第1頁（共1頁）2025年高考備考高中數(shù)學個性化分層教輔中等生篇《空間向量及其運算》一．選擇題（共10小題）1．（2023秋?浦東新區(qū)校級期末）已知四面體O﹣ABC，G是△ABC的重心，若OG→=xOA→+yOB→A．4 B．13 C．23 2．（2024春?天心區(qū)校級期末）如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，且MN=12ON，AP=34AN，用向量OA→，OB→，A．14OA→+C．14OA→3．（2024春?金壇區(qū)校級期末）已知向量a→，b→，A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．44．（2023秋?黔東南州期末）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，點D滿足PB→=4PD→，CD→=xABA．12 B．32 C．75．（2023秋?常德期末）已知空間四邊形ABCO中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，M為A．?12a→C．12a→6．（2024春?仙游縣期中）已知a→=（2，0，1），b→=（3，2，﹣5），則向量A．15（3，2，﹣5） B．138C．15（2，0，1） D．17．（2023秋?敘州區(qū)校級期末）三棱柱ABC﹣DEF中，G為棱AD的中點，若BA→=a→，BC→A．?a→+b→?c→ 8．（2024春?濱海新區(qū)校級期末）已知a→=(2，t，t)，bA．2 B．3 C．5 D．69．（2024春?綏棱縣校級期末）已知平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1的底面為矩形，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，AB＝AA1＝1，AD＝2，則|AA．3 B．3+1 C．22 10．（2024春?泗洪縣期中）已知空間單位向量a→，b→，c→A．3 B．6 C．3 D．6二．多選題（共5小題）（多選）11．（2024?宜章縣校級開學）已知單位向量i→，j→，k→兩兩所成的夾角均為θ（0＜θ＜π，且θ≠π2），若空間向量a→滿足a→=xi→+yj→+zk→(x，y，z∈R)A．已知a→=(2，0，?1)θ，B．已知a→=(x1，C．已知OA→=(1，0，0)π3，OB→=(0，1，0)πD．已知a→=(x，y，0)π3，b→=(0，0，z)π3，其中（多選）12．（2023秋?咸陽期末）在空間直角坐標系O﹣xyz中，若A（1，2，3），B（2，﹣1，0），C（﹣1，2，0），D四點可以構(gòu)成一個平行四邊形，則D的坐標可以為（）A．（0，﹣1，﹣3） B．（﹣2，5，3） C．（4，﹣1，3） D．（3，﹣2，0）（多選）13．（2023秋?博愛縣校級期末）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分別是A1B，B1C1上的點，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N，設(shè)AB→=a→，AC→=b→，AA1→=A．BAB．若MN→=xa→+yb→+zC．|MND．直線AB1與BC1所成角的余弦值為1（多選）14．（2023秋?泰安期末）已知a→=(?2，2，2)，A．a(chǎn)→+b→=(?1，4，1) C．a(chǎn)→⊥b（多選）15．（2023秋?信宜市期末）已知a→=(1，?1，?1)，b→A．|a→+bC．(a→+2三．填空題（共5小題）16．（2023秋?寶安區(qū)期末）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，已知PA→=a→，PB→=b→17．（2024春?湘西州期末）如圖，在四面體ABCD中，AB⊥平面ACD，△ACD是邊長為4的等邊三角形，AB＝3，E，F(xiàn)分別是棱AD，BC的中點，則|EF→18．（2024春?溫江區(qū)校級月考）已知點A（1，1，0）、B（0，3，0）、C（2，2，2），則向量AB→在AC→上的投影向量是19．（2024春?華安縣校級月考）已知|a→|=3，b20．（2024春?金鳳區(qū)校級期末）如圖，已知ABCD﹣A'B'C'D'是長方體．設(shè)M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面BCC'B'對角線BC'上的點，且BN＝3NC'．設(shè)MN→=αAB→+βAD→+γAA′→，則α四．解答題（共5小題）21．（2024春?興義市校級期末）如圖，四面體OABC各棱的棱長都是1，D是AB的中點，E是CD的中點，記OA→=a→，（1）用向量a→，b→，c→（2）利用向量法證明：OE⊥AB．22．（2024春?