專題14三角形課標(biāo)要求考點考向1.理解三角形及其內(nèi)角、外角、中線、高線、角平分線等概念，了解三角形的穩(wěn)定性。2.探索并證明三角形的內(nèi)角和定理。掌握它的推論:三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。3.理解全等三角形的概念，掌握三角形全等的證明方法。4.理解線段垂直平分線的概念，探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理。5.理解角平分線的概念，探索并證明角平分線的性質(zhì)定理。6.理解等腰三角形的概念，探索并證明等腰（等邊）三角形的性質(zhì)定理，探索并掌握等腰（等邊）三角形的判定定理。7.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理。8.探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題。與三角形有關(guān)的線段考向一三角形的分類考向二三角形三邊關(guān)系考向三三角形的高考向四三角形的中線考向五線段的垂直平分線考向六角平分線的性質(zhì)和判定與三角形有關(guān)的角考向一三角形的內(nèi)角和定理考向二三角形的外角的定義及性質(zhì)全等三角形考向一全等三角形的概念及性質(zhì)考向二全等三角形的判定等腰三角形考向一等腰三角形的定義及性質(zhì)考向二等腰三角形是判定考向三等邊三角形直角三角形考向一直角三角形考向二勾股定理及逆定理考點一與三角形有關(guān)的線段?考向一三角形的分類1．（2024·陜西·中考真題）如圖，在中，，是邊上的高，E是的中點，連接，則圖中的直角三角形有（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個?考向二三角形三邊關(guān)系1．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，在中，，以為邊作，，點D與點A在的兩側(cè)，則AD的最大值為（

）A． B． C．5 D．82．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）等腰三角形的兩邊長分別是方程的兩個根，則這個三角形的周長為（）A．或 B．或 C． D．二、填空題3．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）等腰三角形的兩邊長分別為6和2，則第三邊長為．?考向三三角形的高1．（2024·山東德州·中考真題）如圖，在中，是高，是中線，，，則的長為（

）A． B．3 C．4 D．62．（2024·河北·中考真題）觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得線段一定是的（

）A．角平分線 B．高線 C．中位線 D．中線?考向四三角形的中線1．（2024·河北·中考真題）如圖，的面積為，為邊上的中線，點，，，是線段的五等分點，點，，是線段的四等分點，點是線段的中點．（1）的面積為；（2）的面積為．2．（2024·黑龍江綏化·中考真題）已知：．(1)尺規(guī)作圖：畫出的重心．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）(2)在（1）的條件下，連接，．已知的面積等于，則的面積是______．?考向五線段的垂直平分線1．（2024·山東濟南·中考真題）如圖，在正方形中，分別以點A和為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點和，作直線，再以點A為圓心，以的長為半徑作弧交直線于點（點在正方形內(nèi)部），連接并延長交于點．若，則正方形的邊長為（

）A． B． C． D．2．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，在中，是的中點，，與交于點，且．下列說法錯誤的是（

）

A．的垂直平分線一定與相交于點B．C．當(dāng)為中點時，是等邊三角形D．當(dāng)為中點時，3．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在扇形中，，半徑，是上一點，連接，是上一點，且，連接．若，則的長為（

）A． B． C． D．4．（2024·四川樂山·中考真題）如圖，在菱形中，，，點P是邊上一個動點，在延長線上找一點Q，使得點P和點Q關(guān)于點C對稱，連接交于點M．當(dāng)點P從B點運動到C點時，點M的運動路徑長為（

）A． B． C． D．5．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，在中，垂直平分交于點，若的周長為，則（

）A． B． C． D．6．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，的邊的垂直平分線交于點，連接．若，，則．7．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在矩形中，對角線的垂直平分線分別交邊于點E、F．若，，則．8．（2024·山西·中考真題）閱讀與思考下面是博學(xué)小組研究性學(xué)習(xí)報告的部分內(nèi)容，請認真閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù)．關(guān)于“等邊半正多邊形”的研究報告博學(xué)小組研究對象：等邊半正多邊形研究思路：類比三角形、四邊形，按“概念﹣性質(zhì)﹣判定”的路徑，由一般到特殊進行研究．研究方法：觀察（測量、實驗）﹣猜想﹣推理證明研究內(nèi)容：【一般概念】對于一個凸多邊形（邊數(shù)為偶數(shù)），若其各邊都相等，且相間的角相等、相鄰的角不相等，我們稱這個凸多邊形為等邊半正多邊形．如圖1，我們學(xué)習(xí)過的菱形（正方形除外）就是等邊半正四邊形，類似地，還有等邊半正六邊形、等邊半正八邊形…【特例研究】根據(jù)等邊半正多邊形的定義，對等邊半正六邊形研究如下：概念理解：如圖2，如果六邊形是等邊半正六邊形，那么，，，且．性質(zhì)探索：根據(jù)定義，探索等邊半正六邊形的性質(zhì)，得到如下結(jié)論：內(nèi)角：等邊半正六邊形相鄰兩個內(nèi)角的和為▲°．對角線：…任務(wù)：(1)直接寫出研究報告中“▲”處空缺的內(nèi)容：．(2)如圖3，六邊形是等邊半正六邊形．連接對角線，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖4，已知是正三角形，是它的外接圓．請在圖4中作一個等邊半正六邊形（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．9．（2024·山東青島·中考真題）如圖①，中，中，，邊與重合，且頂點E與邊上的定點N重合，如圖②，從圖①所示位置出發(fā)，沿射線方向勻速運動，速度為；同時，動點O從點A出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為，與交于點P，連接，設(shè)運動時間為．解答下列問題：(1)當(dāng)t為何值時，點A在線段的垂直平分線上？(2)設(shè)四邊形的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)如圖③，過點O作，交于點Q，與關(guān)于直線對稱，連接．是否存在某一時刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．?考向六角平分線的性質(zhì)和判定1．（2024·四川樂山·中考真題）知：如圖，平分，．求證：．2．（2024·山東日照·中考真題）如圖，以的頂點為圓心，長為半徑畫弧，交于點，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，畫射線，交于點，交的延長線于點．(1)由以上作圖可知，與的數(shù)量關(guān)系是_______(2)求證：(3)若，，，求的面積．考點二與三角形有關(guān)的角?考向一三角形的內(nèi)角和定理1．（2024·西藏·中考真題）如圖，已知直線，于點D，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2024·山東濟南·中考真題）如圖，已知，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．3．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在中，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到．當(dāng)落在上時，的度數(shù)為（

）A． B． C． D．4．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在中，，，．則的度數(shù)為（

）A． B．60° C． D．5．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在中，，AD是高，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，交于點E，再分別以B、E為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部交于點F，作射線，則．6．（2024·四川廣元·中考真題）點F是正五邊形邊DE的中點，連接并延長與CD延長線交于點G，則的度數(shù)為．

7．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，若，則．8．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，中，是邊上的高，是的平分線，則的度數(shù)是．9．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，，．

(1)求證：；(2)若，則__________°．?考向二三角形的外角的定義及性質(zhì)1．（2024·山西·中考真題）一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力的方向豎直向下，支持力的方向與斜面垂直，摩擦力的方向與斜面平行．若斜面的坡角，則摩擦力與重力方向的夾角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，直線，一塊含有的直角三角板按如圖所示放置．若，則的大小為（

