初中是怎樣定義角？

從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)引出兩條射線(xiàn)組成幾何圖形。知識(shí)回顧O1/39

初中角概念優(yōu)點(diǎn)是形象、直觀(guān)、輕易了解，但它是從圖形形狀來(lái)定義角，所以角范圍是[0o,360o)這種定義稱(chēng)為靜態(tài)定義，其弊端在于“狹隘”.而且，生活中很多實(shí)例會(huì)不在該范圍內(nèi)。新課導(dǎo)入2/39比如：體操運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)體720o，跳水運(yùn)動(dòng)員向內(nèi)、向外轉(zhuǎn)體1080o；經(jīng)過(guò)1小時(shí)，時(shí)針、分針、秒針各轉(zhuǎn)了多少度？……

這些例子不但不在范圍[0o,360o)，而且方向不一樣。3/39

所以，就有必要將角概念推廣到任意角，同學(xué)們想想用什么方法才能推廣到任意角？

關(guān)鍵是用運(yùn)動(dòng)觀(guān)點(diǎn)來(lái)對(duì)待角改變。4/391.1.1

任意角5/39學(xué)習(xí)目標(biāo)1．角推廣；2．象限角定義；3．終邊相同角表示.6/39

了解“正角”“負(fù)角”“象限角”“終邊相同角”含義。“旋轉(zhuǎn)”定義角。教學(xué)重難點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)：7/391、“旋轉(zhuǎn)”形成角

一條射線(xiàn)由原來(lái)位置OA，繞著它端點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到另一位置OB，就形成角α。旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)射線(xiàn)OA叫做角α始邊，旋轉(zhuǎn)終止射線(xiàn)OB叫做角α終邊，射線(xiàn)端點(diǎn)O叫做角α頂點(diǎn)。角的概念的推廣8/39

2、“正角”與“負(fù)角”、“0o角”

我們把按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成角叫做正角，把按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成角叫做負(fù)角，如圖，以O(shè)A為始邊角α=210°，β=－150°，γ=660°。

9/39

尤其地，當(dāng)一條射線(xiàn)沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們也認(rèn)為這時(shí)形成了一個(gè)角，并把這個(gè)角叫做零度角（0o）.

角記法：角α或能夠簡(jiǎn)記成∠α。10/393、角概念擴(kuò)展意義：

用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后，角范圍大大地?cái)U(kuò)大了。（1）角有正負(fù)之分；如：

=210,

=

150,

=660.（2）角能夠任意大；實(shí)例：體操動(dòng)作：旋轉(zhuǎn)2周（360

×2=720

）3周（360

×3=1080

）（3）還有零角，一條射線(xiàn)，沒(méi)有旋轉(zhuǎn)。11/39

角概念推廣以后，它包含任意大小正角、負(fù)角和零角。

要注意，正角和負(fù)角是表示含有相反意義旋轉(zhuǎn)量，它正負(fù)要求純屬于習(xí)慣，就好象與正數(shù)、負(fù)數(shù)要求一樣，零角無(wú)正負(fù)，就好象數(shù)零無(wú)正負(fù)一樣。初中所研究角范圍為

．我們現(xiàn)在范圍是R。注意：0°～360°是指_________

0°到360°是指_________12/39

為了研究方便，我們往往在平面直角坐標(biāo)系中來(lái)討論角。角頂點(diǎn)重合于坐標(biāo)原點(diǎn)，角始邊重合于x軸正半軸，這么一來(lái)，角終邊落在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角（角終邊落在坐標(biāo)軸上，則此角不屬于任何一個(gè)象限）。象限角13/39比如：

30

、390

、

330

是第Ⅰ象限角，

300

、

60

是第Ⅳ象限角，

585

、1300

是第Ⅲ象限角，

135

、

是第Ⅱ象限角等。XY0ⅣⅠⅡⅢ14/391、角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合。2、角始邊與x軸非負(fù)半軸重合。

那么，角終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角。0xy3、終邊在坐標(biāo)軸角不屬于任何象限。(軸線(xiàn)角）知識(shí)要點(diǎn)15/39第一象限角表示方法：

第二象限角表示方法：

第三象限角表示方法：第四象限角表示方法：16/391、觀(guān)察：390

，

330

角，它們終邊都與30

角終邊相同.2、探究：終邊相同角都能夠表示成一個(gè)0

到360

角與k(k∈Z)個(gè)周角和：

390

=30

+360(k=1),

330

=30

360

(k=－1)

30

=30

+0×360

(k=0),1470

=30

+4×360

(k=4)

