專題解直角三角形的中考?？碱}專項(xiàng)訓(xùn)練（50道）考卷信息：本套訓(xùn)練卷共50題，其中選擇題15題，填空題15題，解答題20題.題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了解直角三角形的中考?？碱}的綜合問題的所有類型！一、選擇題（共15題）1．由4個(gè)形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，∠O=60°，則tan∠ABC=（

）A．13 B．12 C．332．如圖，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于點(diǎn)D，AD=47AC，AB=2，∠ABC=150°，則△DBCA．3314 B．9314 C．3．如圖，在△ABC中，∠B=45°,∠C=60°,AD⊥BC于點(diǎn)D，BD=3．若E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則EF的長為（

A．33 B．32 C．1 4．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BC的延長線上，連接DE，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接OF交CD于點(diǎn)G，連接CF，若CE=4，OF=6．則下列結(jié)論：①GF=2；②OD=2OG；③tan∠CDE=12；④∠ODF=∠OCF=90°A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤5．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是角平分線AD、BE的交點(diǎn)，若AB＝AC＝10，BC＝12，則tan∠OBD的值是（

）A．12 B．2 C．63 6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在OB上，OC:BC=1:2，連接AC，過點(diǎn)O作OP∥AB交AC的延長線于P．若P1,1，則tan∠OAP的值是（A．33 B．22 C．17．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接BD．若tan∠A=12，tan∠ABD=A．25 B．3 C．5 8．如圖，在4×4網(wǎng)格正方形中，每個(gè)小正方形的邊長為1，頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若△ABC的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則cos∠BAC的值是（

A．55 B．105 C．259．如圖，在△ABC中，sinB=13，tanC=2，AB=3，則AC的長為（

A．2 B．52 C．5 10．公元三世紀(jì)，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果大正方形的面積是125，小正方形面積是25，則sinθ?cosθA．15 B．55 C．3511．構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要性，在計(jì)算tan15°時(shí)，如圖．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝15°，所以tan15°=ACA．2+1 B．2﹣1 C．2 D．12．如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，cosB=14，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，以AD為底邊在其右側(cè)作等腰三角形ADE，使∠ADE=∠B，連結(jié)CE，則CEA．32 B．3 C．152 13．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CE是斜邊AB上的中線，過點(diǎn)E作EF⊥AB交AC于點(diǎn)F．若BC=4,△AEF的面積為5，則sin∠CEF的值為（

A．35 B．55C．4514．如圖，點(diǎn)A、B、C在邊長為1的正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．sinB=13 B．sinC．tanB=12 D．sin2B+sin215．如圖，已知菱形ABCD的邊長為4，E是BC的中點(diǎn)，AF平分∠EAD交CD于點(diǎn)F，F(xiàn)G∥AD交AE于點(diǎn)G，若cosB=14A．3 B．83 C．2153二、填空題（共15題）16．如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE．若∠ADB=30°，則如tan∠DEC17．如圖，已知四邊形ABCD，AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABC=∠DAC=90°，tan∠ACB=1218．如圖，在?ABCD中，AD=5,AB=12,sinA=45．過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為19．如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE，若tan∠ADB=1220．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2．若點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA+PB+PC的最小值為____________．21．如圖．在4×4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).ΔABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,則∠BAC的正弦值是__________．22．如圖，△ABC中，∠BAC＞90°，BC=5，將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)B′落在BA的延長線上．若sin∠B′AC=91023．如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=24．如圖，在△ABC中，BC=6+2，∠C=45°，AB=25．如圖，由10個(gè)完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，∠α、∠β如圖所示，則cosα+β26．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，H是AB的中點(diǎn)，將ΔCBH沿CH折疊，點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)P處，連接AP，則tan∠HAP=27．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E為CD邊上一點(diǎn)，將△BCE沿BE折疊，使得C落到矩形內(nèi)點(diǎn)F的位置，連接AF，若tan∠BAF＝1228．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)G，E分別在邊BC,DC上，連接AG,EG,AE，將△ABG和△ECG分別沿AG,EG折疊，使點(diǎn)B，C恰好落在AE上的同一點(diǎn)，記為點(diǎn)F．若CE=3,CG=4，則sin∠DAE=29．如圖，點(diǎn)C在線段AB上，且AC=2BC，分別以AC、BC為邊在線段AB的同側(cè)作正方形ACDE、BCFG，連接EC、EG，則tan∠CEG=30．如圖，在△ABC中，AC=3,BC=4，點(diǎn)D、E分別在CA、CB上，點(diǎn)F在△ABC內(nèi)．若四邊形CDFE是邊長為1的正方形，則sin∠FBA=三、解答題（共20題）31．如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長均為1，線段的兩個(gè)端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上.(1)在圖中畫出以為底、面積為12的等腰，且點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上；(2)在圖中畫出平行四邊形，且點(diǎn)和點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上，，連接，請直接寫出線段的長.32．