TOC\o"13"\h\u抽象函數(shù) 2求函數(shù)值 2賦值法 2抽象函數(shù)的軸對稱性 3抽象函數(shù)的中心對稱性 5抽象函數(shù)的奇偶性 7抽象函數(shù)的周期性 8抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 12抽象函數(shù)的單調(diào)性 13抽象函數(shù)的壓縮變換 14抽象函數(shù)性質(zhì) 14抽象函數(shù)的定義域與值域 15填□法求抽象函數(shù)的解析式 15假填□法求抽象函數(shù)的解析式 17抽象函數(shù)的具體模型 17抽象不等式 19商分思想證明抽象不等式 24夾逼法 24反證法 25極值點(diǎn)偏移問題 25拐點(diǎn)偏移問題 29小題巧解 30其它 31抽象函數(shù)求函數(shù)值例1：已知對任意的實(shí)數(shù)都滿足，則_________。解：與代入后可求得。KEY：賦值法例1：已知函數(shù)滿足，且，則_________。解：因?yàn)?，所以，。代入得。KEY：練習(xí)1（22年全國高考2卷最后1道單選題）：若函數(shù)的定義域?yàn)椋?，且。則（）A．?3 B．?2 C．0 D．1解：令，。則。令得。故，，，，，，。所以周期為。。KEY：A練習(xí)2（23年全國高考1卷倒數(shù)第2道多選題）：已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（）A．B．C．是偶函數(shù)D．為的極小值點(diǎn)解：A：令得。B：令得。C：令得，令得。D：因?yàn)榍叭齻€選項(xiàng)都正確，故不選D。大題解法：顯然，常數(shù)函數(shù)符合題意，但是不滿足選項(xiàng)D。故D錯誤。KEY：ABC例2（24年全國高考1卷最后1道單選題）：已知函數(shù)定義域?yàn)?，且時，則下列結(jié)論中一定正確的是（）B．C．D．解：CD肯定錯（題目沒給出上限）。，，，，，，，，，，，，，是顯然了。KEY：B抽象函數(shù)的軸對稱性例1：根據(jù)函數(shù)滿足的表達(dá)式填寫函數(shù)具有的周期性或?qū)ΨQ性。練習(xí)1：已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù)都有，則函數(shù)_________________________________。KEY：有對稱軸直線練習(xí)2：已知函數(shù)。且對任意實(shí)數(shù)都有，則函數(shù)_________________________________。KEY：有對稱軸直線練習(xí)3：已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù)都有，則函數(shù)_________________________________。KEY：有對稱軸直線練習(xí)4：已知函數(shù)的定義域?yàn)?。且對任意?shí)數(shù)都有，則函數(shù)_________________________________。KEY：有對稱軸直線例2：已知函數(shù)f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，對任意實(shí)數(shù)x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，當(dāng)x∈[－1,1]時，f(x)>0恒成立，則b的取值范圍是__________。KEY：b<－1或b>2練習(xí)2.1：設(shè)函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，f(2－x)＝f(x)，且當(dāng)x≥1時，f(x)＝lnx，則有()A．f<f(2)<fB．f<f(2)<fC．f<f<f(2)D．f(2)<f<fKEY：C練習(xí)2.2（含導(dǎo)數(shù)）：已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則（）A.B.C.D.解：有對稱軸，離對稱軸越近越大。KEY：D練習(xí)3（17年全國1卷文科倒數(shù)4道單選題）：已知函數(shù)，則（）在內(nèi)單調(diào)遞增B.在內(nèi)單調(diào)遞減C.的圖象關(guān)于直線對稱D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱解：。所以在↑，↓。。KEY：C練習(xí)4：已知函數(shù)的定義域?yàn)?。若存在常?shù)，對任意，有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)。給定下列三個函數(shù)：①；②；③。其中，具有性質(zhì)的函數(shù)的序號是（）A.①B.②C.③D.沒有函數(shù)具有性質(zhì)解：有對稱軸的函數(shù)顯然不符合，故①②不符合。求導(dǎo)知函數(shù)在遞減，其余區(qū)間遞增。由圖我們只需取為較大正數(shù)（如）即可。KEY：C例3（對稱軸的證明）：已知是定義在R上的奇函數(shù)滿足。求的值。（2）求證：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。若在區(qū)間上是增函數(shù)，試比較，，的大小。解：（1）也可以理解為括號里面相差4，函數(shù)值就是相反數(shù)?！