§10.2用樣本估計(jì)總體[最新考綱]1.了解分布的意義和作用，會(huì)列頻率分布表，會(huì)畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解他們各自的特點(diǎn)；2.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差；3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取根本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并作出合理的解釋；4.會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的根本數(shù)字特征估計(jì)總體的根本數(shù)字特征，理解用樣本估計(jì)總體的思想；5.會(huì)用隨機(jī)抽樣的根本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．1．作頻率分布直方圖的步驟(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中

與

的差)．(2)決定

與

．(3)將數(shù)據(jù)

．(4)列

．(5)畫

．最大值最小值組距組數(shù)分組頻率分布表頻率分布直方圖2．頻率分布折線圖和總體密度曲線(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的

，就得到頻率分布折線圖．(2)總體密度曲線：隨著

的增加，作圖時(shí)_____

增加，

減小，相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線．中點(diǎn)樣本容量所分的組數(shù)組距3．莖葉圖統(tǒng)計(jì)中還有一種被用來(lái)表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長(zhǎng)出來(lái)的數(shù)．4．標(biāo)準(zhǔn)差和方差(1)標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種

．平均距離(2)標(biāo)準(zhǔn)差：2．平均數(shù)、方差的公式推廣(1)假設(shè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是mx＋a.(2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√〞或“×〞)(1)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)．()(2)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個(gè)或幾個(gè)，那么中位數(shù)也具有相同的結(jié)論．()(3)從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了．()(4)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)懀覀?cè)的葉按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次．(

)(5)在頻率分布直方圖中，最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是眾數(shù)．(

)(6)在頻率分布直方圖中，眾數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的．(

)【答案】

(1)√

(2)×

(3)√

(4)×

(5)√

(6)×1．假設(shè)某校高一年級(jí)8個(gè)班參加合唱比賽的得分莖葉圖如下圖，那么這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是()A．91.5和91.5B．91.5和92C．91和91.5D．92和92【答案】

A2．(2021·四川)在“世界讀書日〞前夕，為了了解某地5000名居民某天的閱讀時(shí)間，從中抽取了200名居民的閱讀時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析．在這個(gè)問(wèn)題中，5000名居民的閱讀時(shí)間的全體是()A．總體B．個(gè)體C．樣本的容量D．從總體中抽取的一個(gè)樣本【解析】調(diào)查的目的是“了解某地5000名居民某天的閱讀時(shí)間〞，所以“5000名居民的閱讀時(shí)間的全體〞是調(diào)查的總體．【答案】A4．某中學(xué)為了了解學(xué)生數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)情況，在3000名學(xué)生中隨機(jī)抽取200名，并統(tǒng)計(jì)這200名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)，得到了樣本的頻率分布直方圖(如圖)．根據(jù)頻率分布直方圖推測(cè)，這3000名學(xué)生在該次數(shù)學(xué)考試中成績(jī)小于60分的學(xué)生數(shù)是________．【解析】

由直方圖易得數(shù)學(xué)考試中成績(jī)小于60分的頻率為(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，所以所求分?jǐn)?shù)小于60分的學(xué)生數(shù)為3000×0.2＝600.【答案】

