課程基本信息

課例編號(hào)2020QJ10SXRA059學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期第一學(xué)期

課題簡(jiǎn)單的三角變換（2）

書(shū)名：普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)A版

教科書(shū)

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教師王建光北京市第二中學(xué)教育集團(tuán)

指導(dǎo)教師李穎北京市東城區(qū)教師研修中心

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)：（1）借助三角恒等變換，把形如yasinxbcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為

yAsin(x)形式的函數(shù)，并研究其性質(zhì)；

（2）體會(huì)三角變換在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，加深對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)和化歸思想的理

解；

（3）在實(shí)際問(wèn)題的解決過(guò)程中，感受數(shù)學(xué)應(yīng)用的價(jià)值，發(fā)展數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素

養(yǎng)．

教學(xué)重點(diǎn)：借助三角恒等變換，把形如yasinxbcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為

yAsin(x)形式的函數(shù)，并研究其性質(zhì)．

教學(xué)難點(diǎn)：借助三角變換解決有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題．

教學(xué)過(guò)程

時(shí)

教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)

間

隨著三角恒等變換工具的增多，可以實(shí)現(xiàn)角的和差變化，三角函數(shù)

式結(jié)構(gòu)的變化等．這節(jié)課，我們思考將這種變換實(shí)施在某些函數(shù)身上，

使得它們?cè)谧儞Q以后可進(jìn)行深度研究．

（一）問(wèn)題

引導(dǎo)，引入例1求函數(shù)ysinx3cosx的周期，最大值和最小值．

新知

問(wèn)題1：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)已有的三角函數(shù)的知識(shí)對(duì)例題進(jìn)行分析，說(shuō)

出你的結(jié)論以及你的依據(jù)．

師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生利用已學(xué)過(guò)的三角函數(shù)的性質(zhì)分析

函數(shù)ysinx3cosx的周期，最大值和最小值．

預(yù)案：函數(shù)ysinx和ycosx的周期均為2π，最大值為1，最

小值為-1，由此猜測(cè)函數(shù)ysinx3cosx的周期為2π，最大值為

13，最小值為13．針對(duì)學(xué)生的分析結(jié)論，師生開(kāi)展討論，相

互交流．

因?yàn)閟in(2πx)3cos(2πx)sinx3cosx，由周期函數(shù)

的定義可知，2π是函數(shù)ysinx3cosx的周期，但是未證明2π是

函數(shù)的最小正周期，證明的過(guò)程有能力的同學(xué)可以在課后嘗試．

當(dāng)sinxcosx1時(shí)，ysinx3cosx取到最大值13．因

為sin2xcos2x1，則當(dāng)sinx1時(shí)，cosx0，所以函數(shù)

ysinx3cosx的最大值是13這個(gè)結(jié)論是不正確的．同理，函

數(shù)的最小值不是13．

問(wèn)題2：我們還學(xué)過(guò)哪種類型三角函數(shù)的周期、最值的求解呢？

師生活動(dòng)：在問(wèn)題1得到矛盾后，教師引導(dǎo)學(xué)生回憶所學(xué)知識(shí)，函

數(shù)yAsin(x)（其中A，，為常數(shù)，且A0，0）的

2ππ

周期T，當(dāng)x2kπ(kZ)時(shí)，函數(shù)yAsin(x)

2

π

取得最大值|A|，當(dāng)x2kπ(kZ)時(shí)，函數(shù)取得最小值

2

|A|．

設(shè)計(jì)意圖：從一個(gè)具體的函數(shù)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)三角函數(shù)的周期、

最值的解法．在問(wèn)題的分析過(guò)程中，明確化簡(jiǎn)的目標(biāo)，為接下來(lái)的學(xué)習(xí)

過(guò)程做好鋪墊，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

問(wèn)題3：便于求周期和最大值、最小值的三角函數(shù)式是

yAsin(x)，那是否可以將函數(shù)ysinx3cosx轉(zhuǎn)化為

yAsin(x)的形式？

師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生思索，交流，提出方案．

利用和角公式將yAsin(x)展開(kāi)，可化為

yAsin(x)cosAcos(x)sin．

令sinx3cosxAsin(x)cosAcos(x)sin，得1，

Acos1，Asin3，則A2cos2xA2sin2x4，A24．

13

取A2，則cos，sin．因此，可以利用和角公式將

22

ysinx3cosx轉(zhuǎn)化為yAsin(x)的形式．

13

解：ysinx3cosx2(sinxcosx)

22

πππ

2(sinxcoscosxsin)2sin(x).

333

因此，所求周期為2π，最大值為2，最小值為-2.

