一、選擇題

（2020?南充）9.如圖，正方形四個頂點的坐標(biāo)依次為（1,1）,（3,1）,（3,3）,（1,3）,若拋物線丫=2*?的

圖象與正方形有公共頂點，則實數(shù)a的取值范圍是（）

1111

1<<c<<3<<

---a---a----

B.93D.3

｛答案｝A

｛解析｝v-2

拋物線y=a的圖象與正方形有公共頂點，必須滿足1WxW3.拋物線經(jīng)過（1,3）時，a=3,拋物線

11

最

a--3吮a=-a

過（1,1）時，a=1,a最大可以取3：拋物線過點（3,1）時,93)3

小可以取工，所以故選A.

99

二、填空題

17.（2020.無錫）二次函數(shù)夕=G2—3批+3的圖像過點/（6.0）,且與y軸交于點8,點M在該拋物線的對

稱軸上，若是以Z8為直角邊的直角三角形，則點M的坐標(biāo)為.

｛答案｝（I--9）或（1,6）

｛解析｝根據(jù)題意得，點B坐標(biāo)為（0,3）,對稱軸為直線為x=1|'若NABM=90°時，tan/BAO=tanN

8MC=tanNN8M=4，則8N=3,則ON=6,則用的坐標(biāo)為弓，6）.若/歷1M=9O°時，可以求得點

%的坐標(biāo)為（1,-9）.

三、解答題

24.(2020湖州)如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xQy中，拋物線y=-x2+bx+c(c>0)的頂點為。，與y

軸的交點為C.過點C的直線CA與拋物線交于另一點A(點4在對稱軸左側(cè))，點8在/C的延長線

上，連結(jié)04,OB,DADB.

(1)如圖1,當(dāng)軸時，

①已知點/的坐標(biāo)是(-2,1),求拋物線的解析式；②若四邊形4O8D是平行四邊形，求證：廿=4c.

BC3

(2)如圖2,若b=-2,-=是否存在這樣的點力，使四邊形是平行四邊形？若存在，求

AC5

【分析】(1)①先確定出點C的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；

②先確定出拋物線的頂點坐標(biāo)，進而得出DF=f,再判斷出△AFDgZ\BCO,得出DF=OC,即可得出結(jié)

4

論；

(2)先判斷出拋物線的頂點坐標(biāo)D(-1,c+l),設(shè)點A(m,-m2-2m+c)(m<0),

判斷出AAFD/△BCO(AAS),得出AF=BC,DF=OC,再判斷出△ANFsZ\AMC,得出"=叫=竺=

AMCMAC

翌進而求出m的值，得出點A的縱坐標(biāo)為c-2<c,進而判斷出點M的坐標(biāo)為(0,c—8)，N(-

AC544

1,c--),進而得出CM=3DN=-,FN=--c,進而求出c=a,即可得出結(jié)論.

