PAGEPAGE1考查角度4拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)分類透析一拋物線的定義與應(yīng)用例1在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)點(diǎn)F12,0,直線l:x=-12,點(diǎn)P在直線l上移動(dòng),R是線段PF與y軸的交點(diǎn),RQ⊥FP,PQ⊥l,則動(dòng)點(diǎn)Q解析由題意知,點(diǎn)R是線段FP的中點(diǎn),且RQ⊥FP,∴RQ是線段FP的垂直平分線.∵|PQ|是點(diǎn)Q到直線l的距離,又點(diǎn)Q在線段FP的垂直平分線上,∴|PQ|=|QF|.結(jié)合拋物線的定義,可知?jiǎng)狱c(diǎn)Q的軌跡是以F為焦點(diǎn),l為準(zhǔn)線的拋物線,其方程為y2=2x.答案y2=2x方法技巧結(jié)合圖形,借助垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化,得到該動(dòng)點(diǎn)滿意拋物線軌跡的條件,從而確定其軌跡方程,須要留意限定條件的應(yīng)用.分類透析二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,則拋物線的方程為().A.y2=4x B.y2=-4xC.x2=4y D.x2=-4y解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為Fp2,0,所以過焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y=x-p2,即x=y+p2,將其代入拋物線方程得y2-2py-p2所以拋物線的方程為y2=4x,故選A.答案A方法技巧確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),可以借助拋物線的幾何性質(zhì),也可以利用直線與拋物線的位置關(guān)系進(jìn)行求解.分類透析三拋物線的幾何性質(zhì)與應(yīng)用例3如圖,AB是拋物線y2=2px(p>0)過焦點(diǎn)F的一條弦.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)M(x0,y0),過A,M,B分別向拋物線的準(zhǔn)線l作垂線,垂足分別為A1,M1,B1,則1|FA|+1|A.p2 B.p C.2p D.解析當(dāng)直線AB的斜率不存在,即與x軸垂直時(shí),|FA|=|FB|=p,∴1|FA|+1|FB|=當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=kx-p2,代入y2=2px中,得kx-kp22=2px,即k2x2-p(k2設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),則xA+xB=p(k2+2)k2,∵|FA|=xA+p2,|FB|=xB+p∴|FA|+|FB|=xA+xB+p,∴|FA|·|FB|=x=xAxB+p2(xA+xB)+p24=p2(xA+x∴|FA|+|FB|=|FA|·|FB|·2p,即1|FA|+1答案C方法技巧該題給出了拋物線過焦點(diǎn)的弦所具有的一個(gè)重要性質(zhì),解題時(shí),不行忽視AB⊥x軸的狀況.例4設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),A,B,C為該拋物線上的三點(diǎn),若FA+FB+FC=0,則|FA|+|FB|+|FC|=.

解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由題意知,F(1,0),p=2.因?yàn)镕A+FB+FC=0,所以(x1-1)+(x2-1)+(x3-1)=0,即x1+x2+x3=3,所以|FA|+|FB|+|FC|=x1+x2+x3+32p=6答案6方法技巧對(duì)于拋物線和平面對(duì)量相結(jié)合的題目,可以借助平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算求解,須要留意平面對(duì)量的有關(guān)運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用.1.(2024年全國(guó)Ⅰ卷,理8改編)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)(-2,0)且斜率為1的直線與C交于M,N兩點(diǎn),若FM·FN=4,則p=.