嘀芷跒?KEY：（1）0；（2）略；（3）例4（兩個函數(shù)的軸對稱性）：函數(shù)與關(guān)于哪條直線對稱？解：根據(jù)定理與關(guān)于直線對稱得，KEY：y軸練習(xí)1：若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則的解析式為________________。KEY：練習(xí)2：已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則當(dāng)時，求函數(shù)的最大值。解：KEY：練習(xí)3：設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，與的圖象關(guān)于直線對稱，且當(dāng)時，。求函數(shù)的表達(dá)式。解：時，，時，。KEY：例5（類反函數(shù)）：設(shè)函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱，且，則（）A.1B.1C.2D.4解：的反函數(shù)為，再作關(guān)于原點(diǎn)對稱變換，代入即得KEY：D抽象函數(shù)的中心對稱性例1：已知函數(shù)滿足，則的圖象的對稱中心為________。KEY：練習(xí)1.1：已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù)都有，則函數(shù)_________________________________。KEY：有對稱中心練習(xí)1.2（自行發(fā)現(xiàn)對稱中心，較難）：已知函數(shù)，則______。解：。KEY：4.5練習(xí)1.3（倒序相加法）：已知函數(shù)，記，則______________。解：由所求可猜測為定值，驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)。使用倒序相加法：。KEY：練習(xí)1.4：已知函數(shù)，則該函數(shù)圖象的對稱中心為______________。解：。KEY：練習(xí)1.5（24年全國高考1卷倒數(shù)第2題第2小題<共3小題>）：已知函數(shù)。證明：函數(shù)的圖象是中心對稱圖形。證明：定義域?yàn)?，故對稱中心橫坐標(biāo)只能是。計(jì)算。對稱中心為。證畢。練習(xí)1.6：已知函數(shù)在區(qū)間（）的值域?yàn)椋瑒t______________。解：。該函數(shù)圖象的對稱中心為。KEY：練習(xí)1.7：已知函數(shù)，則______________________。解：考察，通過暴力化簡后（用了二項(xiàng)式定理中的3次冪）得兩端向中間靠攏，共有2011個，中間還有一個。KEY：練習(xí)3.1（改編）：已知函數(shù)滿足，。若函數(shù)與函數(shù)的圖象交點(diǎn)恰有個，分別為，，…，則等于__________。KEY：練習(xí)3.2（16年全國2卷理科最后1道單選題）：已知函數(shù)滿足，。若函數(shù)與圖象的交點(diǎn)分別為，，…，則等于（）A.B.C.D.解：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，∴，。KEY：B例2（反函數(shù)）：已知函數(shù)是奇函數(shù)，是的反函數(shù)，若，則___________。解：是奇函數(shù)得，即關(guān)于點(diǎn)對稱，∴關(guān)于點(diǎn)對稱。，∴4KEY：4例3（需代數(shù)運(yùn)算）：定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，且對任意實(shí)數(shù)都有，則____。解：，∴為偶函數(shù)。故。（也可以將1代入再結(jié)合圖象）KEY：1例4（兩個函數(shù)的中心對稱性）：函數(shù)與的圖象關(guān)于直線______對稱。KEY：練習(xí)1：已知函數(shù)，函數(shù)g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，若函數(shù)y＝f(x)－g(x)恰有4個零點(diǎn)，則b的取值范圍是______________。解：與關(guān)于點(diǎn)對稱。作圖：當(dāng)斜率為1的直線與相切時由對稱性知，此時有兩個公共點(diǎn)。再往上移動就有4個公共點(diǎn)。計(jì)算得此時。移動到2時有無數(shù)個公共點(diǎn)，再往上移動就只有兩個了。KEY：抽象函數(shù)的奇偶性例1：已知是奇函數(shù)，，若，則______。KEY：練習(xí)1（多選題）：已知定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，下列函數(shù)中必為奇函數(shù)的是（）A．B．C．D．KEY：BD練習(xí)2（20年杭州一模）：若函數(shù)，定義域?yàn)椋叶疾缓銥榱?，則（）A．若為周期函數(shù)，則為周期函數(shù)B．若為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)C．若，均為單調(diào)遞增函數(shù)，則為單調(diào)遞增函數(shù) D．若，均為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)解：取，，排除A、B，取排除C。D容易證明是正確的。