44442

【解答】解：(1)①'.認(rèn)(3〃*軸，點A(-2,1),；.C(0,1),

將點A(-2,1),C(0,1)代入拋物線解析式中，得｛；[：2b+c=1,...｛：；[2,

，拋物線的解析式為y=-x2-2x+l；

②如圖1,過點D作DE_Lx軸于E,交AB于點F,：AC〃x軸，，EF=OC=c,

:點D是拋物線的頂點坐標(biāo)，.\D(B,c+-),ADF=DE-EF=c+--c=-,

2444

:四邊形AOBD是平行四邊形，.,.ADuDO,AD/7OB,/.ZDAF=ZOBC,

h2

VZAFD=ZBCO=90",.,.△AFD^ABCO(AAS),.*.DF=OC,：.-=c,即b2=4c；

4

(2)如圖2,：b=-2..,.拋物線的解析式為y=-x2-2x+c,

.?.頂點坐標(biāo)D(-1,c+l),假設(shè)存在這樣的點A使四邊形AOBD是平行四邊形，

設(shè)點A(m,-m2-2m+c)(m<0),過點D作DE_Lx軸于點E,交AB于F,

...NAFD=NEFC=/BCO,,四邊形AOBD是平行四邊形，，AD=BO,AD〃OB,

.,.ZDAF=ZOBC,/.△AFD^ABCO(AAS),/.AF=BC,DF=OC,

過點A作AM_Ly軸于M,交DE于N,；.DE〃CO,.?.△ANFs/\AMC,.?.加=畀=絲=裝=三,

AMCMACAC5

—m—12S

VAM=-m,AN=AM-NM=-m-I,Am=

-m52

二點A的縱坐標(biāo)為-(--)2-2X(--)+=c--<c,；AM〃x軸，

22c4

...點M的坐標(biāo)為(0,c--),N(-I,c--),；.CM=c-(c--)=-,

4444

,點D的坐標(biāo)為(-1,c+l),DN=(c+l)-(c--)=-,VDF=OC=c,

44

9

.?.FN=DN-DF=--c，，點A縱坐標(biāo)為％；.A(一豆

.??存在這樣的點A,使四邊形AOBD是平行四邊形.

25.(2020?銅仁)如圖，已知拋物線丫=加+笈+6經(jīng)過兩點A(-I,0),B(3,0),C是拋物線與y軸

的交點.“

(1)求拋物線的解析式；］八

(2)點P(〃?，〃)在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線上運動，設(shè)APBC的面積

為5,求5關(guān)于胴的函數(shù)表達(dá)式(指出自變量〃，的取值范圍)和5的最大值；A1

(3)點M在拋物線上運動，點”在y軸上運動，是否存在點“、點N使得/\|

90°,且△CMN與△OBC相似，如果存在，請求出點M和點N的坐標(biāo)./\?

(解析｝(1)根據(jù)點A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；/

(2)過點P作PF〃y軸，交BC于點F,利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)恃征可得出點C/M

的坐標(biāo)，根據(jù)點B、c的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，設(shè)點p的坐-^-o\----土工

標(biāo)為(m,-2m2+4m+6),則點F的坐標(biāo)為(m,-2m+6),進而可得出PF的長

度，利用三角形的面積公式可得出SZ\PBC=-3m2+9m,配方后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出Z^PBC面

積的最大值；

(3)分兩種不同情況，當(dāng)點M位于點C上方或下方時，畫出圖形，由相似三角形的性質(zhì)得出方程，求出

點M,點N的坐標(biāo)即可.

｛答案｝解：(1)將A(-1,0)、B(3,0)代入y=ax2+bx+6,

fa_b+6=0fa=-2

得：l9a+3b+6=0,解得:1b=4,拋物線的解析式為y=-2x2+4x+6.

(2)過點P作PF〃y軸，交BC于點F,如圖1所示.當(dāng)x=0時，y=-2x2+4x+6=6,

...點C的坐標(biāo)為(0,6).設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c,'

將B(3,0)、C(0,6)代入y=kx+c,得：

(3k+c=0卜2人|\

IC=6,解得：\c=6,直線BC的解析式為y=-2x+6.\

設(shè)點P的坐標(biāo)為(m,-2m2+4m+6),則點F的坐標(biāo)為(m,-2m+6),/XW

，PF=-2m2+4m+6-(-2m+6)--2m2+6m,/\i

/.SAPBC=2PF?OB=-3m2+9m=-3(m-2)2+4,

3_27_

.?.當(dāng)m=2時，△PBC的面積取得最大值，最大值為4.

?.,點P(m,n)在平面直角坐標(biāo)系第?象限內(nèi)的拋物線上運動，...OVniVS.

(3)存在點M、點N使得NCMN=90°,且4CMN與/XOBC相似.

如圖2,ZCMN=90°,當(dāng)點M位于點C上方，過點M作MD_Ly軸于點D,

；NCDM=NCMN=90°,NDCM=NNCM,AAMCD^ANCM,

若△CMN與△OBC相似，則△MCD與△BCO相似,

設(shè)M(a,-2a2+4a+6),C(0,6),；.DC=-2a2+4a,DM=a,

DMOB31————=1

當(dāng)CD0C62時，△COB^ACDM^ACMN,A_2a+4a",

_12XLCDQB.1

解得a=l,，M(1,8),此時ND=2DM=2,.?.N(0,2),當(dāng)DM時，

-2a2+4a17755

-----------——--

△COB^AMDC^ANMC,a2,解得a=4,AM(4,8),此時

83

N(0,8).

