第四章平面向量第1講平面向量及其線性運(yùn)算1/34考綱要求考點(diǎn)分布考情風(fēng)向標(biāo)1.平面向量實(shí)際背景及基本概念．(1)了解向量實(shí)際背景．(2)了解平面向量概念，了解兩個向量相等含義.(3)了解向量幾何表示．2.向量線性運(yùn)算．(1)掌握向量加法、減法運(yùn)算，并了解其幾何意義.(2)掌握向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義，了解兩個向量共線含義．(3)了解向量線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義新課標(biāo)第13題考查平面向量垂直運(yùn)算、單位向量等；新課標(biāo)Ⅰ第6題考查向量加法及線性運(yùn)算；新課標(biāo)Ⅰ第2題考查向量加法及線性運(yùn)算；新課標(biāo)Ⅱ第4題考查利用向量模性質(zhì)判斷兩向量關(guān)系從近幾年高考試題看，向量線性運(yùn)算、共線問題是高考熱點(diǎn)，尤其是向量線性運(yùn)算出現(xiàn)頻率最高，多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，屬中低級題目．預(yù)計高考仍將以向量線性運(yùn)算、向量基本概念為主要考點(diǎn)，也可與向量加、減三角形法則和平行四邊形法則交匯命題．透徹了解平面向量相關(guān)概念及運(yùn)算是學(xué)好本節(jié)基礎(chǔ)，所以復(fù)習(xí)時應(yīng)注意利用概念分析和求解相關(guān)問題2/34名稱定義備注向量現(xiàn)有大小又有方向量；向量大小叫做向量長度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長度為零向量；其方向是任意記作01.向量相關(guān)概念3/34名稱定義備注單位向量長度等于1個單位向量

共線向量(平行向量)方向相同或相反非零向量零向量與任一向量平行或共線相等向量長度相等且方向相同向量記作a＝b(續(xù)表)4/34向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個向量和運(yùn)算

三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝b＋a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)2.向量線性運(yùn)算5/34(續(xù)表)|λ||a|0λμaλa＋λb向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律減法求a與b相反向量－b和運(yùn)算叫做a與b差三角形法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a積運(yùn)算(1)|λa|＝________；(2)當(dāng)λ>0時，λa方向與a方向相同；當(dāng)λ<0時，λa方向與a方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝_____λ(μa)＝______；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝______6/343.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線充要條件是存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.7/34一定是()A.矩形C.正方形B.菱形D.平行四邊形D∥AD，且BC＝AD，四邊形ABCD是平行四邊形.故選D.8/34A.a－bC.b－aB.a＋bD.－a－bC9/343.(年廣東茂名一模)對于向量

a，b，c和實(shí)數(shù)λ，以下命題中真命題是()B

A.若a·b＝0,則a＝0或b＝0 B.若λa＝0，則λ＝0或a＝0 C.若a2＝b2，則a＝b或a＝－b

D.若a·b＝a·c，則b＝c

解析：因為非零向量

a⊥b時，也有a·b＝0，所以A錯；a2＝b2只說明向量a與b模相等，a與b不一定共線，所以C錯；當(dāng)向量a，b，c兩兩垂直時，也有a·b＝a·c，但b與c方向不一定相同，故b≠c，所以D錯.故選B.10/34()圖4-1-1D11/34考點(diǎn)1平面向量基本概念

例1：(1)給出以下命題： ①若|a|＝|b|，則a＝b；ABCD為平行四邊形充要條件； ③若a＝b，b＝c，則a＝c； ④若a∥b，b∥c，則a∥c.其中正確命題序號是()A.②③B.②④C.③④D.②③④12/34答案：A13/34(2)(年新課標(biāo)Ⅱ)設(shè)非零向量

a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則()A.a⊥bC.a∥bB.|a|＝|b|D.|a|>|b|

解析：方法一，由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，得a·b＝0?a⊥b.故選A.

方法二，由|a＋b|＝|a－b|得以|a|，|b|為鄰邊長平行四邊形為矩形，所以a⊥b.故選A.

答案：A14/34(3)設(shè)a0為單位向量，①若a為平面內(nèi)某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題個數(shù)是(

)A.0

B.1

C.2

D.3解析：向量是現(xiàn)有大小又有方向量，a與|a|·a0模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題.總而言之，假命題個數(shù)是3.答案：D15/34

【規(guī)律方法】(1)相等向量含有傳遞性，非零向量平行也含有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān).(3)向量能夠平移，平移后向量與原向量是相等向量.解題時，16/34考點(diǎn)2平面向量線性運(yùn)算例2：(1)(年山東濟(jì)寧統(tǒng)考)如圖4-1-2，在平行四邊形圖4-1-2A.14B.13C.12D.117/34答案：C18/3419/34解析：如圖D26，在ABCD中，O為BD中點(diǎn)，E為圖D26答案：C20/3421/34答案：A

【規(guī)律方法】(1)解題關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中相等向量，并能熟練利用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.(2)用幾個基本向量表示某個向量問題基本技巧：①觀察各向量位置；②尋找對應(yīng)三角形或多邊形；③運(yùn)使用方法則找關(guān)系；④化簡結(jié)果.22/34【互動探究】－2圖D2723/34考點(diǎn)3共線向量定理應(yīng)用24/34(2)解：∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共線兩個非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.∴k2－1＝0.∴k＝±1.25/34

【規(guī)律方法】(1)證實(shí)三點(diǎn)共線問題，可用向量共線處理，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線區(qū)分與聯(lián)絡(luò)，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時，才能得出三點(diǎn)共線.(2)向量a，b共線是指存在不全為零實(shí)數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0

成立；若λ1a＋λ2b＝0，當(dāng)且僅當(dāng)λ1＝λ2＝0時成立，則向量a，b不共線.26/34【互動探究】(m，n∈R).(1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點(diǎn)共線；(2)若A，P，B三點(diǎn)共線，求證：m＋n＝1.證實(shí)：(1)若m＋n＝1，27/3428/34

難點(diǎn)突破⊙利用向量加法幾何意義處理三角形四心問題例題：(1)已知O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共則點(diǎn)P軌跡一定經(jīng)過△ABC()A.外心B.垂心C.內(nèi)心D.重心線所在直線上，于是點(diǎn)P軌跡一定經(jīng)過△ABC重心.

答案：D29/34則點(diǎn)P軌跡一定經(jīng)過△ABC()A.外