河北期末）在長方體OABC﹣D1A1B1C1中，OA=2，OC=4，OD1=42，E為B1（1）用向量AB→，AO（2）以{12OA→，14OC→，28（3）求異面直線AE與A1C所成角的余弦值．23．（2024春?廣平縣校級期末）已知a→=(3，5，?4)，（1）求a→（2）求λ、μ的值使得λa→+μb→24．（2023秋?呂梁期末）如圖，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，∠BAD=π2，∠BAA1＝∠DAA1（1）用向量AB→，AD→，AA1→（2）求BD25．（2024春?寶山區(qū)期末）從空間一點O出發(fā)作三條兩兩互相垂直的坐標軸，可以建立空間直角坐標系O﹣xyz．如果坐標系中的坐標軸不垂直；那么這樣的坐標系稱為“斜坐標系”．設(shè)Ox、Oy、Oz是空間中相互成60°角的三條坐標軸，其中i→、j→、k→（1）計算i→（2）若向量n→=xi→+yj→+zk→，則把有序數(shù)對[①求OA→②求△AOB的面積．

2025年高考備考高中數(shù)學個性化分層教輔中等生篇《空間向量及其運算》參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2023秋?浦東新區(qū)校級期末）已知四面體O﹣ABC，G是△ABC的重心，若OG→=xOA→+yOB→A．4 B．13 C．23 【考點】空間向量的數(shù)乘及線性運算．【專題】對應思想；定義法；空間向量及應用；數(shù)學運算．【答案】B【分析】取BC的中點D，根據(jù)空間向量線性運算法則及空間向量基本定理計算可得．【解答】解：因為四面體O﹣ABC，G是△ABC的重心，若OG→取BC的中點D，所以O(shè)G=1又OG→可得x=y=z=13，所以故選：B．【點評】本題考查空間向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024春?天心區(qū)校級期末）如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，且MN=12ON，AP=34AN，用向量OA→，OB→，A．14OA→+C．14OA→【考點】空間向量的數(shù)乘及線性運算．【專題】計算題；對應思想；綜合法；空間向量及應用；數(shù)學運算．【答案】A【分析】利用空間向量基本定理，空間向量的線性運算求解即可．【解答】解：∵M是四面體OABC的棱BC的中點，MN=12∴OM→=12（OB→∵AP=34∴OP→=OA=14OA=1故選：A．【點評】本題考查空間向量基本定理，空間向量的線性運算，屬于中檔題．3．（2024春?金壇區(qū)校級期末）已知向量a→，b→，A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．4【考點】空間向量的共線與共面．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應用；數(shù)學運算．【答案】A【分析】利用向量共面得到線性表示，再化簡求值即可．【解答】解：因為m→所以存在實數(shù)s，t，使得p→所以2s=x?s+t=5解得t=3s=?2即x＝﹣4．故選：A．【點評】本題主要考查了共面向量的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．（2023秋?黔東南州期末）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，點D滿足PB→=4PD→，CD→=xABA．12 B．32 C．7【考點】空間向量的數(shù)乘及線性運算．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應用；數(shù)學運算．【答案】D【分析】利用空間向量的線性運算求解．【解答】解：由題意可知，CD=所以x=14，y＝﹣1，所以x﹣y+z＝2．故選：D．【點評】本題主要考查了空間向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題．5．（2023秋?常德期末）已知空間四邊形ABCO中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，M為A．?12a→C．12a→【考點】空間向量的數(shù)乘及線性運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應用；數(shù)學運算．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的線性運算法則，即可求解．【解答】解：如圖，依題意，BN→由OB→=b→，∵M為OA中點，則OM→∴MN→故選：D．【點評】本題考查空間向量的線性運算法則，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（2024春?仙游縣期中）已知a→=（2，0，1），b→=（3，2，﹣5），則向量A．15（3，2，﹣5） B．138C．