如圖3,當(dāng)點M位于點C的下*

過點M作ME_Ly軸于點E,設(shè)M(a,-2a2+4a+6),C(0,6)

22

/.EC=2a2-4a,EM=a,同理可得：2a-4a=：或2a-4a

a2a

OBC相似，解得a=亍或a=3,M(?,-^7-)或M(3,0),

448

此時N點坐標(biāo)為(0,*或(0,-卷).

82

綜上所述，M(1,8).N(0,)或M以昌)，N(0,)或M(?,

24884

QQQQ

胃),N(0,-1)或M(3,0),N(0,--1),使得NCMN=90°,且aCMN

與AOBC相似.

25.(2020?重慶4卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線片f+6狀°與直線/冰目交于4硒點，其

中力(-3,-4),B(0,-1).

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點協(xié)直線4斤方拋物線上的任意一點，連接為，PB,求△為嗣積的最大值；

(3)將該拋物線向右平移2個單位長度得到拋物線ynqV+ex+qmwo),平移后的拋物線與原拋

物線相交于點G點〃為原拋物線對稱軸上的一點，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點￡,使以點

｛解析｝(1)將A,B兩點的坐標(biāo)分別代入y=x2+bx+c,得到方程組，通過解方程組求出b,c；(2)由A,B

兩點的坐標(biāo)求出直線AB的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=x-L過點P作PQ_Lx軸交AB于點Q,設(shè)P(t,t2+4tT),Q(t.t-

1),則PQ=(t-1)Yt2+4t-l)=-t2-3t.根據(jù)MSAPAB=2?PQ.|xA-xB|”求出SAPAB與t的函數(shù)表達(dá)

式，進而求出該函數(shù)的最大值；(3)拋物線y=x2+4xT向右平移后的拋物線的表達(dá)式為y'=x2-5,它們

的交點為點C（1,-4）,以點B,C,D,E為頂點的四邊形為菱形可分為BC為對角線，BD為對角線，BE為

對角線三種情況，其中BE為對角線又分為點E在直線AB上方和下方兩種情況.

｛答案｝解:(1):拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A(-3,-4),點B(0,-1),

9-3b+c=-4,伍=4,

<<

￡=一1,解得〔。=一1..?.該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2+4x-l.

(2)設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式為丫=1?+111(k#0).

-3k+m=-4,伏=1,

<V

將點A(-3,-4),點B(0,-1)代入函數(shù)表達(dá)式，得〔機=T,解得〔加=—1,...直線AB的函數(shù)

表這式為y=x-l.

過點,P作PQJ_x軸交AB于點Q.設(shè)P(t,t2+4t-l)(-3<t<0),則Q).____

J__1_3_￡

.*.PQ=(t-1)-(t2+4t-l)=-t2-3t./.SAPAB=2?PQ?|xA-xB|=2(-t2-3t)X3=-2t2-2t.

9

3_3__27

,-3<-2<o,.?.當(dāng)t=-2時，SaPAB有最大值.最大值為SZkPAB=8..?.△PAB

面積的最大值為8.

（3）滿足條件的點E的坐標(biāo)為（1,-3）,（-3,-4+痛）,（-3,-4-J&）,（-1,,2）.

28（2020?江蘇徐州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=_a?+2or+3%a>0）的圖像交謝于點/、B,

交廊于點心它的對稱軸交x軸于點&過點。乍切〃諭交拋物線于點〃，連接應(yīng)并延長交端13于點片交拋

物線于點G.直線力戌的點〃，交拋物線于點人，連接加入GK.

（1）點珊坐標(biāo)為：；

（2）當(dāng)△/?直角三角形時，求a的值；

（3）儂與仍有怎么的位置關(guān)系？請說明理由.

（第28題）備用

圖

｛解析｝（1）利用二次函數(shù)對稱軸的方程來進行計算；（2）先分別求出A、B、C三點的坐標(biāo)，根據(jù)對稱

性求出點D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線DE的解析式，通過解由直線DE和二次函數(shù)的解析式組成的方

程組可得G點的坐標(biāo)，由直線DE的解析式求出點F的坐標(biāo)，同樣求出點K的坐標(biāo)和H點的坐標(biāo)，然后由H、

F、E三點的坐標(biāo)，利用兩點間距離公式分三種情形來進行計算可得a的值；（3）在（2）的條件下，分別

求出直線IIE和直線GK的解析式，然后由解析式來判別直線1IE和宜線GK的位置關(guān)系.