如圖，在?ABCD中過點(diǎn)A作AE⊥DC，垂足為E，連接BE，F(xiàn)為BE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠D．（1）求證：△ABF∽△BEC；（2）若AD=5，AB=8，sinD=45，求AF33．如圖，將△ABC沿著射線BC方向平移至△A'B'C'，使點(diǎn)A'(1)判斷四邊形ACC(2)在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=1213，求C34．如圖，點(diǎn)M是正方形ABCD邊CD上一點(diǎn)，連接AM，作DE⊥AM于點(diǎn)E，BF⊥AM于點(diǎn)F，連接BE．（1）求證：AE=BF；（2）已知AF=2，四邊形ABED的面積為24，求∠EBF的正弦值．35．如圖，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=34（1）求邊AC的長；（2）設(shè)邊BC的垂直平分線與邊AB的交點(diǎn)為D，求ADDB36．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，O、D分別是邊AC、AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE∥AB交DO的延長線于點(diǎn)E，連接AE．(1)求證：四邊形AECD是菱形；(2)若四邊形AECD的面積為24，tan∠BAC=34，求BC37．如圖，在矩形ABCD中，AD=5，CD=4，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，BE=3(1)求證：△ABE≌△(2)連接CF，求sin∠DCF的值；(3)連接AC交DF于點(diǎn)G，求AGGC38．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線，∠C=45°，sinB=13（1）求BC的長；（2）求tan∠DAE的值．39．在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，EC與AD交于點(diǎn)G，點(diǎn)F在BC上．（1）如圖1，AC∶AB=1∶2，EF⊥CB，求證∶EF=CD．（2）如圖2，AC∶AB=1∶3，EF⊥CE，求EF∶EG的值．40．如圖，在RtΔABC中，∠C=90°，D為BC上一點(diǎn)，AB=5???,???（1）求AD的長；（2）求sinα41．如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD中CD邊上一點(diǎn)，△BCE沿BE折疊為△BFE，點(diǎn)F落在AD上．（1）求證：△ABF∽△DFE；（2）若，求tan∠EBC的值．42．已知ABCD，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在邊AD上，過點(diǎn)P分別作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分別為E、F，PE＝PF．（1）如圖，若PE＝3，EO＝1，求∠EPF的度數(shù)；（2）若點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DO的中點(diǎn)，BF＝BC＋32－4，求BC的長．43．如圖，菱形ABCD的邊長為10，∠ABC=60°，對角線AC,BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在對角線BD上，連接AE，作∠AEF=120°且邊EF與直線DC相交于點(diǎn)F．(1)求菱形ABCD的面積；(2)求證AE=EF．44．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，連接BD．(1)求BD的長；(2)點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），點(diǎn)F在邊AD上，且BE=3DF，①當(dāng)CE丄AB時(shí)，求四邊形ABEF的面積；②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí)，CE+3CF的值是否也最?。咳绻牵驝E+3CF的最小值；如果不是，請說明理由．45．如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)P為斜邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABP沿直線AP折疊，使得點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B'，連接AB'，CB（1）如圖①，若PB'⊥AC（2）如圖②，若AB=AC，BP=3PC，求cos∠（3）如圖③，若∠ACB=30°，是否存在點(diǎn)P，使得AB=CB'．若存在，求此時(shí)46．在等腰△ABC中，AC＝BC，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝12∠ACB，連接BD，BE，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，連接CF（1）當(dāng)∠CAB＝45°時(shí)．①如圖1，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AC上時(shí)，請直接寫出∠EAB與∠CBA的數(shù)量關(guān)系是．線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是；②如圖2，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AB上時(shí)，（1）中線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由；學(xué)生經(jīng)過討論，探究出以下解決問題的思路，僅供大家參考：思路一：作等腰△ABC底邊上的高CM，并取BE的中點(diǎn)N，再利用三角形全等或相似有關(guān)知識(shí)來解決問題；思路二：取DE的中點(diǎn)G，連接AG，CG，并把△CAG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、三角形全等或相似有關(guān)知識(shí)來解快問題．（2）當(dāng)∠CAB＝30°時(shí)，如圖3，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AC上時(shí)，寫出線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．47．如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD邊AD上，點(diǎn)F是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合）．DF交AC于點(diǎn)G，GH⊥AD于點(diǎn)H，AB=1，DE=1（1）求tan∠ACE（2）設(shè)AF=x，GH=y，試探究y與x的函數(shù)關(guān)系式（寫出x的取值范圍）．（3）當(dāng)∠ADF=∠ACE時(shí)，判斷EG與AC的位置關(guān)系并說明理由．48．(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出BDCE(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且ABBC＝ADDE＝34．連接BD①求BDCE②延長CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．求sin∠BFC的值．49．如圖1，在矩形ABCD中，AB=10，AD=8，E是AD邊上的一點(diǎn)，連接CE，將矩形ABCD沿CE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在AB邊上的點(diǎn)F處，延長CE交BA的延長線于點(diǎn)G．(1)求線段AE的長；(2)求證四邊形DGFC為菱形；(3)如圖2，M，N分別是線段CG，DG上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且∠DMN=∠DCM，設(shè)DN=x，是否存在這樣的點(diǎn)N，使△DMN是直角三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．