15（2，0，1） D．1【考點】空間向量的投影向量與投影．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；空間向量及應用；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】C【分析】先求出向量b→在向量a→上的投影，再求解向量b→【解答】解：a→=（2，0，1），則向量b→在向量a→上的投影為所以向量b→在向量a→上的投影向量是故選：C．【點評】本題考查了空間向量的投影問題，空間向量數(shù)量積的坐標運算以及空間向量模的坐標運算，解題的關(guān)鍵是掌握空間向量的投影向量的求解方法，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（2023秋?敘州區(qū)校級期末）三棱柱ABC﹣DEF中，G為棱AD的中點，若BA→=a→，BC→A．?a→+b→?c→ 【考點】空間向量的數(shù)乘及線性運算．【專題】對應思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應用；數(shù)學抽象．【答案】B【分析】利用空間向量的線性運算法則與向量相等的定義，求解即可．【解答】解：CG→=CA→+AG→=CA→+故選：B．【點評】本題考查了空間向量的線性運算與向量相等的應用問題，是基礎(chǔ)題．8．（2024春?濱海新區(qū)校級期末）已知a→=(2，t，t)，bA．2 B．3 C．5 D．6【考點】空間向量的夾角與距離求解公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應用；空間向量及應用．【答案】A【分析】利用向量模的計算公式與二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【解答】解：b→?a→=（﹣1﹣t∴|b→?∴|b→?故選：A．【點評】本題考查了向量模的計算公式與二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．9．（2024春?綏棱縣校級期末）已知平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1的底面為矩形，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，AB＝AA1＝1，AD＝2，則|AA．3 B．3+1 C．22 【考點】空間向量的數(shù)量積運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應用；數(shù)學運算．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的數(shù)量積計算即得．【解答】解：因為∠A1AB＝∠A1AD＝60°，AB＝AA1＝1，AD＝2，所以AA1→因為∠BAD＝90°，則AB→又因為AC所以|A故選：A．【點評】本題考查空間向量的數(shù)量積與模，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024春?泗洪縣期中）已知空間單位向量a→，b→，c→A．3 B．6 C．3 D．6【考點】空間向量的數(shù)量積運算．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應用；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】A【分析】直接利用向量的運算求出結(jié)果．【解答】解：空間單位向量a→，b→，c→兩兩垂直，所以a→?所以：|a故|a故選：A．【點評】本題考查的知識點：向量的線性運算，向量的數(shù)量積運算，主要考查學生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共5小題）（多選）11．（2024?宜章縣校級開學）已知單位向量i→，j→，k→兩兩所成的夾角均為θ（0＜θ＜π，且θ≠π2），若空間向量a→滿足a→=xi→+yj→+zk→(x，y，z∈R)A．已知a→=(2，0，?1)θ，B．已知a→=(x1，C．已知OA→=(1，0，0)π3，OB→=(0，1，0)πD．已知a→=(x，y，0)π3，b→=(0，0，z)π3，其中【考點】空間向量的夾角與距離求解公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應用；數(shù)學運算．【答案】BC【分析】對于A，根據(jù)“仿射”坐標的定義結(jié)合向量數(shù)量積的定義分析判斷，對于B，根據(jù)“仿射”坐標的定義結(jié)合向量的加減法運算分析判斷，對于C，由題意可得三棱錐O﹣ABC是棱長為1的正四面體，從而可求出其體積，對于D，根據(jù)“仿射”坐標的定義結(jié)合向量的夾角公式分析判斷．【解答】解：對于A，a→=2i→?