解析由題意得直線的方程為y=x+2,設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),則聯(lián)立方程組y=x+2得x2+(4-2p)x+4=0,則x1x2=4,x1+x2=2p-4.因?yàn)镕M=x1-p2,所以FM·FN=x1-=x1-p2·x=2x1x2+2-p2(x1+x2)+p2解得p=8(其中p=0舍去),故p的值為8.答案82.(2024年全國(guó)Ⅰ卷,理10改編)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F作相互垂直的兩條直線AB,CD與拋物線分別相交于點(diǎn)A,B以及C,D,若1|AF|+1|BF|=1,則四邊形ACBDA.y=±(x-1) B.y=x-1C.y=1-x D.y=2x-1解析由拋物線的性質(zhì)可知1|AF|+1又1|AF|+1|BF|=1,∴p=設(shè)直線AB的斜率為k(k≠0),則直線CD的斜率為-1k∴直線AB的方程為y=k(x-1),聯(lián)立y=k(x-1),y2=4x,消去y,得k2x2從而xA+xB=2+4k2,xAxB=由弦長(zhǎng)公式得|AB|=4+4k以-1k換k得|CD|=4+4k2故四邊形ACBD的面積為12|AB|·|CD|=124+4k2·(4+4k2)=82+k2+1k2答案A3.(2024年全國(guó)Ⅲ卷,理16改編)已知點(diǎn)M(0,2)和拋物線C:y2=4x,過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若MA·MB=4,則k=.

解析拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),當(dāng)直線斜率不存在時(shí),易知A(1,2),B(1,-2),則MA·MB=1,不合題意.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立方程組y2=4x,y=k(x-1),整理得k2x則x1+x2=2k2+4k2=2+4k2∴y1+y2=k(x1+x2)-2k=4k,y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-4又MA·MB=4,∴MA·MB=(x1,y1-2)·(x2,y2-2)=4,解得k=-83答案-81.(2024湖北黃岡中學(xué)月考試題)拋物線x2=4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)是().A.(0,2) B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0)解析∵x2=4y=2py,∴p=2,∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,p答案B2.(河北省衡水中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)系列七)拋物線y=2x2的準(zhǔn)線方程是().A.x=12 B.x=-C.y=18 D.y=-解析拋物線y=2x2可化為x2=12y,焦點(diǎn)在y軸上,2p=12,∴p2=18,∴拋物線y=2x2的準(zhǔn)線方程是答案D3.(遼寧省凌源市2025屆高三畢業(yè)班一模考試試題)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A(0,-3).若線段FA與拋物線C相交于點(diǎn)M,則|MF|=().A.43 B.53 C.23解析由題意得線段AF:y=3x-3(0≤x≤1).聯(lián)立y=3x-3,y2=4x,解得M13,-2答案A4.(東北三省三校2025屆高三其次次模擬考試試題)過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線C于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),且x1+x2=43,則弦AB的長(zhǎng)為()A.163 B.4 C.103 D解析由拋物線的方程可得p=2.依據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦公式x1+x2+p,得弦AB的長(zhǎng)為43+2=103.答案C5.(河北省廊坊市第八高級(jí)中學(xué)2025屆高三模擬試題)若過拋物線y=14x2焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)(不重合),則OA·OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的值是()A.34 B.-34 C.3 D解析由題意知拋物線的方程為x2=4y,焦點(diǎn)為F(0,1).設(shè)AB:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+1,x2=4y,得x2-4kx-4=0,所以x1x2=-4,y1y2=116(x1x2)2=1,故OA·OB=x1答案D6.(湖北省黃岡中學(xué)2025屆高三5月第三次模擬考試)已知點(diǎn)P(-1,4),過點(diǎn)P恰好存在兩條直線與拋物線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為().A.x2=14y B.x2=4y或y2=-16C.y2=-16x D.x2=14y或y2=-16解析過點(diǎn)P(-1,4)恰好存在兩條直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),∴點(diǎn)P肯定在拋物線C上,即兩條直線分別為一條切線,一條與拋物線的對(duì)稱軸平行的直線.若拋物線的焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)拋物線C的方程為y2=2px,則將點(diǎn)P(-1,4)代入方程可得2p=-16,∴拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-16x;若拋物線的焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)拋物線C的方程為x2=2py,則將點(diǎn)P(-1,4)代入方程可得2p=14∴拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=14綜上所述,選D.答案D7.