50．綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要研究對象的科學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)有利于我們在圖形運(yùn)動(dòng)變化的過程中去發(fā)現(xiàn)其中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，讓我們在學(xué)習(xí)與探索中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，體會(huì)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)帶給我們的樂趣．如圖①，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別為邊BC、AB、AD的中點(diǎn)，連接EF、DF，H為DF的中點(diǎn)，連接GH．將△BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，線段DF、GH和CE的位置和長度也隨之變化．當(dāng)△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，請解決下列問題：(1)圖②中，AB=BC，此時(shí)點(diǎn)E落在AB的延長線上，點(diǎn)F落在線段BC上，連接AF，猜想GH與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)圖③中，AB=2，BC=3，則GHCE=(3)當(dāng)AB=m,BC=n時(shí)．GHCE=(4)在（2）的條件下，連接圖③中矩形的對角線AC，并沿對角線AC剪開，得△ABC（如圖④)．點(diǎn)M、N分別在AC、BC上，連接MN，將△CMN沿MN翻折，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)P落在AB的延長線上，若PM平分∠APN，則CM長為．專題解直角三角形的中考?？碱}專項(xiàng)訓(xùn)練（50道）一、選擇題（共15題）1．由4個(gè)形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，∠O=60°，則tan∠ABC=（

）A．13 B．12 C．33【答案】C【分析】證明四邊形ADBC為菱形，求得∠ABC=30°，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求解．【詳解】解：連接AD，如圖：∵網(wǎng)格是有一個(gè)角60°為菱形，∴△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等邊三角形，∴AD=BD=BC=AC，∴四邊形ADBC為菱形，且∠DBC=60°，∴∠ABD=∠ABC=30°，∴tan∠ABC=tan30°=33故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，證明四邊形ADBC為菱形是解題的關(guān)鍵．2．如圖，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于點(diǎn)D，AD=47AC，AB=2，∠ABC=150°，則△DBCA．3314 B．9314 C．【答案】A【分析】過點(diǎn)C作CE⊥AB的延長線于點(diǎn)E，由等高三角形的面積性質(zhì)得到S△DBC:S△ABC=3:7，再證明△ADB～△ACE，解得ABAE=【詳解】解：過點(diǎn)C作CE⊥AB的延長線于點(diǎn)E，∵△DBC與△ADB是等高三角形，S∴∵BD⊥AB∴△ADB～△ACE∴∴∵AB=2∴AE=∴BE=∵∠ABC=150°,∴∠CBE=180°?150°=30°∴CE=設(shè)S∴∴∴∴x=∴3x=3故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、正切等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．3．如圖，在△ABC中，∠B=45°,∠C=60°,AD⊥BC于點(diǎn)D，BD=3．若E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則EF的長為（

A．33 B．32 C．1 【答案】C【分析】根據(jù)條件可知△ABD為等腰直角三角形，則BD=AD，△ADC是30°、60°的直角三角形，可求出AC長，再根據(jù)中位線定理可知EF=AC2【詳解】解：因?yàn)锳D垂直BC，則△ABD和△ACD都是直角三角形，又因?yàn)椤螧=45°,∠C=60°,所以AD=BD=3因?yàn)閟in∠C=ADAC所以AC=2，因?yàn)镋F為△ABC的中位線，所以EF=AC2故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形、銳角三角形函數(shù)值、中位線相關(guān)知識(shí)，根據(jù)條件分析利用定理推導(dǎo)，是解決問題的關(guān)鍵．4．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BC的延長線上，連接DE，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接OF交CD于點(diǎn)G，連接CF，若CE=4，OF=6．則下列結(jié)論：①GF=2；②OD=2OG；③tan∠CDE=12；④∠ODF=∠OCF=90°A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤【答案】C【分析】由題意易得BC=CD,BO=OD=OA=OC,∠BDC=45°,∠BCD=∠DCE=90°，①由三角形中位線可進(jìn)行判斷；②由△DOC是等腰直角三角形可進(jìn)行判斷；③根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解；④根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解；⑤過點(diǎn)D作DH⊥CF，交CF的延長線于點(diǎn)H，然后根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD,BO=OD=OA=OC,∠BDC=45°,∠BCD=∠DCE=90°，AC⊥BD，∵點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，∴OF=1∵OF=6，CE=4，∴BE=12，則CD=BC=8，∵OF∥BE，∴△DGF∽△DCE，∴DGCD∴GF=2，故①正確；∴點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，∴OG⊥CD，∵∠ODC=45°，∴△DOC是等腰直角三角形，∴OD=2∵CE=4，CD=8，∠DCE=90°，∴tan∠CDE=∵tan∠CDE=∴∠CDE≠45°，∴∠ODF≠90°，故④錯(cuò)誤；過點(diǎn)D作DH⊥CF，交CF的延長線于點(diǎn)H，如圖所示：∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，∴CF=DF，∴∠CDE=∠DCF，∴tan∠CDE=設(shè)DH=x，則CH=2x，在Rt△DHC中，x2解得：x=±8∴DH=8∴正確的結(jié)論是①②③⑤；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)，熟練掌握正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是角平分線AD、BE的交點(diǎn)，若AB＝AC＝10，BC＝12，則tan∠OBD的值是（