∵θ≠π2，∴a→對于B，∵a→=(x∴a→=∴a→∴a→?b對于C，由題意，三棱錐O﹣ABC是棱長為1的正四面體，則正四面體的高為：?=1∴VO?ABC=1對于D，由a→=(x，y，0)π3，∴a→?b→=(x∴cosa當x＝y(tǒng)時，cosa當x＞0時，cosa→，b→=3故選：BC．【點評】本題考查“仿射”坐標的定義、向量數(shù)量積的定義、向量的加減法運算、向量的夾角公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．（多選）12．（2023秋?咸陽期末）在空間直角坐標系O﹣xyz中，若A（1，2，3），B（2，﹣1，0），C（﹣1，2，0），D四點可以構(gòu)成一個平行四邊形，則D的坐標可以為（）A．（0，﹣1，﹣3） B．（﹣2，5，3） C．（4，﹣1，3） D．（3，﹣2，0）【考點】空間向量的共線與共面；空間中的點的坐標．【專題】整體思想；綜合法；平面向量及應用；數(shù)學運算．【答案】ABC【分析】分類考慮平行四邊形頂點的位置，結(jié)合向量的相等，即可求得D點坐標，即得答案．【解答】解：由題意得AB→設(shè)D的坐標為（x，y，z），若四邊形ABDC為平行四邊形，則AB→=CD→，則（1，﹣3，﹣3）＝（x+1，此時D的坐標為（0，﹣1，﹣3）．若四邊形ABCD為平行四邊形，則AB→則（1，﹣3，﹣3）＝（﹣x﹣1，﹣y+2，﹣z），此時D的坐標為（﹣2，5，3）．若四邊形ADBC為平行四邊形，則AD→則（x﹣1，y﹣2，z﹣3）＝（3，﹣3，0），此時D的坐標為（4，﹣1，3）．故選：ABC．【點評】本題主要考查了向量平行的坐標表示，屬于中檔題．（多選）13．（2023秋?博愛縣校級期末）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分別是A1B，B1C1上的點，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N，設(shè)AB→=a→，AC→=b→，AA1→=A．BAB．若MN→=xa→+yb→+zC．|MND．直線AB1與BC1所成角的余弦值為1【考點】空間向量的數(shù)量積運算；異面直線及其所成的角；空間向量及其線性運算．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應用；數(shù)學運算．【答案】BD【分析】由題意可知a→?b【解答】解：由題意可知：a→對于選項A，因為BA所以BA1→對于選項B，因為MN→所以x+y+z=13+對于選項C，因為MN→所以|MN所以|MN→|=對于選項D，因為AB1→可得|AB1且AB設(shè)直線AB1與BC1所成的角為θ，則cosθ=|cos?AB1故選：BD．【點評】本題主要考查了空間向量的線性運算和數(shù)量積運算，屬于中檔題．（多選）14．（2023秋?泰安期末）已知a→=(?2，2，2)，A．a(chǎn)→+b→=(?1，4，1) C．a(chǎn)→⊥b【考點】空間向量的數(shù)量積運算；空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直；數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系；空間向量的共線與共面．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應用；數(shù)學運算．【答案】ACD【分析】利用空間向量的坐標運算可判斷A選項；利用空間向量平行的坐標表示可判斷B選項；利用空間向量數(shù)量積的坐標運算可判斷CD選項．【解答】解：對于A選項，a→+b對于B選項，因為?21=2?1≠22對于C選項，a→?b→=?2+4?2=0對于D選項，a→a→?(a|a所以cos?a→，故選：ACD．【點評】本題主要考查了空間向量的坐標運算，考查了空間向量平行的坐標表示，屬于基礎(chǔ)題．（多選）15．（2023秋?信宜市期末）已知a→=(1，?1，?1)，b→A．|a→+bC．(a→+2【考點】空間向量的數(shù)量積運算．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應用；數(shù)學運算．【答案】AC【分析】由向量模、數(shù)量積的坐標公式，以及向量共線定理逐一判斷每一選項即可求解．【解答】解：對于選項A，a→+b→=(?1，1，?1)對于選項B，a→+c→=(3，0，?4)對于選項C，a→+2b→=(?3，3，?1)，(對于選項D，2c→?b→=(6，0，?6)，不存在實數(shù)λ，使得a→故選：AC．【點評】本題主要考查了空間向量的坐標運算，考查了向量的模長公式，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共5小題）16．（2023秋?寶安區(qū)期末）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，已知PA→=a→，PB→=b→，PC【考點】空間向量及其線性運算．