目錄

《數(shù)學(xué)1》1.1.2集合之間的基本關(guān)系（孫洪昌，山東省桓臺第一中學(xué)）

《數(shù)學(xué)1》1.2.1函數(shù)的概念（孫洪昌，山東省桓臺第一中學(xué)）

《數(shù)學(xué)1》1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲担ㄍ醯t，山東省桓臺第一中學(xué)）

《數(shù)學(xué)1》1.3.2函數(shù)的奇偶性（史綱，山東省桓臺第一中學(xué)）

《數(shù)學(xué)1》2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（寧亞云，山東省桓臺第二中學(xué)）

《數(shù)學(xué)1》2.2.2對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（崔禹，山東省桓臺第一中學(xué)）

《數(shù)學(xué)1》2.3篇函數(shù)（寧亞云，山東省桓臺第二中學(xué)）

《數(shù)學(xué)1》3.1.1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)（崔禹，山東省桓臺第一中學(xué)）

《數(shù)學(xué)1》3.1.2用二分法求方程的近似解（史綱，山東省桓臺第一中學(xué)）

《數(shù)學(xué)1》3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型（崔佃金，山東省桓臺第一中學(xué)）

《數(shù)學(xué)2》1.1.1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征（崔佃金，山東省桓臺第一中學(xué)）

《數(shù)學(xué)2》1.1.2簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征（崔佃金，山東省桓臺第一中學(xué)）

《數(shù)學(xué)2》1.2.2空間幾何體的三視圖（魏欣靜，山東省桓臺第一中學(xué)）

《數(shù)學(xué)2》2.2.1直線與平面平行的判定（劉鋒，山東省桓臺第一中學(xué)）

《數(shù)學(xué)2》2.3.1直線與平面垂直的判定（魏欣靜，山東省桓臺第一中學(xué)）

《數(shù)學(xué)2》2.3.1直線與平面垂直的判定（魏欣靜，山東省桓臺第一中學(xué)）

《數(shù)學(xué)2》3.2.2直線的兩點(diǎn)式方程（史綱，山東省桓臺第一中學(xué)）

《數(shù)學(xué)2》3.2.3直線的一般式方程（崔禹，山東省桓臺第一中學(xué)）

《數(shù)學(xué)2》4.1.2圓的一般方程（王祎，山東省桓臺第一中學(xué)）

《數(shù)學(xué)2》4.1.2圓的一般方程（孫洪昌，山東省桓臺第一中學(xué)）

《數(shù)學(xué)2》4.2.1直線與圓的位置關(guān)系（劉鋒，山東省桓臺第一中學(xué)）

《數(shù)學(xué)2-2》1.1變化率與導(dǎo)數(shù)（劉鋒，山東省桓臺第一中學(xué)）

《數(shù)學(xué)1》1.1.2集合之間的基本關(guān)系

1蘊(yùn)含的美

1.1邏輯結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一美

集合的學(xué)習(xí)按照“集合的概念一一集合的表示一一集合的性質(zhì)”的順序編寫，其中集合的性質(zhì)

包括元素與集合的關(guān)系、集合之間的關(guān)系以及集合之間的運(yùn)算.為后續(xù)函數(shù)、映射、數(shù)列、圓錐曲

線等概念的學(xué)習(xí)提供了相應(yīng)的研究方法，使學(xué)生的學(xué)法和數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)上體現(xiàn)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美.

1.2數(shù)與形的統(tǒng)一美

兩個集合之間的關(guān)系可以通過韋恩圖直觀的展現(xiàn)出來，從而把數(shù)與形聯(lián)系在一起，使數(shù)與形得

到完美的統(tǒng)一，從而也把文字語言、符號語言、圖形語言高度統(tǒng)一起來，構(gòu)成了我們認(rèn)識數(shù)學(xué)概念

的三種方式，更有利于我們加深對數(shù)學(xué)概念的理解.

例如：A=8可用韋恩圖表示為：

1.3數(shù)學(xué)語言的簡潔美

一般地，對于兩個集合A與5,如果集合A的每一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做

集合B的子集，記做AqB或3衛(wèi)A,讀做“A包含于B"，或“B包含A”.用“AqB”來刻

畫兩個集合的包含關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)符號表示的簡潔美.

1.4數(shù)學(xué)知識的類比美

(1)實數(shù)有相等關(guān)系、大小關(guān)系，如6=6,6<8,6>2,等等.類比實數(shù)之間的關(guān)系探求兩個

集合之間的關(guān)系.

(2)與實數(shù)中的結(jié)論“若a2b,且b》a,則a=b”相類比得到兩個集合的相等關(guān)系的判斷方

法.

通過類比兩實數(shù)之間的關(guān)系得到兩集合之間的關(guān)系，在類比的過程中引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確找出類比點(diǎn)，明

確類比不僅是結(jié)論的類比，更是研究方法的類比，為后續(xù)學(xué)習(xí)類比推理奠定堅實的基礎(chǔ).

1.5數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化美

在具體判斷兩個集合是否具有包含關(guān)系和相等關(guān)系的時候，除了根據(jù)定義和借助韋恩圖以外，

我們常常運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想，將集合之間的關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為元素與集合的關(guān)系問題，甚至是元

素與元素的關(guān)系問題.這樣就可以借助自己己有的知識來探究未知的問題，這也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種

重要方法.

1.6數(shù)學(xué)的文化美

與集合有關(guān)的格奧爾格?康托爾等數(shù)學(xué)家的故事.

2師生素養(yǎng)

2.1教師的素養(yǎng)

數(shù)學(xué)教師要具備的第一個美學(xué)素養(yǎng)是把“集合”作為審美對象，把握住理論的本質(zhì)及特征，分

析《集合間的基本關(guān)系》一節(jié)中潛在的美學(xué)因素，并一一羅列.

數(shù)學(xué)教師要具備的第二個美育素養(yǎng)是把《集合間的基本關(guān)系》中美的因素在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中展

示出來.可以分這樣三個階段進(jìn)行：

第一、教師將數(shù)學(xué)中的美的因素進(jìn)行重組與演化.

課堂教學(xué)時間軸：課前準(zhǔn)備一一問題引入(探究兩集合的關(guān)系)一一子集的定義一一推導(dǎo)兩集合的

包含與相等關(guān)系一一問題思考一一學(xué)生練習(xí).