）A． B． C． D．3．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在中，，，，則（

）A． B． C． D．4．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，是的直徑，點在的延長線上，與相切于點，若，則°．5．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，，，．則．6．（2024·新疆·中考真題）如圖，在中，．若點D在直線上（不與點A，B重合），且，則的長為．

7．（2024·寧夏·中考真題）綜合與實踐如圖1，在中，是的平分線，的延長線交外角的平分線于點．【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】結(jié)論1：___________；結(jié)論2：當(dāng)圖1中時，如圖2所示，延長交于點，過點作的垂線交于點，交的延長線于點．則與的數(shù)量關(guān)系是___________．【應(yīng)用結(jié)論】（1）求證：；（2）在圖2中連接，，延長交于點，補全圖形，求證：．考點三全等三角形易錯易混提醒1.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等。2.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等。3.三邊分別相等的兩個三角形全等。4.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等。?考向一全等三角形的概念及性質(zhì)1．（2024·四川資陽·中考真題）第屆國際數(shù)學(xué)教育大會（）會標(biāo)如圖所示，會標(biāo)中心的圖案來源于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”，如圖所示的“弦圖”是由四個全等的直角三角形（，，，）和一個小正方形拼成的大正方形．若，則（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東廣州·中考真題）下列圖案中，點為正方形的中心，陰影部分的兩個三角形全等，則陰影部分的兩個三角形關(guān)于點對稱的是（

）A．

B．

C．

D．

3．（2024·浙江·中考真題）如圖，正方形由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形組成，連接．若，則（

）A．5 B． C． D．44．（2024·湖北·中考真題）如圖，由三個全等的三角形(，，)與中間的小等邊三角形拼成一個大等邊三角形．連接BD并延長交于點G，若，則：（1）的度數(shù)是；（2）的長是．5．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，中，D是上一點，，D、E、F三點共線，請?zhí)砑右粋€條件，使得．（只添一種情況即可）6．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，在中，點的坐標(biāo)為0,1，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，點在第一象限（不與點重合），且與全等，點的坐標(biāo)是．7．（2024·四川成都·中考真題）如圖，，若，，則的度數(shù)為．?考向二全等三角形的判定1．（2024·寧夏·中考真題）綜合與實踐如圖1，在中，是的平分線，的延長線交外角的平分線于點．【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】結(jié)論1：___________；結(jié)論2：當(dāng)圖1中時，如圖2所示，延長交于點，過點作的垂線交于點，交的延長線于點．則與的數(shù)量關(guān)系是___________．【應(yīng)用結(jié)論】（1）求證：；（2）在圖2中連接，，延長交于點，補全圖形，求證：．2．（2024·寧夏·中考真題）如圖，在中，點是邊的中點，以為直徑的經(jīng)過點，點是邊上一點（不與點重合）．請僅用無刻度直尺按要求作圖，保留作圖痕跡，不寫作法．(1)過點作一條直線，將分成面積相等的兩部分；(2)在邊上找一點，使得．3．（2024·山西·中考真題）綜合與探究問題情境：如圖，四邊形是菱形，過點作于點，過點作于點．猜想證明：（1）判斷四邊形的形狀，并說明理由；深入探究：（2）將圖中的繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，點，的對應(yīng)點分別為點，．①如圖，當(dāng)線段經(jīng)過點時，所在直線分別與線段AD，CD交于點，．猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②當(dāng)直線與直線CD垂直時，直線分別與直線AD，CD交于點，，直線與線段CD交于點．若，，直接寫出四邊形的面積．4．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，在?中，，，，為邊AB上的動點．連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，過點作，交直線AD于點．連接、DE，分別取、DE的中點、，連接，交AD于點．(1)若點與點重合，則線段的長度為______．(2)隨著點的運動，與的長度是否發(fā)生變化？若不變，求出與的長度；若改變，請說明理由．5．（2024·江蘇徐州·中考真題）已知：如圖，四邊形為正方形，點E在的延長線上，連接．(1)求證：；(2)若，求證：．6．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，已知，點，在線段上，且．請從①；②；③中．選擇一個合適的選項作為已知條件，使得．你添加的條件是：__________（只填寫一個序號）．添加條件后，請證明．7．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，，平分，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)過點B作于點G，若，請直接寫出四邊形的形狀．8．（2024·山東濟南·中考真題）如圖，在菱形中，，垂足為，垂足為．求證：．考點四等腰三角形?考向一等腰三角形的定義及性質(zhì)1．（2024·寧夏·中考真題）如圖，在正五邊形的內(nèi)部，以邊為邊作正方形，連接，則．2．（2024·山東濟南·中考真題）如圖，已知，是等腰直角三角形，，頂點分別在上，當(dāng)時，．3．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，在和中，，，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，當(dāng)時，的度數(shù)是．4．（2024·湖南·中考真題）若等腰三角形的一個底角的度數(shù)為，則它的頂角度數(shù)為°．5．（2024·山東德州·中考真題）在中，，，點D是上一個動點（點D不與A，B重合），以點D為中心，將線段順時針旋轉(zhuǎn)得到線．(1)如圖1，當(dāng)時，求的度數(shù)；(2)如圖2，連接，當(dāng)時，的大小是否發(fā)生變化？如果不變求，的度數(shù)；如果變化，請說明理由；(3)如圖3，點M在CD上，且，以點C為中心，將線CM逆時針轉(zhuǎn)得到線段CN，連接EN，若，求線段EN的取值范圍．6．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，已知內(nèi)接于，是的直徑，的平分線交于點，過點作，交的延長線于點，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的直徑．7．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，是的直徑，內(nèi)接于，，的延長線相交于點，且．(1)求證：；(2)求的度數(shù)．8．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在中，，D是的中點，，，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，求的長．9．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，過A，C兩點的拋物線與x軸的另一個交點為點，點P是拋物線位于第四象限圖象上的動點，過點P分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線于點E，點F．(1)求拋物線的解析式；(2)點D是x軸上的任意一點，若是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點D的坐標(biāo)；(3)當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)；(4)在（3）的條件下，若點N是y軸上的一個動點，過點N作拋物線對稱軸的垂線，垂足為M，連接，則的最小值為______．?考向二等腰三角形的性質(zhì)及判定1．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在中，，以點為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧分別交于點和點，再分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接并延長交于點．若的面積為8，則的面積是（

）A．8 B．16 C．12 D．242．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，分別交，于點，；②分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點；③作射線，交于點，交延長線于點．若，，下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．3．（2024·海南·中考真題）如圖，矩形紙片中，，點E、F分別在邊上，將紙片沿折疊，使點D的對應(yīng)點在邊上，點C的對應(yīng)點為，則的最小值為，CF的最大值為．4．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，把矩形紙片沿對角線折疊，使點C落在點E處，與交于點F，若，，則的值是．5．（2024·浙江·中考真題）如圖，D，E分別是邊，的中點，連接，．若，則的長為

6．（2024·山東德州·中考真題）如圖，中，對角線平分．

(1)求證：是菱形；(2)若，，求菱形的邊長．（參考數(shù)據(jù)：，，）?考向三等邊三角形1．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在矩形中，點在上，當(dāng)是等邊三角形時，為（

）A． B． C． D．2．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，直線，等邊三角形的兩個頂點B，C分別落在直線l，m上，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，原點為正六邊形的中心，軸，點在雙曲線為常數(shù)，上，將正六邊形向上平移個單位長度，點恰好落在雙曲線上，則的值為（

