試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁【高中數學競賽真題?強基計劃真題考前適應性訓練】專題01集合真題專項訓練（全國競賽+強基計劃專用）一、單選題1．（2020·北京·高三?？紡娀媱潱┰OA，B，C是集合的子集，且滿足，這樣的有序組的總數是（

）A． B． C． D．2．（2021·全國·高一專題練習）已知非空集合是集合的子集，若同時滿足兩個條件：（1）若，則；（2）若，則；則稱是集合的“互斥子集”，并規(guī)定與為不同的“互斥子集組”，則集合的不同“互斥子集組”的個數是（

）A． B． C． D．3．（2021·北京·高三強基計劃）現有7把鑰匙和7把鎖．用這些鑰匙隨機開鎖，則這三把鑰匙不能打開對應的鎖的概率是（

）A． B． C． D．以上答案都不對4．（2021·全國·高一專題練習）設集合S，T，S，T中至少有2個元素，且S，T滿足：①對于任意的，若，則；②對于任意的，若，則.若S有3個元素，則T可能有（

）A．2個元素 B．3個元素 C．4個元素 D．5個元素5．（2021·北京·高三強基計劃）設正整數m，n均不大于2021，且，則這樣的數組的個數為（

）A．2021 B．1428C．3449 D．以上答案都不對二、填空題6．（2022·新疆·高二競賽）設集合中的最大元素與最小元素分別為M，N，則___________．7．（2022·浙江·高二競賽）已知集合，若集合A中恰有9個正整數，則______.8．（2020·江蘇·高三競賽）設，歐拉函數表示在正整數1，2，3，…，中與互質的數的個數，例如1，3都與4互質，2，4與4不互質，所以，則__________．9．（2022·廣西·高二統(tǒng)考競賽）設、是集合的兩個子集，，且時．記為的元素之和，則的最大值是______．10．（2022·福建·高二統(tǒng)考競賽）已知，，…，是集合的n個非空子集，如果對于任意的i，，均有，則n的最大值為___________.11．（2022·浙江金華·高三浙江金華第一中學?？几傎悾┒x：如果甲隊贏了乙隊，乙隊贏了丙隊，而丙隊又贏了甲隊，則稱甲乙丙為一個“友好組”.如果20支球隊參加單循環(huán)比賽，則友好組個數的最大值為__________.12．（2021·全國·高三競賽）已知非空集合，用表示集合中最大數和最小數的和，則所有這樣的的和為_____.13．（2020·浙江·高三專題練習）記為集合S的元素個數，為集合S的子集個數，若集合A，B，C滿足：①；②，則的最大值是____________.14．（2022·全國·高三專題練習）已知，集合，集合的所有非空子集的最小元素之和為，則使得的最小正整數n的值為______．15．（2022·浙江·高二競賽）給定正整數n，，記從的一一映射f稱為是可劃分的：若X可劃分為k個非空子集，，…，，且（，2，…，k）（即，且，，…，兩兩的交集為空集，）.已知f是一個X的劃分的一一映射，，，…，是1，2，…，n的一個排列，則的最小值為______.16．（2022·北京·高一統(tǒng)考競賽）對實數，不超過的最小值的最大整數為__________．17．（2022·北京·高一統(tǒng)考競賽）有__________個不超過2020的正整數k，滿足對任意的正整數n，均有．三、解答題18．（2021·浙江·高二競賽）設數集，它的平均數.現將分成兩個非空且不相交子集，，求的最大值，并討論取到最大值時不同的有序數對的數目.19．（2022·福建·高二統(tǒng)考競賽）某校數學興趣小組有14位同學，他們組成了n個不同的課題組.每個課題組有6位同學，每位同學至少參加2個課題組，且任意兩個課題組至多有2位共同的同學，求n的最大值.20．（2022春·浙江·高一校聯考競賽）已知，求最大的實數，使得對任意大于2022的正整數及實數，存在集合的一個子集滿足對所有恒成立且.21．（2021·全國·高三競賽）設集合是由平面上任意三點不共線的4039個點構成的集合，且其中2019個點為紅色，2020個點為藍色；在平面上畫出一組直線，可以將平面分成若干區(qū)域，若一組直線對于點集滿足下述兩個條件，稱這是一個“好直線組”：（1）這些直線不經過該點集中的任何一個點；（2）每個區(qū)域中均不會同時出現兩種顏色的點.求的最小值，使得對于任意的點集，均存在由條直線構成的“好直線組”.22．（2021·全國·高三競賽）已知是一個有限集.是滿足如下性質的兩個分劃：若，則.求的最小值.23．（2021·全國·高三競賽）設是連續(xù)個正整數組成的集合，求最小的正整數k，使得M的任何k元子集中都存在個數滿足．24．（2021·全國·高三競賽）設n是正整數，我們說集合的一個排列具有性質P，是指在當中至少有一個i，使得.求證：對于任何n，具有性質P的排列比不具有性質P的排列的個數多.25．（2023·全國·高三專題練習）設數列（）的各項均為正整數，且.若對任意，存在正整數使得，則稱數列具有性質.（1）判斷數列與數列是否具有性質；（只需寫出結論）（2）若數列具有性質，且，，，求的最小值；（3）若集合，且（任意，）.求證：存在，使得從中可以選取若干元素（可重復選取）組成一個具有性質的數列.26．（2019·浙江·高三校聯考競賽）設X是有限集，t為正整數，F是包含t個子集的子集族：F=.如果F中的部分子集構成的集族S滿足：對S中任意兩個不相等的集合A、B，均不成立，則稱S為反鏈.設S1為包含集合最多的反鏈，S2是任意反鏈.證明：存在S2到S1的單射f，滿足或成立.27．（2022·全國·高三專題練習）對給定的正整數，令，，，，，，2，3，，．對任意的，，，，，，，，定義與的距離．設是的含有至少兩個元素的子集，集合，，中的最小值稱為的特征，記作（A）．（Ⅰ）當時，直接寫出下述集合的特征：，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，，0，，，1，，，1，．（Ⅱ）當時，設且（A），求中元素個數的最大值；（Ⅲ）當時，設且（A），求證：中的元素個數小于．28．（2022·全國·高三專題練習）班級里共有名學生，其中有，，．已知，，中任意兩人均為朋友，且三人中每人均與班級里中超過一半的學生為朋友．若對于某三個人，他們當中任意兩人均為朋友，則稱他們組成一個“朋友圈”．（1）求班級里朋友圈個數的最大值．（2）求班級里朋友圈個數的最小值．29．（2022·浙江杭州·高三學軍中學?？几傎悾┪覀兎Q為“花式集合”，如果它滿足如下三個條件：（a）；（b）的每個元素都是