MATRIXTHEORY矩陣?yán)碚撋綎|科技大學(xué)張子葉矩陣分析第5章

目錄5.1矩陣序列與矩陣級數(shù)5.2矩陣函數(shù)

5.3函數(shù)矩陣5.4矩陣分析的應(yīng)用矩陣序列與矩陣級數(shù)5.1矩陣序列與矩陣級數(shù)向量序列與矩陣序列本節(jié)把微積分中有關(guān)數(shù)域上的數(shù)列極限的概念及運(yùn)算推廣到數(shù)域上的向量空間及主要以向量和矩陣的范數(shù)為工具來展開討論.若不做特殊說明,則以下討論都是在復(fù)數(shù)域上進(jìn)行的.定義5.1設(shè)向量序列

向量

如果則稱向量序列收斂于向量記為或當(dāng)向量序列中至少有一個分量數(shù)列發(fā)散時,稱該向量序列是發(fā)散的.矩陣序列與矩陣級數(shù)由定義5.1可以看出,一個維向量序列收斂等價于它對應(yīng)的個數(shù)列收斂.要判斷維向量序列的收斂性,需要判斷它對應(yīng)的個數(shù)列的收斂性,計算較為繁瑣.下面利用向量范數(shù)給出向量序列收斂的定義,這樣會給判斷向量序列的收斂性帶來方便.定義5.2設(shè)是中的向量序列,是中任意一個向量范數(shù),如果存在向量使得當(dāng)時,有

則稱向量序列依范數(shù)收斂于向量根據(jù)向量范數(shù)的等價性,容易證明,若向量序列在中依某種向量范數(shù)收斂于向量則向量序列在中依其他向量范數(shù)也收斂于向量從而有如下定理.定理5.1設(shè)是中任意一個向量范數(shù),則的充要條件是證根據(jù)向量范數(shù)的等價性,只需對某一向量范數(shù)進(jìn)行證明即可.這里取向量范數(shù)矩陣序列與矩陣級數(shù)必要性：若則從而

即

充分性：若則因?yàn)?/p>

所以

因此

定理5.1表明,盡管不同的向量范數(shù)可能具有不同的大小,但它們在各種向量范數(shù)下判斷向量序列的收斂性時表現(xiàn)出明顯的一致性.換句話說,如果向量序列對某種向量范數(shù)收斂于向量那么對其他向量范數(shù),這個序列依然收斂,且也收斂于矩陣序列與矩陣級數(shù)定義5.3對于向量空間中的向量序列是某種向量范數(shù),如果對任意給定的存在正整數(shù)當(dāng)時,有則稱關(guān)于向量范數(shù)為Cauchy(柯西)序列.在微積分中,已知數(shù)列為Cauchy序列是數(shù)列收斂的充要條件.但對于向量序列,此結(jié)論不再是充要條件.例5.1設(shè)向量空間中的向量序列收斂于證明為Cauchy序列.證因?yàn)槭諗坑谒詫τ谌我幌蛄糠稊?shù)有

由于

且當(dāng)時,有

因此當(dāng)時,有即為Cauchy序列.矩陣序列與矩陣級數(shù)例5.2設(shè)為由區(qū)間上的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體構(gòu)成的線性空間,向量序列下面證明對于為Cauchy序列.證因?yàn)閷Σ环猎O(shè)則有

矩陣序列與矩陣級數(shù)顯然,當(dāng)時,有

從而,為Cauchy序列.但是并不是該線性空間中的向量.這說明,在一般的向量空間中,向量序列為Cauchy序列不是向量序列收斂的充分條件,即Cauchy收斂準(zhǔn)則在一般的向量空間中不成立.但在下面所定義的完備的線性賦范空間中是成立的.定義5.4定義了范數(shù)的線性空間稱為線性賦范空間.若其中任一收斂的向量序列的極限均屬于此線性賦范空間,則稱此空間為完備的線性賦范空間或Banach空間.定理5.2設(shè)是維向量空間中的某一向量范數(shù),是中的向量序列,則收斂于中的向量當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于是Canchy序列.