【專題】數(shù)形結(jié)合；定義法；空間向量及應用；數(shù)學運算．【答案】12【分析】利用空間向量的線性運算即可求解．【解答】解：BE→=12BP→+12故答案為：12【點評】本題考查空間向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題．17．（2024春?湘西州期末）如圖，在四面體ABCD中，AB⊥平面ACD，△ACD是邊長為4的等邊三角形，AB＝3，E，F(xiàn)分別是棱AD，BC的中點，則|EF→|=【考點】空間向量的夾角與距離求解公式．【專題】數(shù)形結(jié)合；向量法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學運算．【答案】52【分析】利用空間向量法來計算向量的模長即可．【解答】解：在四面體ABCD中，AB⊥平面ACD，△ACD是邊長為4的等邊三角形，AB＝3，E，F(xiàn)分別是棱AD，BC的中點，∴AE→∴EF→∵AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB→∵△ACD是邊長為4的等邊三角形，∴AC→?AD→=|AC∵EF→∴|EF故答案為：52【點評】本題考查空間向量運算法則、向量數(shù)量積公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．18．（2024春?溫江區(qū)校級月考）已知點A（1，1，0）、B（0，3，0）、C（2，2，2），則向量AB→在AC→上的投影向量是（16，16【考點】空間向量的投影向量與投影．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應用；數(shù)學運算．【答案】（16，16，【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的投影公式，即可求解．【解答】解：點A（1，1，0）、B（0，3，0）、C（2，2，2），則AB→=(?1，2，0)，故AB→?AC所以向量AB→在AC→上的投影向量是：AB→?AC→|故答案為：（16，16，【點評】本題主要考查空間向量的投影公式，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024春?華安縣校級月考）已知|a→|=3，b→=(1，2，?2)，【考點】空間向量的數(shù)量積運算．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應用；數(shù)學運算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)|2a【解答】解：由|a則|2a故答案為：37．【點評】本題考查了空間向量數(shù)量積的運算，重點考查了空間向量模的運算，屬基礎(chǔ)題．20．（2024春?金鳳區(qū)校級期末）如圖，已知ABCD﹣A'B'C'D'是長方體．設(shè)M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面BCC'B'對角線BC'上的點，且BN＝3NC'．設(shè)MN→=αAB→+βAD→+γAA′→，則α+β【考點】空間向量及其線性運算．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應用；數(shù)學運算．【答案】32【分析】由已知結(jié)合空間向量的線性運算即可求解．【解答】解：連接BD，則M為BD的中點．∴MN→=MB→+∴α=12，β=1∴α+β+γ=3故答案為：32【點評】本題主要考查了空間向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共5小題）21．（2024春?興義市校級期末）如圖，四面體OABC各棱的棱長都是1，D是AB的中點，E是CD的中點，記OA→=a→，（1）用向量a→，b→，c→（2）利用向量法證明：OE⊥AB．【考點】空間向量及其線性運算；空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應用；數(shù)學運算．【答案】（1）14（2）證明過程見解析．【分析】（1）利用空間向量的線性運算求解；（2）利用向量的數(shù)量積運算可證得OE→?AB→=【解答】解：（1）∵D是AB的中點，E是CD的中點，∴OE→（2）證明：AB→∵四面體OABC各棱的棱長都是1，∴|a∴a→?b∴OE→?AB→=（1∴OE⊥AB．【點評】本題主要考查了空間向量的線性運算，考查了利用空間向量證明直線與直線垂直，屬于基礎(chǔ)題．22．（2024春?河北期末）在長方體OABC﹣D1A1B1C1中，OA=2，OC=4，OD1=42，E為B1（1）用向量AB→，AO（2）以{12OA→，14OC→，28（3）求異面直線AE與A1C所成角的余弦值．【考點】空間向量的夾角與距離求解公式；空間向量基本定理及空間向量的基底．