KEY：D例2：已知實(shí)數(shù)，滿足，則______。KEY：例3（填框法，多選題）：已知定義在上的函數(shù)滿足，，且為奇函數(shù)，則（）A．為奇函數(shù)B．為偶函數(shù)C．是一個周期為的周期函數(shù)D．解：。。故CD正確。接下來判斷函數(shù)的奇偶性。為奇函數(shù)，。使用填框法得，。兩式聯(lián)立得。所以為偶函數(shù)。KEY：BCD抽象函數(shù)的周期性例1（簡單型）：已知函數(shù)，若恒成立，則正實(shí)數(shù)的最小值為。解：，最小正周期。KEY：練習(xí)1.1：已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，當(dāng)時，。求的值。KEY：練習(xí)1.2：已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，當(dāng)時，。求的值。KEY：練習(xí)1.3：已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，當(dāng)時，。求的值。KEY：練習(xí)1.4：已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，當(dāng)時，。求的值。KEY：練習(xí)2：已知f(x)＝sin(ωx＋φ)（）滿足f＝－f(x)，若其圖象向左平移eq\f(π,6)個單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)。求f(x)的解析式。KEY：練習(xí)3：已知是定義在上的偶函數(shù)，并且，當(dāng)時，，則__________。KEY：2.5練習(xí)4：已知是定義在上的偶函數(shù)，滿足，求KEY：1練習(xí)5：已知是R上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù)是（）A.3B.5C.7D.9解：因?yàn)槠婧瘮?shù)，且周期為3，故0,3,6是零點(diǎn)；由時的表達(dá)式得1,4是零點(diǎn)；由奇函數(shù)1是零點(diǎn)，∴2,5是零點(diǎn)；又∵所以1.5，4.5是零點(diǎn)，共有9個零點(diǎn)。KEY：D練習(xí)6：已知是定義在上的奇函數(shù)，滿足且。則在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)至少有幾個？解：容易得到，又，故所有整點(diǎn)都是零點(diǎn)。又與既是相反數(shù)又相等，也是零。即。KEY：個例2：根據(jù)已知條件判斷的性質(zhì)。KEY：周期T=2KEY：對稱軸x=4KEY：對稱中心(4,0)KEY：周期T=4練習(xí)1：根據(jù)函數(shù)滿足的表達(dá)式填寫函數(shù)具有的周期性或?qū)ΨQ性。（1）已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù)都有，則函數(shù)_________________________________。KEY：有對稱軸直線（2）已知函數(shù)。且對任意實(shí)數(shù)都有，則函數(shù)_________________________________。KEY：有對稱軸直線（3）已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù)都有，則函數(shù)_________________________________。KEY：有對稱軸直線（4）已知函數(shù)的定義域?yàn)?。且對任意?shí)數(shù)都有，則函數(shù)_________________________________。KEY：有對稱軸直線（5）已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù)都有，則函數(shù)_________________________________。KEY：有對稱中心（6）已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù)都有，則函數(shù)_________________________________。KEY：有周期（7）已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù)都有，則函數(shù)_________________________________。KEY：有周期（8）已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù)都有，則函數(shù)_________________________________。KEY：有周期（9）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)_________________________________。KEY：有對稱軸直線（10）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)________________________________。KEY：有對稱中心練習(xí)2：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且的圖象關(guān)于直線，對稱（）。則是（）A.一個以為周期的函數(shù)B.