）A． B． C． D．34．（2024·青海·中考真題）如圖，在中，D是的中點，，，則的長是（

）A．3 B．6 C． D．5．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，等邊三角形ABC的頂點的坐標(biāo)為0,4，點均在軸上．將繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則點的坐標(biāo)為．6．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，四邊形為正方形，為等邊三角形，于點F，若，則．7．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在菱形中，，，是一條對角線，是上一點，過點作，垂足為，連接．若，則的長為．8．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，平行四邊形中，、分別是，的平分線，且E、F分別在邊，上．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，求的面積．9．（2024·甘肅蘭州·中考真題）綜合與實踐【問題情境】在數(shù)學(xué)綜合實踐課上，同學(xué)們以特殊三角形為背景，探究動點運動的幾何問題，如圖，在中，點M，N分別為，上的動點（不含端點），且．【初步嘗試】（1）如圖1，當(dāng)為等邊三角形時，小顏發(fā)現(xiàn)：將繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，請思考并證明：【類比探究】（2）小梁嘗試改變?nèi)切蔚男螤詈筮M一步探究：如圖2，在中，，，于點E，交于點F，將繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．試猜想四邊形的形狀，并說明理由；【拓展延伸】（3）孫老師提出新的探究方向：如圖3，在中，，，連接，，請直接寫出的最小值．10．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，點C在線段上，，，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．11．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平行四邊形中，點在邊上，，連接，點為的中點，的延長線交邊于點，連接(1)求證：四邊形是菱形：(2)若平行四邊形的周長為，求的長．考點五直角三角形?考向一直角三角形1．（2024·海南·中考真題）如圖，菱形的邊長為2，，邊在數(shù)軸上，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，點C落在數(shù)軸上的點E處，若點E表示的數(shù)是3，則點A表示的數(shù)是（

）A．1 B． C．0 D．2．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在菱形中，，，點E是邊上的動點，連接，，過點A作于點F．設(shè)，，則y與x之間的函數(shù)解析式為（不考慮自變量x的取值范圍）（

）A． B． C． D．3．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，點B，C的對應(yīng)點分別為點D，E，連接，點D恰好落在線段上，若，，則的長為（

）A． B． C．2 D．4．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）矩形的面積是90，對角線交于點O，點E是邊的三等分點，連接，點P是的中點，，連接，則的值為．5．（2024·四川南充·中考真題）如圖，在矩形中，為邊上一點，，將沿折疊得，連接，，若平分，，則的長為．

6．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在中，，是的一條角平分線，為中點，連接．若，，則．

?考向二勾股定理及逆定理1．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，的對角線，交于點，以下條件不能證明是菱形的是（

）A． B．C． D．2．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，將矩形紙片沿邊折疊，使點在邊中點處．若，則．3．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，在邊長為10的菱形中，對角線，相交與點，點在延長線上，與相交與點．若，，則菱形的面積為．4．（2024·山東青島·中考真題）如圖，菱形中，，面積為60，對角線AC與BD相交于點O，過點A作，交邊于點E，連接，則．5．（2024·吉林·中考真題）小明在學(xué)習(xí)時發(fā)現(xiàn)四邊形面積與對角線存在關(guān)聯(lián)，下面是他的研究過程：

【探究論證】（1）如圖①，在中，，，垂足為點D．若，，則______．（2）如圖②，在菱形中，，，則______．（3）如圖③，在四邊形中，，垂足為點O．若，，則______；若，，猜想與a，b的關(guān)系，并證明你的猜想．【理解運用】（4）如圖④，在中，，，，點P為邊上一點．小明利用直尺和圓規(guī)分四步作圖：（?。┮渣cK為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交邊，于點R，I；（ⅱ）以點P為圓心，長為半徑畫弧，交線段于點；（ⅲ）以點為圓心，長為半徑畫弧，交前一條弧于點，點，K在同側(cè)；（ⅳ）過點P畫射線，在射線上截取，連接，，．請你直接寫出的值．6．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，中，，，，與相切于點D．

(1)求圖中陰影部分的面積；(2)設(shè)上有一動點P，連接，．當(dāng)?shù)拈L最大時，求的長．1．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）如圖，的面積為10，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，，CA上，，，的面積與四邊形的面積相等，則的面積為（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（2024·安徽安慶·一模）如圖，現(xiàn)有兩把一樣的直尺，將一把直尺的邊與射線重合，另一把直尺的邊與射線重合，兩把直尺的另一邊在的內(nèi)部交于點，作射線，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽合肥·一模）如圖，為的直徑，弦，垂足為點E，連接，若的半徑為4，，則（

）A． B． C． D．4．（2024·安徽池州·一模）如圖，在等邊三角形中，為邊上的高，是直線上的一個動點，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若，則在點的運動過程中，線段的長的最小值是（）A．2 B． C． D．5．（2024·安徽·模擬預(yù)測）如圖，矩形中，點在邊上，平分，，分別是，的中點，，，則的值為（

）A． B． C． D．36．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）如圖，在菱形中，，點M和N分別是和上一點，沿將折疊，點A恰好落在邊的中點E上．若，則的長為（

）

A． B． C．3 D．7．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）正方形中，E，F(xiàn)分別是的中點，則8．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）已知角α，β為銳角，，,則9．（2024·安徽合肥·三模）如圖，在和中，，，，分別連接，，延長交于．（1）若，則；（2）連接，若，，則的長為．10．（2024·安徽·三模）如圖，在矩形中，P，Q為對角線上兩點，以為對角線的正方形的頂點E，F(xiàn)分別在邊上．（1）若，，則；（2）若，則的值為．（用含n的代數(shù)式表示）11．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）已知正方形中，為垂直平分線上一點，，關(guān)于直線對稱，和相交于點，求證：(1)；(2)．12．（2024·安徽·三模）如圖，中，，于點D，于點E，M為的中點，連接交于點F，連接交于點N．(1)求證：；(2)求證：(3)若，求的值（用含k的代數(shù)式表示）．13．（2024·安徽合肥·三模）如圖，是邊長為3的等邊三角形，D是的中點，E，F(xiàn)分別在，上，連接，，兩線交于點G，連接，，，．(1)求的長；(2)求證：；(3)求的長．14．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）在正方形中，點E為中點，連接并延長交延長線于點G，點F在上，，連接并延長交延長線于H，連接．(1)求證：四邊形為菱形；(2)若，求四邊形的面積．15．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）在中，是的中位線，是的平分線，與交于點，連接．(1)如圖1，求證：；(2)若．（?。┤鐖D2，求證：；（ⅱ）如圖3，若，其他條件不變，求的值．