【專題】數(shù)形結(jié)合；向量法；空間向量及應用；數(shù)學運算．【答案】（1）AE→（2）E（1，4，22），A（2，0，0），A1（2，0，42），C（0，4，0），AE→=（﹣1，4，22），A1（3）1365【分析】（1）由空間向量的線性運算表示向量；（2）根據(jù)空間直角坐標系及長方體的長寬高可直接寫出點的坐標，利用向量法能求出結(jié)果；（3）利用向量法能求出異面直線AE與A1C所成角的余弦值．【解答】解：（1）∵在長方體OABC﹣D1A1B1C1中，OA=2，OC=4，OD1=42，E為B1∴BE→∵AE→∴AE→（2）以{1則E（1，4，22），A（2，0，0），A1（2，0，42），C（0，4，0），AE→=（﹣1，4，22），A1（3）設(shè)異面直線AE與A1C所成角為θ，則異面直線AE與A1C所成角的余弦值為：cosθ=|【點評】本題考查空間向量的線性運算法則、異面直線所成角的余弦值等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．23．（2024春?廣平縣校級期末）已知a→=(3，5，?4)，（1）求a→（2）求λ、μ的值使得λa→+μb→【考點】空間向量的數(shù)量積運算．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；定義法；空間向量及應用；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】（1）﹣21；（2）λ=1，μ=1【分析】（1）利用數(shù)量積的坐標表示，求解即可；（2）先取z軸上的單位向量n→=(0，0，1)，求出a→+b【解答】解：（1）因為a→=(3，5，?4)，所以a→（2）取z軸上的單位向量n→=(0，0，1)，又由題意，得(λa所以(3λ+2μ，5λ+μ，?4λ+8μ)?(0，0，1)=0(3λ+2μ，5λ+μ，?4λ+8μ)?(5，6，4)=53即?4λ+8μ=029λ+48μ=53，解得λ=1，μ=【點評】本題考查了空間向量的坐標運算，空間向量數(shù)量積的坐標表示以及向量垂直的坐標表示，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于基礎(chǔ)題．24．（2023秋?呂梁期末）如圖，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，∠BAD=π2，∠BAA1＝∠DAA1（1）用向量AB→，AD→，AA1→（2）求BD【考點】空間向量的數(shù)量積運算；空間向量及其線性運算．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應用；數(shù)學運算．【答案】（1）BD1→=AD（2）2．【分析】（1）根據(jù)空間向量的線性運算可得BD1→=AD→?AB→+AA1（2）利用空間向量的數(shù)量積運算求解．【解答】解：（1）BD∵AB＝AD＝1，AA1＝2，∠BAD=π2，∠BAA1＝∠DAA1∴AB→?AD→=0，AB→?∴BD1→2=（AD→?AB→+∴|BD1→（2）∵BD1→∴BD1→?AC→=【點評】本題主要考查了空間向量的線性運算和數(shù)量積運算，屬于基礎(chǔ)題．25．（2024春?寶山區(qū)期末）從空間一點O出發(fā)作三條兩兩互相垂直的坐標軸，可以建立空間直角坐標系O﹣xyz．如果坐標系中的坐標軸不垂直；那么這樣的坐標系稱為“斜坐標系”．設(shè)Ox、Oy、Oz是空間中相互成60°角的三條坐標軸，其中i→、j→、k→（1）計算i→（2）若向量n→=xi→+yj→+zk→，則把有序數(shù)對[①求OA→②求△AOB的面積．【考點】空間向量的數(shù)量積運算．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應用；數(shù)學運算．【答案】（1）32（2）①112，②5【分析】（1）利用空間向量的數(shù)量積運算求解；（2）①由題意可知，OA→=2j→+k②利用向量的數(shù)量積運算，結(jié)合三角形面積公式求解．【解答】解：（1）i→同理j→所以i→（2）①OA→OB→所以O(shè)A→②|OA同理|OBAB→|AB等腰三角形△AOB中，設(shè)AB邊上的高為h，則h=|所以△AOB的面積為12【點評】本題主要考查了空間向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題．