一個以為周期的函數(shù)C.非周期函數(shù)D.以上都不對解：方法一（小題巧解）：取。方法二（大題解法）：。KEY：B練習(xí)3.1（類正弦函數(shù)，抽象函數(shù)的奇偶性，21年全國高考2卷最后1道單選題）：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且為偶函?shù)，為奇函數(shù)，則（）A.B.C.D.解：關(guān)于對稱。關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以關(guān)于對稱。周期。所以。KEY：B練習(xí)3.2（圖象交點(diǎn)法，已知部分解析式求另一部分解析式，24年9月成都開學(xué)考最后1道多選題）：已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且對任意的，都有，當(dāng)時，，則下列說法正確的是（）A.B.點(diǎn)是函數(shù)的一個對稱中心C.當(dāng)時，D.函數(shù)恰有個零點(diǎn)解：對稱中心為，又對稱軸為直線，故周期。，，故A正確。顯然直線也是一條對稱軸，由周期知直線也是對稱軸，因?yàn)楹瘮?shù)非常數(shù)函數(shù)，故不是函數(shù)的一個對稱中心。故B錯誤。。當(dāng)時，。函數(shù)關(guān)于對稱，故故C正確。使用圖象交點(diǎn)法。函數(shù)關(guān)于直線對稱，且，作出圖象發(fā)現(xiàn)有7個交點(diǎn)。KEY：AC例3：奇函數(shù)的定義域?yàn)?，若為偶函?shù)，且，則____。解：關(guān)于對稱，向右移動兩個單位變?yōu)殛P(guān)于對稱。∴有對稱中心，對稱軸?！?。KEY：1練習(xí)1：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，，對任意的，，當(dāng)時，有。則下列命題中一定正確的是______________。①函數(shù)為偶函數(shù)；②直線是函數(shù)的一條對稱軸；③函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減；④函數(shù)的周期是解：函數(shù)為奇函數(shù)，在內(nèi)單調(diào)遞增。利用三角函數(shù)記憶即可。KEY：②④抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表示先求導(dǎo)再將填入框框，即對整體求導(dǎo)；表示先求出導(dǎo)函數(shù)，再將1代入；表示先將填入框框，再求導(dǎo)，即對求導(dǎo)。例1（抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)）：已知在上可導(dǎo)，且滿足，設(shè)，則_________。解：①；②。KEY:9練習(xí)1：已知在內(nèi)可導(dǎo)，且滿足，設(shè)，則_________。KEY:例2（函數(shù)四則運(yùn)算）：已知在上可導(dǎo)，且滿足，設(shè)，則_________。KEY:9練習(xí)1：已知y＝f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g′(3)等于_________。KEY:0例3：設(shè)函數(shù)在R上是可導(dǎo)的偶函數(shù)，且滿足，則_____解：將兩邊同時對求導(dǎo)得，∴偶函數(shù)求導(dǎo)后變?yōu)槠婧瘮?shù)，故為0KEY:0例4（導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的對稱性，22年全國高考1卷最后1道多選題）：已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（）A.B.C.D.解：方法一（圖象變換）：的圖象關(guān)于直線對稱，故的圖象關(guān)于直線對稱，故的圖象關(guān)于直線對稱，故的圖象關(guān)于直線對稱。又的圖象關(guān)于直線對稱，故的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱。所以具有周期。也具有周期。的圖象上下移動并不影響圖象的對稱性，故函數(shù)值不確定，A錯。，故B正確。，故C正確。關(guān)于直線對稱，關(guān)于點(diǎn)對稱。故。故D錯。方法二（抽象表達(dá)式）：KEY：BC例5（積分）：已知定義在上的函數(shù)滿足，，則函數(shù)__________________。解：，兩邊積分得。又，∴?！唷EY:抽象函數(shù)的單調(diào)性例1：已知函數(shù)對任意不相等的非零實(shí)數(shù)，，恒有。判斷函數(shù)的單調(diào)性。KEY：減函數(shù)練習(xí)1：已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，恒成立。設(shè)，，。則（）A.B.C.D.解：在↑。關(guān)于軸對稱，向右移動一個單位后的對稱軸為故離對稱軸越遠(yuǎn)越大。KEY：A練習(xí)2：已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若對于任意給定的不等實(shí)數(shù)，，不等式恒成立，則不等式的解集為__________。解：移項(xiàng)后因式分解得。故函數(shù)遞減。