利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)——一題多問一．知識梳理1.函數(shù)的單調(diào)性在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f′(x)>0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f′(x)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．2.函數(shù)的極值(1)一般地，求函數(shù)y＝f(x)的極值的方法解方程f′(x)＝0，當(dāng)f′(x0)＝0時：①如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么f(x0)是極小值．(2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的符號．如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個根處取得極小值．3.函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．(3)設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下：①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．函數(shù)的零點二．解題方法1.確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域．(2)求f′(x)．(3)解不等式f′(x)>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間．(4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間．2.含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進(jìn)行分類討論．(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為零的點和函數(shù)的間斷點．3.函數(shù)極值的兩類熱點問題(1)求函數(shù)f(x)極值的一般解題步驟①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；④列表檢驗f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號．(2)根據(jù)函數(shù)極值情況求參數(shù)的兩個要領(lǐng)①列式：根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解．②驗證：求解后驗證根的合理性．4.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟(1)求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值．(2)求函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值f(a)，f(b)．(3)將函數(shù)f(x)的極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．5.函數(shù)極值和最值的綜合問題(1)求極值、最值時，要求步驟規(guī)范，含參數(shù)時，要討論參數(shù)的大小．(2)求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過單調(diào)性和極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值．5.用導(dǎo)數(shù)求恒成立問題（1）優(yōu)先選擇參變分離的方法,給定區(qū)間恒成立問題，能分參是則分參.（2）無法分參時，即參數(shù)的系數(shù)正負(fù)不確定或者分參后形式很復(fù)雜時則考慮含參討論.6.用導(dǎo)數(shù)證明不等式（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式轉(zhuǎn)化為證明，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見結(jié)論放縮；（3）構(gòu)造“形似函數(shù)”稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).例1.函數(shù)（1）若在點處的切線方程為，求實數(shù)的值；（2）若在處取得極值，求實數(shù)的值；（3）求的單調(diào)的單調(diào)區(qū)間；（4）當(dāng)時，若函數(shù)的圖像與直線恰有一個交點，求實數(shù)的取值范圍；（5）當(dāng)時，討論函數(shù)的零點的個數(shù)；（6）當(dāng)時，若對，恒有成立，求實數(shù)的取值范圍；（7）當(dāng)時，，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；（8）當(dāng)時，若對，恒有成立，求實數(shù)的取值范圍；（9）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；（10）若在函數(shù)的圖像上總存在點,使得軸，求實數(shù)的取值范圍；（11）當(dāng)時，若函數(shù)在上不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；（12）當(dāng)時，令，若對任意，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；（13）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最大值。【解析】：（1）由，得，由，得所以，解得：。（2）因為，由題意，所以，檢驗：當(dāng)時，令，則或++極大值極小值所以滿足題意。（3）由，得，因為，所以當(dāng)時，即時，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，無遞減區(qū)間；當(dāng)時，即時，由得，，令，則，所以得++極大值極小值故的遞增區(qū)間是、；遞減區(qū)間是；綜上：當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間無；當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間是、，遞減區(qū)間是。（4）當(dāng)時，令，則或++極大值極小值所以，，又因為當(dāng)時，；當(dāng)時，；由題意，或解得：，或，所以實數(shù)的取值范圍是。（5）令，則，因為當(dāng)時，，所以令，則或++極大值極小值所以，，又因為當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以：當(dāng)，或時，即當(dāng)，或時，函數(shù)有且只有一個零點；當(dāng)，或時，即當(dāng)，或時，函數(shù)有且只有兩個零點；當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)有且只有三個零點。（6）當(dāng)時，，所以令，則或，因為，所以++極大值極小值由表可知：，所以由題意可得，即，所以實數(shù)的取值范圍是。（7）當(dāng)時，，所以令，則或，因為，所以++極大值極小值由表可知：，，所以由題意可得，即，因為，所以所以實數(shù)的取值范圍是。（8）當(dāng)時，，所以令，則或，因為，所以++極大值極小值由表可知：，所以由題意可得，即，所以實數(shù)的取值范圍是。（9）由，得，由題意在上恒成立，所以在上恒成立，令，，因為，所以當(dāng)，所以，所以實數(shù)的取值范圍時。（10）由，得，因為在函數(shù)的圖像上總存在點,使得軸，所以函數(shù)在上是不單調(diào)的，若函數(shù)在上是單調(diào)的，因為導(dǎo)函數(shù)二次項系數(shù)為正，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，即，所以，所以若在函數(shù)的圖像上總存在點,使得軸，則實數(shù)的取值范圍。（11）當(dāng)時，，所以令，則或++極大值極小值若函數(shù)在上單調(diào)，則實數(shù)應(yīng)滿足，或，解得：，或，所以若函數(shù)在上單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍是，所以若函數(shù)在上不單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍是。（12）由題意，應(yīng)滿足因為，，所以，，所以，當(dāng)時，，所以令，則或，因為，所以++極大值極小值由表可知：，由題意得：，即，所以實數(shù)的取值范圍是。（13）當(dāng)時，，所以令，則或++極大值極小值當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時，函數(shù)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以；綜上：。例2.已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)y=fx在點1,f1處切線(2)證明：函數(shù)y=fxx≠1的圖象在直線(3)求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間和極值，并畫出f(4)求函數(shù)fx在x∈(5)求函數(shù)fx在區(qū)間0,a(6)若fx>k(7)若存在x∈1e,e，使得(8)若對任意的x∈1e,e，都有(9)討論方程fx【解析】(1)f?xk切=f?1所以y=fx在點1,0處切線方程為y=x?1(2)要證y=fxx≠1的圖象在直線l的上方，只需證明構(gòu)造函數(shù)gx因為g?x令g?x=0得x=1．x0,1所以gx即fx所以函數(shù)y=fxx≠1的圖象在直線l：(3)定義域為0,+∞，f?x=lnx+1，令f?x=0得x=1e．x0,1e(4)由（3）可知：fx在e?2,所以fx因為f1e2所以fx(5)當(dāng)0<a<1e時，當(dāng)a≥1e時，(6)由fx>k令gx=x因為g?x=2xlnx+x=x2所以x=e所以x0,e?12所以k≤?1(7)由fx=ax?1得令?x若?x∈1e,e，使得因為??x=1x?1x2=x?1x因為?1所以?x所以a<e?1(8)若對?x∈1e,e，由（7）可知：?x所以a<1．(9)由圖可知：fx=k實數(shù)根個數(shù)?y=fx①當(dāng)k<?1e時，方程fx②當(dāng)k=?1e或k≥0時，方程fx③當(dāng)?1e<k<0時，方程f例3.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；（2）函數(shù)的單調(diào)性；（3）若函數(shù)在上有極值，求實數(shù)的取值范圍；（4）若函數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（5）若存在，使得，求實數(shù)的取值范圍；（6）判斷函數(shù)零點的個數(shù)；（只需寫出結(jié)倫）（7）當(dāng)時，證明：存在實數(shù)，使得；【解析】（1）當(dāng)時，所以f(1)=e，f'(1)=e。切線方程：ye=e(x1)，即（2）定義域為R，當(dāng)時，，f(x)在上單調(diào)遞增。當(dāng)時，令，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增