專題07解一元二次方程一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程是一元二次方程。一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式為：。其中是二次項，是二次項系數(shù)；是一次項，是一次項系數(shù)；為常數(shù)項。一元二次方程的解：使一元二次方程左右兩邊成立的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，又叫做一元二次方程的根。直接開方法解一元二次方程：適用形式：或或（均大于等于0）①時，方程的解為：。②時，方程的解為：。③時，方程的解為：。配方法解一元二次方程：運用公式：。具體步驟：①化簡——將方程化為一般形式并把二次項系數(shù)化為1。②移項——把常數(shù)項移到等號右邊。③配方——兩邊均加上一次項系數(shù)一半的平方。④開方——整理式子，利用完全平方式開方降次得到兩個一元一次方程。⑤解一元一次方程即得到一元二次方程的根。即：∴若，則即可求得兩根。公式法解一元二次方程：根的判別式：由配方法可知，即為一元二次方程根的判別式。用表示。①方程有兩個不相等的實數(shù)根。②方程有兩個相等的實數(shù)根。③方程沒有實數(shù)根。求根公式：當(dāng)時，則一元二次方程可以用來求出它的兩個根，這就是一元二次方程的求根公式。①時，一元二次方程的兩根為。②時，一元二次方程的兩根為。③時，方程沒有實數(shù)根。因式分解法求一元二次方程：利用因式分解的手段將一元二次方程化為的形式，再利用來求解二元一次方程。1．（2024·廣西桂林·二模）解一元二次方程：．2．（2024·甘肅·模擬預(yù)測）解方程：．3．（2022·黑龍江齊齊哈爾·一模）解方程：4．（2024·廣東東莞·一模）解答題：．5．（2024·陜西西安·二模）解方程：．6．（2024·陜西寶雞·一模）解方程：．7．（2024·陜西西安·三模）解方程：．8．（2024·山西大同·二模）解方程：．9．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）解方程：．10．（2024·安徽合肥·二模）解一元二次方程．11．（2024·廣東中山·二模）解一元二次方程12．（2024·江蘇鹽城·三模）解方程：13．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）解方程：．14．（2024·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測）解方程：15．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）解方程：16．（2024·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測）解方程：．17．（2024·四川眉山·模擬預(yù)測）解方程：18．（2024·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測）解方程：；19．（2024·安徽合肥·三模）解方程：．20．（2024·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測）解方程：．21．（2024·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測）解方程：．22．（2024·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測）解一元二次方程：；23．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）用因式分解法解方程：．24．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）解方程：．25．（2024·山西大同·二模）（1）計算：；（2）解方程：．26．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）（1）計算：（2）解方程：27．（2024·遼寧葫蘆島·二模）計算：(1)計算：；(2)解方程．28．（2024·福建寧德·一模）解方程：；29．（2024·新疆阿克蘇·模擬預(yù)測）（1）計算：；（2）解方程：．30．（2024·四川廣元·一模）選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)(2)31．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）（1）計算：；（2）解方程：．32．（2024·貴州黔東南·模擬預(yù)測）（1）計算：；（2）從下列三個方程中任選一個方程，并解這個方程．①；②；③33．（2024·甘肅武威·二模）（1）計算：（2）解方程：34．（2024·山西·模擬預(yù)測）（1）計算：；（2）解方程：．35．（2024·遼寧撫順·二模）解方程(1)（配方法）(2)（公式法）36．（2024·云南怒江·一模）解方程：(1)；(2)．37．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測）解下列方程：(1)；(2)38．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測）解方程：(1)；(2)．39．（2024·四川廣元·一模）選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)；(2)．40．（2024·湖北隨州·二模）解方程：(1)(2)41．（2024·遼寧大連·一模）（1）計算：；（2）解方程：．42．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測）（1）化簡：．（2）解方程：．43．（2024·遼寧遼陽·模擬預(yù)測）（1）計算：；（2）解方程：．44．（2024·廣東深圳·一模）（1）計算：；（2）解方程：；（3）解方程：．45．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）（1）解方程：（2）計算：.46．（2024·甘肅天水·三模）（1）計算：．（2）解方程：．47．（2024·遼寧·二模）（1）計算：；（2）解方程：．48．（2024·四川涼山·模擬預(yù)測）解方程：(1)(2)49．（2024·湖南郴州·模擬預(yù)測）解方程：(1)(2)50．（2024·云南曲靖·一模）解下列方程：(1)；(2)；(3)．