又∵是定義在上的奇函數(shù)，故過原點(diǎn)。KEY：例2：已知函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)，且，則____。解：是一個數(shù)，又函數(shù)單調(diào)，故是一個唯一確定的數(shù)。設(shè)已知。KEY：4抽象函數(shù)的壓縮變換例1：對于函數(shù)，則（）A.（），對一切恒成立。B.（），對一切恒成立。C.（），對一切恒成立。D.（），對一切恒成立。解：顯然。KEY：B抽象函數(shù)性質(zhì)例1（15年浙江高考理科倒數(shù)第2道選擇題）：存在函數(shù)滿足，對任意都有（）A.B.C.D.解：方法一（函數(shù)概念）：ABC所對應(yīng)的都不是函數(shù)。A：的最小正周期為，取，得或，不符合函數(shù)定義。B也一樣。C：取得或，不符合函數(shù)定義。方法二（函數(shù)性質(zhì)）：A：的最小正周期一定小于等于，排除A。同理B也被排除。C：必為偶函數(shù)，C排除。D：，。由填框法知。KEY：D例2：已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋xx≥0，,1－xx<0，))則下列命題正確的是()函數(shù)y＝f(sinx)是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)B．函數(shù)y＝f(sinx)是偶函數(shù)，不是周期函數(shù)C．函數(shù)y＝是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)D．函數(shù)y＝是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)解：，KEY:C例3：若定義在(0,1)上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)>0且對任意的x∈(0,1)，有＝，則()A．對任意的正數(shù)M，存在x∈(0,1)，使f(x)≥MB．存在正數(shù)M，對任意的x∈(0,1)，使f(x)≤MC．對任意的x1，x2∈(0,1)且x1<x2，有f(x1)<f(x2)D．對任意的x1，x2∈(0,1)且x1<x2，有f(x1)>f(x2)解：在上的值域也是，而且單調(diào)遞增。給定一個數(shù)，如0.5，則，，故每次乘以2，。KEY：A例4：已知是定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，則下列四個命題：①若，則；②若，則；③若是奇函數(shù)，則也是奇函數(shù)；④若是奇函數(shù)，則。其中正確的個數(shù)為（）A.1個B.2個C.3個D.4個解：①顯然對，②用反證法可證正確，③易證正確，④也對。KEY：D抽象函數(shù)的定義域與值域例1：已知的定義域?yàn)閇1,1]，求的定義域。KEY：練習(xí)1：已知的定義域?yàn)閇1,2]，值域?yàn)閇3,4]，求的定義域與值域。KEY：定義域?yàn)?，值域?yàn)閇3,4]（左右平移值域不變）練習(xí)2：已知的定義域?yàn)閇1,1]，求的定義域。KEY：練習(xí)3：已知函數(shù)的定義域?yàn)閇0,2]，則函數(shù)的定義域是____。KEY：練習(xí)4：已知函數(shù)的定義域?yàn)?0,2]，值域?yàn)?，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，若，則的定義域?yàn)開_________。KEY：練習(xí)5：已知，則的定義域?yàn)開________________________。解：中的取值范圍為，故后面括號的范圍為，即中的。KEY：練習(xí)6：已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)開__________。KEY：填□法求抽象函數(shù)的解析式例1：（1）已知，求KEY：已知，求解：令∴KEY：，已知，求解：，與原式聯(lián)立解二元一次方程組得，KEY：（4）已知，求解：，KEY：練習(xí)1：（1）已知，求KEY：，已知，求KEY：，已知，求KEY：，定義在內(nèi)的函數(shù)滿足，求KEY：（5）已知，求KEY：練習(xí)2：已知函數(shù)，則_______。解：。KEY：例2：已知，求解：令，則KEY：例3：已知，則______________________________。解：。KEY：練習(xí)1：已知，且，則___________________。解：，使用填框法可求得。KEY：假填□法求抽象函數(shù)的解析式例1：已知，則________。解：。KEY：抽象函數(shù)的具體模型例1（指數(shù)函數(shù)型）：定義在上的函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)恒有，且當(dāng)時，。求，并證明：當(dāng)時，；求證：在R上為減函數(shù)；設(shè)集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：（1）令，則證明：令，則，∵，∴即當(dāng)時，；，由（1）知函數(shù)值恒大于0，可作商大，∴在R上為減函數(shù)；即直線與圓沒有交點(diǎn)。