(山東省2024年一般高校招生(春季)考試)已知拋物線x2=ay(a≠0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,該拋物線上的點(diǎn)M到x軸的距離為5,且|MF|=7,則焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離是().A.2 B.3 C.4 D.5解析因?yàn)閨MF|=7,點(diǎn)M到x軸的距離為5,所以|a|4=7-因此焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離是|a|2答案C8.(山西省2024年高考考前適應(yīng)性測(cè)試)已知拋物線C:y2=x,過點(diǎn)P(a,0)的直線與C相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若OA·OB<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是().A.(-∞,0) B.(0,1)C.(1,+∞) D.{1}解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),過點(diǎn)P的直線為x=my+a,聯(lián)立y2=x,x=my+∴y1+y2=m,y1y2=-a,∴x1+x2=m(y1+y2)+2a=m2+2a,x1x2=(my1+a)(my2+a)=a2.∵OA·OB=x1x2+y1y2=a2-a<0,∴0<a<1,故選B.答案B9.(安徽省馬鞍山市2025屆高三其次次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè))過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),|AF|·|BF|=8,則p的值為().A.4 B.12 C.1 D.解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),∵拋物線y2=2px的焦點(diǎn)Fp2,0,準(zhǔn)線方程為x=-p2,∴直線AB的方程為y=x-p2,代入y2=2px可得x2-3px+p24=0,∴x1+x2=3p,x1x2=p24.又|AF|=x1+p2,|BF|=x2+p2,∴|AF|·|BF|=x1+p2x2+p2=x1x2+p2(x答案D10.(廣西梧州市2025屆高三3月適應(yīng)性測(cè)試(二模))設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,過點(diǎn)F的直線與拋物線交于點(diǎn)M,N,與y軸交于點(diǎn)(0,3),與l交于點(diǎn)P,點(diǎn)M在線段PF上,若|PM|=2|MF|,則|MN|=().A.94 B.254 C.83解析由題意可得Mp6,233,2p·p6=129,p=2,直線MN的方程為y=-3(x-1).由y=-3(x-1答案D11.(貴州省黔東南州2025屆高三第一次模擬考試)過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線C于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),以線段AB為直徑的圓的圓心為O1,半徑為r.點(diǎn)O1到C的準(zhǔn)線l的距離與r之積為25,則r(x1+x2)=().A.40 B.30 C.25 D.20解析由拋物線的性質(zhì)知,點(diǎn)O1到C的準(zhǔn)線l的距離為12依題意得r2=25,解得r=5.又點(diǎn)O1到C的準(zhǔn)線l的距離為12(x1+x2+2)=r=5,則有x1+x2=8,故r(x1+x2)=40,故選A答案A12.(山西省太原市2025屆高三3月模擬考試(一)試題)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F,設(shè)A,B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),|AF|+|BF|=233|AB|,則∠AFB的最大值為(A.π3 B.3π4 C.5π6解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).∵拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F,∴F(2,0).∵|AF|+|BF|=233∴由余弦定理得cos∠AFB=|=(|=43|=13|AB又∵|AF|+|BF|=233|AB|≥2∴|AF|·|BF|≤13|AB|2,當(dāng)且僅當(dāng)|AF|=|BF|時(shí)取等號(hào)∴cos∠AFB≥13|AB|22×13|∴∠AFB的最大值為2π3故選D.答案D13.(河北省衡水中學(xué)2025屆高三上學(xué)期九?？荚?拋物線y2=ax(a>0)上的點(diǎn)P32,y0到焦點(diǎn)F的距離為2,則解析拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=ax,焦點(diǎn)坐標(biāo)為a4,0,準(zhǔn)線方程為由拋物線的焦半徑公式|PF|=x0+p2=32+a4=2,解得答案214.(2024年天津市南開中學(xué)高三模擬考試試題)已知拋物線的方程為y2=2px,其中p>0,焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,過拋物線上一點(diǎn)M作l的垂線,垂足為E.若|EF|=|MF|,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3,則p=.

解析由題意知,拋物線y2=2px的焦點(diǎn)為Fp2,0,準(zhǔn)線l的方程為由拋物線的定義可得|ME|=|MF|.又|EF|=|MF|,所以△MEF為等邊三角形.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,m),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為-p把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線的方程可得m2=6p,再由|EF|=|MF|,可得p2+m2=3+p即p2+6p=9+p24+3解得p=2或p=-6(舍去).答案215.(陜西省西安市長(zhǎng)安區(qū)第一中學(xué)2025屆高三上學(xué)期第八次質(zhì)量檢測(cè))如