最新華師大版九年級數(shù)學數(shù)學導學案

（全冊附答案）

21.1二次根式

第一課時

課前知識管理（從教材出發(fā)，向?qū)毑乜v深）

二次根式的概念：一般地，我們把形如正（aNO）的式子叫做二次根式.二次根式的概

念主要包括三點內(nèi)容：①二次根式必須含有二次根號“、廠”；②二次根式五（a20）是非

負數(shù)a的算術(shù)平方根，當。>0時，Va>0；當a=0時，=0.③在二次根式中被

開方數(shù)a可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，并且被開方數(shù)必須是非負的.

名師導學互動（切磋琢磨，方法是制勝的法寶）

典例精析

類型一：二次根式的識別

例1、小明在作業(yè)本上寫出了以下幾個式子，你認為是二次根式的有.①后；

②扃;③揚一1；@ylx2+y2；⑤“2+2011；⑥（只填序號）

【解題思路】在式子中只有當被開方數(shù)a是非負數(shù)時，夜才是二次根式，因為

22

25>0,x+/>0,a+2011>0,所以后、次+/、）/+？0n是二次根式.

【解】①、④、⑤.

【方法歸納】理解二次根式的定義是判斷一個式子是否為二次根式的基本前提，一個式

子是否為二次根式.要有以下兩個條件：①被開方數(shù)為非負數(shù)；②根指數(shù)為2,不要誤認為只

要帶有二次根號，就為二次根式.

類型二：確定二次根式中被開方數(shù)所含字母的取值范圍

例2、函數(shù)3的自變量x的取值范圍是_______________.

x—3

【解題思路】二次根式要有意義，被開方數(shù)必須大于或等于零；分式要有意義，分母必

須為等于零.此函數(shù)既含有二次根式又含有分式，必須同時使它們有意義.

【解】x+l>0,x-3^0,即1,且XH3.

【方法歸納】函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：（1）當函數(shù)表達式是整式時，自

變量可取全體實數(shù)；（2）當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母為能為0；（3）當函數(shù)的

表達式是二次根式時，被開方的數(shù)為非負數(shù).

類型三：二次根式的非負數(shù)性的應用

例3、代數(shù)式a+2JR-Ji二I+3的值等于.

【解題思路】根據(jù)二次根式的意義先求出。的值，再對式子化簡.

1—a20

【解】根據(jù)二次根式的意義，可知〈，解得。=1,???

a-1>0

。+2Ja-1-yjl—ci+3=1+3=4.

【方法歸納】主要考查二次根式的意義，二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)，二次根式才有

意義.

例4、當l<x<4時，|x-4|+y/x2-2x+l-.

【解題思路】根據(jù)已知條件判斷出x-4戶-1的符號，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)、去絕對

值的法則解答.

【解】1<x<4,x-4<0,x-l>0.原式=|x-4|+J(x-l)，=4-x+x-l=3.

【方法歸納】解答此題，要弄清二次根式的非負性及去絕對值的符號法則。

類型四：實踐應用題

例5、生活經(jīng)驗表明，靠墻擺放梯子時，若梯子底端離墻的距離約為梯子長度的1，則

3

梯子最穩(wěn)定.如圖，現(xiàn)有一長度為6米的梯子，當梯子穩(wěn)定擺放時，他的頂端能達到5.6米

高的墻頭嗎？(、5=1.414)

【解題思路】由已知可得當AB=6時，BC=-AB=2,由勾股定理求得AC的值即可比較出

3

結(jié)果.

【解】能.當BC=』AB時，：AB=6,BC=2.在R/aABC中，由勾股定理得：

3

AC=dAB?-BC?7c-方=岳=4拒=4x1.414=5.656（米）...丐656>5.6,

???梯子頂端能到5.6米高的墻頭.

2—x20

【錯解】Vx>0,：.0^x^2.

l+Vx*o

【錯因分析】這是一道容易混淆的兩個概念的例子，解答中XN0是多余的，出現(xiàn)此錯

誤也是混淆了二次根式與三次根式的本質(zhì)區(qū)別.二次根式要求被開方數(shù)非負，三次根式對被

開方數(shù)沒有要求.