｛答案｝解：（1）（1,0）,理由如下：

2a

對于拋物線丫=-演+26+3。，它的對稱軸x=2x（-a）=i,點的坐標(biāo)為⑷0）；

（2）對于拋物線》=一占+2辦+3”，

令y=0,有一以2+2ax+3a=o,解得xl=-l,x2=3,，A點的坐標(biāo)為（-1,0）,B點的坐標(biāo)為（3,0）,令

x=0,則y=3a,...點C的坐標(biāo)為（0,3a）,

由于CD〃x軸，，點D和C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，點D的坐標(biāo)為（2,3a）,

設(shè)直線DE的解析式為：y=kx+b,代入（1,0）和（2,3a）,

［攵+b=0

有12女+6=3〃，解得k=3a,b=-3a,二直線ED的解析式為：y=3ax—3a,

令x=O則y=—3a,，點F的坐標(biāo)為(0,—3a),

(y=3ax-3a

解方程組口=-以2+2依+3〃，解得G的坐標(biāo)為(一3,—12a),

同理可求得直線UK的解析式為：y=-3ax—3a,點K的坐標(biāo)為(6,—21a),

對于直線y=-3ax-3a,令y=3a,解得H的坐標(biāo)為(-2,3a),AH(-2,3a),E(1,0),F(0,-

3a),根據(jù)兩點間距離公式可得：HE2=9a2+9,HF2=36a2+4,EF2=9a2+l,

當(dāng)HE2=HF2+EF2時,有9a2+9=36a2+4+9a2+l,解得a=3(舍負(fù))；

g

當(dāng)HF2=HE2+EF2時,有36a2+4=9a2+9+9a2+l,解得a=3,

!3

當(dāng)HE2+HF2=EF2時,有9a2+9+36a2+4=9a2+L無解，...a的值為：3或3.

(3)由于點G(-3,-12a),K(6,-21a),二直線GK的解析式為：y=-ax-15a,

由于點H的坐標(biāo)為(一2,3a),點E的坐標(biāo)為(1,0)，二直線HE的解析式為；y=-ax+a,

.?.直線GK〃直線HE.

25.(2020?聊城)如圖，二次函數(shù)尸a/+6x+4的圖象與x軸交于點4(-1.0),8(4.0),與y軸交

于點C,拋物線的頂點為。，其對稱軸與線段回交于點瓦垂直于x軸的動直線/分別交拋物線和線段6C

于點？和點“動直線/在拋物線的對稱軸的右側(cè)(不含對稱軸)沿x軸正方向移動到6點.

(1)求出二次函數(shù)y=ax+bx+^和8C所在直線的表達(dá)式；

(2)在動直線/移動的過程中，試求使四邊形密為平行四邊形的點。的坐標(biāo)；

(3)連接〃，CD,在移動直線/移動的過程中，拋物線上是否存在點尸，使得以點尸，C,尸為頂點的三角

形與△腔相似，如果存在，求出點尸的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由.

｛解析｝(1)運用待定系數(shù)法，利用A,B兩點的坐標(biāo)構(gòu)建二元一次方程組求解二次函數(shù)的表達(dá)式，利用B,

C兩點的坐標(biāo)確定直線BC的表達(dá)式；

(2)DE長可求，由于直線1與拋物線的對稱軸互相平行，故只需具備PF=DE,即得四邊形DEFP為平行

四邊形.點P與點F的橫坐標(biāo)相同，故利用拋物線與直線的解析式表示它們的縱坐標(biāo)，根據(jù)其差等于DE

長構(gòu)建一元二次方程求解；

(3)結(jié)合圖形與已知條件，易于發(fā)現(xiàn)若兩三角形相似，只可能存在△PCFs^CDE一種情況.ACDE的三邊

均可求，(2)中已表示PF的長，再構(gòu)建直角三角形或借助兩點間距離公式，利用勾股定理表示出CF

的長，這樣根據(jù)比例式列方程求解，從而可判斷點P是否存在，以及求解點P的值.