考點卡片1．數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系【知識點的認識】向量是有方向的，那么在一個空間內(nèi)，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．當兩條向量的方向互相垂直的時候，我們就說這兩條向量垂直．假如a→=（1，0，1），b→=（2，0，﹣2），那么a→與b【解題方法點撥】例：與向量(?35，A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）解：對于A：∵(?35，45)?（3，﹣4）對于B：∵(?35，45)?（﹣4，3）對于C：∵(?35，45)?（4，3）對于D：∵(?35，45)?（4，﹣3）故選：C．點評：分別求出向量(?35，45)和A，B，【命題方向】向量垂直是比較喜歡考的一個點，主要性質(zhì)就是垂直的向量積為0，希望大家熟記這個關(guān)系并靈活運用．2．異面直線及其所成的角【知識點的認識】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，π2]．當θ2、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識：3．空間中的點的坐標【知識點的認識】1、在x、y、z軸上的點分別可以表示為（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c），在坐標平面xOy，xOz，yOz內(nèi)的點分別可以表示為（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）．2、點P（a，b，c）關(guān)于x軸的對稱點的坐標為（a，﹣b，﹣c，）點P（a，b，c）關(guān)于y軸的對稱點的坐標為（﹣a，b，﹣c，）；點P（a，b，c）關(guān)于z軸的對稱點的坐標為（﹣a，﹣b，c，）；點P（a，b，c）關(guān)于坐標平面xOy的對稱點為（a，b，﹣c，）；點P（a，b，c）關(guān)于坐標平面xOz的對稱點為（a，﹣b，c，）；點P（a，b，c）關(guān)于坐標平面yOz的對稱點為（﹣a，b，c，）；點P（a，b，c）關(guān)于原點的對稱點（﹣a，﹣b，﹣c，）．3、已知空間兩點P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）則線段P1P2的中點坐標為（x14．空間向量及其線性運算【知識點的認識】1．空間向量：在空間內(nèi)，我們把具有大小和方向的量叫做向量，用有向線段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的長度或模．記為|AB→|，|a特別地：①規(guī)定長度為0的向量為零向量，記作0→②模為1的向量叫做單位向量；3．相等的向量：兩個模相等且方向相同的向量稱為相等的向量．4．負向量：兩個模相等且方向相反的向量是互為負向量．如a→的相反向量記為?5．平行的向量：兩個方向相同或相反的向量稱為平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，規(guī)定0→②單位向量不一定相等，但單位向量的模一定相等且為1；③方向相同且模相等的向量稱為相等向量，因此，在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量；④空間任意兩個向量都可以通過平移成為共面向量；⑤一般來說，向量不能比較大?。?．加減法的定義：空間任意兩個向量都是共面的，它們的加、減法運算類似于平面向量的加減法．空間向量和平面向量一樣滿足三角形法則和平行四邊形法則．2．加法運算律：空間向量的加法滿足交換律及結(jié)合律．（1）交換律：a（2）結(jié)合律：(a3．推廣：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量：A1（求空間若干向量之和時，可通過平移將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為：零向量A11．空間向量的數(shù)乘運算實數(shù)λ與空間向量a→的乘積λ①當λ＞0時，λa→與②當λ＜0時，λa→與③當λ＝0時，λa④|λa→|＝|λ|?|aλa→的長度是a→2．運算律空間向量的數(shù)乘滿足分配律及結(jié)合律．（1）分配律：①λ(②（λ+μ）a（2）結(jié)合律：λ(μ注意：實數(shù)和空間向量可以進行數(shù)乘運算，但不能進行加減運算，如λ±a5．空間向量的數(shù)乘及線性運算【知識點的認識】1．空間向量的數(shù)乘運算實數(shù)λ與空間向量a→的乘積λ①當λ＞0時，λa→與②當λ＜0時，λa→與③當λ＝0時，λa④|λa→|＝|λ|?|aλa→的長度是a→2．運算律空間向量的數(shù)乘滿足分配律及結(jié)合律．（1）分配律：①λ(②（λ+μ）a（2）結(jié)合律：λ(μ注意：實數(shù)和空間向量可以進行數(shù)乘運算，但不能進行加減運算，如λ±a【解題方法點撥】﹣標量運算：進行數(shù)乘運算時，將標量與向量分量相乘．﹣線性組合：應用線性組合公式，計算向量的線性組合結(jié)果．【命題方向】﹣向量數(shù)乘和線性運算：考查如何進行空間向量的數(shù)乘和線性組合運算．6．空間向量的共線與共面【知識點的認識】1．