KEY：（1），證明見解析；（2）證明見解析；（3）練習(xí)1：已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對于任意x1，x2R，都有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，對任意的xR，都有。且當(dāng)時。（1）求證：恒成立；（2）判斷并證明的單調(diào)性；（3）若f(x－1)<1，求x的取值范圍。解：（1）令即可；（2）作商法即可。KEY：（1）（2）單調(diào)遞減（3）練習(xí)2：定義在R上的非零函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)恒有，且當(dāng)時，。(1)求證：；（2）求證：在R上為減函數(shù)；（3）若，解不等式。解：（1）令，，又是非零函數(shù)，∴。（2），由（1）知函數(shù)值恒大于0，可作商大，∴在R上為減函數(shù)；（3）令得KEY：（1）（2）證明見解析（3）練習(xí)3：已知函數(shù)滿足對任意的實(shí)數(shù)，都有，且，則_______________。解：原式。KEY：例2（對數(shù)函數(shù)型）：已知定義在上的函數(shù)對任意的都有，且當(dāng)時，。（1）求；（2）求證：單調(diào)遞增；（3）若，解不等式。解：（1）0（2），所以↑。（3）令，得。KEY：（1）0（2）證明見解析。（3）練習(xí)1：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈＝{x|x≠0}，且滿足對于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，求x的取值范圍。解：（1）0（2）f(x)為偶函數(shù)。令x1＝x2＝－1，則f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝eq\f(1,2)f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，則f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)．KEY：（1）0（2）偶函數(shù)（3）{x|－15<x<17且x≠1}．練習(xí)2：已知定義在上的函數(shù)f(x)滿足對于任意x1，x2，都有，且當(dāng)時。（1）判斷f(x)的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；（2）如果f(3)＝－1，f(x－1)<－2，求x的取值范圍。KEY：（1）單調(diào)遞減（容易證明）；（2）例3（正比例函數(shù)型）：已知函數(shù)對于任意的總有，且當(dāng)時，，；求證在R上為減函數(shù)；（2）求在上的最大值和最小值。解：（1）如例1（2）；（2）先證明函數(shù)是奇函數(shù)。KEY：（1）略（2）最大2，最小2例4（其它）：已知函數(shù)對任意的都有，且當(dāng)時，。（1）求證：單調(diào)遞增；（2）若，解不等式。解：（1）易證；（2）令得。KEY：（1）略（2）抽象不等式例1：已知是定義在上的增函數(shù)，解不等式解：KEY：練習(xí)1.1：已知函數(shù)是定義在區(qū)間[0，＋∞)上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足f(2x－1)<f(eq\f(1,3))的x的取值范圍是（）A．(eq\f(1,3)，eq\f(2,3))B．[eq\f(1,3)，eq\f(2,3))C．(eq\f(1,2)，eq\f(2,3))D．[eq\f(1,2)，eq\f(2,3))KEY：D練習(xí)1.2：已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，而且是減函數(shù)，則不等式的解集為______________。解：且，。KEY：練習(xí)2：已知是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是______________。KEY：{x|－7<x<3}練習(xí)3：已知奇函數(shù)的定義域是，且在區(qū)間上遞減，則滿足的實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______。KEY：練習(xí)4.1（有具體表達(dá)式）：已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍為________________。KEY：練習(xí)4.2（24年9月四川學(xué)考最后1道單選題）：已知函數(shù)，則滿足不等式的的取值范圍是______________。解：↑，。KEY：練習(xí)4.3：已知，則不等式的解集為______________。解：①。②。KEY：練習(xí)4.4（略難）：已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為_______________。解：代入得，由函數(shù)↑得。KEY：練習(xí)4.5：已知，，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：容易證明函數(shù)↑。KEY：練習(xí)4.6（含導(dǎo)數(shù)）：已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍為________________。