專題07解一元二次方程一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程是一元二次方程。一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式為：。其中是二次項，是二次項系數(shù)；是一次項，是一次項系數(shù)；為常數(shù)項。一元二次方程的解：使一元二次方程左右兩邊成立的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，又叫做一元二次方程的根。直接開方法解一元二次方程：適用形式：或或（均大于等于0）①時，方程的解為：。②時，方程的解為：。③時，方程的解為：。配方法解一元二次方程：運用公式：。具體步驟：①化簡——將方程化為一般形式并把二次項系數(shù)化為1。②移項——把常數(shù)項移到等號右邊。③配方——兩邊均加上一次項系數(shù)一半的平方。④開方——整理式子，利用完全平方式開方降次得到兩個一元一次方程。⑤解一元一次方程即得到一元二次方程的根。即：∴若，則即可求得兩根。公式法解一元二次方程：根的判別式：由配方法可知，即為一元二次方程根的判別式。用表示。①方程有兩個不相等的實數(shù)根。②方程有兩個相等的實數(shù)根。③方程沒有實數(shù)根。求根公式：當(dāng)時，則一元二次方程可以用來求出它的兩個根，這就是一元二次方程的求根公式。①時，一元二次方程的兩根為。②時，一元二次方程的兩根為。③時，方程沒有實數(shù)根。因式分解法求一元二次方程：利用因式分解的手段將一元二次方程化為的形式，再利用來求解二元一次方程。1．（2024·廣西桂林·二模）解一元二次方程：．【答案】【分析】本題主要考查了解一元二次方程，掌握運用因式分解法解一元二次方程成為解題的關(guān)鍵．直接運用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：，，或，所以．2．（2024·甘肅·模擬預(yù)測）解方程：．【答案】，【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：，∴或解得，．3．（2022·黑龍江齊齊哈爾·一模）解方程：【答案】【分析】移項，變形，提取公因式，化為兩個一元一次方程求解．【詳解】解：，，，得或，∴．【點睛】本題考查一元二次方程的求解，靈活選擇求解方法是解題的關(guān)鍵．4．（2024·廣東東莞·一模）解答題：．【答案】，【分析】本題主要考查了解一元二次方程，解題關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的常用方法，如直接開方法、配方法、公式法、因式分解法等．利用配方法求解該方程即可．【詳解】解：，，，，∴，∴，．5．（2024·陜西西安·二模）解方程：．【答案】，【分析】本題考查解一元二次方程，利用公式法求解即可．解題的關(guān)鍵是掌握解一元二次方程的一般方法：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，根據(jù)情況靈活選用解法求解即可．【詳解】解：，∵∴，∴，∴，．6．（2024·陜西寶雞·一模）解方程：．【答案】，【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：．，，或，解得，．7．（2024·陜西西安·三模）解方程：．【答案】，．【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵，先將所給的一元二次方程整理后，分別找到二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項，利用一元二次方程的求根公式計算即可．【詳解】解：方程整理得：，則，，,∵，∴，解得：，．8．（2024·山西大同·二模）解方程：．【答案】或【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，根據(jù)配方法解一元二次方程，即可求解．【詳解】解：，配方，得，即，，即或，解得

或．9．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）解方程：．【答案】【分析】本題主要考查了解一元二次方程，先移項，然后利用因式分解法解方程即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴或，解得．10．（2024·安徽合肥·二模）解一元二次方程．【答案】，【分析】本題主要考查解一元二次方程，采用合適的方法是解題的關(guān)鍵，本題采用配方法即可求出．【詳解】解：，11．（2024·廣東中山·二模）解一元二次方程【答案】，【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握用因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：或∴，．12．（2024·江蘇鹽城·三模）解方程：【答案】，【分析】本題考查了配方法解一元二次方程．根據(jù)配方法解一元二次方程即可．【詳解】解：配方得，即，開方得，，∴，．13．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）解方程：．【答案】【分析】本題考查了解一元二次方程，根據(jù)公式法解一元二次方程，即可求解．【詳解】解：∴，∴解得：14．（2024·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測）解方程：【答案】【分析】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的方法，根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：，化簡得：，因式分解得：，∴或，解得：，．15．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）解方程：【答案】，【分析】本題考查了解一元二次方程，根據(jù)公式法解一元二次方程，即可求解．【詳解】解：∴，∴解得：，16．（2024·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測）解方程：．【答案】，．【分析】本題考查一元二次方程的解法，熟練運用因式分解是解題的關(guān)鍵；先移項，合并同類項，然后因式分解即可求解．【詳解】解：，，，或，，．17．（2024·四川眉山·模擬預(yù)測）解方程：【答案】【分析】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．