惠陽(yáng)華附2024--2025學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)第一次月考試卷（數(shù)學(xué)）全卷滿分150分，時(shí)間120分鐘.2025.3注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)、學(xué)校、班級(jí)等考生信息填寫(xiě)在答題卡上.2.作答單項(xiàng)及多項(xiàng)選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案信息點(diǎn)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.非選擇題必須用黑色字跡簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題指定的位置上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分.1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】.故選：D.2.已知向量，，若與共線，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】先求得的坐標(biāo)，再根據(jù)向量與共線求解.【詳解】已知向量,,所以，因?yàn)榕c共線，所以，解得：.故選：C3.已知等邊的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，若，則（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】取為基底，利用平面向量基本定理結(jié)合已知條件求解即可.【詳解】在中，取為基底，因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，，所以，所以.故選：A.4.已知向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義結(jié)合充分條件、必要條件的概念可得結(jié)果.【詳解】由可得，故，所以.由可得，故，而方向不一定相同，故.不能得到.綜上得，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，滿足，M是AD的中點(diǎn)，若，則（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量線性運(yùn)算相關(guān)計(jì)算方式計(jì)算即可.【詳解】由題可知，，,所以有，所以，得.故選：C6.已知在直角中，角所對(duì)邊分別為，若且滿足，，且點(diǎn)在上，則值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直角三角形的幾何性質(zhì)，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，利用平面向量的數(shù)量積的定義公式，可得答案.【詳解】由題意可作圖如下：由，則由，則，解得，易知，則，即，.故選：B.7.歐拉是十八世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，數(shù)學(xué)史上稱(chēng)十八世紀(jì)為“歐拉時(shí)代”.1735年，他提出公式：復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位.已知復(fù)數(shù)，設(shè)，則的值可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】變形復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出，并表示成形式作答.【詳解】，，，依題意，，當(dāng)時(shí)，，B正確，ACD錯(cuò)誤故選：B8.已知平面向量，滿足，，且在上的投影向量為，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對(duì)已知兩個(gè)向量模長(zhǎng)平方得到兩個(gè)等式，由此解出，結(jié)合在上的投影向量為，解出和，從而解出與的夾角.【詳解】由，得①，由，得②，由②-①，得，由，得，所以，則，設(shè)與的夾角為，則，因?yàn)?，所?故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，，則（）A.的虛部為1 B.為純虛數(shù)C. D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限【答案】BCD【解析】【分析】化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)的定義判斷A，計(jì)算后判斷BCD．【詳解】，虛部為2，A錯(cuò)；，是純虛數(shù)，B正確；，C正確；，對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，在第一象限，D正確，故選：BCD．10.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，且，則不可能為（）A.等腰直角三角形 B.等邊三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形【答案】BCD【解析】【分析】由余弦定理求出，然后可得角，然后可選出答案.【詳解】由余弦定理，所以，又，所以，故為等腰直角三角形.故選：BCD【點(diǎn)睛】本題考查的是利用余弦定理解三角形，較簡(jiǎn)單.11.如圖，某旅游部門(mén)計(jì)劃在湖中心處建一游覽亭，打造一條三角形游覽路線．已知是湖岸上的兩條甬路，（觀光亭視為一點(diǎn)，游覽路線、甬路的寬度忽略不計(jì)），則（）A.B.當(dāng)時(shí)，C.面積的最大值為D.游覽路線最長(zhǎng)為【答案】ACD【解析】【分析】運(yùn)用正余弦定理解三角形即可判斷AB，在用余弦定理解三角形的同時(shí)結(jié)合基本不等式即可判斷CD.【詳解】在中，由余弦定理得，所以正確；在中，由正弦定理，得錯(cuò)誤；在中，由余弦定理，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，則的面積為，C正確；由上可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.已知向量和向量的夾角為30°，，，則______．【答案】3【解析】【分析】條件中給出兩個(gè)向量的模和向量的夾角，直接代入公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：量和向量的夾角為，，，又，.