KEY：練習(xí)6：已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3，x≤0，,－x2－2x＋3，x>0，))不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________。解：遞減，∴x＋a<2a－x，即a>2x在[a，a＋1]上恒成立，a>2(a＋1)，KEY：a<－2練習(xí)7.1：已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，+∞)上單調(diào)遞增。若，則的取值范圍是_________。KEY：練習(xí)7.2：已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增．若實(shí)數(shù)a滿足f(2|a－1|)>f(－eq\r(2))，則a的取值范圍是_________。KEY：eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2)練習(xí)7.3：若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)．如果實(shí)數(shù)t滿足f(lnt)＋f(lneq\f(1,t))≤2f(1)，那么t的取值范圍是________。KEY：[eq\f(1,e)，e]練習(xí)8：已知函數(shù)，實(shí)數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________。KEY：練習(xí)9：已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足對任意的，當(dāng)時，都有。若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________。解：方法一：任取，則↑。方法二：。KEY：練習(xí)10：已知函數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______________。解：顯然↑，恒成立。，又定義域不能為空，故。KEY：練習(xí)11.1（改編）：已知定義在上的函數(shù)滿足，而且當(dāng)時，。，。求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：對任意的，我們有。所以↓。而。故且。KEY：例2（含導(dǎo)有表達(dá)式）：已知函數(shù)f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則滿足f(ex)<0的x的取值范圍為________。解：容易求得的解集為，故。KEY：練習(xí)1：已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時，，則______；若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________。解：。，↑，故。所以↑。所以。①滿足不等式。②時，只需或。KEY：；練習(xí)2：已知，求滿足的的取值范圍。解：（基本不等式）。故↑。又為奇函數(shù)。故。KEY：例3（含導(dǎo)無表達(dá)式）：設(shè)函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，它的圖象是一條連續(xù)的曲線，且當(dāng)時，。若，則的取值范圍是_______________。解：只需。KEY：練習(xí)1.1：設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時，恒成立，則不等式的解集為_______________。解：構(gòu)造函數(shù)，則，故↓。而，故時為正，即f(x)>0。由于是偶函數(shù)，故時為負(fù)，即f(x)>0。KEY:練習(xí)1.3：設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)。當(dāng)時恒成立，則不等式的解集為__________。解：構(gòu)造偶函數(shù)。在時遞減，即，故?！邽榕己瘮?shù)，故解集對稱。KEY:練習(xí)1.4（15年全國二理科壓軸）：設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則使得成立的的取值范圍是（）A．B．C．D．解：即，而為偶函數(shù)，∴時遞減，又過點(diǎn)，故可畫出的大致圖像。結(jié)合圖象可得答案。KEY:A練習(xí)1.5：設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時，有恒成立，則不等式的解集為_______________。解：，即當(dāng)時，↓，當(dāng)時，且是奇函數(shù)，∴是偶函數(shù)。其大致圖象如右圖。，即且。根據(jù)的草圖可得答案。KEY：練習(xí)1.6：已知函數(shù)對任意的都有且成立。則（）B.C.D.無法確定與的大小解：?！唷?。KEY:A練習(xí)1.7：已知函數(shù)，是定義域?yàn)榍液瘮?shù)值恒大于的函數(shù)，且。則當(dāng)時（）A.B.C.D.解：構(gòu)造函數(shù)↓?！?。KEY：C練習(xí)2.1：設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，則不等式的解集為_______________。