PAGEPAGE113.1.2不等式的性質(zhì)學習目標1.理解并駕馭不等式的性質(zhì)．2.能夠利用不等式的性質(zhì)進行數(shù)或式的大小比較．3.會證明一些簡潔的不等式．學問點一不等式的基本性質(zhì)思索試用作差法證明a>b，b>c?a>c.答案a>b，b>c?a－b>0，b－c>0?a－b＋b－c>0?a－c>0?a>c.總結(jié)不等式性質(zhì)：名稱式子表達性質(zhì)1(對稱性)a＞b?b＜a性質(zhì)2(傳遞性)a＞b，b＞c?a＞c性質(zhì)3a＞b?a＋c＞b＋c推論1a＋b＞c?a＞c－ba＞b，c＞d?a＋c＞b＋d推論2性質(zhì)4a＞b，c＞0?ac＞bca＞b，c＜0?ac＜bc推論1a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bda＞b＞0?an＞bn(n∈N＋，n＞1)a＞b＞0?eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N＋，n＞1)推論2推論3學問點二不等式性質(zhì)的留意事項思索1在性質(zhì)4的推論1中，若把a，b，c，d為正數(shù)的條件去掉，即a＞b，c＞d，能推出ac＞bd嗎？若不能，試舉出反例．答案不能，例如1＞－2，2＞－3，但1×2＝2＜(－2)×(－3)．思索2在性質(zhì)3的推論2中，能把“?”改為“?”嗎？為什么？答案不能，因為由a＋c＞b＋d，不能推出a＞b，c＞d，例如1＋100＞2＋3，但明顯1＜2.總結(jié)(1)留意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不要想當然隨意捏造性質(zhì)．b?a＋c＞b＋c，a＞b?ac＞bc(c＞0)是可以逆推的，其余幾條性質(zhì)不行逆推．1．若a>b，則ac>bc肯定成立．(×)2．若a＋c>b＋d，則a>b且c>d．(×)3．若a>b且d<c，則a＋c>b＋d．(√)4．若a>b且c>d，則ac>bd．(×)題型一不等式性質(zhì)的證明例1若a＞b，c＞0，求證：ac＞bc.證明ac－bc＝(a－b)c.∵a＞b，∴a－b＞0.又c＞0，∴(a－b)c＞0，即ac－bc＞0，∴ac＞bc.反思感悟?qū)﹄S意兩個實數(shù)a，b有a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b．這是比較兩個實數(shù)大小的依據(jù)，也是證明不等式的基礎(chǔ)．數(shù)學是個講究邏輯的學科，不能以理解代替證明．跟蹤訓練1(1)若ac2＞bc2，求證：a＞b；(2)由a＞b能推出ac2＞bc2嗎？解(1)∵ac2＞bc2，∴ac2－bc2＞0，即(a－b)c2＞0．若c2＝0，則ac2＝bc2與條件沖突．∴c2＞0，∴a－b＞0，即a＞b．(2)不能．當c＝0時，ac2＝bc2．題型二不等式性質(zhì)的應(yīng)用命題角度1利用不等式的性質(zhì)推斷命題真假例2推斷下列命題的真假：(1)若a>b，則ac<bc；(2)若a<b<0，則a2>ab>b2；(3)若a<b<0，則eq\f(b,a)>eq\f(a,b).解(1)由于c的正、負或是否為零未知，因而推斷ac與bc的大小缺乏依據(jù)．故該命題為假命題．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<b，,a<0))?a2>ab；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<b，,b<0))?ab>b2．所以a2>ab>b2，故該命題為真命題．(3)由a<b<0?－a>－b>0?a2>b2?eq\f(a2,ab)>eq\f(b2,ab)，即eq\f(a,b)>eq\f(b,a)，故該命題為假命題．反思感悟要推斷命題是真命題，應(yīng)說明理由或進行證明，推理過程應(yīng)緊扣有關(guān)定理、性質(zhì)等，應(yīng)嫻熟駕馭不等式的性質(zhì)及其推論的條件和結(jié)論，若推斷命題是假命題只需舉一反例即可．跟蹤訓練2下列命題中正確的個數(shù)是()①若a>b，b≠0，則eq\f(a,b)>1；②若a>b，且a＋c>b＋d，則c>d；③若a>b，且ac>bd，則c>d．A．0B．1C．2D．3答案A解析①若a＝2，b＝－1，則不符合題意；②取a＝10，b＝2，c＝1，d＝3，雖然滿意a>b且a＋c>b＋d，但不滿意c>d，故錯；③當a＝－2，b＝－3時，取c＝－1，d＝2，則c＞d不成立．命題角度2利用不等式性質(zhì)證明簡潔不等式例3已知a>b>0，c<d<0，e<0，求證：eq\f(e,a－c)>eq\f(e,b－d).證明∵c<d<0，∴－c>－d>0，∵a>b>0，∴a－c>b－d>0，∴0<eq\f(1,a－c)<eq\f(1,b－d)．又∵e<0，∴eq\f(e,a－c)>eq\f(e,b－d)．反思感悟利用不等式性質(zhì)證明簡潔的不等式的實質(zhì)就是依據(jù)性質(zhì)把不等式進行變形，要留意不等式性質(zhì)成立的條件，假如不能干脆由不等式性質(zhì)得到，可先分析須要證明的不等式的結(jié)構(gòu)，利用不等式性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化．跟蹤訓練3若a>b>0，c<d<0，求證：eq\f(a,d)<eq\f(b,c)．證明∵c<d<0，∴－c>－d>0．又a>b>0，∴－ac>－bd>0，∴ac<bd．又c<0，d<0，∴cd>0．∴eq\f(ac,cd)<eq\f(bd,cd)，即eq\f(a,d)<eq\f(b,c)．命題角度3應(yīng)用不等式性質(zhì)求取值范圍例4已知－6<a<8,2<b<3，分別求2a＋b，a－b，eq\f(a,b)的取值范圍．解∵－6<a<8,2<b<3，∴－12<2a<16，∴－10<2a＋b<19．又∵－3<－b<－2，∴－9<a－b<6．又eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，當0≤a<8時，0≤eq\f(a,b)<4；當－6<a<0時，－3<eq\f(a,b)<0．∴－3<eq\f(a,b)<4．反思感悟解決此類問題，要留意題設(shè)中的條件，充分利用已知求解，否則易出錯．同時在變換過程中要精確運用不等式的性質(zhì)，不能出現(xiàn)同向不等式相減、相除的狀況，同時，要特殊留意同向不等式相乘的條件是同為正．跟蹤訓練4已知－eq\f(π,2)≤α<β≤eq\f(π,2)，求eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的取值范圍．解∵－eq\f(π,2)≤α<β≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,4)≤eq\f(α,2)<eq\f(π,4)，－eq\f(π,4)<eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)．上面兩式相加得－eq\f(π,2)<eq\f(α＋β,2)<eq\f(π,2)．∵－eq\f(π,4)<eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,4)≤－eq\f(β,2)<eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)<eq\f(π,2)．又知α<β，∴α－β<0，故－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)<0．用好不等式性質(zhì)，確保推理嚴謹性典例已知12＜a＜60,15＜b＜36，求eq\f(a,b)的取值范圍．解∵15＜b＜36，∴eq\f(1,36)＜eq\f(1,b)＜eq\f(1,15)，又12＜a＜60，∴eq\f(12,36)＜eq\f(a,b)＜eq\f(60,15)，∴eq\f(1,3)＜eq\f(a,b)＜4，即eq\f(a,b)的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，4))．[素養(yǎng)評析]邏輯推理講究言必有據(jù)．在不等式這一章，我們要對不等式進行大量的運算、變形，而運算、變形的依據(jù)就是不等式的性質(zhì)．通過考問每一步是否有依據(jù)，整個推理過程是否有條理，可以使我們的理性精神和溝通實力得到提升．1．假如a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正確的個數(shù)是()①eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；②eq\r(－a)＜eq\r(b)；③a2＜b2；④|a|＞|b|.A．0B．1C．2D．3答案B解析①正確，②③④可舉反例解除，如對②③，設(shè)a＝－9，b＝1，對④，設(shè)a＝－1，b＝2即可．2．已知a>b，不等式：①a2>b2；②eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；③eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a)成立的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3答案A解析由題意可令a＝1，b＝－1，此時①不對，②不對，③a－b＝2，此時有eq\f(1,a－b)<eq\f(1,a)，故③不對．故選A．3．已知a，b，c，d∈R且ab>0，－eq\f(c,a)>－eq\f(d,b)，則()A．bc<adB．bc>adC．eq\f(a,c)>eq\f(b,d)D．eq\f(a,c)<eq\f(b,d)答案A解析∵ab>0，∴在－eq\f(c,a)>－eq\f(d,b)兩側(cè)乘ab不變號，即－bc>－ad，即bc<ad．4．若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，那么2α－eq\f(β,3)的取值范圍是________________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，π))解析∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴2α∈(0，π)，∵β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴－eq\f(β,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))，∴－eq\f(π,6)<2α－eq\f(β,3)<π．1．不等式的性質(zhì)有許多是不行逆的，特殊對同向不等式，只有同向不等式才可以相加，但不能相減，而且性質(zhì)不行逆．只有同向且是正項的不等式才能相乘，且性質(zhì)不行逆．2．不等式的性質(zhì)是解(證)不等式的基礎(chǔ)，要依據(jù)不等式的性質(zhì)進行推導(dǎo)，不能自己“制造”性質(zhì)運算．一、選擇題1．設(shè)a>b>1，c<0，給出下列三個結(jié)論：①eq\f(c,a)>eq\f(c,b)；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．其中全部正確結(jié)論的序號是()A．①B．①②C．②③D．①②③答案D解析由不等式性質(zhì)及a>b>1知eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，又c<0，∴eq\f(c,a)>eq\f(c,b)，①正確；構(gòu)造函數(shù)y＝xc，∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是減函數(shù)，又a>b>1，∴ac<bc，②正確；∵a>b>1，c<0，∴a－c>b－c>1，∴l(xiāng)ogb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正確．