2—x20

【正解】由題意得:，xW2且xWT.

l+Vx*0

課堂練習評測（檢驗學習效果的時候到了，快試試身手吧）

知識點1：二次根式的概念

1、若GT是一個二次根式，則（）

A、a>\,y/a-l>0B、a>1,y}a-\<0C、a>\,yfa-1>0D、

a>1,Ja-l<0

2、在式子Ja+4,中，是二次根式的有一

知識點2：確定二次根式中被開方數(shù)的取值范圍

3、如果是二次根式，那么a,b應滿足.

4、若hn-l有意義,則加能取的最小整數(shù)值是（）

A、加=0B>m=\C'm=2D、加=3

課后作業(yè)練習

一、選擇題：

1、要使式子M王有意義，a的取值范圍是（）

a

A.a#0B.a>—2且a#0C.a>—2或a#0D.2且aWO

x=2[mx+=8-

3、已知〈1是二元一次方程組^的解，則2小一〃的算術(shù)平方根為

y=I[nx-my=I

（）.

A.4B.2C.也D.±2

4^若a、b為實數(shù)，且滿足|a—2|+匚記二0,則b—a的值為（

)

A.2B.0C.-2D.以上都不對

5、下列各式中，計算正確的是()

A、4)x(—16)=J-4xJ-16=—2x(—4)=8

B、次7=4a(a>0)

C、打+42=3+4=7

D、4CP=j41+40xJ41-40=9

6、對五二5(x22)有下面幾種說法：①是二次根式；②JT與是非負數(shù)x-2的

算術(shù)平方根；③是非負數(shù)；④是非負數(shù)》-2的平方根.其中正確的說法有

()種.

A、2B、3C、4D、以上都不對

7、下列一定是二次根式的是()

A、V-x-2B、4xC、V%*2-2D、J/+2

二、填空題：

8、二次根式一;J—有意義的條件是_______________.

Vx-2

9、若整數(shù)機滿足條件J(加+1)2=加+1且加<忑，則加的值是,

10、若為實數(shù),且|x+2|+J戶=0,則(8+歷2。］。的值為.

12、已知實數(shù)在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，化簡：

MH(-J-6)==___.

b0a

三、解答題：

13、已知x=2-Ji萬，想一想代數(shù)式V—4x—6的值是多少？

,11,1

14、先觀察下列等式，再回答問題：①,=1'!--------=1一;

2211+12

②J,"三1+?1=1,+1111

?、?+

22+14233+1IB

(1)請根據(jù)上面三個等式提供的信息，猜想的結(jié)果.

(2)請按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出用〃(〃為正整數(shù))表示的等式.

計算：(1)；(2)；(3)

17、已知實數(shù)。滿足Jx+y_8+=yj3x-y-a+yjx-2y+a+3,試問長

度分別為的三條線段能否組成一個三角形？如果能，請求該三角形的面積；如果不

能，請說明理由.

課堂作業(yè)參考答案：

1、A

'y

->0,a^0

4、B

課后作業(yè)答案：

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】C

4.答案：D

5.答案：B

6.答案：D

7.答案：xNO且XW4.

8.【答案】0或一1

9.【答案】1

10.答案：2a

11.解：因x=2—亞，所以x—2=亞，(x-2)2=(V10)2,X2-4X+4=10,

x~-4x=6,故x~-4x—6—0.

12.解

I+*+帚一三=1號(〃為正整數(shù))?

2422

13.答案：(1)—；(2)-；(3)x+y

x+y-8之0

14.解：根據(jù)二次根式的意義，得：，解得x+y=8.所以

8-x-^>0

3x-y-a=0入

y/3x-y-a+y]x-2y+a+3=0,根據(jù)非負數(shù)的意義，得：＜二.八，解得:

x-2y+a+3=0

x=3,y=5,。=4.故可組成直角三角形，其面積為6.

21.1二次根式

第二課時

學習目標：

1、經(jīng)歷二次根式性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程，體驗歸納、猜想的思想方法。

2、了解二次根式的兩個性質(zhì)。.