）A．12 B．2 C．63 【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得AD⊥BC，BD=12BC=6，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)及三角的面積公式得AB【詳解】解：AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=12BC∴AD=102過點(diǎn)O作OF⊥AB，∵BE平分∠ABC，∴OF=OD，∵S△AOB∴ABBD=AOOD=∴tan∠OBD=ODBD故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，推出ABBD6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在OB上，OC:BC=1:2，連接AC，過點(diǎn)O作OP∥AB交AC的延長線于P．若P1,1，則tan∠OAP的值是（A．33 B．22 C．1【答案】C【分析】由P1,1可知，OP與x軸的夾角為45°，又因?yàn)镺P∥AB，則△OAB為等腰直角形，設(shè)OC=x，OB=2x【詳解】∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），則OP與x軸正方向的夾角為45°，又∵OP∥AB，則∠BAO=45°，△OAB為等腰直角形，∴OA=OB，設(shè)OC=x，則OB=2OC=2x，則OB=OA=3x，∴tan∠OAP=【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理和銳角三角函數(shù)的求解，根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)推出特殊角是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接BD．若tan∠A=12，tan∠ABD=A．25 B．3 C．5 【答案】C【分析】先根據(jù)銳角三角函數(shù)值求出AC=25，再由勾股定理求出AB=5,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，依據(jù)三角函數(shù)值可得DE=12AE,DE=13BE,從而得BE=32AE，再由AE+BE=5得【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5∴tan∴AC=2BC=25由勾股定理得,AB=A過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，如圖，∵tan∠A=12∴DEAE∴DE=1∴12∴BE=3∵AE+BE=5,∴AE+3∴AE=2,∴DE=1,在RtΔADE中,∴AD=∵AD+CD=AC=25∴CD=AC?AD=2故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，由銳角正切值求邊長，正確作輔助線求出DE的長是解答本題的關(guān)鍵．8．如圖，在4×4網(wǎng)格正方形中，每個(gè)小正方形的邊長為1，頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若△ABC的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則cos∠BAC的值是（

A．55 B．105 C．25【答案】C【分析】過點(diǎn)C作AB的垂線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)C作AB的垂線交AB于一點(diǎn)D，如圖所示，∵每個(gè)小正方形的邊長為1，∴AC=5設(shè)AD=x，則BD=5?x，在Rt△ACD中，DC在Rt△BCD中，DC∴10?(5?x)解得x=2，∴cos∠BAC=故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能構(gòu)造出直角三角形．9．如圖，在△ABC中，sinB=13，tanC=2，AB=3，則AC的長為（

A．2 B．52 C．5 【答案】B【分析】過A點(diǎn)作AH⊥BC于H點(diǎn)，先由sin∠B及AB=3算出AH的長，再由tan∠C算出CH的長，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的長．【詳解】解：過A點(diǎn)作AH⊥BC于H點(diǎn)，如下圖所示：由sin∠B=AHAB=1由tan∠C=AHCH=2，且∴在RtΔACH中，由勾股定理有：AC=A故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形及勾股定理等知識(shí)，如果圖形中無直角三角形時(shí)，可以通過作垂線構(gòu)造直角三角形進(jìn)而求解．10．公元三世紀(jì)，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果大正方形的面積是125，小正方形面積是25，則sinθ?cosθA．15 B．55 C．35【答案】A【分析】根據(jù)正方形的面積公式可得大正方形的邊長為55【詳解】解：∵大正方形的面積是125，小正方形面積是25，∴大正方形的邊長為55∴55∴cosθ?∴sinθ?故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、勾股定理的證明和正方形的面積，難度適中，解題的關(guān)鍵是正確得出cosθ?11．構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要性，在計(jì)算tan15°時(shí)，如圖．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝15°，所以tan15°=ACA．2+1 B．2﹣1 C．2 D．【答案】B【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延長CB到D，使BD＝AB，連接AD，根據(jù)構(gòu)造的直角三角形，設(shè)AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.【詳解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延長CB到D，使BD＝AB，連接AD，設(shè)AC＝x，則：BC＝x，AB＝2x，CD＝(1tan22.5°故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)閱讀構(gòu)造含45°的直角三角形，再作輔助線得到22.5°的直角三角形.12．如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，cosB=14，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，以AD為底邊在其右側(cè)作等腰三角形ADE，使∠ADE=∠B，連結(jié)CE，則CEA．32 B．3 C．152 【答案】D【分析】由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得出AD=BD=CD=12BC，在結(jié)合題意可得∠BAD=∠B=∠ADE，即證明AB//DE，從而得出∠BAD=∠B=∠ADE=∠CDE，即易證△ADE?△CDE(SAS)，得出AE=CE．再由等腰三角形的性質(zhì)可知AE=CE=DE，∠BAD=∠B=∠ADE=∠DAE，即證明△ABD～△ADE，從而可間接推出CEAD=BDAB【詳解】∵在Rt△ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，∴AD=BD=CD=1∴∠BAD=∠B=∠ADE，∴AB//DE．∴∠BAD=∠B=∠ADE=∠CDE，∴在△ADE和△CDE中，AD=CD∠ADE=∠CDE∴△ADE?△CDE(SAS)，∴AE=CE，∵△ADE為等腰三角形，∴AE=CE=DE，∠BAD=∠B=∠ADE=∠DAE，∴△ABD～△ADE，∴DEBD=AD∵cosB=∴ABBD∴CEAD故選D．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，全等三角形與相似三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形．熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．13．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CE是斜邊AB上的中線，過點(diǎn)E作EF⊥AB交AC于點(diǎn)F．若BC=4,△AEF的面積為5，則sin∠CEF的值為（

