人教版九年級下冊§26.1.2.反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)（第1課時）26.1.2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)（第1課時）學(xué)情分析反比例函數(shù)是《課標(biāo)（2022年版）》“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的內(nèi)容，位于人教版九年級下冊第二十六章。九年級學(xué)生已經(jīng)歷了正比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)的學(xué)習(xí)過程，積累了一定的函數(shù)圖象與性質(zhì)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗。尤其是在正比例函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生初步積累了一定的分類研究的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，學(xué)會了類比正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的研究方法，掌握了研究函數(shù)的概念、圖象、借助圖象研究性質(zhì)及其應(yīng)用的一般路徑。經(jīng)過初中近三年的學(xué)習(xí)，班級大部分學(xué)生有了一定的自主學(xué)習(xí)能力和總結(jié)概括能力，能通過獨(dú)學(xué)、助學(xué)、共學(xué)、展學(xué)等學(xué)習(xí)形式解決問題。當(dāng)然，也有一部分學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)很好，但總結(jié)概括能力有待進(jìn)一步提高，需要借助教師的引導(dǎo)，才能很好地完成總結(jié)概括任務(wù)。二、內(nèi)容和內(nèi)容解析1、內(nèi)容反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)2、內(nèi)容解析與研究一次函數(shù)、二次函數(shù)的過程一樣，我們先得到反比例函數(shù)的定義，再研究它的圖象和性質(zhì)。通過圖象，可以直觀地得到函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合解析式，可以進(jìn)一步認(rèn)識函數(shù)的性質(zhì)。圖象和解析式結(jié)合研究函數(shù)的性質(zhì)是數(shù)形結(jié)合的重要方面。研究函數(shù)的圖象，主要研究函數(shù)的形狀、位置；研究函數(shù)的性質(zhì)，是對函數(shù)描述的變化規(guī)律的進(jìn)一步認(rèn)識。類比畫正比例函數(shù)圖象的過程，對反比例函數(shù)的研究，我們也是根據(jù)k的正負(fù)進(jìn)行分類。當(dāng)時，先從特殊的值：6,12等開始，在“描點(diǎn)”法畫圖、適時糾錯環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過獨(dú)學(xué)、助學(xué)、共學(xué)、展學(xué)等學(xué)習(xí)形式，讓學(xué)生站在課堂中央，實現(xiàn)學(xué)生的主體地位和自主發(fā)展；借助函數(shù)圖象歸納共同特征，通過列表信息同樣得到這樣的結(jié)論，猜想一般的，的圖象與性質(zhì)；通過幾何畫板驗證學(xué)生猜想，然后從解析式角度分析原因，循序漸進(jìn)逐步歸納時，函數(shù)的圖象特征和性質(zhì)；完全類比時的研究，由學(xué)生獨(dú)立完成研究時的情況，同樣遵循從特殊到一般的過程。我們?nèi)匀徊捎谩懊椟c(diǎn)”法畫反比例函數(shù)圖象。要對的正負(fù)性予以區(qū)別，體現(xiàn)分類思想；在對圖象的研究和分析時，用“描點(diǎn)”法畫出函數(shù)圖象、結(jié)合函數(shù)解析式、列表信息獲得函數(shù)的圖象特征與性質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想；在歸納反比例函數(shù)的性質(zhì)時，體現(xiàn)特殊到一般的思想?！懊椟c(diǎn)”法畫函數(shù)圖象是研究函數(shù)圖象和性質(zhì)的一般方法。探究反比例函數(shù)性質(zhì)的思路是：類比前面研究函數(shù)的方法，確定從和兩種情況進(jìn)行研究。研究的方法是選取特殊的反比例函數(shù)，通過“描點(diǎn)”法畫出函數(shù)圖象，再通過對圖象的探究，歸納得出反比例函數(shù)的性質(zhì)并加以應(yīng)用。基于以上分析，本節(jié)課的重點(diǎn)是：由反比例的圖象，并結(jié)合解析式，探究反比例函數(shù)的性質(zhì)。三、目標(biāo)和目標(biāo)解析站在“整體教學(xué)主題教學(xué)單元教學(xué)課堂教學(xué)”視角，對教材內(nèi)容進(jìn)行整合，結(jié)合新課標(biāo)及我班學(xué)情，確定以下目標(biāo)：1、目標(biāo)（1）會根據(jù)解析式畫反比例函數(shù)的圖象，歸納得到反比例函數(shù)的圖象特征和性質(zhì)，培養(yǎng)觀察、分析、歸納概括能力、抽象能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。