按照課堂教學(xué)的時間順序?qū)⑸鲜雒赖囊蛩刂亟M：1.5數(shù)學(xué)文化美(課前準(zhǔn)備)一一1.1.1邏輯結(jié)構(gòu)

統(tǒng)一美(課前導(dǎo)入)一一1.3數(shù)學(xué)知識的類比美(問題引入)一1.1.2數(shù)與形統(tǒng)一美一1.2符號表示的

簡潔美一1.4數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化美(判斷兩集合的關(guān)系).

第二、教師發(fā)揮自己的創(chuàng)造性處理教學(xué)內(nèi)容，把數(shù)學(xué)美反映出來.

(1)數(shù)學(xué)文化：插入數(shù)學(xué)家的故事，增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣；設(shè)計問題，引導(dǎo)學(xué)生主動探

究兩集合的關(guān)系.

(2)兩集合的包含關(guān)系：設(shè)計學(xué)生活動，分組交流，通過學(xué)生自主舉例，探求兩集合具備包含

關(guān)系的條件；介紹韋恩圖，直觀表示兩集合的包含關(guān)系，讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)美.

(3)兩集合相等：類比實數(shù)相等的判斷方法，小組活動討論如何判斷兩集合的相等關(guān)系，進(jìn)一

步體會數(shù)學(xué)的類比美；了解數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化美，以具體題目的形式，引導(dǎo)學(xué)生如何用“元素法”判斷兩

集合的包含關(guān)系與相等關(guān)系，并將幾個美育因素穿插其中.

(4)問題思考.包含關(guān)系{a}qA與屬于關(guān)系aGA有什么區(qū)別？結(jié)合具體實例作出解釋.

2.2學(xué)生的素養(yǎng)

2.2.1動手能力

自己動手查閱資料，自己動手從實際生活中舉例子，初步體會兩集合的包含關(guān)系的條件.

2.2.2邏輯思維能力

與實數(shù)中的結(jié)論“若a2b,且b>a,則2=了相類比得到兩個集合的相等關(guān)系的判斷方法一

元素法，進(jìn)一步理解元素與集合的關(guān)系.

2.2.3對數(shù)學(xué)美的感知與表達(dá)能力

學(xué)生要用心體會到老師對“兩集合相等關(guān)系判斷”的教學(xué)中有關(guān)數(shù)學(xué)美的展現(xiàn)和設(shè)計，在課堂

上積極與老師互動，敢于表達(dá)，勇于交流，彼此啟發(fā)，形成良好的課堂氛圍.在此過程中，每個學(xué)生

體會到現(xiàn)在的相互交流、相互協(xié)作是為了我們未來的爆發(fā)式增長積蓄力量，試著將數(shù)學(xué)與生活實際

相結(jié)合，體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個從“量變"到''質(zhì)變"的一個過程，并能在學(xué)習(xí)和以后生活工作中加以

運(yùn)用.

3審美設(shè)計

集合間的基本關(guān)系審美設(shè)計

3.1教學(xué)目標(biāo)

3.1.1知識與技能目標(biāo)

(1)類比實數(shù)之間的大小關(guān)系，理解集合之間的包含、真包含和相等關(guān)系的含義，能識別給定

集合的子集、真子集，并理解子集、真子集的概念.

(2)在具體情境中，了解空集的含義.

(3)能能利用Venn圖表達(dá)集合間的關(guān)系，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用

3.1.2過程與方法目標(biāo)

(1)通過復(fù)習(xí)元素與集合之間的關(guān)系，對照實數(shù)的相等與不相等的關(guān)系聯(lián)系元素與集合的從屬

關(guān)系，探究集合之間的包含與相等關(guān)系；

(2)初步經(jīng)歷使用最基本的集合語言表示有關(guān)的數(shù)學(xué)對象的過程，體會集合語言，發(fā)展運(yùn)用數(shù)

學(xué)語言進(jìn)行交流的能力.

3.1.3情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)

(1)了解集合的包含、相等關(guān)系的含義，感受集合語言在描述客觀現(xiàn)實和數(shù)學(xué)問題中的意義.

（2）探索利用直觀圖示（Venn圖）理解抽象概念，體會數(shù)形結(jié)合的思想.

3.2教學(xué)實施美育的重點(diǎn)'難點(diǎn)及方法

3.2.1教學(xué)重點(diǎn)

幫助學(xué)生由具體到抽象地認(rèn)識集合與集合之間的關(guān)系一一子集；如何確定集合之間的關(guān)系.

3.2.2教學(xué)難點(diǎn)

集合關(guān)系與其特征性質(zhì)之間的關(guān)系.

3.2.3教學(xué)方法

在從實踐到理論，從具體到抽象，從特殊到一般的原則下，一方面注意利用生活實例，引入集

合的包含關(guān)系.從而形成子集、真子集、相等集合等概念.另一方面注意兒何直觀的應(yīng)用，即Venn

圖形象直觀地表示、理解集合的包含關(guān)系，子集、真子集、集合相等概念及有關(guān)性質(zhì).

3.3教學(xué)過程

3.3.1課堂引入的審美設(shè)計

思路1.投影展示：集合論的創(chuàng)立者數(shù)學(xué)家格奧爾格?康托爾的故事.

【設(shè)計意圖】從中讓學(xué)生初步感受到數(shù)學(xué)源于生活，集合就在我們身邊，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)中的

文化美.

思路2.實數(shù)有相等、大小關(guān)系，如5=5,5<7,5>3等等,類比實數(shù)之間的關(guān)系，你會想到集合之

間有什么關(guān)系呢？（讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不要急于作出判斷,而是繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生）

欲知誰正確,讓我們一起來觀察、研探.

思路3.復(fù)習(xí)已有知識：元素與集合的關(guān)系一一屬于與不屬于的關(guān)系，并完成填空XDON;

（2）2_Q;（3）-1.5—R.類比實數(shù)的大小關(guān)系,如5<7,2W2,試想集合間是否有類似的“大小”關(guān)

系呢1

【設(shè)計意圖】從學(xué)生已有的知識（元素與集合的關(guān)系）入手，體會數(shù)學(xué)邏輯結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一美；通過

類比生疑，引入本節(jié)課的主題，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中體會數(shù)學(xué)的類比美.