專題14三角形課標(biāo)要求考點考向1.理解三角形及其內(nèi)角、外角、中線、高線、角平分線等概念，了解三角形的穩(wěn)定性。2.探索并證明三角形的內(nèi)角和定理。掌握它的推論:三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。3.理解全等三角形的概念，掌握三角形全等的證明方法。4.理解線段垂直平分線的概念，探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理。5.理解角平分線的概念，探索并證明角平分線的性質(zhì)定理。6.理解等腰三角形的概念，探索并證明等腰（等邊）三角形的性質(zhì)定理，探索并掌握等腰（等邊）三角形的判定定理。7.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理。8.探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題。與三角形有關(guān)的線段考向一三角形的分類考向二三角形三邊關(guān)系考向三三角形的高考向四三角形的中線考向五線段的垂直平分線考向六角平分線的性質(zhì)和判定與三角形有關(guān)的角考向一三角形的內(nèi)角和定理考向二三角形的外角的定義及性質(zhì)全等三角形考向一全等三角形的概念及性質(zhì)考向二全等三角形的判定等腰三角形考向一等腰三角形的定義及性質(zhì)考向二等腰三角形是判定考向三等邊三角形直角三角形考向一直角三角形考向二勾股定理及逆定理考點一與三角形有關(guān)的線段?考向一三角形的分類1．（2024·陜西·中考真題）如圖，在中，，是邊上的高，E是的中點，連接，則圖中的直角三角形有（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】本題主要考查直角三角形的概念．根據(jù)直角三角形的概念可以直接判斷．【詳解】解：由圖得，，，為直角三角形，共有4個直角三角形．故選：C．?考向二三角形三邊關(guān)系1．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，在中，，以為邊作，，點D與點A在的兩側(cè)，則AD的最大值為（

）A． B． C．5 D．8【答案】D【分析】如圖，把繞順時針旋轉(zhuǎn)得到，求解，結(jié)合，（三點共線時取等號），從而可得答案．【詳解】解：如圖，把繞順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∴，∵，（三點共線時取等號），∴的最大值為，故選D【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，二次根式的乘法運算，做出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．2．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）等腰三角形的兩邊長分別是方程的兩個根，則這個三角形的周長為（）A．或 B．或 C． D．【答案】C【分析】本題考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系及周長，由方程可得，，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得等腰三角形的底邊長為，腰長為，進而即可求出三角形的周長，掌握等腰三角形的定義及三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由方程得，，，∵，∴等腰三角形的底邊長為，腰長為，∴這個三角形的周長為，故選：．二、填空題3．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）等腰三角形的兩邊長分別為6和2，則第三邊長為．【答案】6【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，熟練掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵．分兩種情況討論：當(dāng)6為一腰長時；當(dāng)2為一腰長時；分別求出第三條邊長，并根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷是否能構(gòu)成三角形，即可得出答案．【詳解】解：當(dāng)6為一腰長時，則另一腰長為6，底邊長為2，，能構(gòu)成三角形，第三邊長為6；當(dāng)2為一腰長時，則另一腰長為2，底邊長為6，，不能構(gòu)成三角形，舍去；綜上，第三邊長為6，故答案為：6．?考向三三角形的高1．（2024·山東德州·中考真題）如圖，在中，是高，是中線，，，則的長為（

）A． B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】本題考查了三角形的高線和中線的意義，根據(jù)和求出，根據(jù)是中線即可求解．吧【詳解】解：∵，，∴∵是中線，∴故選：B2．（2024·河北·中考真題）觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得線段一定是的（

）A．角平分線 B．高線 C．中位線 D．中線【答案】B【分析】本題考查的是三角形的高的定義，作線段的垂線，根據(jù)作圖痕跡可得，從而可得答案．【詳解】解：由作圖可得：，∴線段一定是的高線；故選B?考向四三角形的中線1．（2024·河北·中考真題）如圖，的面積為，為邊上的中線，點，，，是線段的五等分點，點，，是線段的四等分點，點是線段的中點．（1）的面積為；（2）的面積為．【答案】【分析】（1）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)得，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）證明，得，推出、、三點共線，得，繼而得出，，證明，得，推出，最后代入即可．【詳解】解：（1）連接、、、、，∵的面積為，為邊上的中線，∴，∵點，，，是線段的五等分點，∴，∵點，，是線段的四等分點，∴，∵點是線段的中點，∴，在和中，，∴，∴，，∴的面積為，故答案為：；（2）在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴、、三點共線，∴，∵，∴，∵，，∴，在和中，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴的面積為，故答案為：．【點睛】本題考查三角形中線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等分點的意義，三角形的面積．掌握三角形中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2024·黑龍江綏化·中考真題）已知：．(1)尺規(guī)作圖：畫出的重心．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）(2)在（1）的條件下，連接，．已知的面積等于，則的面積是______．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了三角形重心的性質(zhì)，尺規(guī)畫垂線；（1）分別作的中線，交點即為所求；（2）根據(jù)三角形重心的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)可得【詳解】（1）解：如圖所示作法：①作的垂直平分線交于點②作的垂直平分線交于點③連接AD、相交于點④標(biāo)出點，點即為所求（2）解：∵是的重心，∴∴∵的面積等于，∴又∵是的中點，∴故答案為：．?考向五線段的垂直平分線1．（2024·山東濟南·中考真題）如圖，在正方形中，分別以點A和為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點和，作直線，再以點A為圓心，以的長為半徑作弧交直線于點（點在正方形內(nèi)部），連接并延長交于點．若，則正方形的邊長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，設(shè)交于點H，正方形邊長為，由作圖知，，垂直平分，得到，，由勾股定理得到，證明，推出，推出，得到，即得．【詳解】連接，設(shè)交于點H，正方形邊長為，由作圖知，，垂直平分，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故選：D．【點睛】本題主要考查了正方形和線段垂直平分線綜合．熟練掌握正方形性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，平行線分線段成比例定理，梯形中位線性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵．2．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，在中，是的中點，，與交于點，且．下列說法錯誤的是（

）

A．的垂直平分線一定與相交于點B．C．當(dāng)為中點時，是等邊三角形D．當(dāng)為中點時，【答案】D【分析】連接，根據(jù)，點是的中點得，則，進而得點在線段的垂直平分線上，由此可對選項Ａ進行判斷；設(shè)，根據(jù)得，的，再根據(jù)得，則，由此可對選項Ｂ進行判斷；當(dāng)為中點時，則，是線段的垂直平分線，由此得，然后根據(jù)，，得，由此可對選項Ｃ進行判斷；連接并延長交于，根據(jù)是等邊三角形得，則，進而得，，由此得，，由為中點，則，由此可對選項Ｄ進行判斷，綜上所述即可得出答案．【詳解】解：連接，如圖1所示：

，點是的中點，為斜邊上的中線，，，，點在線段的垂直平分線上，即線段的垂直平分線一定與相交于點，故選項A正確，不符合題意；設(shè)，，，，，，，即，故選B正確，不符合題意；當(dāng)為中點時，則，，是線段的垂直平分線，，，，，，，是等邊三角形，故選C正確，不符合題意；連接，并延長交于，如圖2所示：

