高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1浙江省溫州市2025屆高三下學(xué)期第二次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，則（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】由題意得，所以．故選：A.2.扇形的半徑等于2，面積等于6，則它的圓心角等于（）A.1 B. C.3 D.6【答案】C【解析】設(shè)圓心角為，所以，所以3故選：C.3.已知隨機(jī)變量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由知，可知，故，故成立；反之，若，則，故為充要條件，故選：C.4.若向量滿足，則在上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)投影向量，則，所以，即在上的投影向量是．故選：D.5.已知數(shù)列滿足，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則，得，所以．故選：B6.某班級有30名男生和20名女生，現(xiàn)調(diào)查學(xué)生周末在家學(xué)習(xí)時(shí)長（單位：小時(shí)），得到男生樣本數(shù)據(jù)的平均值為8，方差為2，女生樣本數(shù)據(jù)的平均值為10.5，方差為0.75，則該班級全體學(xué)生周末在家學(xué)習(xí)時(shí)長的平均值和方差的值分別是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，故選：D7.已知函數(shù)，，則兩個(gè)函數(shù)的圖象僅通過平移就可以重合的是（）A.與B與C.與D.與【答案】C【解析】若兩個(gè)正、余弦型函數(shù)的圖象僅通過平移就可以重合，則這兩個(gè)函數(shù)的振幅相等，最小正周期也相等，對于A選項(xiàng)，，所以，函數(shù)的振幅為，函數(shù)的振幅為，所以，這兩個(gè)函數(shù)的振幅不相等，故與的圖象不能通過平移重合，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，，，函數(shù)的振幅為，函數(shù)的振幅為，所以，與的圖象不能通過平移重合，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，因?yàn)?，，將函?shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度可與函數(shù)的圖象重合，C對；對于D選項(xiàng)，，函數(shù)與的圖象不能通過平移重合，D錯(cuò).故選：C.8.一個(gè)圓臺(tái)形的木塊，上、下底面的半徑分別為4和8，高為3，用它加工成一個(gè)與圓臺(tái)等高的四棱臺(tái)，棱臺(tái)下底面為一邊長等于9的矩形，且使其體積最大．現(xiàn)再從余下的四塊木料中選擇一塊車削加工成一個(gè)球，則所得球的半徑最大值是（）（加工過程中不計(jì)損耗）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】為上底面圓心，為下底面圓心，記棱臺(tái)為，棱臺(tái)最大時(shí)，上下邊之比為，不妨設(shè)，則，所以球與圓臺(tái)圍成部分可更大，記中點(diǎn)為中點(diǎn)為交上底面圓于交下底面圓周于，設(shè)球半徑最大為，球心為，則如圖，球與相切，設(shè)，則，則，所以，得．故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知二項(xiàng)展開式，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】A項(xiàng)：令，則，故A正確；B項(xiàng)：令，則①，所以，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)：，所以，，所以，所以，故C正確；D項(xiàng)：令，則②，①+②可得：，故D正確．故選：ACD10.在四棱錐中，分別是上的點(diǎn)，，則下列條件可以確定平面的是（）A. B.C.平面 D.平面【答案】BD【解析】如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，即有平面，由于，所以，若，則，又平面，平面，所以平面，由平面，得平面平面，又平面，所以平面，故B正確；若平面，又因?yàn)槠矫嫫矫妫?，由B可知D正確；假設(shè)平面，設(shè)平面，則，若平面，平面平面，所以，反之若，當(dāng)且僅當(dāng)平面，即A、C同時(shí)正確或錯(cuò)誤；若，可能，也可能與相交．若與相交，由知延長必與、交于同一點(diǎn)，由幾何關(guān)系知與不平行，故A、C錯(cuò)誤．故選：BD11.甲乙兩人用《哪吒2》動(dòng)漫卡牌玩游戲．游戲開局時(shí)桌上有盒動(dòng)漫卡牌，每個(gè)盒子上都標(biāo)有盒內(nèi)卡牌的數(shù)量，每盒卡牌的數(shù)量構(gòu)成數(shù)組，游戲規(guī)則如下：兩人輪流抽牌，每人每次只能選擇其中一盒并抽走至少一張卡牌，若輪到某人時(shí)無卡可抽，則該人輸?shù)粲螒颍F(xiàn)由甲先抽，則下列開局中，能確保甲有必勝策略的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】將每盒卡牌中的卡片數(shù)量轉(zhuǎn)為二進(jìn)制數(shù)，再進(jìn)行亦或求和，若初始條件是全零，則乙有必勝策略，反之則甲有必勝策略，保持操作之后是全零狀態(tài).A項(xiàng)：，非全零，甲勝：從第2盒中拿2個(gè)，故A符合題意；B項(xiàng)：，全零，乙勝，故B符合題意；C項(xiàng)：，非全零，甲勝：拿走第三盒，故C符合題意；D項(xiàng)：，非全零，甲勝：從第1盒中拿2個(gè)，故D符合題意；故選：ACD三、填空題：本大題共3小題，每題5分，共15分.