1770

=30

5×360

(k=－5)終邊相同的角17/39390°＝30°＋360°－330°＝30°－360°30°＝30°＋0×360°與α終邊相同角普通形式為α＋k

360°，k∈Zxyo30°……18/393、結(jié)論：全部與

終邊相同角連同

在內(nèi)能夠組成一個(gè)集合：{β|β=α+k·360o}(k∈Z)即：任何一個(gè)與角

終邊相同角，都能夠表示成角

與整數(shù)個(gè)周角和。19/394、注意以下四點(diǎn)：①k∈Z；②

是任意角；③k·360o與

之間是“+”號(hào)，如k·360o－30o,應(yīng)看成k·360o+(－30o)；④終邊相同角不一定相等，但相等角，終邊一定相同，終邊相同角有沒(méi)有數(shù)多個(gè)，它們相差360o整數(shù)倍。20/39S={β|β=α+k

360°,k∈Z}.

全部與角α終邊相同角，連同角α在內(nèi)，可組成一個(gè)集合

即任一與角α終邊相同角，都能夠表示成角α與整數(shù)個(gè)周角和。知識(shí)要點(diǎn)21/39

例1：在0o到360o范圍內(nèi)，找出與以下各角終邊相同角，并判斷它是哪個(gè)象限角。(1)－120o；(2)640o；(3)－950o12′.探索遷移22/39⑶∵－950o12′=－3×360o+129o48′，∴129o48′角與－950o12′角終邊相同，它是第二象限角。解：⑴∵－120o=－360o+240o，

∴240o角與－120o角終邊相同，它是第三象限角。⑵∵640o=360o+280o，

∴280o角與640o角終邊相同，它是第四象限角。23/39180°+

k

360°

分析：終邊落在坐標(biāo)軸上情形xy00°+k

360°

90°+

k

360°

270°+k

360°

或360°+k

360°

例：寫(xiě)出終邊落在y軸上角集合。24/39解：終邊落在ｙ軸正半軸上角集合為S1={β|β=90°+k?360°,k∈Z}={β|β=90°+2k·180°

,k∈Z}xy090°+k?360°270°+k?360°25/39終邊落在ｙ軸負(fù)半軸上角集合為S2={β|β=270°+k?360°,k∈Z}={β|β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z}∴終邊落在ｙ軸上角集合為S=S1∪S2={β|β=90°+n?180°，n∈Z}26/39XYOｋ?360°180°+k?360°

例：寫(xiě)出終邊落在x軸上角集合。分析：終邊落在坐標(biāo)軸上情形27/39S1={β|β=90°+K?360°,K∈Z}={β|β=90°+2K?180°，K∈Z}={β|β=90°+180°偶數(shù)倍}解：終邊落在x軸正半軸上角集合為28/39終邊落在x軸負(fù)半軸上角集合為S2={β|β=270°+K?360°,K∈Z}={β|β=90°+180°+2K?180°,K∈Z}={β|β=90°+（2K+1）180°

，K∈Z}={β|β=90°

+180°

奇數(shù)倍}29/39｛偶數(shù)｝∪｛奇數(shù)｝＝｛整數(shù)｝S=S1∪S2∴終邊落在Ｘ軸上角集合為={β|β=180°

偶數(shù)倍}∪{β|β=180°

奇數(shù)倍}={β|β=180°

整數(shù)倍}={β|β=K?180°，K∈Z}30/391、以下命題正確是（）

A.終邊相同角一定相等

B.第一象限角都是銳角

C.銳角都是第一象限角

D.小于90°角都是銳角C課堂練習(xí)31/392、A=｛小于90°角｝，B=｛第一象限角｝，則A∩B=（）

A.｛銳角｝

B.｛小于90°角｝

C.｛第一象限角｝

D.以上都不對(duì)A32/393、已知角α是第三象限角，則角-α終邊在（）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限C33/394、將－885°化為α+k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)形式是（）AA.－165°+(－2)×360°B.195°+(－3)×360°C.195°+(－2)×360°D.165°+(－3)×360°34/395、與120°終邊相同角是（）CA.－600°+k·360°(k∈Z)B.－120°+k·360°(k∈Z)C.120°+2k·180°(k∈Z)D.660°+k·360°(k∈Z)35/391、任意角概念正角：射線(xiàn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成角。負(fù)角：射線(xiàn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成角。零角：射線(xiàn)不作旋轉(zhuǎn)形成角。課堂小結(jié)36/39⑴置角頂點(diǎn)于原點(diǎn)；⑵始邊重合于X軸正半軸。2、象限角終邊落在第幾象限就是第幾象限角。3、終邊與角ａ相同角ａ＋K×360°，K∈Z。37/391．460°是（）.A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2.在0°～360°范圍內(nèi)