A．35 B．55 C．45【答案】A【分析】由題意易得△AEF∽△ACB，設(shè)CE=BE=AE=x，則有AB=2x，則有AC=4x2?16，EF=10x，然后可得410x=【詳解】解：∵EF⊥AB，∠ACB=90°，∴∠AEF=∠ACB=90°，∴△AEF∽△ACB，∵CE是斜邊AB上的中線，∴CE=BE=AE=1設(shè)CE=BE=AE=x，則有AB=2x，∵BC=4，∴由勾股定理可得AC=A∵△AEF的面積為5，∴EF=10∵△AEF∽△ACB，∴BCEF=ACAE，即解得：x2=5或當(dāng)x2=5時(shí)，則∴當(dāng)x2=20時(shí)，即x=25，過點(diǎn)C作CH⊥AB∴AB=45,AC=8，CE=25∴∠CEF=∠ECH，sin∠B=∴CH=BC?sin∴HE=C∴sin∠CEF=故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理是解題的關(guān)鍵．14．如圖，點(diǎn)A、B、C在邊長為1的正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．sinB=13 B．sinC．tanB=12 D．sin2B+sin2【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理得出AB，AC，BC的長，進(jìn)而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進(jìn)而解答即可．【詳解】解：由勾股定理得：AB=∴BC∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∴sinB=ACBC=210=故選擇題：A．【點(diǎn)睛】此題考查解直角三角形，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得出AB，AC，BC的長解答．15．如圖，已知菱形ABCD的邊長為4，E是BC的中點(diǎn)，AF平分∠EAD交CD于點(diǎn)F，F(xiàn)G∥AD交AE于點(diǎn)G，若cosB=14A．3 B．83 C．2153【答案】B【分析】過點(diǎn)A作AH垂直BC于點(diǎn)H，延長FG交AB于點(diǎn)P，由題干所給條件可知，AG=FG，EG=GP，利用∠AGP=∠B可得到cos∠AGP=14，即可得到FG【詳解】過點(diǎn)A作AH垂直BC于點(diǎn)H，延長FG交AB于點(diǎn)P，由題意可知，AB=BC=4，E是BC的中點(diǎn)，∴BE=2，又∵cosB=∴BH=1，即H是BE的中點(diǎn)，∴AB=AE=4，又∵AF是∠DAE的角平分線，F(xiàn)G∥∴∠FAG=∠AFG，即AG=FG，又∵PF∥AD，∴PF=AD=4，設(shè)FG=x，則AG=x，EG=PG=4-x，∵PF∥∴∠AGP=∠AEB=∠B，∴cos∠AGP=12PGAG=2?解得x=83故選B．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和解直角三角形，熟練掌握角平分線的性質(zhì)和解直角三角形的方法是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題（共15題）16．如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE．若∠ADB=30°，則如tan∠DEC【答案】3【分析】過C向BD作垂線，可以構(gòu)造出一個(gè)30°直角三角△CDF，進(jìn)而求出△AEB≌△CFD，設(shè)直角△CDF最小邊DF=a,并用a的代數(shù)式表示出其他邊，即可求出答案．【詳解】解：過C作CF⊥BD，垂足為F點(diǎn)∵矩形ABCD,∠ADB=30°∴AD∥BC，∠ABC=∠BCD=90°,∠DBC=∠ADB=30°,AB=CD∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠BAE+∠ABE=∠ABE+∠DBC=90°,∠FBC+∠FCB=∠FCB+∠FCD=90°,∴∠DBC=∠DCF=∠BAE=30°設(shè)DF=a,則CF=3a，CD=2a，BD=∵AE⊥BD∴∠AEB=∠CFD=90°∴△AEB≌△CFD，∴EB=DF=a∴EF=4a∴tan∠DEC=故答案是32【點(diǎn)睛】本題主要考察了矩形的性質(zhì)和解直角三角形知識(shí)點(diǎn)，三角形全等的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題關(guān)鍵．17．如圖，已知四邊形ABCD，AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABC=∠DAC=90°，tan∠ACB=12【答案】3【分析】過B點(diǎn)作BE//AD交AC于點(diǎn)E，證明△ADO∽△EBO，得到AO=3OE,再證明∠ABE=∠ACB,利用tan∠ACB=BECE【詳解】解：過B點(diǎn)作BE//AD交AC于點(diǎn)E，∠DAC=90°,∴BE⊥AD，∴△ADO∽△EBO，∴AOEO∵∴AO∴AO=3由tan∠ACB=∴BE∴CE=2BE,∵∠ABC=90°,BE⊥AC,∴∠ABE+∠CBE=90°=∠CBE+∠ACB,∴∠ABE=∠ACB,∴tan∴BE=2AE,∴CE=2BE=4AE,∴S=設(shè)OE=a,則AO=3∴AE=AO+OE=74a,CE=7a,S故答案為：318．如圖，在?ABCD中，AD=5,AB=12,sinA=45．過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為【答案】9【分析】首先根據(jù)題目中的sinA，求出ED的長度，再用勾股定理求出AE，即可求出EB，利用平行四邊形的性質(zhì)，求出CD，在Rt△DEC中，用勾股定理求出EC，再作BF⊥CE，在△BEC中，利用等面積法求出BF的長，即可求出sin【詳解】∵DE⊥AB，∴△ADE為直角三角形，又∵AD=5,sin∴sinA=解得DE=4,在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=A又∵AB=12,∴BE=AB?AE=12?3=9,又∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD=AB=12,AD=BC=5在Rt△DEC中，由勾股定理得：EC=C過點(diǎn)B作BF⊥CE，垂足為F,如圖在△EBC中：S△EBC=12又∵S△EBC=1∴210解得BF=9在Rt△BFC中，sin∠BCF=故填：910【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的等面積法求一邊上的高線，解題關(guān)鍵在于熟練掌握解直角三角形的計(jì)算，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的計(jì)算和等面積法求一邊上的高．19．如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE，若tan∠ADB=12【答案】2【分析】過點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F，易證ΔABE?ΔCDF(AAS)，從而可求出AE=CF，BE=FD，設(shè)AB＝a，則AD＝2a，根據(jù)三角形的面積可求出AE，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F，設(shè)CD=2a，在ΔABE與ΔCDF中，∠AEB=∠CFD∠ABE=∠CDF∴ΔABE?ΔCDF(AAS)，∴AE=CF，BE=FD，∵AE⊥BD，tan∠ADB＝ABAD＝1設(shè)AB＝a，則AD＝2a，∴BD＝5a，∵S△ABD＝12BD?AE＝12AB?∴AE＝CF＝255∴BE＝FD＝55a∴EF＝BD﹣2BE＝5a﹣255a＝3∴tan∠DEC＝CFEF＝2故答案為：23【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2．若點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA+PB+PC的最小值為____________．【答案】7【分析】根據(jù)題意，首先以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△APB到△AP′B′，旋轉(zhuǎn)角是60°，作出圖形，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根據(jù)勾股定理可以求得CB′的值，從而可以解答本題．