3.3.2集合間的基本關(guān)系概念形成的審美設(shè)計

分析示例：

示例1：考察下列三組集合，并說明兩集合內(nèi)存在怎樣的關(guān)系一

（1）A=｛1,2,3｝,B=｛1,2,3,4,5｝；

（2）A=｛新華中學(xué)高（一）6班的全體女生｝,B=｛新華中學(xué)高（一）6班的全體學(xué)生｝;

（3）C=｛x\x是兩條邊相等的三角形｝,D=｛x|*是等腰三角形｝.

1.子集：_

一般地，對于兩個集合4、B,如果4中任意一個元素都是8的元素，稱集合/是集合8的子集，

記作讀作：“力含于6”（或6包含4）.

2.集合相等：若A=且則4=8.

師生交流過程：

生：實例（1）、（2）的共同特點(diǎn)是｛的每一個元素都是8的元素；

師：具備（1）、（2）的兩個集合之間關(guān)系的稱力是6的子集，那么4是6的子集怎樣定義呢？學(xué)

生合作：討論歸納子集的共性；

生：C是。的子集，同時。是C的子集；

師：類似（3）的兩個集合稱為相等集合；

師生合作得出子集、相等兩概念的數(shù)學(xué)定義.

【設(shè)計意圖】通過實例的共性探究、感知子集、相等概念，通過歸納共性，形成子集、相等的概

念，初步了解子集、相等兩個概念.初步體會數(shù)學(xué)符號表示的簡潔美.

3.3.3集合間的基本關(guān)系概念深化的審美設(shè)計

示例2：考察下列各組集合，并指明兩集合的關(guān)系：

⑴1=Z,B=N；

(2)4={長方形},B={平行四邊形};

(3)A={x|x-3x+2=0},B={\,2}.

1.Venn圖

用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合.如果4工8,則Venn圖表示為:

2.真子集_

如果集合Aq8,但存在元素xe8,且x任用稱4是6的真子集，記作A&B(或B*A).

示例3.考察下列集合.并指出集合中的元素是什么？_

(1)A={(x,y)|x+y=2}.(2)B={x\x+1=0,xGR}.

(3)任何方程的解都能組成集合,那么x2+l=0的實數(shù)根也能組成集合,你能用Venn圖表示這個集

合嗎？

(4)一座房子內(nèi)沒有任何東西，我們稱為這座房子是空房子,那么一個集合沒有任何元素,應(yīng)該如

何命名呢？

3.空集：稱不含任何元素的集合為空集，記作0.規(guī)定：空集是任何集合的子集；空集是任何

非空集合的真子集.

師生交流過程：

示例2學(xué)生思考并回答

生：(1)A^B(2)AcB(3)4=6

師：進(jìn)一步考察(1),(2)

{的任意元素都在6中，而6中存在元素不在1中，具有這種關(guān)系時，稱4是6的真子集.

示例3學(xué)生思考并回答.

生：(1)直線石尸2上的所有點(diǎn)；(2)沒有元素；(3)方程x'+FO沒有實數(shù)解

(4)空集記為0,并規(guī)定:空集是任何集合的子集，即O0A;空集是任何非空集合的真子集，即0軍

A(AW0)

師：對于類似(2)的集合稱這樣的集合為空集.

師生合作歸納空集的定義.

【設(shè)計意圖】再次感知子集相等關(guān)系，加深對概念的理解，并利用韋恩圖從“形”的角度理解包

含關(guān)系，層層遞進(jìn)形成真子集、空集的概念，讓學(xué)生體會“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一美.通過對空集的研

討，讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉集合概念的內(nèi)涵與外延.在數(shù)學(xué)中，有許多的“數(shù)學(xué)規(guī)定”，有些數(shù)學(xué)規(guī)定是

為了運(yùn)算律在新的數(shù)系中仍然能夠保持；一些規(guī)定是為了研究的方便、有意義；還有一些規(guī)定是為了

整個數(shù)學(xué)系統(tǒng)的和諧.通過空集的引入，讓學(xué)生體會規(guī)定的合理性和必要性，這樣學(xué)生就會更容易理

解并從內(nèi)心接受這樣的規(guī)定，從而解除認(rèn)識上的困惑和障礙.

3.3.4集合間的基本關(guān)系能力提升的審美設(shè)計

一般結(jié)論：

①A=A.②若BjC,則A=C.③力=6oA=8,且B=

師生交流過程：

師：若aWa,類比A=A.

若aWb,bWc,則aWc類比.

若A=B,B=C,則A=C.

師生合作完成：

(1)對于集合兒顯然力中的任何元素都在4中，故A=A.

(2)已知集合同時8qC,即任意xG4nxe8nxeC,故A±C.

【設(shè)計意圖】將概念升華并進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)的類比美.

3.3.5集合間的基本關(guān)系應(yīng)用舉例的審美設(shè)計

圖1-1-2-5

變式訓(xùn)練：課本P：練習(xí)3.

點(diǎn)評：本題主要考查集合間的包含關(guān)系.其關(guān)鍵是首先明確兩集合中的元素具體是什么.

判斷兩個集合A、B之間是否有包含關(guān)系的步驟是：先明確集合A、B中的元素，再分析集合A、

B中的元素之間的關(guān)系,得:當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B時,有AcB;當(dāng)集合A中的元素都屬于集

合B,當(dāng)集合B中至少有一個元素不屬于集合A時，有A&B;當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B,并且集

合B中的元素也都屬于集合A時，有A=B;當(dāng)集合A中至少有一個元素不屬于集合B,并且集合B中至

少有一個元素也不屬于集合A時,有A&B,且B0A,即集合A、B互不包含.

問題3.已知集合A={T,3,2mT},集合B={3,m?}.若B=A,則實數(shù)m=.

活動：先讓學(xué)生思考BcA的含義,根據(jù)BcA,知集合B中的元素都屬于集合A,集合元素的互異

性，列出方程求實數(shù)m的值.因為B=A,所以3wA,meA.對療的值分類討論.

解：VBoA,/.SGA.m^A..\m2=-lgEm2=2m-l.解得m=l.