先整理成一般式，再根據(jù)因式分解法即可求出答案．【詳解】解∶整理得：，或，18．（2024·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測）解方程：；【答案】，【分析】本題考查了解一元二次方程，根據(jù)公式法解一元二次方程，即可求解；【詳解】解：，∴，∴∴，解得：，．19．（2024·安徽合肥·三模）解方程：．【答案】或【分析】本題主要考查了因式分解法解一元二次方程，先把方程整理，然后用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：原方程為．整理得即，解得:或．20．（2024·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測）解方程：．【答案】，【分析】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟練掌握各種方法是解答本題的關(guān)鍵．先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．【詳解】解：，，，有或，解得，．21．（2024·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測）解方程：．【答案】，．【分析】本題考查了一元二次方程的求解，熟練掌握一元二次方程的求解方法是解題關(guān)鍵．利用公式法解一元二次方程即可．【詳解】解：，，，，，，．22．（2024·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測）解一元二次方程：；【答案】，．【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．利用因式分解法即可求解方程；【詳解】解：∵，即：，∴，∴，即：，∴或，∴，；23．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）用因式分解法解方程：．【答案】【分析】本題主要考查了因式分解法解一元二次方程，先移項得到，然后利用因式分解法解方程即可，熟練掌握因式分解法解一元二次方程的步驟是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，或，解得：．24．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）解方程：．【答案】【分析】本題考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．【詳解】解：，，∴或，解得：．25．（2024·山西大同·二模）（1）計算：；（2）解方程：．【答案】（1）

（2）或【分析】本題考查了實數(shù)的運算，解一元二次方程．（1）計算算術(shù)平方根，有理數(shù)的乘法以及絕對值，再計算加減即可；（2）利用因式分解法求解即可．【詳解】解：（1）；（2）移項得，因式分解得，∴或，解得或．26．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）（1）計算：（2）解方程：【答案】（1）；（2），【分析】本題主要考查了解一元二次方程，實數(shù)的運算，化簡二次根式：（1）先化簡二次根式，再根據(jù)實數(shù)的運算法則求解即可；（2）利用公式法解方程即可．【詳解】解：（1）原式；（2）∵∴，，，∴，，，．27．（2024·遼寧葫蘆島·二模）計算：(1)計算：；(2)解方程．【答案】(1)(2)，【分析】本題主要考查了實數(shù)的運算，解一元二次方程，對于（1），根據(jù)，，，再計算即可；對于（2），應(yīng)用公式法求出解即可．【詳解】（1）解：原式；（2）∵，，，∴，，即，．28．（2024·福建寧德·一模）解方程：；【答案】【分析】本題主要考查了解一元二次方程，掌握運用公式法解一元二次方程成為解題的關(guān)鍵．直接運用公式法解一元二次方程即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴．29．（2024·新疆阿克蘇·模擬預(yù)測）（1）計算：；（2）解方程：．【答案】（1）；（2）【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，解一元二次方程；（1）根據(jù)零指數(shù)冪，化簡絕對值，化簡二次根式，特殊角的三角函數(shù)值，進行計算即可求解；（2）根據(jù)公式法解一元二次方程，即可求解．【詳解】解：（1）；（2）∵，，∴,解得：30．（2024·四川廣元·一模）選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查公式法解一元二次方程，正確計算是解題的關(guān)鍵．（1）用因式分解法解一元二次方程即可；（2）先整理成一般式，再用配方法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：或解得：；（2）解：解得：．31．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）（1）計算：；（2）解方程：．【答案】（1）；（2）【分析】本題考查實數(shù)與二次根式的運算和解一元二次方程，掌握實數(shù)運算的法則和解一元二次方程的方法是關(guān)鍵．（1）先計算負指數(shù)冪、立方根、絕對值、二次根式的化簡，再合并同類項；（2）利用配方法解方程即可．【詳解】解：（1）（2）移項，得配方，得，即．解得．所以．32．（2024·貴州黔東南·模擬預(yù)測）（1）計算：；（2）從下列三個方程中任選一個方程，并解這個方程．①；②；③【答案】（1）0（2）①，②，③，【分析】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了實數(shù)的運算．（1）先根據(jù)乘方的意義、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值和零指數(shù)冪的意義計算，然后合并即可；（2）用因式分解法解方程①②，用公式法解方程③．【詳解】解：（1）原式；（2）①，或，所以，；②，或，所以，；③∵，，，∴，∴，，33．（2024·甘肅武威·二模）（1）計算：（2）解方程：【答案】（1）；（2），【分析】本題考查了二次根式的混合運算，解一元二次方程；（1）根據(jù)二次根式的加減進行計算即可求解；（2）根據(jù)公式法解一元二次方程，即可求解．【詳解】解：（1）；（2）∵，∴∴∴，34．（2024·山西·模擬預(yù)測）（1）計算：；（2）解方程：．