【詳解】解：以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△APB到△AP′B′，旋轉(zhuǎn)角是60°，連接BB′、PP′，CB則∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′，∴△APP′是等邊三角形，∴AP=PP′，∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，∵PP′+P′B′+PC≥CB′，∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB=AB∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB?cos∠BAC=2×cos30°=2×3∴CB′=AC故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、最短路徑問題、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是作出合適的輔助線，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合的思想．21．如圖．在4×4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).ΔABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,則∠BAC的正弦值是__________．【答案】5【詳解】分析：先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．詳解：∵AB2=32+42=25，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC為直角三角形，且∠ACB=90°，則sin∠BAC=BCAB=5

故答案為55點(diǎn)睛：本題考查的是勾股定理以及銳角三角函數(shù)，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．22．如圖，△ABC中，∠BAC＞90°，BC=5，將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)B′落在BA的延長線上．若sin∠B′AC=910【答案】25【分析】如圖，作CD⊥BB′于D，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△BCB′為等腰直角三角形，從而可求得CD的長，在Rt△ACD中，根據(jù)sin∠DAC=CDAC=910，即可求得【詳解】如圖，過點(diǎn)C作CD⊥BB′于D∵△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)B′落在BA的延長線上∴CB=CB′=5，∠BCB′=90°∴△BCB′為等腰直角三角形∴BB′=2BC=52∵CD⊥BB′∴CD=12BB′=在Rt△ACD中，sin∠DAC=CDAC=∴AC=522×10故答案為：25【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，正確添加輔助線、熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．23．如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=【答案】15【詳解】試題分析：如圖，將△ABC沿直線l翻折后，點(diǎn)B落在邊AC的中點(diǎn)E處，過點(diǎn)E作AH⊥BC于點(diǎn)H，EF⊥BC于F，則EF是△ACH的中位線∵AB=AC，BC=8，∴根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得HC=BH=4.∵tanC=32，即tanC=AH∴AH=6.∴EF=3，F(xiàn)C=2.設(shè)BD=x，則根據(jù)翻折的性質(zhì)，DE="BD="x，又DF=BC-BD-FC=8-x-2=6-x.在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理，得x2=(6-x)2+32，解得x=154，即BD=24．如圖，在△ABC中，BC=6+2，∠C=45°，AB=【答案】2【分析】過A點(diǎn)作BC的垂線，則得到兩個(gè)直角三角形，根據(jù)勾股定理和正余弦公式，求AC的長.【詳解】過A作AD⊥BC于D點(diǎn)，設(shè)AC=2x，則AB=2x，因?yàn)椤螩=45°，所以AD=CD=x，則由勾股定理得BD=AB2?AD2=【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理和正余弦公式的運(yùn)用，要學(xué)會(huì)通過作輔助線得到特殊三角形，以便求解.25．如圖，由10個(gè)完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，∠α、∠β如圖所示，則cosα+β【答案】217【分析】給圖中各點(diǎn)標(biāo)上字母，連接DE，利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得出∠α=30°，同理，可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°結(jié)合∠AED=∠AEC+∠CED可得出∠AED=90°，設(shè)等邊三角形的邊長為a，則AE=2a，DE=3a，利用勾股定理可得出AD的長，再結(jié)合余弦的定義即可求出cos（α+β）的值．【詳解】給圖中各點(diǎn)標(biāo)上字母，連接DE，如圖所示．在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，∴∠α=30°．同理，可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α．又∵∠AEC=60°，∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．設(shè)等邊三角形的邊長為a，則AE=2a，DE=2×sin60°?a=3a，∴AD=A∴cos（α+β）=DEAD故答案為217【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)以及規(guī)律型：圖形的變化類，構(gòu)造出含一個(gè)銳角等于∠α+∠β的直角三角形是解題的關(guān)鍵．26．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，H是AB的中點(diǎn)，將ΔCBH沿CH折疊，點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)P處，連接AP，則tan∠HAP=【答案】4【分析】連接PB，交CH于E，依據(jù)軸對稱的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到CH垂直平分BP，∠APB=90°，即可得到AP∥HE，進(jìn)而得出∠BAP=∠BHE，依據(jù)RtΔBCH中，tan【詳解】如圖，連接PB，交CH于E，由折疊可得，CH垂直平分BP，BH=PH，又∵H為AB的中點(diǎn)，∴AH=BH，∴AH=PH=BH，∴∠HAP=∠HPA，∠HBP=∠HPB，又∵∠HAP+∠HPA+∠HBP+∠HPB=180∴∠APB=90∴∠APB=∠HEB=90∴AP∥HE，∴∠BAP=∠BHE，又∵RtΔBCH中，tan∴tan∠HAP=故答案為43【點(diǎn)睛】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．27．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E為CD邊上一點(diǎn)，將△BCE沿BE折疊，使得C落到矩形內(nèi)點(diǎn)F的位置，連接AF，若tan∠BAF＝12【答案】5?【分析】已知tan∠BAF=12【詳解】過點(diǎn)F作MN∥AD，交AB、CD分別于點(diǎn)M、N，則MN⊥AB，MN⊥CD，由折疊得：EC＝EF，BC＝BF＝5，∠C＝∠BFE＝90°，∵tan∠BAF＝12＝FM在Rt△BFM中，由勾股定理得：x2+（4﹣2x）2＝（5）2，解得：x1＝1，x2＝115∴FM＝1，AM＝BM＝2，∴FN＝5﹣1，易證△BMF∽△FNE，∴BFEF=BM解得：EF＝5?5故答案為5?5【點(diǎn)睛】考查矩形的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系、軸對稱的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，作合適的輔助線，恰當(dāng)?shù)睦妙}目中的已知條件，是解決問題的關(guān)鍵．28．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)G，E分別在邊BC,DC上，連接AG,EG,AE，將△ABG和△ECG分別沿AG,EG折疊，使點(diǎn)B，C恰好落在AE上的同一點(diǎn)，記為點(diǎn)F．