2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角2.4平面向量的數(shù)量積

2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

文縣一中金永康

2017-4-24復(fù)習(xí)舊知1.什么叫做向量？兩個(gè)非零向量a與b的夾角是怎么定義的？既有大小，又有方向的量叫做向量。復(fù)習(xí)舊知2.向量a與b的數(shù)量積的定義是什么？a·b=|a||b|cosθ.其中θ為向量a與b的夾角復(fù)習(xí)舊知3.向量共線的充要條件是什么？a∥b

4.向量的數(shù)量積具有哪些運(yùn)算性質(zhì)？

（1）a⊥b

a·b＝0(a≠0，b≠0)；（2）a2＝︱a︱2；（3）a·b＝b·a；（4）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；（5）(a＋b)·c＝a·c＋b·c；（6）︱a·b︱≤︱a︱︱b︱.5.平面向量的表示方法有幾何法和坐標(biāo)法，向量的表示形式不同，對其運(yùn)算的表示方式也會(huì)改變.向量的坐標(biāo)表示，對向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算帶來了很大的方便.若已知向量a與b的坐標(biāo)，則其數(shù)量積是唯一確定的，因此，如何用坐標(biāo)表示向量的數(shù)量積就成為我們需要研究的課題.平面向量數(shù)量積的探究（一）：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

思考1：設(shè)i、j是分別與x軸、y軸同向的兩個(gè)單位向量，若兩個(gè)非零向量a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，則向量a與b用i、j分別如何表示？a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.思考2：對于上述向量i、j，則i2，j2，i·j分別等于什么？i2=1，j2=1，i·j=0.思考3：根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，a·b等于什么？結(jié)論：若a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2，這就是平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.你能用文字描述這一結(jié)論嗎？a·b＝x1x2＋y1y2

兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.探究（二）：向量的模和夾角的坐標(biāo)表示

思考1：設(shè)向量a＝(x，y)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，︱a︱等于什么？思考2：如果表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1),(x2，y2)，那么向量a的坐標(biāo)如何表示？︱a︱等于什么？

︱a︱a＝(x2－x1，y2－y1)；︱a︱＝

思考3：設(shè)向量a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，若a⊥b，則x1，y1，x2，y2之間的關(guān)系如何？反之成立嗎？

思考4：設(shè)a、b是兩個(gè)非零向量，其夾角為θ，若a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，那么cosθ如何用坐標(biāo)表示？

a⊥b

x1x2＋y1y2＝0.

例1已知向量a＝(5，-7)，b＝(-6，-

4)，求a·b及向量a與b的夾角θ（精確到1°）.理論遷移cosθ≈－0.03，θ≈92°.例2已知點(diǎn)A（1，2）,B（2，3）,C(－2，5)，試判斷△ABC的形狀，并給出證明.思維拓展△ABC是直角三角形

小結(jié)作業(yè)2.若非零向量a

與b的夾角為銳角（鈍角），則a·b＞0（＜0），反之不成立.

1.a∥b

a⊥b

二者有著本質(zhì)區(qū)別.

3.向量的坐標(biāo)運(yùn)算溝通了向量與解析幾