高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1江蘇省徐州市2025屆高三下學(xué)期2月調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，，若，則實(shí)數(shù)的取值構(gòu)成的集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得.當(dāng)時(shí)，，滿足；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以或，解得?故選：C.2.若復(fù)數(shù)（其中是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的模為A.1 B.C D.2【答案】B【解析】，故選B.3.已知命題：，為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)槊}：，為真命題，所以不等式的解集為.若，則不等式可化為，解得，不等式解集不；若，則根據(jù)一元二次不等式解集的形式可知：，解得，綜上可知：，故選：D.4.下列說(shuō)法中，正確的是（）A.一組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為13B.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，那么數(shù)據(jù)的方差為6C.已知隨機(jī)事件A和B互斥，且，，則D.某一組樣本數(shù)據(jù)為，則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間內(nèi)的頻率為【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，數(shù)據(jù)從小到大排列為，由，故第5個(gè)數(shù)作為第70百分位數(shù)，即13，A正確；B選項(xiàng)，樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)方差為，所以B選項(xiàng)錯(cuò)；C選項(xiàng)，因?yàn)锳和B互斥，則，可得，所以，C正確；D選項(xiàng)，樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間有有4個(gè)，所以樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間內(nèi)的頻率為，故選D；故選：ACD．5.設(shè)定義域?yàn)榈膯握{(diào)函數(shù)，對(duì)任意，都有，若是方程的一個(gè)解，則可能存在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則，且，當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)在上為增函數(shù)，且得，，∴，故，由得，，設(shè)，則，，∴根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知在內(nèi)存在零點(diǎn)，即.故選：B.6.若滿足條件的△ABC有兩個(gè)，那么a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)正弦定理可知，代入可求得因?yàn)闈M足條件的△ABC有兩個(gè)，所以有兩個(gè)角即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示由圖可知，，所以故選：C7.在平面直角坐標(biāo)系中，若圓上存在點(diǎn)，且點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在圓上，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】圓的圓心為，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，解得，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，由題意得，以為圓心，以為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，所以，解得：.故選：B．8.如圖，直角的斜邊長(zhǎng)為2，，且點(diǎn)分別在軸，軸正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)在線段的右上方．設(shè)，（），記，，分別考查的所有運(yùn)算結(jié)果，則A.有最小值，有最大值 B.有最大值，有最小值C.有最大值，有最大值 D.有最小值，有最小值【答案】B【解析】依題意，所以.設(shè)，則，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值為.，所以，所以，當(dāng)時(shí)，有最小值為.故選B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列結(jié)論中正確的有（）A.若為正實(shí)數(shù)，，則B.若a，b，m為正實(shí)數(shù)，，則C.若，則D.當(dāng)時(shí)，的最小值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，∵為正實(shí)數(shù)，，∴，故A正確；對(duì)于B，若為正實(shí)數(shù)，，則，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，若，則，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，根據(jù)基本不等式可得：，的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：ACD10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.是偶函數(shù) B.是周期函數(shù)C.關(guān)于直線對(duì)稱 D.當(dāng)時(shí)，【答案】BCD【解析】A項(xiàng)，，，得，所以不是偶函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，，所以是以為周期的周期函數(shù)，故選項(xiàng)B正確；C項(xiàng)，，所以關(guān)于直線對(duì)稱，故選項(xiàng)C正確；D項(xiàng)，由關(guān)于直線對(duì)稱，只需看當(dāng)時(shí)，是否成立.當(dāng)時(shí)，，，，，所以，即；又因?yàn)?，所以，所以，即，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.11.如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則四面體的體積為定值B.若的外心為，則為定值2C.若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D.若且，則存在點(diǎn)，使得的最小值為【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，在上分別取，使得，，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，即，故，即，所以三點(diǎn)共線，因?yàn)?，，所以，故平面，故點(diǎn)為平面的距離為定值，又為定值，故四面體的體積為定值，A正確；B選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，因?yàn)榈耐庑臑椋浴?，又題意得，則，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，因?yàn)榈酌鏋榱庑?，，故⊥，以為坐?biāo)原點(diǎn)，以，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，故，設(shè)，則，化簡(jiǎn)得，點(diǎn)滿足，即點(diǎn)在正方形內(nèi)，包括邊界，故點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，落在正方形內(nèi)的部分，如圖所示：因?yàn)椋?，故，故為等腰直角三角形，，故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，C正確；D選項(xiàng)，若且，，即，即，又，，設(shè)，設(shè)，即，解得，即，，如圖所示，設(shè)，且⊥，⊥，在線段上取一點(diǎn)，設(shè)，則，故，顯然，直接連接，此時(shí)取得最小值，最小值即為，由勾股定理得，故的最小值為，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某次調(diào)研測(cè)試中，考生成績(jī)X服從正態(tài)分布．若，則從參加這次考試的考生中任意選取3名考生，至少有2名考生的成績(jī)高于90的概率為_(kāi)_______．【答案】【解析】因考生成績(jī)服從正態(tài)分布，所以，故任意選取3名考生，至少有2名考生的成績(jī)高于90的概率為．故答案為：.13.任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈．這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．