（2）在畫出反比例函數(shù)的圖象并探究其性質(zhì)的過程中，進(jìn)一步體會類比思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想以及特殊到一般的思想，總結(jié)歸納研究函數(shù)“套路化”的思路，培養(yǎng)抽象概括能力、類比遷移能力、發(fā)展形象思維和抽象思維。（3）理解和掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并能解決簡單的實際問題。通過解決實際問題的過程，進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)來源于生活并服務(wù)于生活的特點(diǎn)。培養(yǎng)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識、培養(yǎng)建模的能力，增強(qiáng)他們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好奇心和求知欲，體會成功的快樂。2、目標(biāo)解析達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：會根據(jù)解析式使用“描點(diǎn)”法畫出反比例函數(shù)的圖象，分析圖象特征，歸納得到反比例函數(shù)的性質(zhì)。達(dá)成目標(biāo)(2)的標(biāo)志是：畫反比例函數(shù)的圖象時，類比畫出正比例函數(shù)的方法，分和兩種情況；在畫反比例函數(shù)的圖象、探究反比例函數(shù)性質(zhì)時，體會“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化：解析式與圖象；通過具體的圖象并結(jié)合解析式，歸納得到反比例函數(shù)的性質(zhì)。達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志是：能用本節(jié)課所學(xué)的知識，解決課前實際問題和課堂練習(xí)題。四、教學(xué)問題診斷分析對于用“描點(diǎn)”法畫反比例函數(shù)圖象時，常遇到如下問題：（1）“列表”選點(diǎn)時x的值缺乏代表性，容易忽略的條件；（2）“連線”時，由于前面所學(xué)函數(shù)圖象是直線或拋物線，容易產(chǎn)生知識上的負(fù)遷移，把雙曲線跨象限連接；（3）對雙曲線與x軸、y軸“越來越靠近”但不相交的趨勢不易理解。教學(xué)時應(yīng)有針對性的引導(dǎo)，注意從解析式的分析入手，讓學(xué)生先進(jìn)行“數(shù)”（）、“式”（解析式中x，y的反比例關(guān)系）的分析，進(jìn)而過渡到對“形”（圖象）的認(rèn)識。在前面學(xué)習(xí)函數(shù)的時候，學(xué)生已經(jīng)歷過觀察、分析圖象特征，抽象、概括函數(shù)性質(zhì)的過程，對研究函數(shù)性質(zhì)的方法也有一定的了解。因此，通過類比方法，結(jié)合反比例函數(shù)的圖象探究性質(zhì)，從方法上不會存在障礙。但反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象、二次函數(shù)圖象相比，具有自變量取值不為0的特殊性，函數(shù)在x=0沒有定義，對圖象不過x=0這一點(diǎn)在認(rèn)識上還存在一定的困難。教學(xué)中，應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生體會由“數(shù)”到“形”、由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化關(guān)系，以“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化為途徑，展開探究活動?；谝陨戏治?，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：對的理解，以及x=0這點(diǎn)沒有定義。五、教學(xué)支持條件分析基于新課標(biāo)、大單元教學(xué)、我班學(xué)情及教材內(nèi)容的特點(diǎn)，為了直觀、形象地突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，借助PPT、華為智慧黑板，課堂上適時對列表和描點(diǎn)、連線糾錯。借助信息技術(shù)工具，以幾何畫板軟件為平臺，驗證對于一般的，和的圖象特征和性質(zhì)的猜想，通過動態(tài)演示，觀察相關(guān)數(shù)值的變化，研究圖象的變化趨勢，抽象概括當(dāng)自變量變化時，對應(yīng)函數(shù)值的變化規(guī)律，進(jìn)而探究反比例函數(shù)的性質(zhì)。六、教學(xué)過程設(shè)計教學(xué)步驟師生活動設(shè)計意圖展示課前任務(wù)單成果課前任務(wù)單1.結(jié)合以下問題畫出初中階段研究函數(shù)一般過程的思維導(dǎo)圖(1)研究函數(shù)的一般步驟是什么？