試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)【高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽真題?強(qiáng)基計(jì)劃真題考前適應(yīng)性訓(xùn)練】專題14初等數(shù)論真題專項(xiàng)訓(xùn)練（全國(guó)競(jìng)賽+強(qiáng)基計(jì)劃專用）一、單選題1．（2021·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）2021年是北大建校123周年，則滿足建校n周年的正整數(shù)n能整除對(duì)應(yīng)年份的n的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．8 C．12 D．前三個(gè)選項(xiàng)都不對(duì)2．（2021·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)a，b是正整數(shù)n的正因數(shù)，使得，則n可以等于（

）A． B．C． D．前三個(gè)選項(xiàng)都不對(duì)3．（2021·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）在十進(jìn)制下的末兩位數(shù)字是（

）A．01 B．21 C．81 D．前三個(gè)選項(xiàng)都不對(duì)4．（2021·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)n為正整數(shù)，且是完全平方數(shù)，則這樣的n的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2C．無(wú)窮個(gè) D．前三個(gè)選項(xiàng)都不對(duì)5．（2021·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)，若，則n的最小值為（

）A．71 B．72 C．80 D．816．（2021·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）方程的正整數(shù)解的組數(shù)為（

）A．0 B．2 C．無(wú)窮多 D．以上答案都不對(duì)7．（2021·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）已知，則S的個(gè)位數(shù)字是（

）A．4 B．5 C．7 D．以上答案都不對(duì)8．（2021·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）方程的整數(shù)解的組數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．以上答案都不對(duì)9．（2020·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）已知整數(shù)數(shù)列滿足，且對(duì)任意，有，則的個(gè)位數(shù)字是（

）A．8 B．4 C．2 D．前三個(gè)答案都不對(duì)10．（2021·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)正整數(shù)，且是完全平方數(shù)，則可能的n的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不對(duì)11．（2020·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）對(duì)于不小于3的正整數(shù)n，若存在正整數(shù)使得構(gòu)成等差數(shù)列，其中為組合數(shù)，則稱n為“理想數(shù)”．不超過(guò)2020的“理想數(shù)"的個(gè)數(shù)為（

）A．40 B．41 C．42 D．前三個(gè)答案都不對(duì)12．（2020·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）在的全體正因數(shù)中選出若干個(gè)，使得其中任意兩個(gè)的乘積都不是平方數(shù)則最多可選因數(shù)個(gè)數(shù)為（

）A．16 B．31 C．32 D．前三個(gè)答案都不對(duì)13．（2020·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）方程的整數(shù)解個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．8 C．16 D．前三個(gè)答案都不對(duì)14．（2019·北京·高三?？紡?qiáng)基計(jì)劃）已知不定方程有正整數(shù)解，則正整數(shù)n的最小值為（

）A．11 B．13 C．15 D．1715．（2019·北京·高三?？紡?qiáng)基計(jì)劃）滿足方程的有序正整數(shù)組的個(gè)數(shù)為（

）A．12 B．13 C．24 D．2516．（2019·北京·高三校考強(qiáng)基計(jì)劃）在十進(jìn)制數(shù)下，設(shè)a是的各位數(shù)字之和，而b是a的各位數(shù)字之和，則b的各位數(shù)字之和是（

）A．5 B．6 C．7 D．1617．（2021·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）若為非負(fù)整數(shù)，則方程的解有（

）A．83組 B．84組C．85組 D．以上答案都不對(duì)18．（2021·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)是與的差的絕對(duì)值最小的整數(shù)，是與的差的絕對(duì)值最小的整數(shù)．記的前n項(xiàng)和為，的前n項(xiàng)和為，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不對(duì)二、多選題19．（2021·北京·高三?？紡?qiáng)基計(jì)劃）若x，y為兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)，n為不小于2的正整數(shù)且，則（

）A．存在奇數(shù)n符合題意 B．不存在奇數(shù)n符合題意C．存在偶數(shù)n符合題意 D．不存在偶數(shù)n符合題意20．（2020·北京·高三?？紡?qiáng)基計(jì)劃）設(shè)的三邊長(zhǎng)a，b，c都是整數(shù)，面積是有理數(shù)，則a的值可以為（