若CE=3,CG=4，則sin∠DAE=【答案】7【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得GE=5，BC=AD=8，證得Rt△EGF~Rt△EAG，求得EA=25【詳解】矩形ABCD中，GC=4，CE=3，∠C=90°，∴GE=GC2根據(jù)折疊的性質(zhì)：BG=GF，GF=GC=4，CE=EF=3，∠AGB=∠AGF，∠EGC=∠EGF，∠GFE=∠C=90°，∴BG=GF=GC=4，∴BC=AD=8，∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF=180°，∴∠AGE=90°，∴Rt△EGF~Rt△EAG，∴EGEA=EF∴EA=25∴DE=AE2∴sin∠DAE故答案為：725【點(diǎn)睛】本考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)的知識(shí)等，利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)求線段的長度是本題的關(guān)鍵．29．如圖，點(diǎn)C在線段AB上，且AC=2BC，分別以AC、BC為邊在線段AB的同側(cè)作正方形ACDE、BCFG，連接EC、EG，則tan∠CEG=【答案】1【分析】設(shè)BC=a，則AC=2a，然后利用正方形的性質(zhì)求得CE、CG的長、∠GCD=ECD=45°，進(jìn)而說明△ECG為直角三角形，最后運(yùn)用正切的定義即可解答．【詳解】解：設(shè)BC=a，則AC=2a∵正方形ACDE∴EC=2a2+2a同理：CG=2a,∠GCD=1∴tan∠CEG=故答案為12【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和正切的定義，根據(jù)正方形的性質(zhì)說明△ECG是直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．30．如圖，在△ABC中，AC=3,BC=4，點(diǎn)D、E分別在CA、CB上，點(diǎn)F在△ABC內(nèi)．若四邊形CDFE是邊長為1的正方形，則sin∠FBA=【答案】10【分析】連接AF，CF，過點(diǎn)F作FM⊥AB，由S△ABC=S【詳解】解：連接AF，CF，過點(diǎn)F作FM⊥AB，∵四邊形CDFE是邊長為1的正方形，∴∠C=90°，∴AB=32∵S△ABC∴12∴FM=1，∵BF=4?12∴sin∠FBA=1故答案是：1010【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，掌握”等積法“是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共20題）31．如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長均為1，線段的兩個(gè)端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上.(1)在圖中畫出以為底、面積為12的等腰，且點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上；(2)在圖中畫出平行四邊形，且點(diǎn)和點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上，，連接，請直接寫出線段的長.【答案】（1）畫圖見解析；（2）畫圖見解析，CD=.【詳解】試題分析：（1）因?yàn)锳B為底、面積為12的等腰△ABC，所以高為4，點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線上，由此即可畫出圖形；（2）根據(jù)tan∠EAB=的值確定點(diǎn)E的位置，由此即可解決問題，利用勾股定理計(jì)算CD的長；試題解析：（1）如圖所示；（2）如圖所示，CD==．考點(diǎn)：1.作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；2.勾股定理；3.平行四邊形的判定；4.解直角三角形．32．如圖，在?ABCD中過點(diǎn)A作AE⊥DC，垂足為E，連接BE，F(xiàn)為BE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠D．（1）求證：△ABF∽△BEC；（2）若AD=5，AB=8，sinD=45，求AF【答案】（1）證明見解析；（2）25【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，得出∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，證出∠C=∠AFB，即可得出結(jié)論；（2）由勾股定理求出BE，由三角函數(shù)求出AE，再由相似三角形的性質(zhì)求出AF的長．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，∵∠AFB+∠AFE=180°，∴∠C=∠AFB，∴△ABF∽△BEC；（2）解：∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED=∠BAE=90°，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理得：BE=AE在Rt△ADE中，AE=AD?sinD=5×45∵BC=AD=5，由（1）得：△ABF∽△BEC，∴AFBC即AF5解得：AF=25．33．如圖，將△ABC沿著射線BC方向平移至△A'B'C'，使點(diǎn)A'(1)判斷四邊形ACC(2)在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=1213，求C【答案】(1)四邊形ACC(2)C【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理（有一組對邊平行且相等的四邊形是平四邊形）推知四邊形ACC（2）通過解直角△ABC得到AC、BC的長度，由（1）中菱形ACC'A'的性質(zhì)推知AC=AA'，由平移的性質(zhì)得到四邊形（1）解：四邊形ACC由平移的性質(zhì)得到：AC∥A'C'，且AC=A'C'，∴四邊形ACC∴∠ACC'=∠AA'C'，∵CD平分∠ACB的外角，即CD平分∠ACC′，∴∠ACA∵AC∥A'C'，∴∠AA∴∠ACA∴AA∴四邊形ACC（2）解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=1213∴cos∠BAC=ABAC=12即24AC=12∴AC=26，∴由勾股定理知：BC=AC2?A由（1）可知，四邊形ACC∴AC=AA'=26，由平移的性質(zhì)得到：AB∥A'B'，AB=A'B'，則四邊形ABB∴AA'=BB'=26，∴CB'=BB'?BC=16．【點(diǎn)睛】本題主要考查四邊形綜合題，涉及到菱形的判定與性質(zhì)、平移的性質(zhì)、解直角三角形等，掌握相關(guān)性質(zhì)并結(jié)合圖形進(jìn)行應(yīng)用是關(guān)鍵．34．如圖，點(diǎn)M是正方形ABCD邊CD上一點(diǎn)，連接AM，作DE⊥AM于點(diǎn)E，BF⊥AM于點(diǎn)F，連接BE．（1）求證：AE=BF；（2）已知AF=2，四邊形ABED的面積為24，求∠EBF的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）sin∠EBF=213【分析】（1）通過證明△ABF≌△DAE得到BF=AE；（2）設(shè)AE=x，則BF=x，DE=AF=2，利用四邊形ABED的面積等于△ABE的面積與△ADE的面積之和得到12?x?x+12?x?2=24，解方程求出x得到AE=BF=6，則EF=x﹣2=4，然后利用勾股定理計(jì)算出【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴BA=AD，∠BAD=90°，∵DE⊥AM于點(diǎn)E，BF⊥AM于點(diǎn)F，∴∠AFB=90°，∠DEA=90°，∵∠ABF+∠BAF=90°，∠EAD+∠BAF=90°，∴∠ABF=∠EAD，在△ABF和△DAE中，∠BFA=∠DEA∠ABF=∠EAD∴△ABF≌△DAE（AAS），∴BF=AE；（2）設(shè)AE=x，則BF=x，DE=AF=2，∵四邊形ABED的面積為24，∴12?x?x+12?x?2=24，解得x1=6，x∴EF=x﹣2=4，在Rt△BEF中，BE=42+6∴sin∠EBF=EFBE【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、解直角三角形等，熟知正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用全等三角形的知識(shí)解決線段相等問題是解題的關(guān)鍵．