把答案填在題中的橫線上.12.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)__________．【答案】2【解析】由題意得．故答案為：213.已知是拋物線在第一象限上的點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）則拋物線在處切線的斜率是__________．【答案】【解析】設(shè)，則，所以，解得，設(shè)拋物線在處切線的斜率是，因?yàn)?，所以，所以在函?shù)上，所以，所以．故答案為：.14.函數(shù)滿足：①②，．則的最大值等于__________．【答案】【解析】設(shè)且，令，則有，即，設(shè)，則，即，所以有解，，所以的最大值等于．故答案為：四．解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明．證明過程或演算步驟．15.如圖，在三棱錐中，是邊長等于2的正三角形，，為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求點(diǎn)到平面的距離．（1）證明：作中點(diǎn)，連接，則，又，所以，又因?yàn)槭钦切?，且為中點(diǎn)，因此，從而平面，又平面，所以．（2）解：由題，，，，則.在中，，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，設(shè)平面與平面夾角為，由，知.在中，由余弦定理得，解得，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則．16.PageRank算法是Google搜索引擎用來衡量網(wǎng)頁重要性的一種經(jīng)典算法．其核心思想是通過分析網(wǎng)頁之間的鏈接關(guān)系，評估每個(gè)網(wǎng)頁的相對重要性．假設(shè)一個(gè)小型的互聯(lián)網(wǎng)由四個(gè)網(wǎng)頁組成，它們之間按圖中的箭頭方向等可能地單向鏈接，假設(shè)某用戶從網(wǎng)頁開始瀏覽（記為第1次停留）．（1）求該用戶第3次停留在網(wǎng)頁上的概率；（2）某廣告公司準(zhǔn)備在網(wǎng)頁中選擇一個(gè)投放廣告，以用戶前4次在該網(wǎng)頁上停留的平均次數(shù)作為決策依據(jù)．試問該公司應(yīng)該選擇哪個(gè)網(wǎng)頁？請說明理由．解：（1）、；；；.第3次停留在網(wǎng)頁上的事件有、，其概率為．（2）由題意知，、；；；，則，所以，，所以，故該公司應(yīng)該選擇網(wǎng)頁．17.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若在區(qū)間上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，解方程．解：（1）因?yàn)椋ǎ?，所以（），?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，即，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由；由.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，且注意到，因此在區(qū)間上無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，考慮到，為使內(nèi)有零點(diǎn)，則極小值點(diǎn)小于零，即，結(jié)合，則的取值范圍為．（3）由題，，記上式為，則在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，因此，僅有一個(gè)解，注意到待求方程，對中含的部分單獨(dú)考察，即，其中關(guān)于的多項(xiàng)式的解為，因此時(shí)可消去．當(dāng)時(shí)，有，滿足題意；當(dāng)時(shí)，有，不符合題意；綜上，原方程的解為．18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，是直線右側(cè)區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，到直線與軸的距離之和等于它到點(diǎn)距離的4倍，記點(diǎn)的軌跡為．（1）求的方程，并在圖中畫出該曲線；（2）直線過點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，（i）若，求直線的方程：（ii）若，是點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，延長線段交于點(diǎn)，延長線段交于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，求的最小值．解：（1）設(shè)，則有，當(dāng)時(shí)，化簡得；當(dāng)時(shí)，化簡得，所以，曲線如圖所示：（2）（i）如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)在圓上，則，，所以點(diǎn)在橢圓上．設(shè)，解得，所以，所以，所以直線方程為．（ii）由題意知，故點(diǎn)也在圓上，又為直徑，所以．設(shè)，，聯(lián)立橢圓方程，得，則，因?yàn)?，，，則所以，即，所以，所以，解得，即的最小值為.19.給定正數(shù)與無窮數(shù)列，若存在，當(dāng)時(shí)，都有，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．（1）求證：數(shù)列具有性質(zhì)；（2）若無窮數(shù)列具有性質(zhì)，求證：存在正數(shù)，使得；（3）若對任意正數(shù)，數(shù)列都具有性質(zhì)，則稱為“—數(shù)列”．若正項(xiàng)數(shù)列是“—數(shù)