）A．1 B．2 C．3 D．421．（2020·北京·高三?？紡?qiáng)基計(jì)劃）設(shè)x，y為不同的正整數(shù)，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．與不可能同時(shí)為完全平方數(shù)B．與不可能同時(shí)為完全平方數(shù)C．與不可能同時(shí)為完全平方數(shù)D．以上答案都不正確三、填空題22．（2018·江西·高三競(jìng)賽）、為正整數(shù)，滿足，則所有正整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．23．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）設(shè)n為正整數(shù).從集合中任取一個(gè)正整數(shù)n恰為方程的解的概率為_(kāi)______（表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)）.24．（2018·安徽·高三競(jìng)賽）設(shè)n是正整數(shù)，且滿足，則n=__________.25．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）用表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù).則__________．26．（2018·山東·高三競(jìng)賽）已知，，且為方程的一個(gè)根，則的最大可能值為_(kāi)_____．27．（2021·全國(guó)·高三競(jìng)賽）為正整數(shù)列，滿足為的最小素因子，，構(gòu)成集合A，P為所有質(zhì)數(shù)構(gòu)成的集合，則集合的最小元素為_(kāi)__________．28．（2021·全國(guó)·高三競(jìng)賽）集合整除中元素的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.29．（2020·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）已知表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，記，則方程的整數(shù)解個(gè)數(shù)為_(kāi)_________．30．（2021·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）若可化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，則_________．31．（2021·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）若正整數(shù)m，n滿足，則有_________組．32．（2021·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）若存在正整數(shù)n，使得，則正整數(shù)m的最大值是_________．33．（2021·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）已知表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則的值域?yàn)開(kāi)________．34．（2020·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）已知表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如等，則__________．35．（2021·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）已知是常數(shù)項(xiàng)不為0的整系數(shù)多項(xiàng)式，，則中有_________項(xiàng)為0．四、解答題36．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）求最小的兩個(gè)正整數(shù)m，使得為完全平方數(shù).37．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）證明：存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)n，使得，其中，[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)．38．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）求所有素?cái)?shù)p，使得.39．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）證明：存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)，使得對(duì)于這些素?cái)?shù)中的每一個(gè)p，至少存在一個(gè)，滿足.40．（2018·江西·高三競(jìng)賽）求最小的正整數(shù)，使得當(dāng)正整數(shù)點(diǎn)時(shí)，在前個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合中，對(duì)任意總存在另一個(gè)數(shù)且，滿足為平方數(shù)．41．（2019·全國(guó)·高三校聯(lián)考競(jìng)賽）求滿足以下條件的所有正整數(shù)n：（1）n至少有4個(gè)正因數(shù)；（2）若是n的所有正因數(shù)，，構(gòu)成等比數(shù)列.42．（2019·上?！じ呷Ｂ?lián)考競(jìng)賽）求證：不存在無(wú)窮多項(xiàng)的素?cái)?shù)數(shù)列，使得.43．（2019·吉林·高三校聯(lián)考競(jìng)賽）求所有的正整數(shù)n，使得方程有正整數(shù)解.44．（2019·江西·高三校聯(lián)考競(jìng)賽）試求所有由互異正奇數(shù)構(gòu)成的三元集{a，b，c}，使其滿足：.45．（2021·全國(guó)·高三競(jìng)賽）求方程的所有正整數(shù)解．46．（2021·全國(guó)·高三競(jìng)賽）求方程的整數(shù)解，其中p?q是質(zhì)數(shù)，r?s是大于1的正整數(shù)，并證明所得到的解是全部解.47．（2021·全國(guó)·高三競(jìng)賽）證明：對(duì)任意正整數(shù)，都存在正整數(shù)和個(gè)互不相同的正整數(shù)，使是完全平方數(shù)．48．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）對(duì)于素?cái)?shù)p，定義集合.及.試求所有的素?cái)?shù)p，使得.49．（2021·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知是兩個(gè)整數(shù)集合，且對(duì)于任意整數(shù)，存在