莆田五中2024-2025下學(xué)期高二數(shù)學(xué)第一次月考一．選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合要求的）1.已知，若，則實數(shù)的值為（）A. B.C. D.2【答案】C【解析】【分析】利用兩個向量垂直的性質(zhì)，數(shù)量積公式即求得的值.【詳解】向量，若，則，.故選：C.2.在單調(diào)遞減的等比數(shù)列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，則a1＝()A.2 B.4 C. D.【答案】B【解析】【詳解】等比數(shù)列{an}單調(diào)遞減選B.3.下列求導(dǎo)運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)計算判斷A，B，C，應(yīng)用乘法求導(dǎo)運算判斷D.【詳解】因為所以A選項錯誤；因為，所以B選項錯誤；因為，所以C選項錯誤；因為，所以D選項正確.故選：D.4.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖像如圖所示，則下列說法正確的是（）A.B.是極大值點C.在區(qū)間內(nèi)一定有個極值點D.的圖像在點處的切線斜率等于【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的極值點的定義，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由函數(shù)的圖象，可得當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以A錯誤；對于B中，由A知，函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，因為，所以不是函數(shù)的極值點，所以B錯誤；對于C中，由函數(shù)的圖象，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單遞減，在單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極大值點，是函數(shù)的極小值點，所以C正確.對于D中，由函數(shù)圖象，可得，所以函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率大于0，所以D不正確；故選：C.5.若曲線在處的切線與曲線也相切，則的值為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，求得在處的切線為，設(shè)直線與曲線相切的切點為，求得，又切點在曲線和切線上，代入即可求解.【詳解】對曲線，在切點處切線的斜率，所以切線方程為：，對于曲線，設(shè)切點，則在點處切線的斜率，依題意，即，又點切點在曲線和切線上，即，所以，故選：B.6.已知是圓柱下底面的直徑，是下底面圓弧的中點，是圓柱的母線，是線的中點，．則點到平面的距離為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】如圖建系，寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，求出相關(guān)向量，平面的法向量坐標(biāo)，利用點到平面的距離的向量公式計算即得.【詳解】如圖，分別取圓柱上下底面的圓心為因是圓柱下底面的直徑，是下底面圓弧的中點，故，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，于是，設(shè)平面的法向量為，則，故可取，故點到平面的距離為.故選：B.7.在直三棱柱中，，，若點滿足，其中，則直線與平面所成角的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可求線面角的正弦值.【詳解】分別取，中點，，則，即平面，連接，因為，所以，以為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知，，，，，則，，因為，，，易知平面的一個法向量是，設(shè)直線與平面所成角為，，則，所以時，，即的最大值是.故選：B.8.設(shè)函數(shù)的定義域為，是其導(dǎo)函數(shù)，若，，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，求出，利用條件知，所以單調(diào)遞增，將轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)單調(diào)性即可得到答案.【詳解】令，則，因為，所以，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，而可化為，又即，解得，所以不等式的解集是．故選：B二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分．部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.數(shù)列的前n項和為，則下列說法正確的是（）A.若，則數(shù)列的前5項和最大B.若等比數(shù)列是遞減數(shù)列，則公比q滿足C.已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則D.已知為等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】選項A，由可得，，故數(shù)列前5項的和最大，故A正確；選項B，當(dāng)時，等比數(shù)列也是遞減數(shù)列，故B錯誤；選項C，，若，則，故C正確；選項D，若為等差數(shù)列，則，，則為常數(shù)，數(shù)列也是等差數(shù)列，故D正確.故選：ACD10.下列正確的命題有（）A.已知函數(shù)，則B.若，，，則C.函數(shù)是上的增函數(shù)，則D.點是曲線上任意一點，則到的距離為【答案】AB【解析】【分析】逐個分析選項的正確性，通過求導(dǎo)、比較數(shù)值、導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系、點到直線的距離公式等方法判斷各命題是否成立.【詳解】對于A，函數(shù)，求導(dǎo)得，令，代入導(dǎo)函數(shù)，可得，解得，可得，再將代入，得，故A正確；對于B，構(gòu)造函數(shù)，所以，，，求導(dǎo)得，可得當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以最大，又，，因為，所以，所以，故B正確；對于C，函數(shù)，求導(dǎo)得，因為函數(shù)是上的增函數(shù)，所以恒成立，令，則，解得，故C錯誤；對于D，因為點是曲線上任意一點，所以令，則到的距離為，當(dāng)時，計算可得到的距離為，故D錯誤.故選：AB.11.意大利畫家列奧納多·達·芬奇曾提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，項鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”，后人給出了懸鏈線的函數(shù)表達式，其中為懸鏈線系數(shù)，稱為雙曲余弦函數(shù)，其函數(shù)表達式，相反地，雙曲正弦函數(shù)的函數(shù)表達式為，則（）A.B.C.是奇函數(shù)D.當(dāng)與和共有3個交點時，【答案】AC【解析】【分析】A選項，根據(jù)定義計算得到；B選項，利用求導(dǎo)法則計算出答案；C選項，根據(jù)函數(shù)的奇偶性進行判斷；D選項，先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到和的單調(diào)性和極值最值情況，從而數(shù)形結(jié)合得到答案.