3、會運用兩個性質(zhì)進行有關計算。

重點難點：

重點是理解二次根式的兩個性質(zhì).

難點是靈活運用兩個性質(zhì)進行有關計算。

學習過程：

一、想一想

1、回顧絕對值.的性質(zhì)完成以下填空：

'一⑷。)

|a|=*(a=0)

―30)

2、回顧平方根的定義完成以下填空：

你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?

二次根式性質(zhì)1：(Va)2=a(a>0)

二、練一練

填空：I2|=

，(-5)2=______,I-5|=;

請比較對編場的式子，議一議:而甲扁有么關

系？當時，在=2;；當時，值=一。.

a(?>0)

二次根式性質(zhì)2：

-a(a〈0)

三、學一學

例1化簡二

解：(l)Y(T0)2—(^TT)2；

四、查一查(獨立僦%(施)Z)"算“25—(一；

(i)V(-1)2=______。)_,(3)(-V3)=

(7)數(shù)4在數(shù)袖上的位置如圖，則

01III-

-2-101

(8)如圖，尸小,2)是直角坐標系

中一點，求點P到原點的距離.

五.、談一談

回顧本節(jié)課的學習談一談你的收獲和體會

六、比一比(完成后組長批閱并指導糾錯)

當堂小測驗

1、下列等式不成立的是()

A、(-V7)2=7B、(-V5)2=-5C、-7(-3)2=-3D、J(-2產(chǎn)=2

2、J(x-2!=x-2,那么x的取值范圍是()

A^xWB、x<2C、xN2D、x>2

3、若a<l,化簡J(a-1)2-1=()

A.?3-2B”2—aC.aD.—a

4、若正比例函數(shù)_y=(a-2)x的圖象經(jīng)過第一、三象限，化簡J(a—I)'的結(jié)果為.

5、計算:

(1)3)3(2)(島2；

6、已知2<xV3,化簡："(x-2)~+|x—3|.

7、(選做題)長為a的正方形桌面，正中間有一個邊長為巴的正方

3

形方孔.若沿圖中虛線鋸開，可以拼成一個新的正方形桌面.你會

拼嗎？試求出新的正方形邊長.

(第3題)

8、閱讀下面的文字后，回答問題:

甲、乙兩人同時解答題目：“化簡并求值：a+Jl—6a+9a2,其中。=5.”甲、乙兩人的

解答不同;

2

甲的解答是：a+y/l-6a+9a=a+J(l-3a)~=a+l-3a-l-2a=-9.

乙的解答是：a+yj1-6a+9a2=a+-)?=。+3。一1=4a-1=19.

(1)的解答是錯誤的.

(2)錯誤的解答在于未能正確運用二次根式的性質(zhì)：.

(3)模仿上題解答，化簡并求值：|1-H+Jl-8a+l6a2,其中。=2.

21.2二次根式的乘除法

第一課時

學習目標：

1、掌握二次根式的乘法法則并會應用它進行二次根式的乘法運算

2、會利用公式/石=&-4b(aNO,bNO)進行二次根式的化簡

3、經(jīng)歷觀察，比較，總結(jié)和應用等數(shù)學活動過程，感受和體驗發(fā)現(xiàn)的快樂，并提高應

用意識。

學習重點：4a,4b-4ab(a>0,b>0),

學習難點：發(fā)現(xiàn)規(guī)律導出JZ?、歷=瘋(aNO,bNO)

教學過程：

活動一

一、做一做(獨立完成，疑難問題小組合作)

1、計算下列各題，觀察.計算結(jié)果：

(1)74x725=J4x25=

(2)V16xV9=716x9=

二、想一想：

1、觀察以上計算的結(jié)果你發(fā)現(xiàn)了怎樣的結(jié)論？

2、兩個二次根式相乘可以怎樣計算？

3、對于任意兩個二次根式相乘是否都可以這樣算？

猜想：72x7372^3

請解釋說明你的結(jié)論：

三、歸納一下：

4a-4b=(a20,b20).