故答案為：3．13.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則|z|＝______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和周期性可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)的周期性（周期為），即，，，，所以有,可知,.故答案為：14.在中，，，則的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積化簡(jiǎn)已知條件，再利用余弦定理和正弦定理化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】在中，，可得即由余弦定理可知，可得，由正弦定理可知，因?yàn)?，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是將已知條件轉(zhuǎn)化為三角形的邊和角，再利用正弦和余弦定理計(jì)算.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，已知，，．（1）求證：，，三點(diǎn)共線；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)向量的線性運(yùn)算，求得，再判斷與的關(guān)系，即可證明.（2）根據(jù)向量平行的結(jié)論，求參數(shù)的值.【小問(wèn)1詳解】由已知，得．因?yàn)?，所?又與有公共點(diǎn)，所以，，三點(diǎn)共線．【小問(wèn)2詳解】由（1），知，若，且，可設(shè)（），所以，即．又，是兩個(gè)不共線的向量，所以，解得．16.已知，.（1）求；（2）求向量在向量上的投影向量的模．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再求出.（2）利用投影向量的意義，結(jié)合向量模的定義求解.【小問(wèn)1詳解】由，得，而，則，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，向量在向量上的投影向量為，所以向量在向量上的投影向量的模為.17.△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊為a，b，c，已知，且.（1）求角A的大??；（2）若，求△ABC的周長(zhǎng)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將角化邊及余弦定理即可求解；（2）由數(shù)量積可求出，結(jié)合（1）可求出，進(jìn)而可知△ABC的周長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】因，所以，即，所以，因?yàn)?，所以【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，由?）知，所以又，所以，解得，所以△ABC周長(zhǎng)為，所以△ABC的周長(zhǎng)為.18.養(yǎng)殖戶承包一片靠岸水域，如圖所示，，為直線岸線，千米，千米，，該承包水域的水面邊界是某圓的一段弧，過(guò)弧上一點(diǎn)P按線段和修建養(yǎng)殖網(wǎng)箱，已知．（1）求岸線上點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的直線距離；（2）如果線段上的網(wǎng)箱每千米可獲得2萬(wàn)元的經(jīng)濟(jì)收益，線段上的網(wǎng)箱每千米可獲得4萬(wàn)元的經(jīng)濟(jì)收益．記，則這兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益最高為多少萬(wàn)元？【答案】（1）千米（2）萬(wàn)元【解析】【分析】（1）由余弦定理計(jì)算即可；（2）先由正弦定理計(jì)算出相關(guān)長(zhǎng)度，再計(jì)算收益表達(dá)式，最后由輔助角公式求最值.【小問(wèn)1詳解】在中，由余弦定理，得即岸線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的直線距離為千米．【小問(wèn)2詳解】在中，，則，設(shè)兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益為萬(wàn)元，則因?yàn)?，所以，所以所以?xún)啥尉W(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益最高接近萬(wàn)元．19.對(duì)于給定的正整數(shù)n，記集合，其中元素稱(chēng)為一個(gè)n維向量，特別地，稱(chēng)為零向量.設(shè)，，，定義加法和數(shù)乘：，.對(duì)一組向量，，…，，若存在一組不全為零的實(shí)數(shù)，，…，，使得，則稱(chēng)這組向量線性相關(guān)，否則稱(chēng)為線性無(wú)關(guān).（1）判斷下列各組向量是線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān)，并說(shuō)明理由.①，；②，，；（2）已知，，線性無(wú)關(guān)，判斷，，是線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān)，并說(shuō)明理由.（3）已知個(gè)向量，，…，線性相關(guān)，但其中任意個(gè)都線性無(wú)關(guān)，證明：①如果存在等式，則這些系數(shù)，，…，或者全為零，或者全不為零；②如果兩個(gè)等式，同時(shí)成立，其中，則.【答案】（1）①線性無(wú)關(guān)；②線性相關(guān)；理由見(jiàn)解析（2）向量，，線性無(wú)關(guān)；理由見(jiàn)解析（3）①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)向量線性相關(guān)的定義逐一判斷即可；（2）設(shè)，則，然后由條件得到即可判斷；（3）①如果某個(gè)，，然后證明，，……，，，……，都等于0即可；②由可得，然后代入根據(jù)題意證明即可.【小問(wèn)1詳解】對(duì)于①，設(shè)，則可得，所以，線性無(wú)關(guān)；對(duì)于②設(shè)，則可得，所以，，可取不全為零，故，線線性相關(guān)；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，