當(dāng)為中點時，點為的中點，根據(jù)三角形三條中線交于一點得：點為的中點，當(dāng)為中點時，是等邊三角形，，，平分，平分，，，在中，，，，，，∵為中點，∴，故選項D不正確，符合題意．故選：D．【點睛】此題主要考查了直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，理解直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．3．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在扇形中，，半徑，是上一點，連接，是上一點，且，連接．若，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了弧長公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)；連接，根據(jù)，，易證是等腰三角形，再根據(jù)，推出是等邊三角形，得到，即可求出，再根據(jù)弧長公式計算即可．【詳解】解：連接，，，，是等腰三角形，，，是等邊三角形，，，，，，故選：B．4．（2024·四川樂山·中考真題）如圖，在菱形中，，，點P是邊上一個動點，在延長線上找一點Q，使得點P和點Q關(guān)于點C對稱，連接交于點M．當(dāng)點P從B點運動到C點時，點M的運動路徑長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】該題主要考查了菱形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，解題的關(guān)鍵是掌握以上點M的運動路徑．過點C作交于點H，根據(jù)，四邊形是菱形，得出垂直平分，再證明垂直平分，點M在上運動，根據(jù)解直角三角形．即可求解．【詳解】解：過點C作交于點H，連接，∵，四邊形是菱形，，∴，，∴是等邊三角形，∴垂直平分，∵，∴，∵點P和點Q關(guān)于點C對稱，∴，即垂直平分，∵交于點M．∴∴點M在上運動，當(dāng)點P與點B重合時，點M位于點，此時，∵，四邊形是菱形，，∴，∴．故點M的運動路徑長為．故選：B．5．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，在中，垂直平分交于點，若的周長為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，進而可得的周長，即可求解，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵垂直平分，∴，∴的周長，故選：．6．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，的邊的垂直平分線交于點，連接．若，，則．【答案】3【分析】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由線段垂直平分線的性質(zhì)推出．求出，由線段垂直平分線的性質(zhì)推出．【詳解】解：，，，在的垂直平分線上，．故答案為：3．7．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在矩形中，對角線的垂直平分線分別交邊于點E、F．若，，則．【答案】【分析】本題主要考查三角形相似的判定和性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．設(shè)與相交于點，證明，根據(jù)相似的性質(zhì)進行計算即可；【詳解】解：的垂直平分線分別交邊于點E、F．，，，，，，，，，，，，令，，解得或（舍去），．故答案為：．8．（2024·山西·中考真題）閱讀與思考下面是博學(xué)小組研究性學(xué)習(xí)報告的部分內(nèi)容，請認真閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù)．關(guān)于“等邊半正多邊形”的研究報告博學(xué)小組研究對象：等邊半正多邊形研究思路：類比三角形、四邊形，按“概念﹣性質(zhì)﹣判定”的路徑，由一般到特殊進行研究．研究方法：觀察（測量、實驗）﹣猜想﹣推理證明研究內(nèi)容：【一般概念】對于一個凸多邊形（邊數(shù)為偶數(shù)），若其各邊都相等，且相間的角相等、相鄰的角不相等，我們稱這個凸多邊形為等邊半正多邊形．如圖1，我們學(xué)習(xí)過的菱形（正方形除外）就是等邊半正四邊形，類似地，還有等邊半正六邊形、等邊半正八邊形…【特例研究】根據(jù)等邊半正多邊形的定義，對等邊半正六邊形研究如下：概念理解：如圖2，如果六邊形是等邊半正六邊形，那么，，，且．性質(zhì)探索：根據(jù)定義，探索等邊半正六邊形的性質(zhì)，得到如下結(jié)論：內(nèi)角：等邊半正六邊形相鄰兩個內(nèi)角的和為▲°．對角線：…任務(wù)：(1)直接寫出研究報告中“▲”處空缺的內(nèi)容：．(2)如圖3，六邊形是等邊半正六邊形．連接對角線，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖4，已知是正三角形，是它的外接圓．請在圖4中作一個等邊半正六邊形（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．【答案】(1)240(2)，理由見解析(3)見解析【分析】本題主要考查圓綜合題，以等邊半正六邊形為背景，理解題意以及掌握圓和多邊形的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）六邊形內(nèi)角和為，由等邊半正六邊形的定義即可得出相鄰兩內(nèi)角和為；（2）連接，，通過已知條件可證，得到，，進一步證明證出；（3）作、、的垂直平分線，在圓內(nèi)線上取一點或者圓外取一點都行，切記不能取圓上，否則就是正六邊形了．【詳解】（1）解：∵六邊形內(nèi)角和為，且，，∴等邊半正六邊形相鄰兩個內(nèi)角的和為，故答案為：240；（2）解：．理由如下：連接，．六邊形是等邊半正六邊形．，．．．在與中，，．；（3）解：如圖，六邊形即為所求（答案不唯一）．作法一：作法二：．9．（2024·山東青島·中考真題）如圖①，中，中，，邊與重合，且頂點E與邊上的定點N重合，如圖②，從圖①所示位置出發(fā)，沿射線方向勻速運動，速度為；同時，動點O從點A出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為，與交于點P，連接，設(shè)運動時間為．解答下列問題：(1)當(dāng)t為何值時，點A在線段的垂直平分線上？(2)設(shè)四邊形的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)如圖③，過點O作，交于點Q，與關(guān)于直線對稱，連接．是否存在某一時刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)當(dāng)時，點A在線段的垂直平分線上(2)(3)存在使【分析】（1）先表示出，，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到相等兩端的距離相等得到，據(jù)此建立方程求解即可；（2）如圖所示，過點O分別作的垂線，垂足分別為H、G，先由勾股定理得到，再解直角三角形得到，再證明，然后解直角三角形求出的長，最后根據(jù)進行求解即可；（3）過點P作于G，解，得到，，則，進而得到；再解得到，由對稱性可得，解得到，由平行線的性質(zhì)得到，則，即可得到，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖①所示，∵，∴，如圖②所示，由題意得，，∴，∵點A在線段的垂直平分線上，∴，∴，解得，∴當(dāng)時，點A在線段的垂直平分線上；（2）解：如圖所示，過點O分別作的垂線，垂足分別為H、G，在中，由勾股定理得，∴，∵，∴；由（1）可知，，∴，，在中，，在中，，在中，，∴，∴；（3）解：如圖所示，過點P作于G，由（2）可知，在中，，，∴，∴，∴；在中，，∴，∵與關(guān)于直線對稱，∴，在中，，∵，∴，∴，∴，∴或（舍去），經(jīng)檢驗是原方程的解，∵，∴符合題意；綜上所述，存在使．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等等，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．?考向六角平分線的性質(zhì)和判定1．（2024·四川樂山·中考真題）知：如圖，平分，．求證：．【答案】見解析【分析】利用證明，即可證明．【詳解】解：平分，，在和中，，，．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握、、、等全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．2．（2024·山東日照·中考真題）如圖，以的頂點為圓心，長為半徑畫弧，交于點，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，畫射線，交于點，交的延長線于點．(1)由以上作圖可知，與的數(shù)量關(guān)系是_______(2)求證：(3)若，，，求的面積．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】本題考查了角平分線定義，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握以上知識點并作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)作圖可知，為的角平分線，即可得到答案；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知，結(jié)合，從而推出，即可證明；（3）過點作的垂線交的延長線于點，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，，，結(jié)合，推出，從而得到，，，最后由計算即可．【詳解】（1）解：由作圖可知，為的角平分線故答案為：（2）證明：四邊形為平行四邊形（3）解：如圖，過點作的垂線交的延長線于點四邊形為平行四邊形，，，又．考點二與三角形有關(guān)的角?考向一三角形的內(nèi)角和定理1．（2024·西藏·中考真題）如圖，已知直線，于點D，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理應(yīng)用，垂線定義理解．先利用平行線的性質(zhì)求出的度數(shù)，然后利用三角形內(nèi)角和定理進行求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，故A正確．故選：A．2．（2024·山東濟南·中考真題）如圖，已知，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識點，掌握全等三角形的對應(yīng)角相等成為解題的關(guān)鍵．先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等即可解答．【詳解】解：∵在中，，∴，∵，∴．故選C．3．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在中，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到．當(dāng)落在上時，的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，由三角形內(nèi)角和定理可得出，最后根據(jù)角的和差關(guān)系即可得出答案．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出，∵，∴，∴，∴，故選：B．4．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在中，，，．則的度數(shù)為（

