課程基本信息

課例

2020QJ11SXRA006學科數(shù)學年級高二學期第一學期

編號

課題空間向量運算的坐標表示

書名：高中數(shù)學人教A版選擇性必修第一冊

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月

教學人員

姓名單位

授課

蘇萌萌北京市第二十五中學

教師

指導

雷曉莉北京市東城區(qū)教師研修中心

教師

教學目標

教學目標：（1）了解空間直角坐標系，理解空間向量的坐標表示；

（2）掌握空間向量運算的坐標表示；

（3）掌握空間向量垂直與平行的條件及其應用；

（4）掌握空間向量的模夾角以及兩點間距離公式，能運用公式解決問題.

教學重點：理解空間向量的坐標表示及其運算.

教學難點：運用空間向量的坐標運算解決簡單的立體幾何問題.

教學過程

時教學環(huán)

主要師生活動

間節(jié)

問題1：有了空間向量的坐標表示，你能類比平面向量的坐標運算，得出空間向量運算的坐

標表示并給出證明嗎？

（一）【追問（1）】平面向量的運算都有哪些？在前面的學習中我們已經(jīng)學習了平面向量的加減、

15新數(shù)乘、和數(shù)量積運算.那么我們是如何對平面向量進行坐標運算的呢？

分課

設

鐘講a(a1,a2),b(b1,b2),

授

則aba1b1,a2b2,

aba1b1,a2b2,

lll

aa1,a2,其中屬于全體實數(shù)

?

aba1b1a2b2.

【追問（2）】你能否類比平面向量運算的坐標表示給出空間向量運算坐標表示的猜想？

類似地，我們設空間向量

a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3),

猜想aba1b1,a2b2,a3b3,

aba1b1,a2b2,a3b3,

llll

aa1,a2,a3,

aba1b1a2b2a3b3.

【追問（3）】你能否對空間向量運算的坐標表示進行證明呢？

結(jié)合空間向量坐標的定義，我們以數(shù)量積運算的坐標表示為例進行證明：

第一步：由空間向量基本定理，設i,j,k為空間的一個單位正交基底，

由向量的坐標為，則可將向量唯一分解為，

a(a1,a2,a3)aaa1ia2ja3k

同理可將向量表示為.

bbb1ib2jb3k

第二步：aba1ia2ja3kb1ib2jb3k

a1b1iia1b2ija1b3ika2b1jia2b2jja2b3jka3b1kia3b2kja3b3kk

利用向量數(shù)量積的分配律以及ii=jj=kk=ij=jk=ki=

得

aba1b1a2b2a3b3.

其他運算的坐標表示可以類似證明，請同學們課下自主完成.

由上述結(jié)論可知，空間向量運算的坐標表示與平面向量運算的坐標表示是完全一致的.

類似地，我們還可以得到：一個空間向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去

起點坐標.即：設則向量.

A(a1,a2,a3),B(b1,b2,b3),ABb1a1,b2a2,b3a3

問題2：在學習平面向量運算的過程中，我們了解到向量可以幫助我們解決平面幾何中的特

殊位置關系與幾何度量等問題，這些重要的性質(zhì)和結(jié)論在空間向量中仍然成立嗎？

【追問（1）】如何用平面向量的坐標運算刻畫平面向量的平行和垂直？

設當時，∥的充要條件是l，屬于全體實數(shù)

a(a1,a2),b(b1,b2),b0aba=b

?

用坐標表示為l

(a1,a2)(b1,b2),

l

a1b1,

得到方程組消去，得到平面向量平行充要條件的坐標表示：

l

a2b2,

??1?2??2?1=0

類比平面向量平行的坐標表示，我們可以得到：設空間向量

a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3),

當b0時，a∥b的充要條件是a=lb，屬于全體實數(shù)

可以用坐標表示為l

(a1,a2,a3)(b1,b2,b3)?

l

a1b1,

ll

得到方程組a2b2,R，這就是空間向量平行的充要條件的坐標表示.

l

a3b3.

aaa

【追問（2）】這個充要條件能否表示為123？

b1b2b3

aaa

顯然，空間向量平行的充要條件不等價于123，

b1b2b3

因為的含義是的坐標分量至少有一個不為零，而非每一個坐標分量都不為

b0bb1,b2,b3

零.

a

例如，當與坐標平面平行時，此時3無意義.

bOxyb30

b3

因此只有在b與三個坐標平面均不平行，

aaa

即均不為零時才能有∥123.

b1,b2,b3ab

b1b2b3

特殊地，當b0時，b(0,0,0).此時b與任意向量都平行.