｛答案｝解：(1)由題意，將A(—1.0),B(4.0)代入y=ax2+bx+4,得

。一b+4=0,a=-1,

16a+4力+4=0.解得‘,.二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2+3x+4.

b=3.

當(dāng)x=0時，y=4,得點C(0,4),又點B(4,0),設(shè)線段BC所在直線的表達(dá)式為y=mx+n,

n=4,m=-1,

A八解得In=4.，BC所在直線的表達(dá)式為『=-x+4.

4m+H=().

(2)；DEJ_x軸,PF_Lx軸,；.DE〃PF,

3253

只要DE=PF,此時四邊形DEFP即為平行四邊形.由二次函數(shù)y=-x2+3x+4=(x——)2+—，得D(一,

242

2533535

一).將x=一代入y=—x+4,即y=-----M=—,得點E(一,—).

422222

?*.DE=—————.設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t,則P(t,—t2+3t+4),E(t,—1+4),

424

PF=-t2+3t+4-(—t+4)=-t2+4t,由DE=PF,得一t2+4t=—，

4

35

解之，得tl=一(不合題意，舍去)，t2=-.

22

“，5,,5、，5,21,521

當(dāng)弋=一時，-t2+3t+4=—(—)2+3X----F4=—...P(一,—).

(3)由(2)知，PF〃DE,/.ZCED=ZCFP.

乂NPCF與NDCE有共同的頂點C,且/PCF在NDCE的內(nèi)部，/.ZPCF^ZDCE,

,只有當(dāng)NPCF=NCDE時，APCF^ACDE.

32535

由D(±,―),C(0,4),E(-,-),利用勾股定理，可得

2422

CE=J(-)2+(4--)2=-V2,DE=—.由(2)以及勾股定理知，PF=-t2+4t,

V222424

pg「F~t~+4t

rz,Ti-ir\^r----------=-----

CF=J廠+[4—(T+4)「=行t.??，即3rr15-

vCEDE-72

24

.1516、,，164,16,16,84

.t#0,..—(z-1+4)=3,..t=—.當(dāng)t=—時，-t2+3t+4=—(—)2+3X----F4=—.

4555525

...點P的坐標(biāo)是(3，——).

525

24.(2020?陜西)如圖，拋物線＞=/+云+。經(jīng)過點(3,12)和(-2,-3),與x軸交于/、8兩點(點力在

點8左側(cè))，與y軸交于點C,它的對稱軸為直線/.

(1)試求拋物線的表達(dá)式；

(2)P是拋物線上的點，過點P作/的垂線，垂足為。，￡是/上的點，要使以P、D、E為頂點的三

角形與一/OC全等，求滿足條件的點尸、￡的坐標(biāo).

X

｛解析｝（1）運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式，即將點（3,12）和（-2,-3）分另代入y=x2+bx+c,

列方程組求解；（2）由點A、C的坐標(biāo)判斷出AOC是等腰直角三角形，根據(jù)條件“PDE與AOC全等”

和“PDDE”，可確定DP=DE=0A=0C=3,由于點P可能位于對稱軸1的左側(cè)或右側(cè)，所以分類討論,

從而確定點P和點E的坐標(biāo).

J12=9+36+cJb=2

｛答案｝解：（1）由題意，得1-3=4-26+c解方程組，得卜=-3

所以拋物線的表達(dá)式為：y=d+2x-3；

（2）如答圖所示：

當(dāng)x=0時，y--3；當(dāng)y=0時，即『+2x-3=0,解得xl=-3,x2=l；

即A（-3,0）、B（1,O）、C（0,-3）,對稱軸1為x=-l.所以O(shè)A=OC=3,即□AOC為等腰直角三角形.因

為HPDE與AOC全等，且PDDE,所以DP=DE=OA=OC=3,所以點P的橫坐標(biāo)為-4或2,當(dāng)x=

-4和x=2時，y=5,所以Pl（-4,5）,P2（2,5）,El（-1,8）,El（-1,2）.