解：構(gòu)造偶函數(shù)，故先減后增。KEY：練習(xí)2.2：已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，。若，，，則，，的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.解：構(gòu)造偶函數(shù)，求導(dǎo)容易得在↓，↑。而，，。∴。KEY：C例4（構(gòu)造函數(shù)）：已知是定義在上的函數(shù)，對任意的，恒有成立，且在上單調(diào)遞增，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________________。解：，記，則是奇函數(shù)。又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增。又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，故在上單調(diào)遞增。，即。KEY：商分思想證明抽象不等式例1：已知，，且對任意的恒成立。求證：對任意的恒成立。證明：∴（令）。證畢。夾逼法例1（壓軸）：定義在上的函數(shù)滿足，對任意的都有，，且當(dāng)時，。則_________。解：，，。又∵單調(diào)遞增（不嚴(yán)格），∴恒有。再由，∵。KEY：練習(xí)1：定義在上的函數(shù)滿足，對任意的都有，，且當(dāng)時，。則_________。解：①令得。②令得。又∵單調(diào)遞增（不嚴(yán)格），∴恒有?！唷EY：反證法例1：是定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：①對任意的，都有；②存在常數(shù)，使得對任意的，，都有。設(shè)，實(shí)數(shù)，且。求證：滿足條件的是唯一的。證明：假設(shè)存在與不相等的，且。則，這與，矛盾。故假設(shè)不成立?！嗍俏ㄒ坏?。證畢。極值點(diǎn)偏移問題定義：單極值函數(shù)，如二次函數(shù)的的極值點(diǎn)無偏移，函數(shù)（）的極值點(diǎn)左偏移，函數(shù)（）的極值點(diǎn)右偏移。記函數(shù)在區(qū)間中恰有一個極值點(diǎn)，平行于軸的直線與函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)與。①若極值點(diǎn)沒偏移，則；②若極值點(diǎn)左偏移，則；③若極值點(diǎn)右偏移，則。例1（左偏移）：已知函數(shù)，若，，求證：。證明：構(gòu)造（），，故↑，?！啵ㄟ@里）（這里）?！?，不妨設(shè)。∴。，故在↑。故。證畢。（注：若構(gòu)造函數(shù)，則定義域會發(fā)生變化，應(yīng)該是。）練習(xí)1.1（改編）：已知函數(shù)，若，，求證：。證明：，，，故函數(shù)在↓，↑，且圖象如圖所示。構(gòu)造（），∴（）?！嘣凇６?，∴（），∴（）。不妨設(shè)∴，∵，，在↓，∴。證畢。練習(xí)1.2：若函數(shù)圖象上存在兩個不同的點(diǎn)，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)均在直線上，求證：。證明：，在直線上，∴，。消去得。構(gòu)造，即存在，但，求證：。與練習(xí)1.1完全一樣。證畢。練習(xí)2：已知函數(shù)有兩個零點(diǎn)，（），若其導(dǎo)函數(shù)為，則下列四個結(jié)論中正確的為。（將所有正確結(jié)論的序號填入橫線上）①②③④解：我們先來畫函數(shù)的函數(shù)圖象，求導(dǎo)，故在↓，↑。由洛必達(dá)法則。故函數(shù)圖象如圖。要想有兩個零點(diǎn)，只需將圖象向上移動一點(diǎn)即可?！?。①正確；由于極值點(diǎn)左偏移（），故向上移動一點(diǎn)后仍然保持（也可用極限法，向上移動一點(diǎn)點(diǎn)，非常小，接近零）故②正確；向上移動后，故③錯誤；由定比分點(diǎn)知識知的幾何意義為靠近的三等分點(diǎn)，由于極值點(diǎn)左偏移，故中點(diǎn)都大于，更何況靠近的三等分點(diǎn)，∴，故此時遞增，∴，④正確。KEY：①②④練習(xí)3（原創(chuàng)）：已知函數(shù)，實(shí)數(shù)滿足。求證：。證明：方法一（構(gòu)造函數(shù)）：構(gòu)造，。（定義域是根據(jù)右圖點(diǎn)運(yùn)動的橫向距離確定的）?！啻胝归_化簡得，∴，∴，，由圖知，∴，∵，，在↑∴。方法二（死算）：由的圖象易知，，。①，同理可得：②，③。②③得★★。②③得★★。∴，由得。方法三（零點(diǎn)式）：設(shè)三次函數(shù)的零點(diǎn)式為，展開后與原函數(shù)使用待定系數(shù)法得，而?！唷ＷC畢。（由簡到難：方法三、二、一。且方法三特別簡單。且方法二與三給出了的精確范圍。注：本題是“基本初等函數(shù)”版塊“函數(shù)的零點(diǎn)式”例1的一部分）練習(xí)4（21年全國高考1卷最后1題第2小題，右邊為類極值點(diǎn)偏移）：設(shè)，為兩個不相等的正實(shí)數(shù)，且。求證：。證明：。構(gòu)造函數(shù)，設(shè)，。已知，求證。。故在↑，↓。①構(gòu)造函數(shù)，。求導(dǎo)，故在↑。，故恒成立。不妨設(shè)，（若，則顯然）。故。②構(gòu)造，。，，所以↓。又，。故存