）A． B．60° C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)等知識點，掌握平行線的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．由三角形內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵在中，，，∴,∵，∴．故選：C．5．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在中，，AD是高，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，交于點E，再分別以B、E為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部交于點F，作射線，則．【答案】/10度【分析】本題主要考查角平分線的作法及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意得出平分，然后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：因為，所以，根據(jù)題意得：平分，所以，因為AD為高，所以，所以,所以，故答案為：．6．（2024·四川廣元·中考真題）點F是正五邊形邊DE的中點，連接并延長與CD延長線交于點G，則的度數(shù)為．

【答案】/18度【分析】連接，，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)可證，得到，進而得到是的垂直平分線，即，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可求出每個內(nèi)角的度數(shù)，進而得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可解答．【詳解】解：連接，，

∵五邊形是正五邊形，∴，∴，∴，∵點F是的中點，∴是的垂直平分線，∴，∵在正五邊形中，，∴，∴．故答案為：【點睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)，內(nèi)角，全等三角形的判定及性質(zhì)，垂直平分線的判定，三角形的內(nèi)角和定理，正確作出輔助線，綜合運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．7．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，若，則．【答案】/62度【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，連接，利用等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，然后利用圓周角定理求解即可．【詳解】解：連接，∵，，∴，∴，∴，故答案為：．8．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，中，是邊上的高，是的平分線，則的度數(shù)是．【答案】/100度【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和以及外角性質(zhì)、角平分線的定義．先求出，結(jié)合高的定義，得，因為角平分線的定義得，運用三角形的外角性質(zhì)，即可作答．【詳解】解：∵，∴，∵是邊上的高，∴，∴，∵是的平分線，∴，∴．故答案為：．9．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，，．

(1)求證：；(2)若，則__________°．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）利用即可證得；（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出的度數(shù)．【詳解】（1）證明：在和中，，；（2）解：，，，由（1）知，，故答案為：20．?考向二三角形的外角的定義及性質(zhì)1．（2024·山西·中考真題）一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力的方向豎直向下，支持力的方向與斜面垂直，摩擦力的方向與斜面平行．若斜面的坡角，則摩擦力與重力方向的夾角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)，根據(jù)題意結(jié)合圖形可知是重力與斜面形成的三角形的外角，從而可求得的度數(shù)．【詳解】解：重力的方向豎直向下，重力與水平方向夾角為，摩擦力的方向與斜面平行，，，故選：C．2．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，直線，一塊含有的直角三角板按如圖所示放置．若，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，平行線的性質(zhì)．利用對頂角相等求得的度數(shù)，再利用三角形的外角性質(zhì)求得的度數(shù)，最后利用平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故選：A．3．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得，再由三角形外角的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴．故選：B4．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，是的直徑，點在的延長線上，與相切于點，若，則°．【答案】35【分析】本題利用了切線的性質(zhì)，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系，等邊對等角求解．連接，構(gòu)造直角三角形，利用，從而得出的度數(shù)．【詳解】解：連接，與相切于點，，，；，，故答案為：355．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，，，．則．【答案】66【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，等邊對等角，三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)等邊對等角可得，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，故答案為：．6．（2024·新疆·中考真題）如圖，在中，．若點D在直線上（不與點A，B重合），且，則的長為．

【答案】6或12【分析】本題考查了含的直角三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等角對等邊等知識，分①點D在線段時，②點D在線段延長線上時，③點D在線段延長線上時，三種情況討論求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，，①點D在線段時，

∵，，∴，∴，∴；②點D在線段延長線上時，

∵，，∴，∴，∴；③點D在線段延長線上時，

此時，即，故不符合題意，舍去，綜上，的長為6或12．7．（2024·寧夏·中考真題）綜合與實踐如圖1，在中，是的平分線，的延長線交外角的平分線于點．【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】結(jié)論1：___________；結(jié)論2：當(dāng)圖1中時，如圖2所示，延長交于點，過點作的垂線交于點，交的延長線于點．則與的數(shù)量關(guān)系是___________．【應(yīng)用結(jié)論】（1）求證：；（2）在圖2中連接，，延長交于點，補全圖形，求證：．【答案】【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】結(jié)論1：；結(jié)論2：相等（或）；【應(yīng)用結(jié)論】（1）見解析；（2）見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)、等邊對等角、等角對等邊、勾股定理等知識，熟練掌握知識點推理證明是解題的關(guān)鍵．[發(fā)現(xiàn)結(jié)論]結(jié)論1：根據(jù)角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)，推出，，即可得出；結(jié)論2：根據(jù)已知，和結(jié)論1，得出，根據(jù)角平分線的定義得出，進一步推出，利用證明，即可得出；[應(yīng)用結(jié)論]（1）根據(jù)過點作的垂線交于點，得出，推出，結(jié)合結(jié)論2：，利用證明，即可證明；（2）連接，，延長交于點，根據(jù)垂線的定義得出，由結(jié)論2得：，由（1）過程得：，根據(jù)等邊對等角、勾股定理、全等三角形的性質(zhì)，推出，，，根據(jù)對頂角相等得出，推出，進一步得出，，根據(jù)等角對等邊得出，，即可證明．【詳解】解：[發(fā)現(xiàn)結(jié)論]結(jié)論1：∵是的平分線，的延長線交外角的平分線于點，∴，，∴，又∵，∴，故答案為：；結(jié)論2：∵，由結(jié)論1得，∴，∵是的平分線，過點作的垂線交于點，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，故答案為：相等（或）；[應(yīng)用結(jié)論]（1）證明：∵過點作的垂線交于點，∴，∴，∵，∴，∴，又∵由結(jié)論2得：，∴在和中，∴，∴；（2）證明：如圖，連接，，延長交于點，∵過點作的垂線交于點，∴，∵由結(jié)論2得：，由（1）過程得：，∴，，，∴，，∴，，∴，，∴．考點三全等三角形易錯易混提醒1.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等。2.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等。3.三邊分別相等的兩個三角形全等。4.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等。?考向一全等三角形的概念及性質(zhì)1．（2024·四川資陽·中考真題）第屆國際數(shù)學(xué)教育大會（）會標(biāo)如圖所示，會標(biāo)中心的圖案來源于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”，如圖所示的“弦圖”是由四個全等的直角三角形（，，，）和一個小正方形拼成的大正方形．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，則，根據(jù)全等三角形，正方形的性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理可得，即可求出的值．【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，則，∵，四邊形為正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，故選：．【點睛】本題考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性質(zhì)，三角函數(shù)值的知識，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．2．（2024·廣東廣州·中考真題）下列圖案中，點為正方形的中心，陰影部分的兩個三角形全等，則陰影部分的兩個三角形關(guān)于點對稱的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本題考查了圖形關(guān)于某點對稱，掌握中心對稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)對應(yīng)點連線是否過點判斷即可．【詳解】解：由圖形可知，陰影部分的兩個三角形關(guān)于點對稱的是C，故選：C．3．（2024·浙江·中考真題）如圖，正方形由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形組成，連接．若，則（