文字語言：兩個二次根式相乘，.

注意，在上式中，a、b都表示非負數(shù).在本章中，如果沒有特別說明，字母都表示正

數(shù).

四、試一試

1、口答下列各題:

6X也=;V3xV5=

V7xV2=V?xVsxV2=

2、計算：

(1)x-\/6；.

⑶石?亞?(4)2V5X3V2

活動二

.一、探究一下

公式C,\[h(a>0,b>0)

可逆用得：_____________________________________

用文字語言敘述公式含義：

積的算術(shù)平方根，等于___________________________

7379=716x9=

二、用一用

利用這個性質(zhì)可以進行二次根式的化簡.

閱讀課本例2的化簡過程思考問題：

(1)分別說明被開方數(shù)變成了哪些因式的積？為什么這樣變？

(2)怎樣的因式能開方出來？

(3)因式開方出來主要應用了那個公式？應注意什么問題？

三、練一練

(1)化簡：.V20V18V24V54“2a2bz

(2)計算下列各式，并將所得的結(jié)果化簡：

7376；V3a-V15a.718x730；

"8abxd6ab

課堂小結(jié)：

1、通過今天的學習你有什么收獲？

2、化簡二次根式的方法以及公式的準確運用。

當堂檢測

1、判斷下列各式是否正確。

①正4)*(-9)=戶*口()

②J3a2/=ab43b.()

③*2x麗=4*J?X廂=4X3=12(.)

V16V16

2.化簡，使被開方數(shù)不含完全平方的因式(或因數(shù)):

V12；后;V250；732/

3、計算：

(1)V21xV35；(2)回?癡;

(3)J8abx』6ab3

當堂檢測

答案:

1、判斷下列各式是否正確。

①義；②J；③X.

2.化簡，使被開方數(shù)不含完全平方的因式(或因數(shù)):

2石；2aV2a；5如；4A&.

3、計算：

(1)7厲；(2)2揚；(3)4瓜白.

21.2二次根式的乘除法

第二課時

教學目標

1、理解二次根式的除法公式及其逆用，并能利用他們進行計算

理解最簡二次根式的概念并運用它進行化簡。

2、培養(yǎng)學生歸納總結(jié)能力，應用數(shù)學知識解決實際問題的能力

3、培養(yǎng)學生團結(jié)合作互助的精神，激發(fā)學習數(shù)學的學習興趣。

重難點：理解二次根式除法法則，最簡二次根式的運用。

教學過程：

一、做一做

計算下列各題，觀察計算結(jié)果：

(4)華

(3)

瓜

二、想一想：

兩個二次根式相除，怎樣進行呢？商的算術(shù)平方根又等于什么？試參考前兩小節(jié)的研

究，和同伴討論，提出你的見解.

三、概括

一般地，有

(a20,b>0).

忑

文字語言敘述：兩個二次根式相除，

四、用一用

⑵魯

小題(2)還有別的解法嗎？

V24

五、知識拓展

上面得到的等式，也可以寫成

4a

忑一(aNO,b>0).

文字敘述：商的算術(shù)平方根，等于

利用這個性質(zhì)可以進行二次根式的化簡.

六、用一用

1

化筒(要求分母中不含二次根式，并且二次根式中不含分母)

7T

思考：1、二次根式的被開方數(shù)中含有分母，怎樣把它開方出來?

2、二次根式的除法，還可以采用是么方法來進行？

1

七、練一練

1..化簡：

(1)V27(2)J25a3

2.計算：

(1)721x735(2)回.屈

課堂小結(jié)：

1、通過今天的學習你有什么收獲？

2、化簡二次根式的方法以及公式的準確運用。

當堂檢測

1.化簡：

(1)V250(2)7327

145

(4)

后

2.計算:

(1)718x730⑵V3x

(3)18ab義工6ab、

V20-1

(4)(5)~ir

(6)

當堂檢測

答案：

1.化簡：

(1)5V10;(2)4V2x2；(3)2不；(4)1廊.

6

2.計算：

(1)6715(2)(3)4y/3ab2;(4)|75；(5)10"-;(6)1.