如取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出，共需經(jīng)過(guò)8個(gè)步驟變成1（簡(jiǎn)稱為8步“雹程”）．現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），，若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則______．【答案】4725或4746【解析】由，得，或，若，則數(shù)列是周期數(shù)列，其周期為3，因此；若，則數(shù)列去掉前3項(xiàng)后是周期數(shù)列，其周期為3，因此.故答案為：4725或474614.如圖所示，由半橢圓和兩個(gè)半圓，組成曲線，其中點(diǎn)、分別是的上、下焦點(diǎn)和、的圓心.若過(guò)點(diǎn)、作兩條平行線、分別與、和、交于、和、，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】【解析】半圓的圓心為，半徑為，半圓的圓心為，半徑為，對(duì)于橢圓的焦距為，則，可得，所以，橢圓的方程為，如圖所示，設(shè)直線與橢圓另一個(gè)交點(diǎn)為，由橢圓的對(duì)稱性可知，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即點(diǎn)為線段、的中點(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，，若的斜率不存在，則直線過(guò)點(diǎn)，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，，故當(dāng)時(shí)，取最小值，則的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.在銳角三角形中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）求角的大??；（2）求且，求．解：（1）由正弦定理得，故，即，∴，∵，∴．（2）∵，∴，∴，∴，∵，∴，即，得，又∵為銳角三角形，∴，∴．∴，則，∴，∴．16.如圖所示的幾何體中，為三棱柱，平面，，四邊形為平行四邊形，，.（1）求證：平面；（2）若，求三棱錐的體積.（1）證明：∵為三棱柱，且平面，，∴四邊形是正方形，.∵平面，∴，又∵，，∴，，∵，平面，∵平面，∴.∴平面.（2）解：∵，∴，，∴三棱錐的體積，.17.一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤(pán)游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓后要么出現(xiàn)一次音樂(lè)，要么不出現(xiàn)音樂(lè)；每盤(pán)游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)三次音樂(lè)獲得150分，出現(xiàn)兩次音樂(lè)獲得100分，出現(xiàn)一次音樂(lè)獲得50分，沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)則獲得-300分.設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)相互獨(dú)立.（1）若一盤(pán)游戲中僅出現(xiàn)一次音樂(lè)的概率為，求的最大值點(diǎn)；（2）以（1）中確定的作為的值，玩3盤(pán)游戲，出現(xiàn)音樂(lè)的盤(pán)數(shù)為隨機(jī)變量，求每盤(pán)游戲出現(xiàn)音樂(lè)的概率，及隨機(jī)變量的期望；（3）玩過(guò)這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤(pán)游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒(méi)有增加反而減少了.請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析分?jǐn)?shù)減少的原因.解：（1）由題可知,一盤(pán)游戲中僅出現(xiàn)一次音樂(lè)的概率為：,由得或（舍）當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴當(dāng)時(shí),有最大值,即的最大值點(diǎn)；（2）由（1）可知,則每盤(pán)游戲出現(xiàn)音樂(lè)的概率為由題可知∴；（3）由題可設(shè)每盤(pán)游戲的得分為隨機(jī)變量,則的可能值為-300,50,100,150；∴；；；；∴；令,則；所以在單調(diào)遞增；∴；即有；這說(shuō)明每盤(pán)游戲平均得分是負(fù)分,由概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)可知：經(jīng)過(guò)若干盤(pán)游戲后,與最初的分?jǐn)?shù)相比,分?jǐn)?shù)沒(méi)有增加反而會(huì)減少.18.已知橢圓短軸長(zhǎng)為2，左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)，其中分別在軸上方和下方，，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)（1）若的坐標(biāo)為求橢圓C的方程；（2）在（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)并垂直于軸的直線交C于點(diǎn)，橢圓上不同的兩點(diǎn)滿足成等差數(shù)列.求弦的中垂線在軸上的截距的取值范圍；（3）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）橢圓短軸長(zhǎng)為2，則有，故橢圓，，則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，可知為的重心，則，故，代入橢圓方程得，解得，所以橢圓C的方程為；（2）由橢圓C的方程得，，，成等差數(shù)列，，設(shè)，AD中點(diǎn)，由弦長(zhǎng)公式，=，，，同理，代入可得，①當(dāng)AD斜率存在時(shí)，由，兩式作差可得，，∴，∴弦AD的中垂線方程為，當(dāng)時(shí)，AD的中垂線在軸上的截距為，AD中點(diǎn)在橢圓C內(nèi)，∴，得，且．②當(dāng)AD斜率不存在時(shí)，AD的中垂線為軸，在軸上的截距為．∴綜上所述，即弦AD的中垂線在軸上的截距的取值范圍為.（3），則為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，可知點(diǎn)分別為，的重心，設(shè)，，設(shè)點(diǎn)，，則根據(jù)重心性質(zhì)及面積公式得，，而，∴，∴，∴，設(shè)，則，令，任取，有，時(shí)，，，，，即；時(shí)，，，，，即；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，可得，即，設(shè)直線，則聯(lián)立橢圓方程得，消元化簡(jiǎn)得，，∴，，∴，∴，則對(duì)任意的m恒成立，即，得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．19.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)一切，，點(diǎn)都在函數(shù)圖象上.（1）求，，，歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式（不必證明）：（2）將數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為、、、、、、、、、…，分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來(lái)括號(hào)的前后順序構(gòu)成新的數(shù)列為，求的值；（3）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)積，若不等式對(duì)一切都成立，求a的取值范圍.解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，故，所以，令，得，所以，令，得，所以，令，得，所以，由此猜想：，當(dāng)時(shí)，，且已知，，當(dāng)時(shí)，，故，化簡(jiǎn)整理得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，結(jié)合，故數(shù)列是以4為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，即，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，即，故，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，且當(dāng)時(shí)，，，故成立.（2）因?yàn)椋ǎ?，所以?shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為，，，；，，，；，…每一次循環(huán)記為一組，由于每一個(gè)循環(huán)含有4個(gè)括號(hào)，故是第25組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，由分