(2)主要從哪些方面探究它的圖象與性質(zhì)？2.描點(diǎn)法畫圖的一般步驟是什么？3.正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是什么？4.反比例函數(shù)的定義是什么？反比例函數(shù)自變量和函數(shù)值的取值范圍是什么？師生活動：師生共同回顧課前任務(wù)單的完成情況，展示部分優(yōu)秀作品，并適當(dāng)引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)研究函數(shù)問題的基本路徑。問題1：到目前為止，我們已學(xué)過的函數(shù)類型有哪些？對于反比例函數(shù)，上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？今天來學(xué)習(xí)什么呢？復(fù)習(xí)研究函數(shù)的一般方法，為學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)做好課前架構(gòu)，為學(xué)生指引本節(jié)課的研究思路和探究內(nèi)容。課前任務(wù)單的問題設(shè)置，為本節(jié)課探究學(xué)習(xí)做好知識儲備和方法指導(dǎo)，體現(xiàn)知識之間、單元之間的聯(lián)系，滲透大單元教學(xué)的思想。創(chuàng)設(shè)情境提出問題隨著暑假的來臨，小明一家自駕來洛陽旅游，小明家距離洛陽約為138千米，平均時速v與時間t有怎樣的函數(shù)關(guān)系？忽然家人打來緊急，要求他們務(wù)必要在不超過2小時的時間返回家中，平均時速v至少是多少？師生活動：教師播放景點(diǎn)照片，并提出問題，學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗，得到答案。追問：你能用函數(shù)的語言來解釋其中的道理嗎？欣賞景點(diǎn)照片，發(fā)現(xiàn)家鄉(xiāng)之美，增強(qiáng)自豪感，發(fā)現(xiàn)身邊的反比例函數(shù)的實例，體會數(shù)學(xué)與生活密不可分的關(guān)系，情景式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，思考現(xiàn)實世界的能力，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。類比思考正比例函數(shù)反比例函數(shù)解析式圖象形狀直線......?位置第一、三象限......?增減性隨的增大而增大......?位置第二、四象限......?增減性隨的增大而減小......?師生活動：復(fù)習(xí)回顧正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，反比例函數(shù)定義，類比思考反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)。問題2：反比例函數(shù)解析式中,那么可以取哪些值呢？問題啟發(fā)自然想到分類研究，通過類比思考，明確研究方向，滲透了類比的思想、分類討論思想，發(fā)展類比遷移能力。探索新知例：畫出反比例函數(shù)和的圖象。師生活動一：列表師生活動：學(xué)生根據(jù)以前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，獨(dú)立完成列表，教師巡視課堂，并對列表中暴露的問題進(jìn)行適時糾錯。通過復(fù)習(xí)回顧、問題啟發(fā)，選出自變量的值，學(xué)生修正列表。問題3：在畫一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象時，以原點(diǎn)為中心左右對稱的選取自變量，這里應(yīng)該如何選取自變量呢？應(yīng)注意哪些問題呢？師生活動二：適時糾錯師生活動：同伴合作畫圖，每人只畫一個，教師巡視，并適時提出問題，糾正作圖時的常見錯誤，進(jìn)一步理解，在圖象上的直觀體現(xiàn)，加深對，的理解?；顒尤河^察圖象、歸納共同特征問題4：分別從形狀、位置、增減性三個方面借助兩個函數(shù)圖象，總結(jié)它們有什么共同特征？先獨(dú)立思考，再小組討論。師生活動：各小組派代表回答問題，教師綜合意見后進(jìn)行歸納.問題6：你能從列表的信息中得出同樣的結(jié)論嗎？并說明理由活動四：猜想時，對應(yīng)的圖象與性質(zhì)師生活動：學(xué)生類比猜想，教師帶領(lǐng)學(xué)生在幾何畫板中驗證猜想。問題7：你能從解析式的角度分析我們的得到的結(jié)論嗎？師生活動：學(xué)生思考，教師引導(dǎo)分析解析式。問題8：對于一般的反比例函數(shù)都符合我們這里發(fā)現(xiàn)的結(jié)論嗎？師生活動：學(xué)生猜想當(dāng)時的圖象和性質(zhì)，獨(dú)立畫圖驗證猜想。通過類比之前畫函數(shù)圖象列表的經(jīng)驗，經(jīng)歷用“描點(diǎn)”法畫反比例函數(shù)圖象的基本步驟，進(jìn)一步鞏固描點(diǎn)畫圖的能力；并通過畫圖過程中適時糾錯、正反對比的過程，加深對的理解，突破難點(diǎn)；使學(xué)生對反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)有一個初步的整體感知，發(fā)展類比遷移能力、歸納概括能力。