21.2二次根式的乘除法

第三課時

一、教學目標

L使學生知道什么是最簡二次根式，遇到實際式子能夠判斷是不是最簡二次根式.

2.使學生掌握化簡一個二次根式成最簡二次根式的方法.

3.使學生了解把二次根式化簡成最簡二次根式在實際問題中的應用.

二、教學重點和難點

1.重點：能夠把所給的二次根式，化成最簡二次根式.

2.難點：正確運用化一個二次根式成為最簡二次根式的方法.

教學過程：

一、知識回顧：

1、二次根式的乘法運算法則是用文字語言表達?

積的算術(shù)平方根的公式是

2、二次根式的除法運算法則用文字語言怎么表達?

商的算術(shù)平方根的公式是

3、化簡

(1)V27=飛25a，=V54=yll2a2b2=,,

二、探究問題：

1化簡時必須化到最簡形式，那么什么樣的二次根式是“最簡二次根式”呢？

2、觀察兩組題目的化簡結(jié)果，看看被開放數(shù)達到了哪些的要求才算最簡？

歸納：最簡二次根式要求滿足以下兩條：

(1)被開方數(shù)中的不含

(2)被開方數(shù)中不含_________________________

我們把符合這兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式。

2、舉出兩個最簡二次根式

3、.判斷下列各式是否為最簡二次根式？

(1)V12；(2)d45a2b；(3)V30x；

(5)4；(6)5mVm2+9；(7)25m4+225m

三、試一試：

例1:把下列各式化成最簡二次根式:

(1)V12(2)445a2b

解(1)=

(2)』45a°b=

方法總結(jié)：化簡時，往往需要把被開方數(shù)分解因式或分解因數(shù)，把被開方數(shù)中能開得

盡方的因數(shù)或因式用它的算術(shù)平方根代替后移到根號外。

練一練：(1)V32；(2)2Gb3。

例2把下列各式化成最簡二次根式:

解:

方法總結(jié)：(1)把被開方數(shù)中的帶分數(shù)化成

(2)化去根號下的

(3)化去分母中的根號。

例3把下列各式化成最簡二次根式

(1)7(-8)2-4x(-4)；(2)j25/+225〃/:

解：

方法總結(jié)：化簡時，當被開方數(shù)是和的形式時先將它化為

四、課堂小結(jié)：

本節(jié)課學習了哪些知識？

如何辨析最簡二次根式？如何化簡二次根式

當堂檢測

一、判斷下列各等式是否成立，若不成立請說出理由

二、選擇

(1)、下列各根式中，屬最簡二次根式的是()

A、V9xB、ylx2-9

(2)、如果a>0,把,一廠化成最簡二次根式的是(

2______

、2J-B、

Aab--y[ahC、—J—abD、2b-\J-ab

bbb

三解答題

1、把下列各式化為最簡二次根式：

(3)412a2b2

2、計算:

(1)V10xV27(2)15^/124-2V45

當堂檢測

答案：

一、判斷下列各等式是否成立，若不成立請說出理由

(1)J16+9=4+3；不成立.等式的左邊的被開方數(shù)是兩個數(shù)的和，不是兩數(shù)的積.

9x2

2x2=1血

V5_2

(4)=2x75.

石二5

二、選擇

(1)B；(2)B.

三解答題

1、把下列各式化為最簡二次根式:

(D-V3；(2)-^—^-；(3)26ab

618/

2、計算：

(1)3710；(2)V15.

21.2二次根式的乘除法

第四課時

課前知識管理(從教材出發(fā)，向?qū)毑乜v深)

1、二次根式乘法法則：兩個二次根式相等，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.用字母表示

為：石?、歷=J^(aN0,bN0).注意：①對于多個二次根式相乘也適用，即

&?、歷?八=/詼(。20/20,。20)；②法則中a,b可以是數(shù)也可以是代數(shù)式，只要

滿足成立條件即可；③根據(jù)這個性質(zhì)可以對二次根式進行恒等變形，或?qū)⒂械囊蚴竭m當改變

移到根號外邊，或?qū)⒏柾膺叺姆秦撘蚴狡椒胶笠频礁杻?nèi).

