課程基本信息

課例編號2020QJ11SXRA038學科數學年級高二學期

課題雙曲線及其標準方程

書名：普通高中教科書數學選擇性必修第一冊（A版）

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月

教學人員

姓名單位

授課教師陳鳳飛北京一七一中學教育集團

指導教師雷曉莉北京市東城區(qū)教師研修中心

教學目標

教學目標

（1）能通過建立適當的坐標系，根據雙曲線上的點滿足的幾何條件列出雙曲線上的點

的坐標滿足的方程，化簡所列出的方程，得到雙曲線的標準方程，發(fā)展直觀想象、數學運算

素養(yǎng)．

（2）通過定義及標準方程的挖掘與探究，使學生進一步體驗類比及數形結合等思想方

法的運用，提高學生的觀察與探究能力；

教學重點：理解和掌握雙曲線的定義及其標準方程。

教學難點：雙曲線標準方程的推導。

教學過程

時教學

主要師生活動

間環(huán)節(jié)

雙曲線的定義和標準方程與橢圓很類似，學生已經有了一些學習橢圓的經

驗，節(jié)課我采用了“啟發(fā)探究”式的教學方法，重點突出以下兩點：（1）以類

比思維作為教學的主線（2）以自主探究作為學生的學習方法

采用多媒體輔助教學。體現在用幾何畫板畫雙曲線。但不是單純用動畫演示給

學生看，而是用動畫啟發(fā)引導學生思考，調動學生學習的積極性。

一、知識引入

橢圓、雙曲線都是平面截圓錐所得，由于截面與圓錐對稱軸的角度不同，

它們的形狀存在差異。我們想，這兩類圖形存在某種聯系.

一、我們首先復習一下橢圓的定義是什么？橢圓的標準方程是什么？

知

識師生活動：打開幾何畫板，我們回顧橢圓的生成過程.然后改變圖中的條件，調

引整，使得為常數，動畫生成一種新的曲線.

入

12

5（?在?動畫的過?程?中，?請?同?學們不僅要觀察生成的曲線，還要觀察第一象限的各

分個參數值的變化，追問學生，這個常數有什么要求？）

鐘

我們稱該曲線為雙曲線.雙曲線的??定1義?其?實?就2是動點滿足的關系式。

問題1雙曲線定義是什么？

平面內與兩定點，的距離的差的絕對值等于非零常數（小于)

的點的軌跡叫做雙曲線?1.這?兩2個定點叫做雙曲線的焦點，|?1?2|

兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.

二、定義辨析

追問1：類比橢圓，雙曲線定義中哪些關鍵字？

師生活動：引導學生用類比的方法發(fā)現定義中的關鍵詞

追問2：若分別去掉這幾個關鍵字曲線會發(fā)生怎樣變化？

2.1、平面內到兩個定點的距離之差等于常數小于的點的軌跡是什么？

2.2、平面內到兩個定點的距離之差的絕對值為,常數|?1等?2于|的點的軌跡是

什么？,|?1?2|

2.3、平面內到兩個定點的距離之差的絕對值為常數大于的點的軌跡是

什么？,|?1?2|

2.4、平面內到兩個定點的距離之差為0的點的軌跡是什么？

三、標準方程的推導

問題2回顧橢圓標準方程的推導步驟及方法，能否類比橢圓試著推導雙曲線的

標準方程？

師生活動：通過類比橢圓標準方程的研究過程與方法，研究雙曲線的方程．

追問1：如何建立適當的平面直角坐標系？

師生活動：觀察發(fā)現雙曲線具有對稱性，與求橢圓方程的建系過程完全類似，

建立以點F1和F2所在直線為軸，線段F1F2的垂直平分線為軸的平面直角坐標

二

系．教學中應再次強調，把握所研究的幾何對象的基本特征（如對稱性、

定??

特殊點等），對于合理建立坐標系、簡化代數運算、得出特征明顯的代數方程等

義???