2．已知a<0，b<－1，則下列不等式成立的是()A．a(chǎn)>eq\f(a,b)>eq\f(a,b2)B．eq\f(a,b2)>eq\f(a,b)>aC．eq\f(a,b)>a>eq\f(a,b2)D．eq\f(a,b)>eq\f(a,b2)>a答案D解析取a＝－2，b＝－2，則eq\f(a,b)＝1，eq\f(a,b2)＝－eq\f(1,2)，∴eq\f(a,b)>eq\f(a,b2)>a．3．若a，b，c∈R，a>b，則下列不等式成立的是()A．eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．a(chǎn)2>b2C．eq\f(a,c2＋1)>eq\f(b,c2＋1) D．a(chǎn)|c|>b|c|答案C解析對于A，若a>0>b，則eq\f(1,a)>0，eq\f(1,b)<0，此時eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，∴A不成立；對于B，若a＝1，b＝－2，則a2<b2，∴B不成立；對于C，∵c2＋1≥1，且a>b，∴eq\f(a,c2＋1)>eq\f(b,c2＋1)恒成立，∴C成立；對于D，當c＝0時，a|c|＝b|c|，∴D不成立．4．若a>b>c且a＋b＋c＝0，則下列不等式中正確的是()A．a(chǎn)b>ac B．a(chǎn)c>bcC．a(chǎn)|b|>c|b| D．a(chǎn)2>b2>c2答案A解析由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,b>c))?ab>ac．5．若a<0，－1<b<0，則()A．a(chǎn)<ab<ab2 B．a(chǎn)b2>a>abC．a(chǎn)b>b>ab2 D．a(chǎn)b>ab2>a答案D解析∵－1<b<0，∴b<b2<1，又a<0，∴ab>ab2>a．6．假如－1<a<b<0，則有()A．eq\f(1,b)<eq\f(1,a)<b2<a2 B．eq\f(1,b)<eq\f(1,a)<a2<b2C．eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<b2<a2 D．eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<a2<b2答案A解析∵－1<a<b<0，∴ab>0，∴eq\f(a,ab)<eq\f(b,ab)即eq\f(1,b)<eq\f(1,a)<0，∴1>a2>b2>0，∴eq\f(1,b)<eq\f(1,a)<0<b2<a2<1．二、填空題7．已知a，b為非零實數(shù)，且a<b，則下列命題成立的是______．(1)a2b<ab2；(2)eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b)；(3)eq\f(b,a)<eq\f(a,b)．答案(2)解析對于(1)，當a<0，b>0時，a2b>0，ab2<0，a2b<ab2不成立；對于(2)，∵a<b，eq\f(1,a2b2)>0，∴eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b)，故成立；對于(3)，當a＝－1，b＝1時，eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)＝－1，故不成立．8．假如a，b，c滿意c<b<a，且ac<0，那么下列不等式不肯定成立的是________．(1)ab>ac； (2)c(b－a)>0；(3)cb2<ab2； (4)ac(a－c)<0．答案(3)解析c<b<a且ac<0，知a>0，c<0，而b的取值不確定，當b＝0時，(3)不成立．9．若－1≤a≤3,1≤b≤2，則a－b的范圍為________．答案[－3,2]解析∵－1≤a≤3，－2≤－b≤－1，∴－3≤a－b≤2．10．已知a>b，e>f，c>0，則f－ac________e－bc．(填“>”“<”或“＝”)答案＜解析因為a>b，c>0，所以ac>bc，即－ac<－bc．又e>f，即f<e，所以f－ac<e－bc．三、解答題11．推斷下列各命題是否正確，并說明理由：(1)若eq\f(c,a)<eq\f(c,b)且c>0，則a>b；(2)若a>b，ab≠0，則eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；(3)若a>b，c>d，則ac>bd．解(1)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)<\f(c,b),c>0))?eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，但推不出a>b，故(1)錯．(2)例如，當a＝1，b＝－1時，不成立，故(2)錯．(3)例如，當a＝c＝1，b＝d＝－2時，不成立，故(3)錯．12．已知a＞b＞0，c＞d＞0，(1)求證：ac＞bd．(2)試比較eq\r(\f(a,d))與eq\r(\f(b,c))的大小．(1)證明因為a＞b＞0，c＞d＞0，所以ac＞bc，bc＞bd，所以ac＞bd．(2)解因為a＞b＞0，c＞d＞0，所以eq\f(a,d)＞eq\f(b,d)＞0，eq\f(b,d)＞eq\f(b,c)＞0，所以eq\f(a,d)＞eq\f(b,c)＞0，所以eq\r(\f(a,d))＞eq\r(\f(b,c))．13．已知函數(shù)f(x)＝ax2－c，－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范圍．解∵f(x)＝ax2－c，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(1)＝a－c，,f(2)＝4a－c，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\