2、二次根式乘法法則的逆用：J拓=6?、歷(a20,620).注意：①二次根式的乘法

法則的逆用實際上就是積的算術(shù)平方根，利用它可以進行二次根式的化簡；②如果a,6都是

負數(shù)，ab>0,J拓有意義，但JZ,、歷在實數(shù)范圍內(nèi)無意義，因此應先進行符號運算，

如J-4x(-9)=J4x9=A/4xM=2x3=6.

3、二次根式除法法則：兩個二次根式相除，結(jié)果仍為二次根式，只需把被開方數(shù)相除.

用字母表示為：自書(aNQ,b>0).

4、二次根式除法法則的逆用：器=>0,b>0).注意：①二次根式的除法法則

的逆用實際上就是商的算術(shù)平方根，利用它可以進行二次根式的化簡;②如果都是負數(shù),

雖然f〉0，有意義，但后,、歷在實數(shù)范圍內(nèi)無意義，此時應先進行符號運算，如

bVb

[4_^4_2；③如果被開方數(shù)是帶分數(shù)，應先化成假分數(shù)，如，2；必須先化

=V9=V9=3

成g,以免出現(xiàn)2；=7Ix(這樣的錯誤.

5、最簡二次根式：我們把滿足被開方數(shù)不含分母且不含能開得盡方的因數(shù)或因式兩個

條件的二次根式，叫做最簡二次根式.它必須滿足兩個條件：①被開方數(shù)不含分母或小數(shù)；

②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.二次根式的計算和化簡的結(jié)果，一般都要化成

最簡二次根式.

名師導學互動(切磋琢磨，方法是制勝的法寶)

典例精析

類型一：二次根式的乘除法

例1、計算：(1)yjx+2yxy]2x+4y；(2)

【解題思路】(1)用二次根式的乘法法則進行計算，運算時應視產(chǎn)2y為一個整體；(2)

直接運用公式G匕,1…

+&=號-化簡.

2

【解】(1)yjx+2yXy]2x+4y=^2(x+2y)=(A+2/)6；

類型二：逆用二次根式的乘除法法則化簡代數(shù)式

例2、計算：(1)J(-4)x(-9)(2)

【解題思路】(1)題為具體數(shù)字的二次根式的乘、除法運算，要避免出現(xiàn)這樣的算法:

"(-4)x(-9)=CxQ=(-2)x(-3)=6.雖然結(jié)果是對的，但其計算過程是大錯特

錯，其原因是忽視了公式而=&-、年成立的前提條件/20；(2)本題為二次根

式的字母運算，方法與具體數(shù)字的二次根式的運算一樣，所不同的是要注意根號下字母的取

值范圍，此題中的a、b、c均為正數(shù).

【解】⑴4)x(-9)=V?^=2x3=6；

33

/c、bCa\bCQ3/2,221

(2)原式=-------_J—,—,————yQ~h~c~=abc.

abc\abc

類型三：將根號外的因式或因數(shù)移入根號內(nèi)

例3、把根號外的因式移入根號內(nèi).

【解題思路】根據(jù)及把根號外面的非負因式平方后移

至根號里面；由被開方數(shù)一一1—20,，一!一40,又X—1在分母的位置故X—1*0,

X—1X—1

只有，所以把移至根號里邊時，外面要加負號.

【解】

【方法歸納】由二次根式的性質(zhì)，如果被開方數(shù)中有

的因式能開的盡，那么這些因式可用它們的算術(shù)平方根代替而移到根號外面，本題須利用上

述開方的逆運算.如果被開方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先解因式，變形為積的形式，再移因

式到根號外面.

類型四：將根號內(nèi)的因式或因數(shù)移出根號外

例4、計算（1）（2）

【解題思路】首先中，被開方數(shù)是，它們是求差的運算.所以

是錯誤的.對于根號內(nèi)的被開方數(shù)要進行計算或因式分解，特

別是根號內(nèi)的被開方數(shù)能因式分解時，比直接計算要容易.

