第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省廣州四中高三（下）4月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|1<x<2}，集合B={x|x>m}，若A∩(?RB)=?，則m的取值范圍為A.(?∞,1] B.(?∞,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞)2.已知復(fù)數(shù)z滿足|z?(2+2i)|=1，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面里位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知平面向量a,b是兩個單位向量，a在b上的投影向量為12b，則A.1 B.32 C.2 4.已知正三棱臺的上底面與下底面的面積之比為1：4，當(dāng)棱臺的高為2，體積為732時，則此時正三棱臺的側(cè)面積為A.9514 B.93 5.已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)與拋物線C：y2=2px(p>0)，橢圓E與拋物線CA.2?1 B.22 C.6.已知角α，β滿足tanα=m，2sinβ=cos(α+β)sinα，則tanβ=(

)A.m1+3m2 B.m2+3m27.下列結(jié)論正確的是(

)A.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2?2n+1，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列

B.若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且前n項(xiàng)和Sn=t?3n?1+1，則t=?3

C.若數(shù)列{8.已知函數(shù)f(x)=sin2ωx+32sin2ωx?12(ω>0)，它的兩個相鄰的極值點(diǎn)之間的距離為π24+4.若先將函數(shù)f(x)的圖像向左平移A.4 B.5 C.6 D.8二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.事件A與事件B相互獨(dú)立，且P(A)=0.6，P(B)=0.7，則P(A∪B)=0.88

B.樣本數(shù)據(jù)2，2，3，4，6，8，9，10，12，12的上四分位數(shù)為11

C.某分層抽樣有2層，第1層樣本數(shù)為25，其平均數(shù)和方差分別為176和14，第2層樣本數(shù)為15，其平均數(shù)和方差分別為160和30，則總方差為80

D.已知一系列樣本點(diǎn)(xi,yi)(i=1,2,3...)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y10.已知函數(shù)f(x)對任意的x，y∈R都有f(x+y)?f(x?y)=2f(y)，f(1)=1，且當(dāng)x>0時，f(x)>0，則下列結(jié)論正確的是(

)A.f(5)=1

B.f(x)是奇函數(shù)

C.f(2nx)=2nf(x)11.已知直棱柱ABCD?A1B1C1D1的所有棱長均為2，∠ABC=πA.MD1⊥AC

B.若直線DM與直線CA1所成角為定值，則M點(diǎn)軌跡為圓的一部分

C.當(dāng)λ=μ=12時，三棱錐M?BCD的外接球的體積為2053π

D.記點(diǎn)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知等差數(shù)列{an}的第5項(xiàng)是(x?13x13.若曲線y=ln(2x+2)在(?12,0)處的切線也是曲線y=e14.項(xiàng)數(shù)為m的數(shù)列{an}滿足ai∈{0,1}(i=1，2，…，m)，當(dāng)且僅當(dāng)ai?1=ai+1時ai=0(其中i=1，2，…，m，規(guī)定：a0=am，am+1=a1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2b?c=2acosC．

(1)求A的大??；

(2)若a=6，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，且AD=1，求△ABC16.(本小題17分)

人工智能(簡稱AI)的相關(guān)技術(shù)首先在互聯(lián)網(wǎng)開始應(yīng)用，然后陸續(xù)普及到其他行業(yè).某公司推出的AI軟件主要有四項(xiàng)功能：“視頻創(chuàng)作”、“圖像修復(fù)”、“語言翻譯”、“智繪設(shè)計”.為了解某地區(qū)大學(xué)生對這款A(yù)I軟件的使用情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了120名大學(xué)生，統(tǒng)計他們最喜愛使用的AI軟件功能(每人只能選一項(xiàng))，統(tǒng)計結(jié)果如下：軟件功能視頻創(chuàng)作圖像修復(fù)語言翻譯智繪設(shè)計大學(xué)生人數(shù)40204020假設(shè)大學(xué)生對AI軟件的喜愛傾向互不影響．

(1)從該地區(qū)的大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，試估計此人最喜愛“視頻創(chuàng)作”的概率；

(2)采用分層抽樣的方式先從120名大學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人，其中最喜愛“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)從該地區(qū)的大學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，其中最喜愛“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為Y，Y的方差記作D(Y)，(2)中X的方差記作D(X)，比較D(X)與D(Y)的大小．

(結(jié)論不要求證明)17.(本小題15分)

如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為梯形，且滿足AB⊥BC，AB//CD,AB=2BC=2CD=22,PA⊥PD，平面PAD⊥平面ABCD．

(1)求證：PA⊥PB；

(2)若PA=PD，點(diǎn)M在線段PB上，當(dāng)二面角M?AD?P大小為π418.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ex?ax?1，a∈R．

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)當(dāng)x∈(0,+∞)時，f(x)≥xlnx恒成立，求a的取值范圍；

(Ⅲ)當(dāng)a=1時，設(shè)g(x)=f(x)?x2，證明：g(x)在(0,+∞)上存在唯一的極小值點(diǎn)x0且g(19.(本小題15分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線為y=±3x，且經(jīng)過點(diǎn)(2,3)．