25.（2020?泰安）（13分）若一次函數(shù)y=—3x—3的圖象與x軸，y軸分別交于4C兩點，點8的

坐標(biāo)為（3,0）,二次函數(shù)y=ax'+bx+c的圖象過4B,C三點，如圖（1）.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如圖（1）,過點C作8〃x軸交拋物線于點。，點E在拋物線上（y軸左側(cè)），若8c恰好平分

/DBE.求直線8E的表達(dá)式；

（3）如圖（2）,若點尸在拋物線上（點P在y軸右側(cè)），連接/尸交8C于點F,連接5P,S"FP=

mSeBAF.

①當(dāng)〃7=3時，求點P的坐標(biāo)；

②求〃，的最大值.

（第25題）

｛解析｝本題考查了一次函數(shù)圖像性質(zhì)、應(yīng)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式，圖像中線段與

相應(yīng)三角形面積之間的數(shù)量關(guān)系與其對應(yīng)點坐標(biāo)之間的聯(lián)系.問題（1）,直接求得圖象過4B,。三

點，并應(yīng)用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)表達(dá)式；問題（2）,根據(jù)圖像中的點的坐標(biāo)隱含的線段條件，并構(gòu)

造全等三角形求得BE與y軸交點M的坐標(biāo)，再應(yīng)用待定系數(shù)法求得直線8E的表達(dá)式；問題（3）,①根

據(jù)SABFP=|S"AF，得PF=1AF.過點P作PN//AB交BC于點N,則AB=2NP,NP=2.設(shè)尸（f,

r2—2Z—3),有/一2/—3=XN—3則x,v=/—2f.從而PN=t一(『一2f),則f—(，一2f)=2,

pt1,,(t~2/)1t~Rt

L

解得，值，即可得點P坐標(biāo)；②由①得：，"=牛，：.m^~~--4---=-4----,可得加

的最大值.

｛答案｝(1)解：令一3x—3=0,得4=-1.令x=0時，y=-3.

：.A(―1,0),C(0,—3).

???拋物線過點。(0,—3),

c——3.

則y-ax-\~bx-3,將/(—1,0),3(3,0)代入

得(0=T—3'

(0=9。+36—3.

解得長12

[0=——乙

二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x~—2x—3.

(2)解：設(shè)3E交。。于點

,:B(3,0),C(0,—3),

JOB=OCfZOBC=ZOCB=45°.

*：CD〃AB,

：.NBCD=45°.

/.ZOCB=ZBCD.

■:BC汽?分乙DBE,

：.ZEBC=ZDBC.

又?:BC=BC,

???△MBgXDBC.

???CM=CD.

由條件得：D(2,—3).

CD=CM=2.

???OM=3—2=1.

,?M(0,-1).

'：B(3,0),

直線BE解析式為卜=；x—1.

(3)@2SABAF，

1

PF=5AF.

過點、P作PN〃AB交BC于點、N,則△ABFS^PNF.

：.4B=2NP.

■:AB=4,

???NP=2.

,/直線BC的表達(dá)式為y=x—3,

設(shè)P(人2L3),

/2—2/-3=X，N—3.

.*?XN=t-2t.

PN=t—(Z2—2/),貝h一(?—2/)=2,解得力=2,，2=1.

工點尸(2,—3)或尸(1,—4).

②由①得：〃2=^PN

t—(r2—2r)—/2+3/-(/—3/)1,3、2J

??m=)

444=7x(L])+44

3.2.9

2)+元?

_9

，"7有最大值，加姓大佰=正?

(2020?四iR故州)28.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圖1?尸質(zhì)+3分別交x軸、y軸于48兩

點，經(jīng)過48兩點的拋物線y=—f+bx+c與x軸的正半軸相交于點C(l,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)若尸為線段上一點，/4PO=N4CB,求ZP的長；

(3)在(2)的條件下，設(shè)M是y軸上一點，試問:拋物線上是否存在點N,使得以4P,M,N為頂點的四邊

形為平行四邊形?若存在，求出點N的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

｛解析｝本題考查了拋物線的解析式、相似三角形、平行四邊形的存在性，屬二次函數(shù)綜合.

