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傅立葉級(jí)數(shù)**一問(wèn)題的提出非正弦周期函數(shù):矩形波不同頻率正弦波逐個(gè)疊加************由以上可以看到：一個(gè)比較復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)可以看作是許多不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加**二三角級(jí)數(shù)三角函數(shù)系的正交性1.三角級(jí)數(shù)(Trigonometricseries)引例中的簡(jiǎn)諧振動(dòng)函數(shù)（1）**即:由三角函數(shù)組成的函項(xiàng)級(jí)數(shù)成為三角級(jí)數(shù)則(1)式右端的級(jí)數(shù)可改寫(xiě)為(2)得到行如(2)式的級(jí)數(shù)稱為三角級(jí)數(shù)**2三角函數(shù)系的正交性(1)三角函數(shù)系即i)**ii)iii)**三函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)問(wèn)題1.若能展開(kāi),是什么?2.展開(kāi)的條件是什么?1.傅里葉系數(shù)**可得**可得可得**從而得到傅里葉系數(shù)**把以上得到的系數(shù)代入三角級(jí)數(shù)問(wèn)題:該級(jí)數(shù)稱為傅里葉級(jí)數(shù)**2.定理(收斂定理,狄利克雷(Dirichlet)充分條件)**注函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)的條件比展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的條件低的多.解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.**和函數(shù)圖象為**所求函數(shù)的傅氏展開(kāi)式為**注(一)對(duì)于非周期函數(shù),如果函數(shù)

只在區(qū)間

上有定義,并且滿足狄立克雷充分條件,也可展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù).作法:**解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.

拓廣的周期函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)式在收斂于

.****所求函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為**推廣:利用傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式求出幾個(gè)特殊級(jí)數(shù)的和****正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)

(Sineseriesandcosineseries)

一般說(shuō)來(lái),一個(gè)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)既含有正弦項(xiàng),又含有余弦項(xiàng).但是,也有一些函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)只含有正弦項(xiàng)或者只含有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng).1.定理設(shè)是周期為的函數(shù),且可積,則**證明**同理可證(2)2.定義定理證畢.**解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.**和函數(shù)圖象****解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件,在整個(gè)數(shù)軸上連續(xù).******非周期函數(shù)的周期性開(kāi)拓則有如下兩種情況注(二)**1.奇延拓**2.偶延拓**解(1)求正弦級(jí)數(shù).****(2)求余弦級(jí)數(shù)**1.基本概念三角級(jí)數(shù)及其正交性,傅立葉系數(shù),傅立葉級(jí)數(shù),周期延拓,奇、偶延拓,正弦級(jí)數(shù),余弦級(jí)數(shù)；2.函數(shù)展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)定理狄利克雷