本節(jié)課我們從坐標運算的角度得到了數(shù)量積運算的坐標表達為，

aba1b1a2b2a3b3

因此在空間中的充要條件可以表示為.

aba1b1a2b2a3b30

【追問（3）】除了上述對空間向量位置關系的研究，類比平面向量運算的應用，能否總結(jié)出

空間向量的度量關系，如空間向量長度和夾角的坐標表示？

1平面向量的長度和夾角公式

設

a(a1,a2),b(b1,b2),

22.

aaaa1a2

ababab

cosa,b1122.

ab2222

a1a2b1b2

22

設,，則

P1(x1,y1)P2(x2,y2)P1P2=P1P2x2x1+y2y1

類比平面向量的結(jié)論，我們繼續(xù)猜想空間向量的長度和夾角公式：

2空間向量的長度和夾角公式

設

a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3),

222.

aaaa1a2a3

abababab

cosa,b112233.

ab222222

a1a2a3b1b2b3

222

設,，則

P1(x1,y1,z1)P2(x2,y2,z2)P1P2=P1P2x2x1+y2y1+z2z1

【追問（4）】得到上面的猜想后，同學們能利用空間向量運算的坐標表示證明空間兩點間的

距離公式嗎？

首先，建立空間直角坐標系，設,是空間中任意兩

OxyzP1P2

點，

則向量

P1P2OP2OP1x2x1,y2y1,z2z1.

于是P1P2P1P2P1P2

222

帶入坐標，x2x1+y2y1+z2z1.

222

所以P1P2=P1P2x2x1+y2y1+z2z1.

這就是空間兩點間的距離公式.

因此，空間向量的?？梢岳斫鉃辄c到原點的距離，這是空間兩點

a(a1,a2,a3)(a1,a2,a3)

間距離公式的特殊化.

至此，類比著平面向量的坐標運算，我們得到了空間向量運算的坐標表示.將空間向量的運

算與向量的坐標結(jié)合后，可以使立體幾何中的很多問題變得簡單.

（二）

知

7識

分應

鐘用

接下來，我們通過典型例題，加深對所學知識的理解．

問題3如圖，在空間直角坐標系Oxyz中，正方體

的棱長為2，,分別是,的

ABCDA1B1C1D1EFBB1D1B1

中點.

（1）求證；

EFDA1

（2）求與所成角的余弦值.

AECD1

解：（1）求證；

EFDA1

【追問（1）】兩條直線的垂直關系可以用向量刻畫嗎？

要證明，只需證明，在前面的學習中，我們已經(jīng)得到了兩個向量垂直

EFDA1EFDA1

的充要條件為數(shù)量積為零，即通過本節(jié)課學習的內(nèi)容，可以將空間向量垂直的

EFDA10.

充要條件用坐標形式表達，因此在應用向量法求解本題時，我們需要利用題目中的空間直角

坐標系，從而建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系.

【追問（2）】向量EF的坐標怎么求？

因為E2,2,1,F(1,1,2)，

所以EF(1,1,2)(2,2,1)(1,1,1)..

得到向量EF的坐標后，同理，

又因為點A12,0,2,D0,0,0,

所以DA12,0,2.

所以EFDA11,1,12,0,22020..

所以EFDA1,

即.

EFDA1

（2）求與所成角的余弦值.

AECD1

分析：因為空間向量的數(shù)量積和夾角有關，此我們經(jīng)常以空間向量的數(shù)量積為工具，解決立

體幾何中與夾角相關的問題，把空間兩條直線所成角問題轉(zhuǎn)化為兩條直線對應向量的夾角問

題.

【追問（3）】兩條直線夾角與兩向量夾角有區(qū)別嗎？

這二者是有區(qū)別的，它們的取值范圍不同.

具體來說，

兩條直線夾角的范圍是0,90,而向量夾角的范圍是0,180.

當與所成的角為銳角或直角時，直線與所成的角和向量的夾角相等.

AECD1AECD1

當與所成的角為鈍角時，直線與所成的角為向量夾角的補角.

AECD1AECD1

計算過程如下：

因為，

A2,0,0,C0,2,0,E2,2,1,D10,0,2

所以,,

AE2,2,12,0,00,2,1CD10,0,20,2,00,2,2

.

AE5,DF1=22

所以.

AECD10022122

AECD210

所以1.

cosAE,CD1

AECD152210

所以,與所成角為向量，向量夾角的補角.

AECD1AECD1

10

所以,AE與CD所成角的余弦值是.

110

方法提煉：在空間直角坐標系中，先寫出相關點、相關向量的坐標，把幾何問題代數(shù)化，然

后再利用向量的坐標運算解決位置關系與幾何度量等問題，其中要關注空間兩條直線所成角

（三）與對應向量夾角的取值范圍是不同的.需要注意的是，有些問題往往需要我們觀察幾何體的

3歸結(jié)構(gòu)特征，找尋三條兩兩垂直的線段，先建立空間直角坐標系，再應用向量運算解決幾何問

分納題.

鐘小

結(jié)

問題4：回顧本節(jié)課對于空間向量坐標運算的探究過程，你都學到了什么？

1.類比平面向量研究空間向量運算的坐標表示

（1）空間向量運算的坐標表示

空間向