(1)利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；

(2)先求出力8,OA,/C,再利用相似三角形的性質(zhì)求解.

(3)分兩種情況討論：①均為平行四邊形的邊時，點N的橫坐標(biāo)可以為±2,求出點N的坐標(biāo)即可解決

問題.②當(dāng)4P為平行四邊形的對角線時，點N"的橫坐標(biāo)為-4,求出點N”的坐標(biāo)即可解決問題.

｛答案｝解：(1)；拋物線經(jīng)過8(0,3),C(1,0),

解得H,，

[c—3.

???拋物線的解析式為y=-x2-2工+3.

(2)對于拋物線y=-/-2x+3,令y=0,解得x=-3或1.

：.A(-3,0).

*：B(0,3),C(1,0),

：?OA=OB=3,OC=1,AB=3顯.

VZAPO=ZACB,NR4O=/CAB,

:?△PAOs/XCAB,

.APAO

**AC-AB"

.AP_3

??——尸,

43V2

:.AP=2&.

(3)由(2)可知，P(-1,2),AP=2y/2.

①當(dāng)ZP為平行四邊形的邊時，點N的橫坐標(biāo)為2或-2,

：.N(-2,3),N1(2,-5).

...點M向右平移2個單位,再向上平移2個單位得到M(0,5),

點N'向左平移2個單位，再向下平移2個單位得到(0,-7),

②當(dāng)AP為平行四邊形的對角線時，點N"的橫坐標(biāo)為-4,

：.N"(-4,-5),此時AT(0,7),

綜上所述，滿足條件的點N的坐標(biāo)為(-2,3)或(2,-5)或(-4,-5).

(2020?樂山)已知拋物線)，=加+以+c與x軸交于A(—1,0),B(5,0)兩點，C為拋物線的頂點，拋物

4

線的對稱軸交x軸于點。，連結(jié)BC,且tanNCBQ=1,如圖所示.

(1)求拋物線的解析式；

(2)設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一個動點.

①過點P作x軸的平行線交線段BC于點E,過點E作EFLPE交拋物線于點F,連接FB、FC,求△BCF

的面積的最大值；

3

②連接PB,求wPC+PB的最小值.

5

4

｛解析｝(1)先根據(jù)拋物線的對稱性求出對稱軸與x軸的交點求出。點坐標(biāo)，再由tanNC3￡)=w，求出點

。的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法設(shè)交點式，羽1點C的坐標(biāo)代入即可求解；

420420

(2)①先求出BC的解析式為y=--x+—,再設(shè)點E坐標(biāo)為億一亍+彳)，由二次函數(shù)關(guān)系式用t表示點

產(chǎn)的坐標(biāo)，進而用f表示出△8CF的面積，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大值；

33

②過點P作PG-LAC于G,由PG=PCsinZACD=-PC可得二PC+PB=PG+PB,再過點B作BHA.AC于

33

33

點、H,由此可知當(dāng)仄P、〃三點共線時二尸C+PB的值最小，即線段8H的長就是三PC+P8的最小值，根

□□

據(jù)面積法求高即可.

｛答案｝解：(1)根據(jù)題意，可設(shè)拋物線的解析式為：＞=。0+1)—5),

VCD是拋物線的對稱軸，D⑵0)；

4

又?.?tanNC8C=aCD=BDtanZCBD=4,即C(2,4),

4

代入拋物線的解析式，得4=a(2+l)(2—5),解得。=一§,

441620

二二次函數(shù)的解析式為y=—§Cr+DCv—5),即y=—§./+1二+卞；

(2)①設(shè)直線8C的解析式為y=Ax+6,

J0=51t+6,初］"一一3，

?[4=2￡+b.葉宣20

[b=T

420

即直線BC的解析式為y=一5工十干,

OO

5…一4?20、,…L,,4-16120、

設(shè)E坐標(biāo)為(Z,--/+—),則F點坐標(biāo)為(/,—g/-+—/+—),

11,42,2840、2,7、，3

AS^BCF=QX￡FX5Z)=-X3X(一厘+石/一石)=一三(lR“+5,

73

...當(dāng)/=］時，△8CF的面積最大，且最大值為：；

②如圖，連接ZC,根據(jù)圖形的對稱性可知NACD=NBCD,AC=BC=5,

過點P作PG±AC于G,過點B作BH±AC于點H,

3

則在RtAPCG中，PG=PCsinZACD=~PC,

0

3

:.-PC+PB=PG+PB》BH,

□

3

由此可知當(dāng)&P、〃三點共線時wPC+PB的值最小，即線段8H的長.