【解】（1）；

⑵

例5、化簡：（1）(2)

【解題思路】如果一個二次根式的被開方數(shù)中有完全平方形式的因式（或數(shù)）則要利用

積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，將這些因式（或數(shù)）開出來.

解：，

(2)J.6-a2b4=yja2(a4-64)=|a|V^4—bA,當a20時，原式=ada，-b，?

當a<0時;原式Jaf.

【方法歸納】在二次根式的化簡與計算中，凡是被開方數(shù)是多項式的，必先進行因式分

解，再利用根式乘法法則進行計算，如果題目中沒有給出字母的取值范圍，則需要討論，

如上題。當時，及當，即為討論.

類型五：綜合運用二次根式乘除法法則計算或化簡

例6、化簡：（i）VT2+（V27xV6）+V24；

【解題思路】運用二次根式乘除法法則進行乘除混合運算時,一要注意運算順序，二要

注意整體觀察被開方數(shù)之間的關系，合理搭配，達到簡化運算的效果.

【解】（1）原式

4

平xxV?=—x2—

V27xV6V2733

(2)原式=~—x—x3.ab5-a3b--=--yja4b4ab~—^a^—yfah=-9a2by/ab.

62Vbbb

類型六：最簡二次根式

例7、下列二次根式中，是最簡二次根式的是（.）

【解題思路】直接利用最簡二次根式的定義來判斷：疝、G"的被開方數(shù)含有能開

得盡方的因數(shù)或因式，J：的被開方數(shù)中含有分母，均不是最簡二次根式，而再滿足被

開方數(shù)不含分母且不含能開得盡方的因數(shù)或因式這兩個條件，所以是最簡二次根式.

【解】B.

易錯警示

1、不管字母正負，濫用積（商）的算術(shù)平方根性質(zhì)而出錯

例8、已知a+6=—2,ab=1,求+

y[ay[hy[ahy/ab(a+b)yfab

【錯解】原式=__________—―:=-2.

4b4abaab

【錯因分析】由ab=l>0,知同號;又a+b=-2,:.a<0,b<0.

【正解】原式［不悌一鬻=2.

2、化簡不徹底，結(jié)果不是最簡二次根式

例9、化簡歷.

【錯解】原式=回^=3瘋

【錯因分析】化簡二次根式的結(jié)果一定是最簡二次根式，而&=2后.

【正解】原式=，旃=3次=3x2j^=6折，或原式=136x2=6五

3、忽視題目中隱含條件而出錯

x—y

例10、化簡—j=---7=

'x+yjy

【鏟解】7一(X-田(五-⑺_(xR(?-⑺

【皿K=(4+6)體-6f—豆一：

【錯因分析】題中只隱含4+，5工0,即x>0,y>0,所以X與丁有可能相等.故應

分兩種情況討論.

【正解】(1)當》=歹時，原式=0：

⑵當X。時，_^=.6)".力(4一⑺二4

?+6(4+6)(4-6)x~y

4、在化簡"時?，忽視字母的具體取值而導致錯誤

例11、當。=’時，求'+-2+；的值.

5aVa

5、忽視G中的隱含條件。20

【錯解】原式=-J-X?r+X=—Xy/—X+X=J—X+X.

XX

【錯因分析1忽略了口7的隱含條件一d20,即XK0,此時JF=—x.

【正解】由一￡20,得x<0;二.原式=—\!—x-x2—x=—?(—x)y/-x—x=—>J-x—x.

XX

6、運算順序不清導致錯誤

例13、計算4abX1

a

【錯解】原式=-^-l=y[ab.

【錯因分析】忘記乘除是同一級運算，應按從左到右依次計算.