觀察圖象，總結(jié)歸納為特殊值：6,12，特殊反比例函的圖象和性質(zhì)的共同特征，類比猜想一般的情況，結(jié)合函數(shù)解析式、列表信息分析圖象特征和性質(zhì)，體會數(shù)形結(jié)合、特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.探索新知類比研究：類比的情況研究的情況，在同一平面直角坐標(biāo)系中，同伴合作分別畫出反比例函數(shù)和的圖象。師生活動：學(xué)生在坐標(biāo)紙上進(jìn)行操作，教師巡視指導(dǎo)。在此活動中，教師重點(diǎn)關(guān)注：(1)類比，關(guān)注學(xué)生是否能全面準(zhǔn)確描述時的圖象和性質(zhì)。(2)猜想對于一般的反比例函數(shù)時，對應(yīng)圖象與性質(zhì)并在幾何畫板驗證猜想。問題9：在同一直角坐標(biāo)系中分別畫出和的圖象，圖象有什么相同點(diǎn)？有什么不同點(diǎn)？不同點(diǎn)由什么決定？師生活動：類比正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，歸納反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得到結(jié)論：(1)反比例函數(shù)的圖象是雙曲線；(2)當(dāng)時，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限，在每一個象限內(nèi)，隨的增大而減小；(3)當(dāng)時，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限，在每一個象限內(nèi)，隨的增大而增大。教師解析：教師引導(dǎo)學(xué)生，對比正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)的異同點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象是斷開的兩支曲線，在每一支上變化趨勢不同，所以要強(qiáng)調(diào)在每一象限內(nèi)，反比例函數(shù)具有增減性。通過再次畫反比例函數(shù)的圖象，鞏固前面已獲得的作圖經(jīng)驗，提高學(xué)生畫函數(shù)圖象的能力，增強(qiáng)對圖象特征的觀察、分析、概括能力，發(fā)展形象思維；通過概括歸納函數(shù)圖象和性質(zhì)發(fā)展抽象能力，再次體會數(shù)形結(jié)合的思想。學(xué)以致用【搶答練習(xí)】1、反比例函數(shù)的大致圖象為（）ABCD【一題多變】上題中，反比例函數(shù)的大致圖象為（）師生活動：基礎(chǔ)問題直接搶答。在反比例函數(shù)圖象上兩個點(diǎn)的坐標(biāo)為,則【一題多變】在反比例函數(shù)圖象上兩個點(diǎn)的坐標(biāo)為且則師生活動：學(xué)生首先獨(dú)立思考，然后交流，教師引導(dǎo)總結(jié)歸納方法。在反比例函數(shù)圖象上三個點(diǎn)的坐標(biāo)為且，則的大小關(guān)系（）師生活動：教師提出問題，學(xué)生獨(dú)立思考，然后交流展示，師生共同總結(jié)方法。解決問題：隨著暑假的來臨，小明一家自駕來洛陽旅游，小明家距離洛陽約為138千米，平均時速v與時間t有怎樣的函數(shù)關(guān)系？忽然家人打來緊急，要求他們務(wù)必要在不超過2小時的時間返回家中，平均時速v至少是多少？通過練習(xí)題的解答，加強(qiáng)對反比例函數(shù)圖象及性質(zhì)的理解，實現(xiàn)由知識向能力的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)應(yīng)用意識，發(fā)展應(yīng)用能力。課堂小結(jié)1、課堂小結(jié)：（1）本節(jié)課我們都學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容?主要運(yùn)用了哪些思想方法？(2)研究反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)的活動過程是什么？本章是怎么研究的，今天研究了圖象性質(zhì)，接下來研究什么？2、意猶未盡探索無限1、初中階段我們怎樣研究函數(shù)的？追問1：初中階段，研究函數(shù)的一般思路是什么？追問2：按照自變量的類型以及自變量的次數(shù)，我們已學(xué)過函數(shù)可類型有哪些？如果自變量的類型，由數(shù)集擴(kuò)充到角的集合，又會產(chǎn)生什么新的函數(shù)？追問3：在對函數(shù)的圖象和性質(zhì)的研究中，主要從哪些方面展開學(xué)習(xí)？在對二次函數(shù)圖象和性質(zhì)進(jìn)行研究時，我們還研究它哪些方面的內(nèi)容？追問4：在對函數(shù)知識的應(yīng)用時，主要從哪些方面應(yīng)用？追問5：在這個過程中，主要的思想方法有哪些？通過問題啟發(fā)，幫助學(xué)生歸納本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，讓學(xué)生自覺對所學(xué)知識進(jìn)行梳理，形成體系。站在整體教學(xué)、主題