設(shè)計(jì)意圖：在明確化簡(jiǎn)目標(biāo)yAsin(x)后，將yAsin(x)

的展開(kāi)式與yasinxbcosx進(jìn)行對(duì)比，在差異中建立聯(lián)系，確定對(duì)

yasinxbcosx怎樣進(jìn)行變形，最后對(duì)yasinxbcosx進(jìn)行變

形、化簡(jiǎn)，求解函數(shù)的周期和最大值、最小值．

練習(xí)1求函數(shù)y3sinx4cosx的周期，最大值和最小值．

師生活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)例1的分析，完成練習(xí)，鞏固通過(guò)三角恒等變

換化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式，分析函數(shù)有關(guān)的性質(zhì)．

解：設(shè)3sinx4cosxAsin(x)，則

12（二）方法3sinx4cosxAsinxcosAcosxsin．

分總結(jié)，鞏固

鐘提升于是Acos3，Asin4，

于是A2cos2xA2sin2x25，

所以A225．

34

取A5，則cos，sin．

55

由y5sin(x)可知，所求周期為2π，最大值為5，最小

值為-5.

問(wèn)題4：請(qǐng)同學(xué)們將這種作法推廣到函數(shù)yasinxbcosx．

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生將例1的方法進(jìn)行推廣，因?yàn)槔煤徒枪?/p>

式將yAsin(x)展開(kāi)，可得yasinxbcosx的形式，其中

aAcos，bAsin．反之，利用和（差）角公式，可將

yasinxbcosx轉(zhuǎn)化為yAsin(x)的形式，其中

ab

Aa2b2，cos，sin．進(jìn)而就可以求得其周期和最

AA

值．

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生完成練習(xí)，鞏固所學(xué)的知識(shí)．學(xué)生通過(guò)特殊形式的

函數(shù)再次明確轉(zhuǎn)化的基本思路，并將問(wèn)題一般化，實(shí)現(xiàn)從

yasinxbcosx到y(tǒng)Asin(x)的轉(zhuǎn)化．

33

練習(xí)2化簡(jiǎn)ysinxcosx．

22

師生活動(dòng)：教師給出了a0的類型的變換，學(xué)生在明確化簡(jiǎn)目標(biāo)

的前提下，將其轉(zhuǎn)化為yAsin(x)或yAcos(x)的形式．

33

解：法1：將sinxcosx轉(zhuǎn)化為Asin(x)．

22

33

計(jì)算，得A()2()23，則

22

3313

sinxcosx3(sinxcosx)．

2222

132π

令cos，sin，即．

223

33

所以，ysinxcosx

22

2π2π2

3(sinxcoscosxsin)3sin(xπ)．

333

33

法2：設(shè)sinxcosxAcos(x)，則

22

33

sinxcosxAcosxcosAsinxsin．

22

33

則Acos，Asin．得A23．

22

31π

取A3，則cos，sin，即．

226

33π

所以，ysinxcosx3cos(x)．

226

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)單變形，給出了a0的類型，學(xué)生在確

認(rèn)轉(zhuǎn)化目標(biāo)的前提下，將其轉(zhuǎn)化為yAsin(x)或yAcos(x)

的形式．

角的概念起源于幾何圖形，三角函數(shù)與平面幾何有著密切的內(nèi)在聯(lián)

系．有很多實(shí)際生活中的問(wèn)題會(huì)以角為變量，可建立以三角函數(shù)為背景

函數(shù)進(jìn)行研究．

π

例2如圖，在扇形OPQ中，半徑OP=1，圓心角∠POQ=，C

3

是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，矩形ABCD內(nèi)接于扇形．記∠

POC＝α，求當(dāng)角α取何值時(shí)，矩形ABCD的面積

最大？并求出這個(gè)最大面積．

師生活動(dòng)：教師給出問(wèn)題，學(xué)生分析、交流．要

6（三）應(yīng)用研究矩形面積的最大值，可先建立矩形ABCD的面

分方法，解決積S與α之間的函數(shù)關(guān)系S＝f(α)，再求函數(shù)S＝f(α)的最大值．學(xué)生根據(jù)

鐘問(wèn)題三角函數(shù)式中角、三角函數(shù)名的不同，選擇合適的公式，進(jìn)行合理的變

形，研究三角函數(shù)的性質(zhì)．

解：在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα．

在Rt△OAD中，

DA333

tan603．OADABCsin．

OA333

設(shè)矩形的面積為S，則S=AB·BC

3

(cossin)sin

3

3

sincossin2

3

師生活動(dòng)：學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)得到的函數(shù)的形式并不是asinxbcosx，教師

引導(dǎo)學(xué)生分析解析式的特點(diǎn)，利用倍角公式將其轉(zhuǎn)化．

13

sin2(1cos2)

26

133

sin2cos2

266

1313

(sin2cos2)

3226

1π3

sin(2)．

366

師生活動(dòng)：得到y(tǒng)Asin(x)k的形式后，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際

問(wèn)題的背景分析自變量的取值范圍，這是數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題聯(lián)系的

關(guān)鍵．

πππ5πππ

由0，得2，所以當(dāng)2，即