矩陣序列與矩陣級數(shù)定義5.5設(shè)有矩陣序列和矩陣其中如果

則稱矩陣序列收斂于矩陣記為或當(dāng)矩陣序列不收斂時,稱之為發(fā)散矩陣序列.與定理5.1類似,矩陣序列也有如下定理.定理5.3設(shè)矩陣序列和矩陣則的充要條件為

其中,是中的任一矩陣范數(shù).定理5.3中的收斂稱為矩陣序列依矩陣范數(shù)收斂于推論5.1設(shè)矩陣序列和矩陣是中的任一矩陣范數(shù),若則

注該命題的逆不成立.

矩陣序列與矩陣級數(shù)定義5.6設(shè)矩陣序列若存在使得對所有都有

則稱矩陣序列是有界的.定理5.4收斂的矩陣序列一定有界.此定理的證明與收斂數(shù)列極限的有界性的證明類似,在此不再贅述.在微積分中,我們已經(jīng)知道,有界數(shù)列必有收斂的子數(shù)列.對于矩陣序列同樣有：有界的矩陣序列必有收斂的子序列.這一結(jié)論可由數(shù)列的相應(yīng)結(jié)論得到證明.收斂的矩陣序列有如下運(yùn)算性質(zhì)(定理5.5)定理5.5(1)設(shè)則

(2)設(shè)則

矩陣序列與矩陣級數(shù)(3)設(shè)則矩陣序列收斂,且

(4)設(shè)和均可逆,則

證這里只證明性質(zhì)(2)、(4),其余留給讀者完成.對于性質(zhì)(2),因?yàn)樗杂薪?即存在使得對所有都有

因此

矩陣序列與矩陣級數(shù)故

從而,即對于性質(zhì)(4),可用數(shù)學(xué)歸納法證明因此

在矩陣序列中,最常見的是由一個方陣的冪構(gòu)成的序列.關(guān)于這樣的矩陣序列,有以下的概念和結(jié)論(定義5.7、定理5.6和定理5.7).定義5.7設(shè)為階方陣,且當(dāng)時,則稱為收斂矩陣；否則,稱為發(fā)散矩陣.定理5.6設(shè)為階方陣,若對某一矩陣范數(shù)有則證根據(jù)矩陣范數(shù)的相容性,有若則從而,于是矩陣序列與矩陣級數(shù)例5.3設(shè)證明證由于根據(jù)定理5.6可得定理5.7的充要條件是證設(shè)的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型為即存在可逆矩陣使得其中

矩陣序列與矩陣級數(shù)

等價于等價于等價于等價于而等價于例5.4設(shè)討論取何值時為收斂矩陣.解用的譜半徑來討論.求得的特征值為

于是從而,當(dāng)即時,為收斂矩陣.矩陣序列與矩陣級數(shù)矩陣級數(shù)定義5.8設(shè)矩陣序列為其中稱

為矩陣級數(shù),記為定義5.9稱為矩陣級數(shù)的部分和.若存在且

則稱矩陣級數(shù)收斂,且收斂到記為；若不存在,則稱矩陣級數(shù)發(fā)散.

矩陣序列與矩陣級數(shù)根據(jù)以上定義,矩陣級數(shù)收斂的充要條件是其對應(yīng)的個常數(shù)項(xiàng)級數(shù)

收斂.例5.5設(shè)討論矩陣序列和矩陣級數(shù)的收斂性.解顯然,且有

而因此因此,兩者都是收斂的.矩陣序列與矩陣級數(shù)定義5.10設(shè)對于矩陣級數(shù)若個常數(shù)項(xiàng)級數(shù)絕對收斂,則稱矩陣級數(shù)絕對收斂.根據(jù)定義5.10和常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì),定理5.8顯然成立.定理5.8若矩陣級數(shù)絕對收斂,則它一定收斂,并且任意調(diào)換各項(xiàng)的次序后所得的新級數(shù)仍然收斂,且其和不變.定理5.9矩陣級數(shù)絕對收斂的充要條件是對任一矩陣范數(shù)正項(xiàng)級數(shù)收斂．證設(shè)必要性：由于矩陣級數(shù)絕對收斂,因此個常數(shù)項(xiàng)級數(shù)絕對收斂,從而存在使得對所有的正整數(shù)都有