點(diǎn)評：本題主要考查集合和子集的概念，以及集合元素的互異性.本題容易出現(xiàn)痛=3,其原因是

忽視了集合元素的互異性.避免此類錯誤的方法是解得m的值后，再代入驗證.討論兩集合之間關(guān)系

時,通常依據(jù)相關(guān)的定義,觀察這兩個集合元素的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為解方程或解不等式.

【設(shè)計意圖】通過2個問題的設(shè)置，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用美，不僅解決數(shù)學(xué)本身的問題，更能解決

生活中的問題，體現(xiàn)“數(shù)學(xué)來源于生活”，又“服務(wù)于生活”的特點(diǎn)，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

3.3.6集合間的基本關(guān)系鞏固提高的審美設(shè)計

夯實基礎(chǔ)：

1.判斷正誤：

(1)空集沒有子集.()

(2)空集是任何一個集合的真子集.()

(3)任一集合必有兩個或兩個以上子集.()

(4)若BqA,那么凡不屬于集合A的元素，則必不屬于B.()

分析:關(guān)于判斷題應(yīng)確實把握好概念的實質(zhì).

解：該題的5個命題，只有(4)是正確的，其余全錯.

對于(1)、(2)來講，由規(guī)定:空集是任何一個集合的子集，且是任一非空集合的真子集.

對于(3)來講,可舉反例，空集這一個集合就只有自身一個子集.

對于(4)來講，當(dāng)xCB時必有xdA,則x《A時也必有x史B.

2.集合A={x|-l<x<3,xGZ},寫出A的真子集.

分析：區(qū)分子集與真子集的概念，空集是任一非空集合的真子集，一個含有n個元素的子集有2"

個,真子集有2'個,則該題先找該集合元素,后找真子集.

解:因-l<x<3,xGZ,故x=0,1,2,

即a={x|-l<x<3,xeZ}={0,1,2).

真子集：0、⑴、⑵、{0}、{0,1}、{0,2}、{1,2},共7個.

3.(1)下列命題正確的是()

A.無限集的真子集是有限集B.任何一個集合必定有兩個子集

C.自然數(shù)集是整數(shù)集的真子集D.{1}是質(zhì)數(shù)集的真子集

(2)以下五個式子中,錯誤的個數(shù)為()

①{1}丘{0,1,2)②{1,-3}={-3,1}③{0,1,2}<{1,0,2}④0G{0,1,2}⑤0G{0}

A.5B.2C.3D.4

(3)M={x[3<x<4},a=n,則下列關(guān)系正確的是()

A.a些MB.a定MC.{a}GMD.{a}&M

分析：(1)該題要在四個選擇肢中找到符合條件的選擇肢,必須對概念把握準(zhǔn)確，

無限集的真子集有可能是無限集，如N是R的真子集，排除A;由于。只有一個子集,即它本身,

排除B;由于1不是質(zhì)數(shù),排除D.

(2)該題涉及到的是元素與集合,集合與集合的關(guān)系.

①應(yīng)是{1}1{0,1,2},④應(yīng)是0q{O,1,2},⑤應(yīng)是0q{O}.

故錯誤的有①④⑤.

(3)M={x|3<x<4},a=w.

因3<a<4,故a是M的一個元素.

{a}是{x|3<x<4}的子集,那么{a}

答案：(DC(2)C(3)D

4.判斷如下集合A與B之間有怎樣的包含或相等關(guān)系：

(1)A={x[x=2k-l,kGZ},B={x|x=2m+1,mGZ};

(2)A={x|x=2m,mGZ},B={x|x=4n,n￡Z}.

解:(1)因A={x|x=2k-1,kGZ},B={x|x=2m+1,mGZ},故A、B都是由奇數(shù)構(gòu)成的，即A=B.

(2)因A={x|x=2m,mGZ},B={x|x=4n,nGZ),

又x=4n=2,2n,

在x=2m中，m可以取奇數(shù)，也可以取偶數(shù);而在x=4n中，2n只能是偶數(shù).

故集合A、B的元素都是偶數(shù).但B中元素是由A中部分元素構(gòu)成，則有B&A.

點(diǎn)評：此題是集合中較抽象的題目.要注意其元素的合理尋求.

5.已知集合P={x|X2+X-6=0},Q={xIax+l=0}滿足Q/P,求a所取的一切值.

解：因P={x，+x-6=0}={2,-3},

當(dāng)a=0時，Q={x|ax+l=O}=0,Q/P成立.

又當(dāng)a#0時,Q={x|ax+l=0}={--},要Q軍P成立，則有一，=2或一，=-3,a=-^■或a=2.

aaa23

綜上所述，a=0或a=-'或a=L.

23

點(diǎn)評：這類題目給的條件中含有字母，一般需分類討論.本題易漏掉a=0,ax+l=0無解，即Q為空

集的情況,而當(dāng)Q=0時，滿足Q&P.

6.已知集合A={xeR|X2-3X+4=0},B={X￡R|(X+1)(X2+3X-4)=0},要使A季P屋B,求滿足條件的集

合P.

解：由A={XGR|X2-3X+4=O}=0,

B={xGR|(x+1)(X2+3X-4)=0}={-1,1,-4),

由qB知集合P非空,且其元素全屬于B,即有滿足條件的集合P為

⑴或{T}或{-4}或{T,1}或{-1,-4}或{1,-4}或{T,1,-4}.

點(diǎn)評：要解決該題,必須確定滿足條件的集合P的元素,而做到這點(diǎn),必須明確A、B,充分把握子

集、真子集的概念,準(zhǔn)確化簡集合是解決問題的首要條件.

7.設(shè)人={0,l},B={x|xqA},則A與B應(yīng)具有何種關(guān)系？

解：因A={0,l},B={x|xqA},

故x為。為0},{1},{0,1},即{0,1}是B中一元素.故AWB.

點(diǎn)評：注意該題的特殊性,一集合是另一集合的元素.

8.集合A={x|-2WxW5},B={x|m+1WxW2mT},

(1)若BqA,求實數(shù)m的取值范圍；

(2)當(dāng)xCZ時1求A的非空真子集個數(shù)：

(3)當(dāng)xCR時,沒有元素x使xGA與xWB同時成立,求實數(shù)m的取值范圍.

解:(1)當(dāng)m+l>2m-l即m<2時,B=0滿足BqA.