【答案】（1）；（2），【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算和因式分解法解一元二次方程，能正確根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪、去絕對值及二次根式的乘法法則進行計算是解（1）的關(guān)鍵，能正確根據(jù)因式分解法解一元二次方程是解（2）的關(guān)鍵．（1）根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪、去絕對值及二次根式乘法的法則，計算即可得到答案（2）根據(jù)因式分解法解一元二次方程的解法即可解得．【詳解】（1）解：；（2）解：，，或，，．35．（2024·遼寧撫順·二模）解方程(1)（配方法）(2)（公式法）【答案】(1)，(2)，【分析】本題主要考查解一元二次方程，靈活運用一元二次方程的解法是解答本題的關(guān)鍵．（1）將方程的常數(shù)移到等號的右邊，方程兩邊加上一次項一半的平方，配方后直接開平方可得方程的解；（2）方程運用公式法求解即可．【詳解】（1）解：解：，，，，，；（2）解：，，，，，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，，，．36．（2024·云南怒江·一模）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】本題考查了解一元二次方程，選擇合適的方法是解此題的關(guān)鍵．（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，即，∴，∴，；（2）解：∵，∴，∴，∴或，∴，．37．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測）解下列方程：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了配方法、因式分解法解一元二次方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）運用配方法解一元二次方程，即可作答．（2）先移項，再提取公因式，運用因式分解法解一元二次方程，即可作答．【詳解】（1）解：，∴，∴，，∴；（2）解：，∴，∴，則，解得．38．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】本題主要考查直接開方法，配方法解一元二次方程，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．（1）直接方法解一元二次方程即可；（2）配方法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：直接開方得，∴，；（2）解：移項，配方得，整理得，直接開方得，∴，．39．（2024·四川廣元·一模）選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】本題考查了解一元二次方程，選擇合適的方法進行計算是解此題的關(guān)鍵．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴或，∴，；（2）解：∵，∴，∴，∴或，∴，．40．（2024·湖北隨州·二模）解方程：(1)(2)【答案】(1)，；(2)，．【分析】本題考查的是利用配方法和因式分解的方法解一元二次方程．（1）利用配方法解答，即可求解；（2）利用因式分解法解答，即可求解．【詳解】（1）解：，整理得，配方得，即，∴，解得：，；（2）解：，整理得，∴，∴，解得：，．41．（2024·遼寧大連·一模）（1）計算：；（2）解方程：．【答案】（1）；（2），【分析】本題考查了實數(shù)的運算、解一元二次方程，熟練掌握知識點、正確計算是解題的關(guān)鍵．（1）先化簡二次根式和絕對值、計算乘方，再加減計算即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可．【詳解】解：（1）；（2），，，，，，解得：，．42．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測）（1）化簡：．（2）解方程：．【答案】（1）；（2），【分析】本題考查了多項式的化簡，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)的知識．（1）利用平方差和完全平方公式將多項式展開，再去括號、合并同類項，即可求解；（2）利用因式分解法即可求解．【詳解】解：（1），，，；解：（2），，或，，．43．（2024·遼寧遼陽·模擬預(yù)測）（1）計算：；（2）解方程：．【答案】（1）；（2），【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算及用公式法解一元二次方程，熟練掌握各運算法則是解題關(guān)鍵．（1）先計算有理數(shù)的乘方、零指數(shù)冪、特殊角的余弦值、化簡絕對值，再計算乘法與加減法即可得．（2）先求出的值，再代入求根公式即可解答本題．【詳解】（1）原式．（2），，，，，，44．（2024·廣東深圳·一模）（1）計算：；（2）解方程：；（3）解方程：．【答案】（1）2；（2），；（3），【分析】（1）根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，絕對值和特殊角三角函數(shù)值的計算法則求解即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；（3）利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：（1）；（2），，或，解得，；（3），，，或，解得，．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解法，負整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，絕對值和特殊角三角函數(shù)值，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．45．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）（1）解方程：（2）計算：.【答案】（1），；（2）【分析】（1）先把方程化為一般式，再利用因式分解法轉(zhuǎn)化，然后解兩個一次方程即可；（2）先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、負整數(shù)指數(shù)冪和絕對值的意義計算，然后把化簡后合