定義（1）共線向量與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作a→∥b（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共線向量定理對于空間任意兩個向量a→、b→（b→≠0），a→（2）共面向量定理如果兩個向量a→、b→不共線，則向量p→與向量a→、b→共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x【解題方法點撥】空間向量共線問題：（1）判定向量共線就是充分利用已知條件找到實數(shù)λ，使a→=λb→成立，或充分利用空間向量的運算法則，結(jié)合具體圖形，通過化簡、計算得出（2）a→∥b→表示空間向量共面問題：（1）利用向量法證明點共面、線共面問題，關(guān)鍵是熟練地進行向量表示，恰當應用向量共面的充要條件，解題過程中注意直線與向量的相互轉(zhuǎn)化．（2）空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對（x，y），使MP→=xMA→+yMB→．滿足這個關(guān)系式的點P證明三個向量共面的常用方法：（1）設(shè)法證明其中一個向量可表示成另兩個向量的線性組合；（2）尋找平面α，證明這些向量與平面α平行．【命題方向】1，考查空間向量共線問題例：若a→=（2x，1，3），b→=（1，﹣2y，9），如果A．x＝1，y＝1B．x=12，y=?12C．x=16，y=?32分析：利用共線向量的條件b→=λa→，推出比例關(guān)系求出解答：∵a→=（2x，1，3）與b→故有2x1∴x=16，y故選C．點評：本題考查共線向量的知識，考查學生計算能力，是基礎(chǔ)題．2．考查空間向量共面問題例：已知A、B、C三點不共線，O是平面ABC外的任一點，下列條件中能確定點M與點A、B、C一定共面的是（）A．OM→=OA→+OB→+OC→B分析：根據(jù)共面向量定理OM→=m?OA→+n?OB→+p?OC解答：由共面向量定理OM→說明M、A、B、C共面，可以判斷A、B、C都是錯誤的，則D正確．故選D．點評：本題考查共線向量與共面向量，考查學生應用基礎(chǔ)知識的能力．是基礎(chǔ)題．7．空間向量的數(shù)量積運算【知識點的認識】1．空間向量的夾角已知兩個非零向量a→、b→，在空間中任取一點O，作OA→=a→，OB→=b→，則∠2．空間向量的數(shù)量積（1）定義：已知兩個非零向量a→、b→，則|a→||b→|cos＜a→，b→＞叫做向量a→與b→的數(shù)量積，記作a→?b→（2）幾何意義：a→與b→的數(shù)量積等于a→的長度|a→|與b→在a→的方向上的投影|b→|cosθ的乘積，或b→的長度|b→3．空間向量的數(shù)量積運算律空間向量的數(shù)量積滿足交換律和分配律．（1）交換律：(λa→)?b→=λ（a（2）分配律：a→4．數(shù)量積的理解（1）書寫向量的數(shù)量積時，只能用符號a→?b→（2）兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是個實數(shù)，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦值的乘積，其符號由夾角的余弦值決定．（3）當a→≠0→時，由a→?b→【解題方法點撥】利用數(shù)量積求直線夾角或余弦值的方法：利用數(shù)量積求兩點間的距離：利用向量的數(shù)量積求兩點間的距離，可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題，其基本思路是先選擇以兩點為端點的向量，將此向量表示為幾個已知向量的和的形式，求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a→|=利用數(shù)量積證明垂直關(guān)系：（1）向量垂直只對非零向量有意義，在證明或判斷a→⊥b→時，須指明（2）證明兩直線的垂直可以轉(zhuǎn)化為證明這兩直線的方向向量垂直，將兩個方向向量表示為幾個已知向量a→，b→，【命題方向】求直線夾角或余弦值、兩點間的距離、證明垂直關(guān)系等問題最基本的是掌握數(shù)量積運算法則的應用，任何有關(guān)數(shù)量積計算問題都離不開運算律的運用．例：已知2a→+b→=（2，﹣4，1），且b分析：通過2a→+b→=解答：∵2a→+b∴a→∴a→?b故答案為：﹣7．點評：本題考查了空間向量的數(shù)量積的坐標運算，屬于基礎(chǔ)題．8．空間向量的夾角與距離求解公式【知識點的認識】1．空間向量的夾角公式設(shè)空間向量a→=（a1，a2，a3），b→=（b1，b2cos＜注意：（1）當cos＜a→，b→（2）當cos＜a→，b→（3）當cos＜a→，b→2．空間兩點的距離公式設(shè)A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則AB→dA，B＝|AB→|=【