當(dāng)m+lW2mT即m22時,要使BcA成立，

需4可得2WmW3.綜上所得實數(shù)m的取值范圍mW3.

m+1>5

⑵當(dāng)xGZ時,A={-2,-l,0,1,2,3,4,5},

所以，A的非空真子集個數(shù)為2上標(biāo)8-2=254.

(3),.'xSR,且A={x|-2WxW5),B={x|m+lWxW2mT},又沒有元素x使xGA與xGB同時成立.則

①若B￥0即m+l>2m-l,得m<2時滿足條件：

②_若BW0?,則要滿足條件有：<m+1<2m-1,或《fm+1<2/n-1,解之，得m>4,

m+1>5[2m-1<-2

綜上有m<2或m>4.

點(diǎn)評：此問題解決要注意，不要忽略0；找A中的元素：分類討論思想的運(yùn)用.

拓展提升：已知A=B,且A=C,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},滿足條件的集合A共有多少個？

活動：學(xué)生思考AqB,且AqC所表達(dá)的含義.A=B說明集合A是集合B的子集，即集合A中元

素屬于集合B,同理有集合A中元素屬于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素.

思路1：寫出由集合B和集合C的公共元素所組成的集合，得滿足條件的集合A：

思路2：分析題意,僅求滿足條件的集合A的個數(shù),轉(zhuǎn)化為求集合B和集合C的公共元素所組成

的集合的子集個數(shù).

解法一：因AqB,AqC,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},由止匕，滿足AqB,有：

0,{0},⑴，⑵，⑶，⑷，

{0,1},{0,2},{2,3},{2,4},{0,3},{0,4},{1,2},{1,3},{1,4},{3,4},{0,2,4},{0,1,2},{0,1,3

},{0,1,4},{1,2,3},{1,2,4},{2,3,4},{0,3,4},{0,1,2,3},{1,2,3,4},{0,1,3,4},{0,2,3},{1,3,4

},{0,1,2,4},{0,2,3,4},{0,1,2,3,4},共25=32(個).

又滿足AqC的集合A有：0,{0},{2},{4},{8},{0,2},{0,4},{0,8},⑵4},{2,8},{4,8},

(0,2,4},{0,2,8},{0,4,8}，⑵4,8},{0,2,4,8},共24=16(個).

其中同時滿足AGB.AGC的有8個：0,{0},{2},{4},{0,2},{0,4},{2,4},{0,2,4},實際上到

此就可看出，上述解法太繁.

解法二：題目只求集合A的個數(shù),而未讓說明A的具體元素,故可將問題等價轉(zhuǎn)化為B、C的公共

元素組成集合的子集數(shù)是多少，顯然公共元素有0、2.4,組成集合的子集有23=8(個).

點(diǎn)評：有關(guān)集合間關(guān)系的問題，常用分類討論的思想來解決；關(guān)于集合的子集個數(shù)的結(jié)論要熟練

掌握,其應(yīng)用非常廣泛.

(作者：孫洪昌山東省桓臺第一中學(xué))

《數(shù)學(xué)1》1.2.1函數(shù)的概念

1蘊(yùn)含的美

1.1概念的統(tǒng)一美.

函數(shù)的概念反映的是兩個非空數(shù)集之間的對應(yīng)，映射反映的是兩個非空集合之間的對應(yīng)，所以，

在集合論中，函數(shù)概念便可統(tǒng)一于映射的概念.

1.2與其它學(xué)科的統(tǒng)一美

初中，我們在定義函數(shù)的時候是用“運(yùn)動”的觀點(diǎn)，主要強(qiáng)調(diào)“在運(yùn)動變化中的兩個量”，可以

與物理中的運(yùn)動建立聯(lián)系.高斯在和W?威伯爾合作發(fā)明電報的過程中，做了許多關(guān)于磁的實驗工

作，提出了“力與距離的平方成反比例”這個重要的理論，使得函數(shù)作為數(shù)學(xué)的一個獨(dú)立分支而出

現(xiàn)，并促使人們對函數(shù)的定義進(jìn)一步研究.另外，函數(shù)的科學(xué)定義極大的促進(jìn)了偏微分方程理論的

建立.

1.3簡潔美

愛因斯坦說過：“美，本質(zhì)上終究是簡單性函數(shù)概念就體現(xiàn)了簡潔美，“函數(shù)就是一種對應(yīng)關(guān)

系”，一句話道出了函數(shù)的本質(zhì)，它的符號語言“『『(*),xdA.”一個簡單的式子就概括了函數(shù)的

三要素：x代表自變量，y代表函數(shù)值，f代表對應(yīng)法則，A是函數(shù)的定義域.

1.4對稱美

函數(shù)概念的符號表示“y=f(x),”在形式表達(dá)上具有對稱美，f(x)不代表f與x的乘積，f代表

對應(yīng)法則，它的左邊是y,右邊是x,一個x對應(yīng)一個y.從函數(shù)概念的集合語言表示來看，集合A、

B也具有對稱性.

1.5數(shù)學(xué)創(chuàng)新美

函數(shù)的概念經(jīng)歷了“幾何觀念下的函數(shù)”、“代數(shù)觀念下的函數(shù)”、“對應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)”、“集合

論下的函數(shù)”，經(jīng)過三百多年的錘煉、變革，形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義形式，但這并不意味著函數(shù)概

念發(fā)展的歷史終結(jié)，20世紀(jì)40年代，物理學(xué)研究的需要發(fā)現(xiàn)了一種叫做Dirac—3函數(shù)，它只在一

點(diǎn)處不為零，而它在全直線上的積分卻等于1,這在原來的函數(shù)和積分的定義下是不可思議的，但由

于廣義函數(shù)概念的引入，把函數(shù)、測度及以上所述的Dirac—6函數(shù)等概念統(tǒng)一了起來.因此，隨著

以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的其他學(xué)科的發(fā)展，函數(shù)的概念還會繼續(xù)擴(kuò)展.

1.6數(shù)學(xué)文化美

函數(shù)概念是全部數(shù)學(xué)概念中最重要的概念之一，縱觀300年來函數(shù)概念的發(fā)展，眾多數(shù)學(xué)家從

幾何、代數(shù)、直至對應(yīng)、集合的角度不斷賦予函數(shù)概念以新的思想，從而推動了整個數(shù)學(xué)的發(fā)展.可

介紹與函數(shù)概念發(fā)展關(guān)系比較密切的萊布尼茨、羅巴切夫斯基、狄利克雷等數(shù)學(xué)家的故事.

