù)列相乘并作為分母的一般就可以用裂項(xiàng)求和．【命題方向】數(shù)列求和基本上是必考點(diǎn)，大家要學(xué)會(huì)上面所列的幾種最基本的方法，即便是放縮也要往這里面考．12．?dāng)?shù)列遞推式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、遞推公式定義：如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an﹣1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．2、數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式：an=s在數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式an的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個(gè)重點(diǎn)，要認(rèn)真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n≥2，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1）；若a1適合由an的表達(dá)式，則an不必表達(dá)成分段形式，可化統(tǒng)一為一個(gè)式子．（2）一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含an或Sn的關(guān)系式，然后再求解．【解題方法點(diǎn)撥】數(shù)列的通項(xiàng)的求法：（1）公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an=sn?sn?1;;n≥2（3）已知a1?a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，=f(1)（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知an+1an=f（n）求an，用累乘法：an（6）已知遞推關(guān)系求an，有時(shí)也可以用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）．特別地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an．②形如an=a（7）求通項(xiàng)公式，也可以由數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行歸納猜想，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．13．?dāng)?shù)列與函數(shù)的綜合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】數(shù)列的函數(shù)特性：等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式中共涉及五個(gè)量a1，an，q，n，Sn，知三求二，體現(xiàn)了方程的思想的應(yīng)用．解答數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題要善于綜合運(yùn)用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項(xiàng)等方法來(lái)分析、解決問(wèn)題．【解題方法點(diǎn)撥】1．在解決有關(guān)數(shù)列的具體應(yīng)用問(wèn)題時(shí)：（1）要讀懂題意，理解實(shí)際背景，領(lǐng)悟其數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，舍棄與解題無(wú)關(guān)的非本質(zhì)性東西；（2）準(zhǔn)確地歸納其中的數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型；（3）根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型的知識(shí)系統(tǒng)，解出數(shù)學(xué)模型的結(jié)果；（4）最后再回到實(shí)際問(wèn)題中去，從而得到答案．2．在求數(shù)列的相關(guān)和時(shí)，要注意以下幾個(gè)方面的問(wèn)題：（1）直接用公式求和時(shí)，注意公式的應(yīng)用范圍和公式的推導(dǎo)過(guò)程．（2）注意觀察數(shù)列的特點(diǎn)和規(guī)律，在分析數(shù)列通項(xiàng)的基礎(chǔ)上，或分解為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和．（3）求一般數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，無(wú)一般方法可循，要注意掌握某些特殊數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，觸類旁通．3．在用觀察法歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式（尤其是在處理客觀題目時(shí)）時(shí)，要注意適當(dāng)?shù)馗鶕?jù)具體問(wèn)題多計(jì)算相應(yīng)的數(shù)列的前幾項(xiàng)，否則會(huì)因?yàn)樗?jì)算的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)過(guò)少，而歸納出錯(cuò)誤的通項(xiàng)公式，從而得到錯(cuò)誤的結(jié)論．【命題方向】典例：已知f（x）＝logax（a＞0，a≠1），設(shè)數(shù)列f（a1），f（a2），f（a3），…，f（an）…是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列．（I）設(shè)a為常數(shù)，求證：{an}成等比數(shù)列；（II）設(shè)bn＝anf（an），數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和是Sn，當(dāng)a=2時(shí)，求Sn分析：（I）先利用條件求出f（an）的表達(dá)式，進(jìn)而求出{an}的通項(xiàng)公式，再用定義來(lái)證{an}是等比數(shù)列即可；（II）先求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，再對(duì)數(shù)列{bn}利用錯(cuò)位相減法求和即可．解答：證明：（I）f（an）＝4+（n﹣1）×2＝2n+2，即logaan＝2n+2，可得an＝a2n+2．∴an∴{an}為等比數(shù)列．（5分）（II）解：bn＝anf（an）＝a2n+2logaa2n+2＝（2n+2）a2n+2．（7分）當(dāng)a=2時(shí)，bSn＝2×23+3×24+4×25++（n+1）?2n+2①2Sn＝2×24+3×25+4×26++n?2n+2+（n+1）?2n+3②①﹣②得﹣Sn＝2×23+24+25++2n+2﹣（n+1）?2n+3（12分）=16+24(1?2n?1)1?2?（n+1）?2n+3＝16+2n+3﹣24﹣∴Sn＝n