高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1安徽省廬巢聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次集體練習(xí)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第三象限.故選：C.2.已知非零向量，滿足，若，則在方向上的投影向量坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】首先，向量的坐標(biāo)為(2,0)，其模長(zhǎng)為2，因此，根據(jù)條件，即它們的數(shù)量積為零：，展開(kāi)數(shù)量積：,即：，因此：,代入已知條件：，因此，在方向上的投影向量坐標(biāo)為(2，0).故選：B.3.已知向量滿足，則（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】已知，移項(xiàng)可得，因?yàn)?，所以，?duì)兩邊同時(shí)平方可得，根據(jù)完全平方公式則，又因?yàn)椋?，所以可化為，由，移?xiàng)可得，則，根據(jù)向量數(shù)量積公式，將，，代入可得：，則.故選：D.4.三角板是一種用于幾何繪圖和測(cè)量的工具.如圖，這是由兩塊三角板拼出的一個(gè)幾何圖形，其中，，，，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為x，y軸的正方向，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，由題中數(shù)據(jù)可得，，，，則，，.因?yàn)?，所以，則，解得，故.故選：B.5.已知，是平面內(nèi)的一組基底，，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值為（）A.9 B.13 C.15 D.18【答案】C【解析】因?yàn)?，，，所以，，又因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以，即，所以解得，．故選：C．6.已知點(diǎn)，向量，，點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A.B.C.或D.或【答案】C【解析】因?yàn)?，，可得，又因?yàn)辄c(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則或，所以或，即點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故選：C.7.18世紀(jì)末，挪威測(cè)量學(xué)家維塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運(yùn)算具有了幾何意義，例如，即復(fù)數(shù)的模的幾何意義為對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.設(shè)復(fù)數(shù)，且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，可知其幾何意義表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為定長(zhǎng)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓.同理，的幾何意義表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離.因?yàn)?，所?故選：D.8.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，若，，且，則的面積為（）A.3 B.C. D.3【答案】C【解析】因，，且，所以，化為.所以，解得.所以.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題中，正確的是（）A.在中，若，則B.在銳角中，不等式恒成立C.在中，若，則必是等腰直角三角形D.在中，若，，則必是等邊三角形【答案】ABD【解析】對(duì)于A，在中，若，則，由正弦定理可得，A正確；對(duì)于B，銳角中，，則，故，B正確；對(duì)于C，在中，若，則，即得，故或，故或，即是等腰三角形或直角三角形，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，則，故，，結(jié)合，可知是等邊三角形，D正確.故選：ABD.10.已知復(fù)數(shù)、，下列說(shuō)法正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則或 D.若，則【答案】AC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)，則，同理可得，所以，若，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，不妨取，，則，但且，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，，若，則有，故有，即，兩式相乘變形得，，則有，或，或，①當(dāng)時(shí)，，即；②當(dāng)，且時(shí)，則，又因?yàn)椴煌瑫r(shí)為，所以，即；③當(dāng)，且時(shí)，則，同理可得，故；綜上所述，命題“若，則，或”成立，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，不妨取，，則，，，但，D錯(cuò).故選：AC.11.一位博主曾經(jīng)講過(guò)一個(gè)已知三角形三點(diǎn)求三角形面積的公式，即若，則，這個(gè)公式的本質(zhì)是與向量的叉乘運(yùn)算有關(guān)，前面我們學(xué)過(guò)向量的點(diǎn)乘也就是向量的數(shù)量積，現(xiàn)在我們來(lái)定義向量的叉乘運(yùn)算，設(shè)是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，則它們的向量積是一個(gè)新的向量，規(guī)定這個(gè)新向量的方向與的方向都垂直，新向量的大小滿足，現(xiàn)在設(shè)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則存在實(shí)數(shù)使得B.C.D.【答案】BCD【解析】對(duì)于A，依題意，不共面，因此不存在實(shí)數(shù)使得，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，，因此，D正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如圖，線段AB，CD分別表示甲、乙兩樓，AB⊥BD，CD⊥BD，從甲樓頂部A處測(cè)得乙樓頂部C處的仰角為，測(cè)得乙樓底部D的俯角，已知甲樓的高AB=24米，則乙樓的高_(dá)_________米．【答案】32【解析】ED=AB=24米，在中，∠CAD==90°，AE⊥CD，DE=24米，則(米)，則(米)．13.若向量，，與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】因?yàn)橄蛄?，，與的夾角為鈍角，所以且，即且，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.14.在中，O為外心，H為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則點(diǎn)H為的__________心．【答案】垂【解析】因?yàn)?，所以，所以，同理，，則點(diǎn)H為的垂心．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.計(jì)算：（1）；（2）．解：（1）.（2）.16.如圖所示，已知在中，點(diǎn)是以為對(duì)稱中心的點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，，和交于點(diǎn)，設(shè)，.（1）用和表示向量、；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）由題意得：，由，則，，.（2）設(shè)，則，又，所以解得，即實(shí)數(shù)的值為.17.如圖所示，有一艘緝毒船正在A處巡邏，發(fā)現(xiàn)在北偏東方向、距離為60海里處有毒販正駕駛小船以每小時(shí)海里的速度往北偏東的方向逃跑，緝毒船立即駕船以每小時(shí)海里的速度前往緝捕．（1）求緝毒船經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間恰好能將毒販抓捕；（2）試確定緝毒船的行駛方向．解：（1）設(shè)緝毒船經(jīng)過(guò)t小時(shí)恰好能將毒販抓捕，由題意可知：，由余弦定理可得，即，整理可得，解得，所以緝毒船經(jīng)過(guò)2小時(shí)恰好能將毒販抓捕.（2）由（1）可知：，由正弦定理可得，且為銳角，則，可得，所以緝毒船的行駛方向?yàn)楸逼珫|.18.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，滿足．（1）求角的大??；（2）若，求周長(zhǎng)的最小值．解：（1）因?yàn)?，所以，由余弦定理得，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以周長(zhǎng)的最小值為.19.材料一：我們可以發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)現(xiàn)象：隨機(jī)生成的一元多項(xiàng)式，在復(fù)數(shù)集中最終都可以分解成一次因式的乘積，且一次因式的個(gè)數(shù)（包括重復(fù)因式）就是被分解的多項(xiàng)式的次數(shù).事實(shí)上，數(shù)學(xué)中有如下定理：代數(shù)基本定理：任何一元次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根.材料二：由代數(shù)基本定理可以得到：任何一元次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)集中可以分解為個(gè)一次因式的乘積.進(jìn)而，一元次多項(xiàng)式方程有個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)）.下面我們從代數(shù)基本定理出發(fā)，看看一元多項(xiàng)式方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系.設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為，容易得到，設(shè)實(shí)系數(shù)一元三次方程①，在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為，可以得到，方程①可變形為，展開(kāi)得：②，比較①②可以得到根與系數(shù)之間的關(guān)系：，閱讀以上材料，利用材料中方法及學(xué)過(guò)的知識(shí)解決下列問(wèn)題：（1）對(duì)于方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為，求的值；（2）如果實(shí)系