2師生素養(yǎng)

2.1教師的素養(yǎng)

數(shù)學(xué)教師要具備的第一個美學(xué)素養(yǎng)是把“函數(shù)的概念”作為審美對象，把握住函數(shù)概念的本質(zhì)，

分析《函數(shù)的概念》一節(jié)中潛在的美學(xué)因素，并一一羅列.

數(shù)學(xué)教師要具備的第二個美育素養(yǎng)是把《函數(shù)的概念》中美的因素在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中展示出

來.可以分這樣三個階段進(jìn)行：

第一、教師將數(shù)學(xué)中的美的因素進(jìn)行重組與演化

課堂教學(xué)時間軸：課前準(zhǔn)備一問題引入，回顧初中函數(shù)的概念一歸納函數(shù)的定義一知識鏈接一

學(xué)生練習(xí).

按照課堂教學(xué)的時間順序?qū)⑸鲜雒赖囊蛩刂亟M：1.5數(shù)學(xué)文化美(課前準(zhǔn)備)一1.4函數(shù)概念的

創(chuàng)新美(問題引入)一1.2函數(shù)概念的簡潔美一1.3函數(shù)概念的對稱美一1.1統(tǒng)一美(知識鏈接).

第二、教師發(fā)揮自己的創(chuàng)造性處理教學(xué)內(nèi)容，把數(shù)學(xué)美反映出來.

1.數(shù)學(xué)文化：

(1)插入數(shù)學(xué)家的故事，增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣

(2)設(shè)計問題，引導(dǎo)學(xué)生主動了解函數(shù)概念的發(fā)展歷程.

2.函數(shù)的概念：

(1)設(shè)計學(xué)生活動，讓學(xué)生展示課前搜集到的相關(guān)實例

(2)鼓勵學(xué)生對實例進(jìn)行分析、歸納，找出變量之間的關(guān)系的共同點(diǎn).

3.歸納定義：

(1)了解簡潔美，以問題串的形式，引導(dǎo)學(xué)生歸納函數(shù)定義的文字表達(dá)及符號表示

(2)針對符號表示“y=f(x),”分析式子的含義及蘊(yùn)含的對稱美.

4.知識鏈接

函數(shù)概念與其它學(xué)科知識的統(tǒng)一美.

2.2學(xué)生的素養(yǎng)

2.2.1動手能力

學(xué)生搜集能夠反映變量之間依賴關(guān)系的生活實例，并根據(jù)要求繪制表格、圖像.

2.2.2邏輯思維能力

在制表、繪圖的過程中體會兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

2.2.3數(shù)學(xué)美的直覺

函數(shù)概念的歸納、升華以及符號表示，都依賴學(xué)生對數(shù)學(xué)美的敏感性，以便在今后的學(xué)習(xí)中進(jìn)

一步發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念、公式、圖形中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)美.

3審美設(shè)計

3.1數(shù)學(xué)文化美的審美設(shè)計(課前準(zhǔn)備)

發(fā)給學(xué)生如下資料：

數(shù)學(xué)故事1：萊布尼茨關(guān)于函數(shù)概念的描述

數(shù)學(xué)故事2：狄利克雷關(guān)于函數(shù)概念的描述.

問題1：同學(xué)們，你們能告訴函數(shù)的概念在形成過程中經(jīng)歷了哪些階段嗎？

問題2：通過與偉大數(shù)學(xué)家的“對話”，你能知道為什么叫“函數(shù)”嗎？

問題3：函數(shù)在現(xiàn)實生活中有哪些具體應(yīng)用？

結(jié)合本章卷首語，請你查找函數(shù)概念發(fā)展過程中的相關(guān)資料.

【設(shè)計意圖】兩個數(shù)學(xué)故事拓展數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)審美意識.通過三個問題串引領(lǐng)思考，展示審

美實踐價值，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)美、感受美、體驗美的過程.

3.2函數(shù)概念的審美設(shè)計

3.2.1回顧初中所學(xué)

同學(xué)們，在初中，我們曾經(jīng)初步學(xué)過函數(shù)的定義……首先我們來回顧一下這些基本知識：(根

據(jù)所教學(xué)生情況，引導(dǎo)學(xué)生回答)

在一個變化過程中，有兩個變量x和y,對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與之對應(yīng)，

此時y是x的函數(shù)，x是自變量，y是因變量.表示方法有：解析法、列表法、圖象法.正方形的面

積與它的邊長存在確定的依賴關(guān)系，那么它們的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？(是)

那么再請同學(xué)們思考下面兩個問題：

問題一：y=l(x￡R)是函數(shù)嗎？

2

問題二：y=x與y=2是同一個函數(shù)嗎？

顯然，初中定義太籠統(tǒng)，是一種描述性定義，使用上會產(chǎn)生一些不夠明確的問題.所以，僅用

初中對函數(shù)概念的理解很難回答這些問題，因此，需要從新的高度來認(rèn)識函數(shù)概念.從這節(jié)課開始，

我們就來更深入地探究函數(shù)……

提出審美要求：

1.通過回顧初中函數(shù)的概念，你發(fā)現(xiàn)它的本質(zhì)是什么？

2.如何根據(jù)初中函數(shù)的概念來解決問題一、問題二？是否感覺到了局限性，是否需要對函數(shù)的

概念進(jìn)行拓展？

【設(shè)計意圖】通過回顧初中函數(shù)的概念以及設(shè)置的問題，讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)的概念是不斷發(fā)展、

完善的，從而體會數(shù)學(xué)的創(chuàng)新美

3.2.2展示生活實例

【實例1】一枚炮彈發(fā)射，經(jīng)26秒后落地?fù)糁心繕?biāo)，炮彈的射高為845米，且炮彈距地面高度

h（米）與時間t（秒）的變化規(guī)律是/?=130f—5/；

【實例2】近幾十年，大氣層中臭氧迅速減少，因而出現(xiàn)臭氧層空洞問題，圖中曲線是南極上空

臭氧層空洞面積從1979——2001年的變化情況；

［實例3］國際上常用恩格爾系數(shù)（食物支出金額+總支出金額）反映一個國家人民生活質(zhì)量

的高低恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高.“八五”計劃以來我們城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)變化情況如下

表.