600題型一頻率分布直方圖的繪制與應(yīng)用【例1】某校從參加高一年級(jí)期中考試的學(xué)生中隨機(jī)抽出60名學(xué)生，將其物理成績(jī)(均為整數(shù))分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如下圖的頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，答復(fù)以下問(wèn)題：(1)求分?jǐn)?shù)在[70，80)內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；(2)統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表，據(jù)此估計(jì)本次考試中的平均分．【思維點(diǎn)撥】圖中各小長(zhǎng)方形的面積和等于1.【解析】(1)設(shè)分?jǐn)?shù)在[70，80)內(nèi)的頻率為x，根據(jù)頻率分布直方圖，有(0.010＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，可得x＝0.3，所以頻率分布直方圖如下圖．(2)平均分：45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71(分)．【思維升華】(1)明確頻率分布直方圖的意義，即圖中的每一個(gè)小矩形的面積是數(shù)據(jù)落在該區(qū)間上的頻率，所有小矩形的面積和為1.(2)對(duì)于統(tǒng)計(jì)圖表類題目，最重要的是認(rèn)真觀察圖表，從中提煉有用的信息和數(shù)據(jù)．跟蹤訓(xùn)練1(2021·河南開(kāi)封3月)某地政府調(diào)查了工薪階層1000人的月工資收入，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果畫出如下圖的頻率分布直方圖，為了了解工薪階層對(duì)月工資收入的滿意程度，要用分層抽樣的方法從調(diào)查的1000人中抽出100人做詢?cè)L，那么(30，35](百元)月工資收入段應(yīng)抽出________人．題型二莖葉圖的應(yīng)用【例2】如圖是某青年歌手大獎(jiǎng)賽上七位評(píng)委為甲、乙兩名選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖(其中m為數(shù)字0～9中的一個(gè))，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，甲、乙兩名選手得分的平均數(shù)分別為a1、a2，那么一定有()A.a1>a2B．a(chǎn)2>a1C．a(chǎn)1＝a2D．a(chǎn)1，a2的大小與m的值有關(guān)【思維點(diǎn)撥】去掉第一行和第三行的數(shù)，只計(jì)算第二行葉上的數(shù)即可．【解析】去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，甲選手葉上的數(shù)字之和是20，乙選手葉上的數(shù)字之和是25，故a2>a1.應(yīng)選B.【答案】B【思維升華】

由于莖葉圖完全反映了所有的原始數(shù)據(jù)，解決由莖葉圖給出的統(tǒng)計(jì)圖表試題時(shí)，就要充分使用這個(gè)圖表提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算或者對(duì)某些問(wèn)題作出判斷．跟蹤訓(xùn)練2(2021·重慶)重慶市2021年各月的平均氣溫(℃)數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖，那么這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是()題型三用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征【例3】(2021·廣東)某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表．工人編號(hào)

年齡工人編號(hào)

年齡工人編號(hào)

年齡工人編號(hào)

年齡1

4010

3619

2728

342

4411

3120

4329

393

4012

3821

4130

434

4113

3922

3731

385

3314

4323

3432

426

4015

4524

4233

537

4516

3925

3734

378

4217

3826

4435

499

4318

3627

4236

39(1)用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本，且在第一分段里用隨機(jī)抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44，列出樣本的年齡數(shù)據(jù)；(2)計(jì)算(1)中樣本的均值x和方差s2；(3)36名工人中年齡在x－s與x＋s之間有多少人？所占的百分比是多少(精確到0.01%)?【思維點(diǎn)撥】(1)根據(jù)系統(tǒng)抽樣解決．(2)根據(jù)均值和方差的公式求解．(3)利用頻率求解．【思維升華】

平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體的一種簡(jiǎn)明的描述，它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢(shì)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述其波動(dòng)大?。哳l小考點(diǎn)10高考中頻率分布直方圖的應(yīng)用【典例】(2021·山東)為了研究某藥品的療效，選取假設(shè)干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，…，第五組，如圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．第一組與第二組共有20人，第三組中沒(méi)有療效的有6人，那么第三組中有療效的人數(shù)為()【答案】

C【溫馨提醒】此題的難點(diǎn)是對(duì)頻率分布直方圖意義的理解以及利用這個(gè)圖提供的數(shù)據(jù)對(duì)所提問(wèn)題的計(jì)算，頻率分布直方圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是頻率除以組距，組距越大該數(shù)據(jù)越小，在解答這類問(wèn)題時(shí)要特別注意．?方法與技巧1．用樣本頻率分布來(lái)估計(jì)總體分布的重點(diǎn)是頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣本頻率分布估計(jì)總體分布；難點(diǎn)是頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應(yīng)用．在計(jì)數(shù)和計(jì)算時(shí)一定要準(zhǔn)確，在繪制小矩形時(shí)，寬窄要一致，通過(guò)頻率分布表和頻率分布直方圖可以對(duì)總體作出估計(jì)．2．莖葉圖、頻率分布表和頻率分布直方圖都是用來(lái)描述樣本數(shù)據(jù)的分布情況的．莖葉圖由所有樣本數(shù)據(jù)構(gòu)成，沒(méi)有損失任何樣本信息，可以隨時(shí)記錄；而頻率分布表和頻率分布直方圖那么損失了樣本的一些信