□

1115

VSAABC=QXJ5XCZ)="X6X4=12,又S38C=]XACXBH=0H,

524

：.~BH=l2即BH=?

Lt0

324

C.-PC+PB的最小值為二.

55

24.(2020?綿陽)如圖，拋物線過點/(0,1),和C,頂點為。，直線/C與拋物線的對稱軸點的

交點為8(6,0),平行于y軸的直線E廠與拋物線交于點E,與直線ZC交于點兒點尸的橫坐標(biāo)為

短，四邊形8DE尸為平行四邊形.

3

(1)求點F點的坐標(biāo)及拋物線的解析式；

(2)若點P為拋物線上的動點，且在直線ZC上方，當(dāng)△為8面積最大時，求點尸的坐標(biāo)及△/MB面積的

最大值：

(3)在拋物線的對稱軸上取一點。，同時在拋物線上取一點R,使以4C為一邊且以/、C、。、R為頂點

的四邊形為平行四邊形，求點。和點R的坐標(biāo).

｛解析｝(1)運用待定系數(shù)法，利用A,B兩點的坐標(biāo)確定宜線AB的表達(dá)式，再將F點的橫坐標(biāo)代入解析

式，便可求得廠點的坐標(biāo)；將拋物線設(shè)為頂點式，然后利用平行四邊形的性質(zhì)，以及尸點的坐標(biāo)，將E點

的坐標(biāo)表示出來，再將A,E兩點的坐標(biāo)分別代入頂點式中，便可以解決；

(2)利用鉛錘底水平高，將△物8的面積表示出來，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為f,可以將PG用，的代數(shù)式表示

出來，然后再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出△以8面積的最大值及P的坐標(biāo)；

(3)由題意可以判斷出點。和點R均在x軸的下方，利用平行四邊形的性質(zhì)構(gòu)造一對全等的直角三角形，

通過直線/C與拋物線聯(lián)立可以求出C點的坐標(biāo)，然后根據(jù)4、C兩點的坐標(biāo)再結(jié)合全等三角形的對應(yīng)邊

相等，便可以求出點。和點7?的坐標(biāo)了.

｛答案｝解：(1)"：A(0,1),B(V3,0),...直線48的解析式為：尸一［x+1,把尸怨代入夕=

6一俎一1?尸，461,

———x+1得y——一,?.F(---,一一)；

3^333

設(shè)拋物線解析式為：y=a(x-V3)2+A,反交工軸于"，過E作EALLB。，則四邊形N8ME為矩形，

:.BN=EM,???四邊形3OEF為平行四邊形，:.BD=EF,：.DN=MF=-：.y=h--,將4(0,1),

3fE3

E(上^，A—)分別代入歹=。(x—G)2+/?,得a=—1,/?=4,?,?拋物線解析式為：y=-x2+2\/3

x+1.

(2)過尸作尸軸，交直線4C于點G

設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為f,貝-t2+2y/3t+\),G(t,

PG——P+26r+1—(-:+1)=一r+I,

/)X6=-9一逑,4973

SPAB=S~S,S——(—L+—y-I----，

PACpBCpAB2624

--<0,，當(dāng)f=拽時，s.有最大值，最大值為駕

26

(3)如圖，?.【、C、0、R為頂點的四邊形是以/IC為邊的平行四邊形，，0、R均在x軸的下方.

過R作夕軸的垂線，過C作對稱軸的垂線，垂足分別為7、H,則△4RTWAQCH,：.RT=CH,AT=QH,

將直線4C與拋物線聯(lián)立得：

-y=~~X+},解得」3,『=°,(拽，，)，."”二述二夫兀...我的橫坐標(biāo)為

j一+2怎+]|,i=_|I_333

一迪，將x=一還代入到拋物線中得了=一衛(wèi)，(一生g,AT=\~(--)=—=

333333