矩陣序列與矩陣級數(shù)故

因此收斂.利用范數(shù)的等價性得收斂．充分性：因?yàn)閷τ谌我痪仃嚪稊?shù)都收斂,從而收斂.因此

故矩陣級數(shù)絕對收斂.定理5.10若矩陣級數(shù)收斂(或絕對收斂),其和為則收斂(或絕對收斂),其和為證因?yàn)榫仃嚰墧?shù)收斂,其和為所以矩陣序列與矩陣級數(shù)因此

故收斂,其和為同理可證絕對收斂的情況.例5.6設(shè)矩陣討論矩陣級數(shù)的收斂性.解做相應(yīng)的范數(shù)級數(shù)

因?yàn)槎?xiàng)級數(shù)收斂,且故正項(xiàng)級數(shù)收斂.根據(jù)定理5.9,該矩陣級數(shù)絕對收斂．矩陣序列與矩陣級數(shù)矩陣冪級數(shù)冪級數(shù)理論在微積分中占有重要地位.在矩陣分析理論中,矩陣冪級數(shù)是非常重要的工具,并且它是定義矩陣函數(shù)的基礎(chǔ).我們討論矩陣冪級數(shù),自然要討論其收斂性.矩陣冪級數(shù)的收斂性不僅與其收斂半徑有關(guān),還與其譜半徑有關(guān).定義5.11設(shè)矩陣稱矩陣級數(shù)

為矩陣的冪級數(shù).根據(jù)定理5.9,如果正項(xiàng)級數(shù)收斂,則矩陣冪級數(shù)絕對收斂.而

是復(fù)變量冪級數(shù)當(dāng)時的情形.對于復(fù)變量冪級數(shù)究竟有哪些方陣使得收斂？這個問題既與的收斂半徑有關(guān),又與的譜半徑有關(guān).

矩陣序列與矩陣級數(shù)為了討論復(fù)變量冪級數(shù)與相應(yīng)的矩陣冪級數(shù)之間的收斂性關(guān)系,需要用到以下定理.定理5.11設(shè)矩陣的譜半徑為則對任意給定的正數(shù)都存在某種矩陣范數(shù)使得

證若矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型為則存在可逆矩陣使得

其中,

矩陣序列與矩陣級數(shù)

對任意令做變換此時,每個Jordan塊化為

于是,

現(xiàn)在定義容易驗(yàn)證它是中的矩陣范數(shù),從而證得

將的特征值按大小排序：

矩陣序列與矩陣級數(shù)因?yàn)閷?yīng)的Jordan塊都是一階的,所以只要選取就有

定理5.11說明的譜半徑是的所有矩陣范數(shù)的下確界.定理5.12若復(fù)變量冪級數(shù)的收斂半徑為方陣的譜半徑為則有以下結(jié)論.(1)當(dāng)時,矩陣冪級數(shù)絕對收斂.(2)當(dāng)時,矩陣冪級數(shù)發(fā)散．證(1)當(dāng)時,選取正數(shù)使得根據(jù)定理5.11,存在矩陣范數(shù)使得

從而

矩陣序列與矩陣級數(shù)因?yàn)樗越^對收斂,從而,收斂.根據(jù)定理5.9,絕對收斂.(2)當(dāng)時,設(shè)為屬于的單位特征向量.如果收斂,則

也收斂,這與復(fù)變量冪級數(shù)收斂性的Abel定理矛盾.從而,當(dāng)時,發(fā)散．推論5.2設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為若存在中的某一矩陣范數(shù)使得則矩陣冪級數(shù)絕對收斂.注根據(jù)推論5.2,如果冪級數(shù)在整個復(fù)平面上都收斂,則對任意方陣矩陣冪級數(shù)絕對收斂.矩陣序列與矩陣級數(shù)