復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上的多項式一、C上多項式對于上的多項式，它在F上未必有根，那么它在C上是否有根？

每一個次數(shù)大于零的多項式在復(fù)數(shù)域上至多有一個根。定理1.8.1（代數(shù)基本定理）：

任何n（n>0）次多項式在C上有n個根（重根按重數(shù)計算）。定理1.8.2：當(dāng)n=1時結(jié)論顯然成立。證：假設(shè)結(jié)論對n-1次多項式成立，則當(dāng)是n次多項式時，由于在C上至少有一個根，設(shè)為則，是C上n-1次多項式。由歸納假設(shè)知在C上有n-1個根，

推論1：復(fù)數(shù)域上任一個次數(shù)大于1的多項式都是可約的，即C上不可約多項式只能是一次多項式。推論2：任一個n（n>0）次多項式在在C上的根，所以n個根。它們也是在C上有上都能分解成一次因式的乘積，即的標(biāo)準(zhǔn)分解式是：其中是不同的復(fù)數(shù)，是自然數(shù)且韋達定理：設(shè)是的兩個根，則C上多項式的根與系數(shù)關(guān)系：設(shè)—（1）是一個n（n>0）次多項式，則它在C中有n個根，記—（2）比較（1）與（2）的展開式中同次項的系數(shù)，則為得根與系數(shù)的關(guān)系為：如果根與系數(shù)的關(guān)系又如何？利用根與系數(shù)的關(guān)系，可以構(gòu)造一個n次多項式，使其恰以為根。例1.8.1：它以1和4為單根，-2為2重根。求一個首項系數(shù)為1的4次多項式，使解：設(shè)則二、實數(shù)域上的多項式定理1.8.3：如果是實數(shù)系數(shù)多項式的與有相同的重數(shù)。證：設(shè)由于是的根，故有兩邊取共軛復(fù)數(shù)，注意到和0都是實數(shù)，則有可見也是的根。非實復(fù)根，則的共軛復(fù)數(shù)也是的根，且因此多項式：能整除，即存在多項式，使是實系數(shù)多項式，故也是實系數(shù)多項式。若是的重根，由于，故必是的根，是實系數(shù)，故也是的根，故也是的重根。與重復(fù)應(yīng)用這個推理方法知的重數(shù)相同。唯一地分解為實系數(shù)一次和二次不可約多項式的定理1.8.4

每個次數(shù)的實系數(shù)多項式都可乘積。就是一次因式子，結(jié)論成立。若，證明：的次數(shù)作數(shù)學(xué)歸納。對假設(shè)對結(jié)論次數(shù)<n的多項式結(jié)論成立，現(xiàn)考慮，由代數(shù)基本定理，有一復(fù)根。若為實數(shù)則，其中不為實數(shù)，則若也是的復(fù)根，于是設(shè)，則是一個二次實系數(shù)不可約多項式，且不可約多項式的乘積，故結(jié)論成立。由歸納假設(shè)知可分解成一次因式與二次。即在上，推論3中不可約多項式除一次多項式外，只有含非實共軛復(fù)根的二次多項式。推論4n（n>0）次實系數(shù)多項式具有標(biāo)準(zhǔn)分解式：不可約，即滿