【詳解】A選項，，A正確；B選項，，B錯誤；C選項，的定義域為R，且，是奇函數(shù)，C正確；D選項，的導(dǎo)數(shù)為，令，則，又為增函數(shù)，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，由于在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)與和共有3個交點時，，D錯誤.故選：AC.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.同學(xué)為參加《古詩詞大賽》進行古詩詞鞏固訓(xùn)練，她第天復(fù)習(xí)首古詩詞，從第天起，每一天復(fù)習(xí)的古詩詞數(shù)量比前一天多首，每首古詩詞只復(fù)習(xí)一天，則天后同學(xué)復(fù)習(xí)的古詩詞總數(shù)量為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)第天同學(xué)復(fù)習(xí)的古詩詞的數(shù)量為首，設(shè)數(shù)列的前項和為，分析可知，數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】記第天同學(xué)復(fù)習(xí)的古詩詞的數(shù)量為首，設(shè)數(shù)列的前項和為，由題意可知，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，天后同學(xué)復(fù)習(xí)的古詩詞總數(shù)量為首.故答案為：.13.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，，則不等式的解集是_____________【答案】【解析】【詳解】試題分析：，因為，所以，所以h（x）在區(qū)間，因為，所以h（1）=0.令h（x）>0，因為x>0,所以，得x>1．等價于，因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以-1<x<0或x>1.考點：奇函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性、不等式與函數(shù)圖像的關(guān)系14.已知函數(shù)在上有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】由可得，令，則直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)在上有兩個極值點，所以在上有兩個變號零點，因為，令，即，可得，令，則，令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，作出函數(shù)在上圖象，當(dāng)時，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，設(shè)兩個交點的橫坐標(biāo)分別為、，且，由圖可知，當(dāng)或時，，此時，當(dāng)時，，此時，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，此時，函數(shù)有兩個極值點，合乎題意.因此，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點睛】思路點睛：本題考查極值點問題.根據(jù)題意函數(shù)在上有兩個極值點，轉(zhuǎn)化為在上有兩個變號零點，即，即有兩個不同的根，即直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，數(shù)形結(jié)合可判斷求解.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）15.已知函數(shù)若函數(shù)在處取得極小值.（1）求實數(shù)a，b的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間和極大值.【答案】（1）；（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)求導(dǎo)和極值點處導(dǎo)數(shù)值為0即可求解；（2）對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極大值即可.【小問1詳解】因，所以，因為函數(shù)在處取得極小值，所以，解得，此時，當(dāng)或時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．所以當(dāng)時，取到極小值，符合題意．所以．【小問2詳解】由（1）知，，，，令，則或，當(dāng)時，或，所以在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在單調(diào)遞減．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)取到極大值，即.16.已知的前n項和為，且滿足=．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和為．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）作差法消掉，即可得到數(shù)列通項.（2）求出的通項，根據(jù)錯位相減法求得前n項和.【小問1詳解】當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)n=1時也符合，【小問2詳解】.①兩邊同乘2，得.②②－①，得,，，，.所以數(shù)列的前n項和.17.已知函數(shù)，且曲線在點處的切線與直線垂直．（1）求b；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線垂直斜率之積為求解即可；（2）求導(dǎo)分與的大小關(guān)系討論即可；（3）由題意在上恒成立，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】，故，又斜率為1，故，解得.【小問2詳解】因為，故，則，當(dāng)時，，故在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，令有，，且，故在上，，單調(diào)遞減；在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減.當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上，，單調(diào)遞減；在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減.【小問3詳解】，由題意上恒成立，即在上恒成立，因為，故，即.所以a的取值范圍為.18.如圖，在以為頂點的多面體中，平面平面，為的中點（1）證明：平面；（2）在棱上是否存在一點，使得直線與平面所成角的大小為.若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）先得出平行四邊形得出線線平行，再應(yīng)用線面平行判定定理證明即可；（2）先應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理建系，再設(shè)，計算線面角即可求參.小問1詳解】連接交于點，連接，因為，所以四邊形為平行四邊形，所以為的中點，又因為為的中點，所以，因為平面平面，所以平面.【小問2詳解】因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，以為坐標(biāo)原點，在平面內(nèi)，以過點垂直于的方向為軸正方向，以的方向分別為軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，可得，令，則，假設(shè)在棱上存在一點，使得直線與平而所成角的大小為，設(shè)，因為，則，又因為，所以，則，化簡得，解得，因為，所以，所以在棱上存在一點，使得直線與平面所成角的大小為，此時.19.已知函數(shù)．（1）若，證明：在上存在唯一的零點；（2）若，