表1-1“八五”計劃以來我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況

提出審美要求：

1.通過三個生活實例，借助“解析式”、“圖像”、“圖表”，你能用數(shù)學(xué)語言描述所涉及的變量之

間的關(guān)系嗎？

2.通過分析、歸納這三個實例，你能找到變量之間關(guān)系的共同點(diǎn)嗎？

3.你能用集合與對應(yīng)的語言來刻畫變量之間的關(guān)系嗎？

【實例1】的變量及變化范圍分別是：t的變化范圍是數(shù)集A={t|0〈tW26}；h的變化范圍是數(shù)

集B={h|0WhW845}.

【實例2】的變量及變化范圍分別是：t的變化范圍是數(shù)集A={t|1979WtW2001}；S的變化范

圍是數(shù)集B={S|0WSW26}.

【實例3】t的變化范圍是數(shù)集A={1991,1992,……，2001}；恩格爾系數(shù)變化范圍是數(shù)集B

={53.8,52.9,....,39.2,37.9}.

兩個變量之間存在的對應(yīng)關(guān)系的共同點(diǎn)為：

三個實例變量之間的關(guān)系都可以描述為，對于數(shù)集/中的每一個x,按照某種對應(yīng)關(guān)系￡在數(shù)

集8中都與唯一確定的y和它對應(yīng)……

【設(shè)計意圖】展示生活實例環(huán)節(jié)的設(shè)計，讓學(xué)生動手畫圖、制表，培養(yǎng)創(chuàng)造美，啟迪美的直覺.提

出審美要求，引導(dǎo)學(xué)生尋找規(guī)律發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美.

3.3函數(shù)概念生成的審美設(shè)計

通過學(xué)生自主探究、小組合作，教師完善，得到函數(shù)的概念：

設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在

集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A-B為從集合A到集合B的一個函數(shù)

(function).記作：y=f{x},xJA.

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域(domain)；與x的值相對應(yīng)的y值叫

做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|xGA}叫做函數(shù)的值域(range).

【點(diǎn)評】①“y=f(x)”是函數(shù)符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x點(diǎn)；

②函數(shù)符號“y=f(x)”中的f(x)表示與x對應(yīng)的函數(shù)值，而不是f乘x.

【設(shè)計意圖】通過歸納、總結(jié)生成函數(shù)的概念，從中體會數(shù)學(xué)的語言美、準(zhǔn)確美，感受函數(shù)概

念的簡潔美，讓學(xué)生更加喜愛數(shù)學(xué).

3.3.1與函數(shù)有關(guān)的其它知識

1.構(gòu)成函數(shù)的三要素是什么？定義域、對應(yīng)法則和值域

2.初中學(xué)過哪些函數(shù)？它們的定義域、值域、對應(yīng)法則分別是什么？

,k

通過三個已知的函數(shù)：y=ax+b(aWO)y^ax+br<-c(aWO)片一(AWO)

x

一次函數(shù)f(x)=ax+6(a￥0)的定義域是圾，值域也是圾.對于R中的任意一個數(shù)x,在R中

都有一個數(shù)f(x)=ax+6(a￥0)和它對應(yīng).反比例函數(shù)/'(*)="(20)的定義域是1={*1a0},

x

k

值域是B="(x)|Ax)云0},對于A中的任意一個實數(shù)x,在B中都有一個實數(shù)f(x)=-(4W0)

X

和它對應(yīng).二次函數(shù)f{x)=ax+bx+c(aWO)的定義域是R,值域是當(dāng)a>0HjB=[f{x)\f(x)

—h"—/f

—}:當(dāng)a<0時-，B={f(x)"(x)—},它使得R中的任意一個數(shù)x與8中的數(shù)f(x)

4a4a

=@/+"+<?(@#0)對應(yīng).

3.函數(shù)概念用集合、對應(yīng)的語言敘述后，我們就很容易回答前面所提出的兩個問題：

(1)N=l(xCR)是函數(shù)，因為對于實數(shù)集R中的任何一個數(shù)x,按照對應(yīng)關(guān)系“函數(shù)值是1”，

在R中y都有惟一確定的值1與它對應(yīng)，所以說y是x的函數(shù).

(2)?=x與y=:不是同一個函數(shù)，因為盡管它們的對應(yīng)關(guān)系一樣，但y=x的定義域是R,

/x

而的定義域是{x|xW0},所以尸x與尸二不是同一一個函數(shù).

【小結(jié)】①函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集上的一種對應(yīng).

②符號“E4-8”表示4到B的一個函數(shù)，它有三個要素；定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系，三者缺

一不可.判定兩個函數(shù)是否相同，就看其定義域或?qū)?yīng)關(guān)系是否完全一致，完全一致時，這兩個函

數(shù)就相同；不完全一致時，這兩個函數(shù)就不同.

③集合A中數(shù)的任意性，集合B中數(shù)的惟一性.

④f表示對應(yīng)關(guān)系，在不同的函數(shù)中，f的具體含義不一樣.

⑤f(x)是一個符號，絕對不能理解為f與x的乘積.在研究函數(shù)時，除用符號f(x)表示函數(shù)

外，還常用g(x)、F(x)、G(x)等符號來表示.

由上可以看出，表示函數(shù)的定義域、值域要用到集合，但有時集合用起來較繁瑣，所以常會用

到表示數(shù)的范圍的另外一個數(shù)學(xué)工具一一區(qū)間：

區(qū)間的概念：設(shè)a、b是兩個實數(shù)，且a<b,則：{x|aWxWb}=[a,b]叫閉區(qū)間；{x[a<x<b}

=(a,b)叫開區(qū)間;{x|aWx<b}=[a,b)：{x[a<xWb}=(a,b]；都叫半開半閉區(qū)間.

各種區(qū)間如下：

賓區(qū)麴麟表.

［較謂］

設(shè);II耀塔靄戔窿0,耳

如［播父氟<駕珊區(qū)聞

《然您■菽g、飛

《第II蟆”寫<翁作事帝警I?區(qū)閻[?國螺領(lǐng)"《

除豚眼就噬舞..L---］____

向成！洲氯

由就||就抄琳,帆十嘮3-L4

軸］第>善成輛計嘮,i*s，

阿富區(qū)那吟司—十■*密

彳篇［T￡<邳C-嚶做i-*?