(1)求雙曲線C的方程；

(2)過點(diǎn)P0(3,0)作兩條互相垂直的直線(兩條直線的斜率都存在)分別交雙曲線C于點(diǎn)A1、B1和點(diǎn)C1、D1，M1、N1分別為弦A1B1和C1D1的中點(diǎn)，直線M1N1與x軸交于點(diǎn)P1(t1,0)；過點(diǎn)P1(t1,0)作兩條互相垂直的直線(兩條直線的斜率都存在)分別交雙曲線C于點(diǎn)A2、B2和點(diǎn)C2、D2，M2、N2分別為弦A2B2和C2D2的中點(diǎn)，直線M參考答案1.A

2.A

3.B

4.A

5.A

6.B

7.B

8.C

9.ACD

10.BCD

11.ACD

12.15

13.0

14.11615.解：(1)根據(jù)2b?c=2acosC，由正弦定理得2sinB?sinC=2sinAcosC，

在△ABC中，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

所以2(sinAcosC+cosAsinC)?sinC=2sinAcosC，整理得sinC(2cosA?1)=0，

因?yàn)镃∈(0,π)，sinC≠0，所以2cosA?1=0，cosA=12，結(jié)合A∈(0,π)，可得A=π3．

(2)根據(jù)AD平分∠BAC，可得∠BAD=∠CAD=π6，

由S△ABD+S△ACD=S△ABC，得12AB?ADsin∠BAD+12AC?ADsin∠CAD=12AB?ACsin∠BAC，

即14c+16.解：(1)設(shè)從該地區(qū)的大學(xué)生隨機(jī)抽取1人，此人選擇“視頻創(chuàng)作”的事件為A，

則P(A)=40120=13．

(2)因?yàn)槌槿〉?人中喜歡“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為6×40120=2，

所以X的所有可能取值為0，1，2，

P(X=0)=CX012P281E(X)=0×615+1×815+2×115=1015=23．

(或X～B(N,n,M)，則

E(X)=n×MN=2×26=217.(1)證明：連接BD，

在直角梯形ABCD中，易得BD=2，AD=2，

又因?yàn)锳B=22，所以BD2+AD2=AB2，所以BD⊥AD，

又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，

所以BD⊥平面PAD，因?yàn)镻A?平面PAD，

所以BD⊥PA，又因?yàn)镻A⊥PD，BD∩PD=D，BD，PD?平面PBD，

所以PA⊥平面PBD，因?yàn)镻B?平面PBD，

所以PA⊥PB．

(2)解：如圖，取AD的中點(diǎn)O，AB的中點(diǎn)G，連接OP，OG，

由題意可得OP⊥AD，OG⊥AD，OP=1，

因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OP?平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A，OG，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(1,0,0),D(?1,0,0),B(?1,2,0),P(0,0,1),AD=(?2,0,0),AM=(?λ?1,2λ,1?λ)，

設(shè)PM=λPB，則M(?λ,2λ,1?λ)，

設(shè)m=(x,y,z)為平面MAD的一個法向量，

則m?AD=?2x=0m?AM=(?λ?1)x+2λy+(1?λ)z=0，

令y=1，則平面MAD的一個法向量m=(0,1,2λλ?1)，

易得平面PAD的一個法向量n=BD=(0,2,0)，

所以cos?m,n?=m?n|m||n|=22×1+18.解：(I)因?yàn)閒(x)=ex?ax?1其中x∈R，f′(x)=ex?a．

①當(dāng)a≤0時，f′(x)=ex?a>0恒成立，f(x)的增區(qū)間為(?∞,+∞)，無減區(qū)間；

②當(dāng)a>0時，令f′(x)=0，得x=lna，由f(x)<0可得x<lna；由f′(x)>0可得x>?a．

此時，函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(?∞,lna)，增區(qū)間為(lna,+∞)．

綜上所述：當(dāng)a≤0時，f(x)的增區(qū)間為(?∞,+∞)，無減區(qū)間；

當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(?∞,lna)，增區(qū)間為(?na,+∞)．

(II)當(dāng)x∈(0,+∞)時，ex?ax?1≥xlnx恒成立，即a≤ex?xlnx?1x恒成立．

令?(x)=ex?xlnx?1x，則?′(x)=(x?1)(ex?1)x2，其中x>0，由?(x)<0，可得0<x<1；

由?(x)>0可得x>1.所以，函數(shù)?(x)的減區(qū)間為(0,1)，增區(qū)間為(1,+∞)．

所以?(x)min=?(1)=e?1即a≤e?1，故a的取值范圍是(?∞,e?1]．

(III)當(dāng)a=1時，g(x)=ex?x?1?x2，g′(x)=ex?2x?1，令m(x)=ex?2x?1，則m′(x)=ex?2．

當(dāng)x∈(0,ln2)時，m(x)<0，m(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(ln2,+∞)時，m(x)>0，m(x)單調(diào)遞增，

又因?yàn)閙(ln2)=eln2?2ln2?1=1?2ln2<0，m(0)=0且m(32)=e32?4>0，

所以存在唯一的x0∈(ln2,32)，使得m(x0)=0，即ex0?2x0?1=0①．

當(dāng)x∈(0,