【正解】原式=五?而，=?，==*=巫.

yJayjay/aa

課堂練習評測（檢驗學習效果的時候到了，快試試身手吧）

知識點一：二次根式的乘除法

1、計算（1）(2)

知識點二：逆用二次根式乘除法則化簡或計算

2、計算：（1）(2)

知識點三：最簡二次根式

3、下列根式:①五;②電;③而;④也2—y2；⑤衣/；⑥半，其中最簡二次根

式是（）

A.①③④⑥B.③④⑥C.③④⑤⑥D(zhuǎn).②③⑥

知識點四：將根號外的因數(shù)或因式移入根號內(nèi)

4、若把。，一）的根號外的。適當變形后移入根號內(nèi)，得（

)

A.-y/—ClB.J—aC.-yfdD.yfct

知識五：綜合運用二次根式乘除法法則計算或化簡

J1+J5幣2,2

5、已知x=--------,y=--------，求％-xy+y的值.

22

6、設a=--3—bT—y/b—3+2,試求J------的值.

23Va+b

7、下面的推理過程錯在哪里？并說明理由

2

4

3_3

4-4

課后作業(yè)練習

一、選擇題：

1、對式子作恒等變形,使根號外不含字母如正確的結(jié)果是（).

A.B.C..

D.

2、下列各式中，正確的是（）

A.B.

C.D.

3、能使成立的的取值范圍是（）

A.B.C.

D.

4、下列各式中，一定能成立的是（）

A.B.

C.

D.

5、已知a>b>0,a+b=Qy/ab,則即一，的值為（）

y/a+yjb

A.—B.2C.V2D.-

22

6、下列各式不是最簡二次根式的是（）

A.y/a2+lB.J2x+1

C.D.JO.ly

7、已知燈>0,化簡二次根式x后的正確結(jié)果為（）

A.4yB.4~y

c.-y[yD.~4~y

二、填空題：

8、（1）有這樣一個問題：、歷與下列哪些數(shù)相乘，結(jié)果是有理數(shù)？A.372B.2-^2

C.收+百D-卡E.0問題的答案是（只需填字母）:

（2）如果一個數(shù)與&相乘的結(jié)果是有理數(shù)，則這個數(shù)的一般形式是（用

代數(shù)式）

9、星期天，劉紅的媽媽和劉紅做了一個小游戲，劉紅的媽媽說：“你現(xiàn)在學習了二次根式，

若x表示J16的整數(shù)部分，y表示它的小數(shù)部分，我這個紙包里的錢數(shù)是+元，

你猜一下，這個紙包里的錢數(shù)是多少？若猬對了，包里的錢由你支配.”根據(jù)上述信息，你

知道紙包里錢的數(shù)目是.

10、化簡一--yla3-2a2b+ab2（a<6）=_____________

a-b

11、等式Jx（x-2）=4x-y/x-2成立的條件是.

12、已知矩形的長是J1404CW,寬為衣嬴加，那么與這個矩形面積相等的圓的半徑

.

三、解答題:

13、計算下面各題:

⑴、(2)、

⑶、(4)、

⑸、⑹、

14、一個底面為30c〃?x30。加的長方體玻璃容器中裝滿水，現(xiàn)將一部分水倒入一個底面為

正方形，高為10c加的鐵桶中，當鐵桶裝滿水時，容器中的水面下降了20CM,求鐵桶的底

面的邊長是多少？

15、站在水平高度為歷〃的地方看到可見的水平距離為力〃，它們近似地符合公式d=8

如果某人登山從海拔〃機登上海拔2〃加處，那么他看到的水平距離是原來的多少倍？

I、eci—4ab"+4b.\

16、化簡：------J--------------(0<Q<26)

a-2b\av)

a\b(a2-4ab+4b

解：原式二一—A-----------------①

a-2bVa

aab(a2-2b]2

②

~a-2b\

③

a-2b同

④

a-2ba

-\[ab⑤

問：（1）上述解題過程中，從哪一步開始出現(xiàn)錯誤，請寫出該步的代號：.

（2）錯誤的原因是；

（3）本題的正確結(jié)論是.

17、在進行二次根式化簡時，我們有時會碰上如鬢,

島管T一樣的式子，其實我

們還可以將其進一步化簡：3=31亞.（一）

V3，5xj55

22x（V3~l）=2￡-。=鳳1（三）以上這種化簡的步驟叫做分

V3+1（V3+1）（73-1）（73）2-12

母有理化.

22

22=3-1=（V