辨等都是非常重要的．

析追問2：如何寫出曲線上的點M所滿足條件的集合？

師生活動：求曲線方程的實質是要找到曲線上的點所滿足的條件．一般情況下，

可以由確定曲線的幾何條件得到．根據雙曲線的定義，雙曲線上的點M滿足條

5件的集合是，．

PMMF1MF22a02aF1F2

分

鐘讓學生類比橢圓標準方程的建立過程，認識把兩個定點之間的距離設為

2a，可以為運算帶來方便，并且使標準方程的表達式簡潔．教學時還應讓學生

認識它的幾何意義，以及它與橢圓長軸長的區(qū)別．

追問3：如何根據點M的坐標滿足的條件的集合寫出方程f(x,y)0？

師生活動：將，中的等式解析化，也

PMMF1MF22a02aF1F2

就是用坐標表示集合中的等式，可以得到關于x,y的方程

(xc)2y2(xc)2y22a，記為f(x,y)0．

坐標法的基礎是建立平面直角坐標系，然后由集合P得到方程f(x,y)0，

把幾何條件代數化，從而獲得方程．

追問4：如何化簡方程？

師生活動：為了用方程研究曲線的性質，需要化簡方程．將

?(?,?)=0f(x,y)0f(x,y)0

等價變形為(xc)2y2(xc)2y22a，然后類比橢圓標準方程的化簡

過程：

(x+c)2+y2-(x-c)2+y2=±2a

\（(x+c)2+y2）2=（(x-c)2+y2±2a）2

\cx-a2=-a(x-c)2+y2

\(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)

222

令c=a+b，代入化簡得：（強調優(yōu)化結構）

22

5x-y=>>

221(a0,b0)

分ab

三、

鐘從上述過程可以看到，雙曲線上的任意一點的坐標都是上述方程的解，反

標準過來，以上述方程的解為坐標的點與雙曲線的兩個焦點的距離之差的絕對值為

方程2,即以上述方程的解為坐標的點都在雙曲線上，所以上述方程是雙曲線的標準

方程。

的推?

導

追問5：焦點在y軸上的雙曲線標準方程？

師生活動：得到焦點在x軸上的雙曲線的標準方程后，讓學生類比回答焦點在y

軸上的雙曲線的標準方程是什么．當學生類比焦點在y軸上的橢圓的標準方程，

y2x2x2y2

回答1（a＞0，b＞0）后，可通過如下兩個方面對1，

a2b2a2b2

y2x2

1（a＞0，b＞0）進行比較：一是兩個焦點的位置（在軸上還是在y

a2b2

軸上）與負號的位置，二是方程中x,y與a,b的對應位置，要使他?們認識到：若

x2項的系數是正數，則雙曲線的焦點在x軸上；若y2項的系數是正數，則雙曲

線的焦點在y軸上．對于雙曲線，要強調a不一定大于b，因此不能像橢圓那

樣通過比較分母的大小判斷焦點在哪一條坐標軸上．

四、

例四、例題

題例1設雙曲線的兩個焦點分別為雙曲線上一點與，的距離差

分

1212

析的絕對值等于6，求雙曲線標準方程?.(?5,0),?(5,0),???

解：因為雙曲線的焦點在軸上，所以設它的標準方程為

x2y2?

-=1(a>0,b>0)

a2b2

由，，得，，

因此2?，=102?=6=16.?=5?=3

222

所以，雙?曲=線5得?標3準方程為

3

x2y2

分-=1.

916

鐘

例2已知，兩地相距800m，在地聽到炮彈爆炸聲比在地晚2s，且聲速為340m/s，

求炮彈爆炸?點?的軌跡方程．??

分析：雙曲線的應用。

解：由題意，PA-PB=2′340

所以，點軌跡是以，為焦點的雙曲線的右支。

???

\2a=680,\a=340

|AB|=800,\2c=800,c=400,\b2=c2-a2=44400

|PA|-|PB|=680<800