）A．5 B． C． D．4【答案】C【分析】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的信紙，求得的長度，利用勾股定理即可解答，利用全等三角形的性質(zhì)得到是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：是四個全等的直角三角形，，，，四邊形為正方形，，，故選：C．4．（2024·湖北·中考真題）如圖，由三個全等的三角形(，，)與中間的小等邊三角形拼成一個大等邊三角形．連接BD并延長交于點G，若，則：（1）的度數(shù)是；（2）的長是．【答案】30°【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用三角形相似及可得，再利用三角形的外角性質(zhì)結(jié)合可求得；（2）作交的延長線于點，利用直角三角形的性質(zhì)求得，，證明，利用相似三角形的性質(zhì)列式計算即可求解．【詳解】解：(已知)，，，，，為等邊三角形，，，，，，如圖，過點作的延長線于點，，，，，，，，．故答案為：30°，．5．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，中，D是上一點，，D、E、F三點共線，請?zhí)砑右粋€條件，使得．（只添一種情況即可）【答案】或（答案不唯一）【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用全等三角形的判定解答．根據(jù)題目中的條件和全等三角形的判定，可以寫出添加的條件，注意本題答案不唯一．【詳解】解：∵∴，，∴添加條件，可以使得，添加條件，也可以使得，∴；故答案為：或（答案不唯一）．6．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，在中，點的坐標(biāo)為0,1，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，點在第一象限（不與點重合），且與全等，點的坐標(biāo)是．【答案】1,4【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，三角形全等的性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．根據(jù)點在第一象限（不與點重合），且與全等，畫出圖形，結(jié)合圖形的對稱性可直接得出D1,4．【詳解】解：∵點在第一象限（不與點重合），且與全等，∴，，∴可畫圖形如下，由圖可知點C、D關(guān)于線段AB的垂直平分線x=2對稱，則D1,4故答案為：1,4．7．（2024·四川成都·中考真題）如圖，，若，，則的度數(shù)為．【答案】/100度【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和全等三角形的性質(zhì)，先利用全等三角形的性質(zhì)，求出，再利用三角形內(nèi)角和求出的度數(shù)即可．【詳解】解：由，，∴，∵，∴，故答案為：?考向二全等三角形的判定1．（2024·寧夏·中考真題）綜合與實踐如圖1，在中，是的平分線，的延長線交外角的平分線于點．【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】結(jié)論1：___________；結(jié)論2：當(dāng)圖1中時，如圖2所示，延長交于點，過點作的垂線交于點，交的延長線于點．則與的數(shù)量關(guān)系是___________．【應(yīng)用結(jié)論】（1）求證：；（2）在圖2中連接，，延長交于點，補全圖形，求證：．【答案】【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】結(jié)論1：；結(jié)論2：相等（或）；【應(yīng)用結(jié)論】（1）見解析；（2）見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)、等邊對等角、等角對等邊、勾股定理等知識，熟練掌握知識點推理證明是解題的關(guān)鍵．[發(fā)現(xiàn)結(jié)論]結(jié)論1：根據(jù)角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)，推出，，即可得出；結(jié)論2：根據(jù)已知，和結(jié)論1，得出，根據(jù)角平分線的定義得出，進一步推出，利用證明，即可得出；[應(yīng)用結(jié)論]（1）根據(jù)過點作的垂線交于點，得出，推出，結(jié)合結(jié)論2：，利用證明，即可證明；（2）連接，，延長交于點，根據(jù)垂線的定義得出，由結(jié)論2得：，由（1）過程得：，根據(jù)等邊對等角、勾股定理、全等三角形的性質(zhì)，推出，，，根據(jù)對頂角相等得出，推出，進一步得出，，根據(jù)等角對等邊得出，，即可證明．【詳解】解：[發(fā)現(xiàn)結(jié)論]結(jié)論1：∵是的平分線，的延長線交外角的平分線于點，∴，，∴，又∵，∴，故答案為：；結(jié)論2：∵，由結(jié)論1得，∴，∵是的平分線，過點作的垂線交于點，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，故答案為：相等（或）；[應(yīng)用結(jié)論]（1）證明：∵過點作的垂線交于點，∴，∴，∵，∴，∴，又∵由結(jié)論2得：，∴在和中，∴，∴；（2）證明：如圖，連接，，延長交于點，∵過點作的垂線交于點，∴，∵由結(jié)論2得：，由（1）過程得：，∴，，，∴，，∴，，∴，，∴．2．（2024·寧夏·中考真題）如圖，在中，點是邊的中點，以為直徑的經(jīng)過點，點是邊上一點（不與點重合）．請僅用無刻度直尺按要求作圖，保留作圖痕跡，不寫作法．(1)過點作一條直線，將分成面積相等的兩部分；(2)在邊上找一點，使得．【答案】(1)作圖見詳解(2)見解析【分析】本題主要考查圓與三角形的綜合，掌握中線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形中線平分三角形面積作圖即可；（2）根據(jù)直徑或半圓所對圓心角為直角，可得，結(jié)合可得AD是線段的垂直平分線，如圖所示，連接交AD于點，連接CE并延長交AB于點，可證，可得，由此即可求解．【詳解】（1）解：∵點是邊的中點，∴，∴根據(jù)三角形中線平分三角形面積，作圖如下，∴（2）解：∵以為直徑的經(jīng)過點，∴，即，又∵，∴AD是線段的垂直平分線，∴，∴，AD平分，即，如圖所示，連接交AD于點，連接CE并延長交AB于點，∴，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，∴，∴．3．（2024·山西·中考真題）綜合與探究問題情境：如圖，四邊形是菱形，過點作于點，過點作于點．猜想證明：（1）判斷四邊形的形狀，并說明理由；深入探究：（2）將圖中的繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，點，的對應(yīng)點分別為點，．①如圖，當(dāng)線段經(jīng)過點時，所在直線分別與線段AD，CD交于點，．猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②當(dāng)直線與直線CD垂直時，直線分別與直線AD，CD交于點，，直線與線段CD交于點．若，，直接寫出四邊形的面積．【答案】（1）矩形，理由見解析；（2）①，理由見解析；②或【分析】（1）由和菱形性質(zhì)得，．可證四邊形為矩形；（2）①由菱形和旋轉(zhuǎn)得性質(zhì)證，可證；②分情況討論：當(dāng)點在線段上時，當(dāng)點在線段延長線上時，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】解：（1）四邊形為矩形．理由如下：，

，四邊形為菱形，∴，∴，，∴，四邊形為矩形．（2）①．理由如下：∵四邊形為菱形，，旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，．②解：如圖所示，當(dāng)點N在線段上時，過點A作于P，∵四邊形是菱形，∴，，∵，∴，，∴，由旋轉(zhuǎn)知：，，，∴，∵，∴，∴，∴四邊形為矩形，∵，∴四邊形為正方形，∴，∵，∴，，∴，∴，∴；當(dāng)點N在線段延長線上時，在上，過點A作于K，連接，如圖所示：