麟匐史.<{■《一叫----------------------小第

【點(diǎn)評】符號：“8”讀“無窮大”；“一8”讀“負(fù)無窮大”；“+8”讀“正無窮大”.區(qū)間的分

類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間.

【設(shè)計意圖】通過相關(guān)知識的學(xué)習(xí)，加深對函數(shù)概念本質(zhì)的理解與把握，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用美.

3.3.2知識鏈接

問題：由函數(shù)的概念可以聯(lián)想到數(shù)學(xué)中哪些相關(guān)概念？

聯(lián)想1：象與原象的概念

聯(lián)想2：映射的概念

映射：設(shè)A,B是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則f,對于集合A中的任何一個元素，在集合

B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)(包括集合A、B以及A到B的對應(yīng)法則f)叫做集合A

到集合B的映射.記作：

象、原象：給定一個集合A到集合B的映射，且如果元素。和元素力對應(yīng)，則元

素人叫做元素。的皇，元素。叫做元素力的原象.

映射定義的分所：

1.映射三要素：集合A、集合B、對應(yīng)法則f.

2.映射的性質(zhì)：

①任意性：映射中的兩個集合A,B可以是數(shù)集、點(diǎn)集或由圖形組成的集合等；

②有序性：映射是有方向的，A到B的映射與B到A的映射往往不是同一個映射；

③存在性：映射中集合A的每一個元素在集合B中都有它的象；

④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；

⑤封閉性：映射中集合A的任一元素的象都必須是B中的元素，不要求B中的每一個元素都有

原象，即A中元素的象集是B的子集.

【設(shè)計意圖】將函數(shù)的概念進(jìn)行拓展、延伸，統(tǒng)一到其它知識中，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美.

3.4函數(shù)概念應(yīng)用的審美設(shè)計

問題1：已知函數(shù)f(x)=77+3+」一

x+2

(1)求函數(shù)的定義域；

2

(2)求/(—3),f(一)的值;

3

(3)當(dāng)a>0時，求/'(a)的值.

【分析】函數(shù)的定義域通常由問題的實際背景確定，如前所述的三個實例.如果只給出解析式

y=f(x),而沒有指明它的定義域，那么函數(shù)的定義域就是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合.

【解析】⑴{::貶oCox2-3且xw2

所以，所求函數(shù)的定義域為：［-3,2)u(2,+oo)

/(-3)=J—3+3+—!—=-1

-3+2

(3)/(a)=Ja+3H-----

a+2

f(a-1)=Ja-1+3H---------=da+2H------

a—1+2a+1

【拓展】⑴可讓學(xué)生再通過求/(2x+l)；(2)已知：/(》-1)=/求人》)，進(jìn)一步理解f(x)

的本質(zhì)含義.

【點(diǎn)評】

1.’函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式.

2.引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)幾類函數(shù)的定義域：

(1)如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R.

(2)如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)的集合.

(3)如果f(x)是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零的實數(shù)的集合.

(4)如果f(x)是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的

實數(shù)集合.(即求各集合的交集)

(5)滿足實際問題有意義.

問題2：下列函數(shù)中哪個與函數(shù)y=x相等？

______2

(1)y=(Vx)2;(2)y=(V?)；(3)y=7?；(4)T=—

x

【分析】根據(jù)決定函數(shù)的三要素來判定即可，但由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，

如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相同……

【解析】(l)y=(石￥與函數(shù)y=x的定義域不同，所以這個函數(shù)與函數(shù)y=x不相等.

(2)y=(")=x與函數(shù)y=x的定義域及對應(yīng)關(guān)系均相同，故這個函數(shù)與函數(shù)y=x相等.

,—x,x>0

(3)y=Vx2={-x.x<0與函數(shù)y=x的對應(yīng)關(guān)系不同，所以這個函數(shù)與函數(shù)y=x不相等.

X9

(4)y=—=x(xwO)與函數(shù)y=x的定義域不同，所以這個函數(shù)與函數(shù)y=x不相等.

x

【點(diǎn)評】①構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決

定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等.(或為同一函數(shù))

②兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母

無關(guān).

問題3：判斷下列兩個對應(yīng)是否是集合A到集合B的映射？

(1)集合A={P|P是數(shù)軸上的點(diǎn)},集合B=R,對應(yīng)關(guān)系f：數(shù)軸上的點(diǎn)與它所代表的實數(shù)對應(yīng)；

(2)集合A={P|P是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)},集合B={(x,y)|xeR,”R),對應(yīng)關(guān)系f：平面直角坐標(biāo)系

中的點(diǎn)與它的坐標(biāo)對應(yīng)；

(3)集合A={x|x是三角形},集合B={x|x是圓},對應(yīng)關(guān)系f:每一個三角形都對應(yīng)它的內(nèi)切

圓；

(4)集合A={x|x是新華中學(xué)的班級},集合B={x|x是新華中學(xué)的學(xué)生},對應(yīng)關(guān)系f:每一個班

級都對應(yīng)班里的學(xué)生.

【分析】利用映射的定義來直接判斷即可……

【解析】(1)、(2)、(3)都是從集合A到集合B的映射，(4)新華中學(xué)的班級對應(yīng)的學(xué)生不止

一個，所以不是映射.

【點(diǎn)評】此題的主要目的是考查學(xué)生對映射定義的理解是否準(zhǔn)確.

【設(shè)計意圖】通過具體問題的解決與拓展，讓學(xué)生在實際應(yīng)用中體會函數(shù)概念的簡潔美.

3.5函數(shù)概念鞏固提高的審美設(shè)計

1.下列各組函數(shù)中哪組是同一函數(shù)

(A)y=x-l,xwN與y=x-l,xeZ(B)y=2x+lVy=2r+l

(C)y=Jx+l,Jx-l與y1(D)y-與y=(五)？

2.下列給出的對應(yīng)哪一個是集合A到集合B的映射？

(A)設(shè)人={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7,8,9),對應(yīng)法則2x+l

(B)設(shè)4=^^,3={-1,0,1},對應(yīng)法則fx除以2得的余數(shù)

(C)A-{1,2,3}>B={-L—V2>-的平方根

(D)設(shè)X=[0,1,2,3,4},丫={,；,；}x取倒數(shù)

3.已知函數(shù)/*)