由旋轉(zhuǎn)知：，，，，∵，∴，∴，，∵四邊形是菱形，∴，，∵，∴，，∴，，∵，∴四邊形為矩形，∵，∴四邊形為正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，解得，∵，∴，∴，即，∵，，∴，∴，綜上，四邊形的面積是或．【點睛】本題是正方形，菱形綜合題，主要考查正方形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，四邊形的面積等知識，熟練掌握特殊圖形的性質(zhì)與判定，添加正確的輔助線是解題關(guān)鍵．4．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，在?中，，，，為邊AB上的動點．連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，過點作，交直線AD于點．連接、DE，分別取、DE的中點、，連接，交AD于點．(1)若點與點重合，則線段的長度為______．(2)隨著點的運動，與的長度是否發(fā)生變化？若不變，求出與的長度；若改變，請說明理由．【答案】(1)(2)不變，，【分析】（1）當(dāng)點與點重合時，、、、、共線，，為的中位線，即可求出的長度．（2）構(gòu)造，使為的中位線，再構(gòu)造，進而證得是等邊三角形，得出．然后由和為等邊三角形，推導(dǎo)出，然后再由，最后得出和的長度不變．【詳解】（1）解：當(dāng)點與點重合時，如圖①，∵四邊形是平行四邊形，∴，，，．∵將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，∴，，∴是等邊三角形，∴．，∴、、三點共線，∵，，∴、、、共線，∵點、分別是，的中點，∴．∴．故答案為：．（2）解：結(jié)論：不變．如解圖②，連接并延長到點，使得，連接，，延長EG，交于點，連接．延長AB至點，使得，連接，，設(shè)與AD交于點，∵四邊形是平行四邊形，∴，，，．∵點為DE中點，∴．∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，．∵，，∴，．∴四邊形為平行四邊形，∴，∵∴．在平行四邊形中，∵，，∴，∵，∴是等邊三角形，∴．，由旋轉(zhuǎn)得，，∵，，∴，，∴，又，，∴（）．∴，∴為等邊三角形．∵點、為、的中點，∴為的中位線，．∵．∴．即的長度不變；∵和都為等邊三角形．∴，，，，∴，∴（）．∴．∵，∴，∴為等邊三角形．同理：為等邊三角形．∴．，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，，，∴．∵為的中位線，∴，∴，∴，∵是的中點，∴為中點，∴，∴．故和的長度都不變．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形和等邊三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)以及平行線分線段成比例．本題的難點是構(gòu)造得出．5．（2024·江蘇徐州·中考真題）已知：如圖，四邊形為正方形，點E在的延長線上，連接．(1)求證：；(2)若，求證：．【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確識別圖形，理解角與角之間的關(guān)系，熟練找出和的全等條件．（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明，然后根據(jù)全等三角形的判定定理進行證明即可；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，求出和，然后進行證明即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形為正方形，，在和中，，；（2）∵四邊形為正方形，，，，，，，．6．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，已知，點，在線段上，且．請從①；②；③中．選擇一個合適的選項作為已知條件，使得．你添加的條件是：__________（只填寫一個序號）．添加條件后，請證明．【答案】①（或②）【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及平行線的判定，解答的關(guān)鍵是熟記全等三角形的判定定理與性質(zhì)并靈活運用．利用全等三角形的判定定理進行分析，選取合適的條件進行求解，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及平行線的判定證明即可．【詳解】解：可選?、倩颌冢ㄖ贿x一個即可），證明：當(dāng)選取①時，在與中，，，，，，，在與中，，，，；證明：當(dāng)選取②時，在與中，，，，，，，在與中，，，，；故答案為：①（或②）7．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，，平分，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)過點B作于點G，若，請直接寫出四邊形的形狀．【答案】(1)證明見詳解(2)四邊形為正方形【分析】（1）由角平分線的定義可得出，由平行線的性質(zhì)可得出，等量代換可得出，利用證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，結(jié)合已知條件可得出四邊形是平行四邊形．（2）由已知條件可得出，由平行四邊形的性質(zhì)可得出，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出，，由全等三角形的性質(zhì)可得出，等量代換可得出，即可得出四邊形為正方形．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，由∵，∴四邊形是平行四邊形．（2）四邊形是正方形．過點B作于點G，∴，∵四邊形是平行四邊形．∴，，∴，，∴，，由（1），∴，∵，∴，∴，∴四邊形是正方形．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定以及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，正方形的判定，以及平行線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定以及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵．8．（2024·山東濟南·中考真題）如圖，在菱形中，，垂足為，垂足為．求證：．【答案】證明見解析．【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定以及性質(zhì)，由菱形的性質(zhì)得出，用證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出，由線段的和差關(guān)系即可得出．【詳解】證明：四邊形是菱形考點四等腰三角形?考向一等腰三角形的定義及性質(zhì)1．（2024·寧夏·中考真題）如圖，在正五邊形的內(nèi)部，以邊為邊作正方形，連接，則．【答案】81【分析】本題考查正多邊形的內(nèi)角問題，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等．先根據(jù)正多邊形內(nèi)角公式求出，進而求出，最后根據(jù)求解．【詳解】解：正五邊形中，，，正方形中，，，，，，，故答案為：81．2．（2024·山東濟南·中考真題）如圖，已知，是等腰直角三角形，，頂點分別在上，當(dāng)時，．【答案】/65度【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到，等邊對等角，得到，再根據(jù)角的和差關(guān)系求出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵是等腰直角三角形，，∴，∵，∴，∴；故答案為：．3．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，在和中，，，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，當(dāng)時，的度數(shù)是．【答案】或【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分兩種情況分別畫出圖形，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)與角的和差運算可得答案；【詳解】解：如圖，當(dāng)時，延長交于，∵，，∴,∴；如圖，當(dāng)時，延長交于，∵，，∴,∴，故答案為：或4．（2024·湖南·中考真題）若等腰三角形的一個底角的度數(shù)為，則它的頂角度數(shù)為°．【答案】100【分析】本題主要考查了等腰三角形兩底角相等，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合等腰三角形兩底角相等，求出它的頂角度數(shù)即可．【詳解】解：∵等腰三角形的一個底角的度數(shù)為，∴它的頂角度數(shù)為：，故答案為：100．5．（2024·山東德州·中考真題）在中，，，點D是上一個動點（點D不與A，B重合），以點D為中心，將線段順時針旋轉(zhuǎn)得到線．(1)如圖1，當(dāng)時，求的度數(shù)；(2)如圖2，連接，當(dāng)時，的大小是否發(fā)生變化？如果不變求，的度數(shù)；如果變化，請說明理由；(3)如圖3，點M在CD上，且，以點C為中心，將線CM逆時針轉(zhuǎn)得到線段CN，連接EN，若，求線段EN的取值范圍．【答案】(1)(2)的大小不發(fā)生變化，，理由見解析(3)【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，由等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理得到，由三角形外角的性質(zhì)得，進而可求出的度數(shù)；（2）連接交于點O，證明得，再證明即可求出的度數(shù)；（3）過點C作于H，求出，則；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，設(shè)，則；如圖所示，過點D作于G，則可得到，，由勾股定理得；證明，在中，由勾股定理得；再求出，即可得到．【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得．∵，，∴．∵，∴，∴；（2）解：的大小不發(fā)生變化，，理由如下：連接交于點O，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，∴，∴，又∵，∴，∴∴，∵，∴，∴；（3）解：如圖所示，過點C作于H，∵，，∴，∵，∴；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，設(shè)，∵，∴，如圖所示，過點D作于G，∵，，∴，∵，∴，，在中，由勾股定理得，∴,∵，∴，在中，由勾股定理得，∴或（舍去）；∵點D是上一個動點（點D不與A，B重合），∴，即，∴，∴．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊對等角等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，已知內(nèi)接于，是的直徑，的平分線交于點，過點作，交的延長線于點，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的直徑．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（）連接，由角平分線可得，又由可得，即得，由得，進而可得，即得，即可求證；（）是的直徑可得，又由（）知，由，，進而可得，再根據(jù)，，，可得，得到，，解得到，再解即可求解；本題考查了角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理，三角函數(shù)，掌握圓的有關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：連接，∵平分，∴，∵