35．如圖，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=34（1）求邊AC的長；（2）設(shè)邊BC的垂直平分線與邊AB的交點(diǎn)為D，求ADDB【答案】（1）AC=10；（2）AD【分析】（1）過A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出AC的長即可；（2）由DF垂直平分BC，求出BF的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出DF的長，利用勾股定理求出BD的長，進(jìn)而求出AD的長，即可求出所求．【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，tan∠ABC=AEBE=3∴AE=3，BE=4，∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，在Rt△AEC中，根據(jù)勾股定理得：AC=32+1（2）∵DF垂直平分BC，∴BD=CD，BF=CF=52∵tan∠DBF=DFBF∴DF=158在Rt△BFD中，根據(jù)勾股定理得：BD=522+∴AD=5﹣258=15則ADBD【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確添加輔助線、根據(jù)邊角關(guān)系熟練應(yīng)用三角函數(shù)進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵.36．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，O、D分別是邊AC、AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE∥AB交DO的延長線于點(diǎn)E，連接AE．(1)求證：四邊形AECD是菱形；(2)若四邊形AECD的面積為24，tan∠BAC=34，求BC【答案】(1)證明見解析；(2)BC=6．【分析】（1）由ASA證明△AOD≌△COE，得出對應(yīng)邊相等AD=CE，證出四邊形AECD是平行四邊形，即可得出四邊形AECD是菱形；（2）由菱形的性質(zhì)得出AC⊥ED，再利用三角函數(shù)解答即可．（1）證明：∵點(diǎn)O是AC中點(diǎn)，∴OA=OC，∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO，在△AOD和△COE中，∠DAO∴△AOD≌△COE（ASA），∴AD=CE，∵CE∥AB，∴四邊形AECD是平行四邊形，又∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，∴CD=AD，∴四邊形AECD是菱形；（2）解：由（1）知，四邊形AECD是菱形，∴AC⊥ED，在Rt△AOD中，tan∠DAO設(shè)OD=3x，OA=4x，則ED=2OD=6x，AC=2OA=8x，由題意可得：6x解得：x=1，∴OD=3，∵O，D分別是AC，AB的中點(diǎn)，∴OD是△ABC的中位線，∴BC=2OD=6．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等，熟練掌握菱形的判定方法，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．37．如圖，在矩形ABCD中，AD=5，CD=4，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，BE=3(1)求證：△ABE≌△(2)連接CF，求sin∠DCF的值；(3)連接AC交DF于點(diǎn)G，求AGGC【答案】(1)證明見解析；(2)sin∠DCF=2【分析】(1)根據(jù)勾股定理求出AE，矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理證明；(2)連接DE交CF于點(diǎn)H，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=AB=CD=4，AF(3)過點(diǎn)C作CK⊥AE交AE的延長線于點(diǎn)K，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90∴∠AEB在△ABE和△∠AEB=∠DAF∠B=∠AFD∴△ABE≌△(2)連接DE交CF于點(diǎn)H，如圖，∵△ABE≌△∴DF=AB∴EF∴DE∴∠DCH∴∠DCH在Rt△DCE中，CD=4∴DE∴sin∠DCF(3)如圖，過點(diǎn)C作CK⊥∴AG在Rt△EK=∴FK∴AG【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理的應(yīng)用，平行線分線段成比例定理、三角函數(shù)的應(yīng)用等，正確添加輔助線、熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵.38．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線，∠C=45°，sinB=13（1）求BC的長；（2）求tan∠DAE的值．【答案】（1）22+【分析】（1）先由三角形的高的定義得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=1；解Rt△ADB，得出AB=3，根據(jù)勾股定理求出BD=22（2）先由三角形的中線的定義求出CE的值，則DE=CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC邊上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，∴DC=AD=1．在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=13∴AB=∴BD=∴BC=（2）∵AE是BC邊上的中線，∴CE=12BC=2∴DE=CE﹣CD=2?∴tan∠【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高、中線的定義，勾股定理，解直角三角形，難度中等，分別解Rt△ADC與Rt△ADB，得出DC=1，AB=3是解題的關(guān)鍵．39．在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，EC與AD交于點(diǎn)G，點(diǎn)F在BC上．（1）如圖1，AC∶AB=1∶2，EF⊥CB，求證∶EF=CD．（2）如圖2，AC∶AB=1∶3，EF⊥CE，求EF∶EG的值．【答案】（1）見解析；（2）1∶3【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根據(jù)AC∶AB=1∶2及點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，得出AC=BE，再利用AAS證明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD．（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先證明四邊形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，則∠FEQ=∠GEH，再由兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明△EFQ∽△EGH，得出EF∶EG=EQ∶EH，然后在△BEQ中，根據(jù)正弦函數(shù)的定義得出EQ=12BE，在△AEH中，根據(jù)余弦函數(shù)的定義得出EH=32AE，又BE=AE，進(jìn)而求出EF∶【詳解】解∶（1）證明∶如圖1，在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，∴∠CAD=∠B=90°－∠ACB．∵AC∶AB=1∶2，∴AB=2AC．∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴AB=2BE．∴AC=BE．在△ACD與△BEF中，∠CAD=∠B∠ADC=∠BFE=90°∴△ACD≌△BEF（AAS）．∴CD=EF，即EF=CD．（2）如圖2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，∴四邊形EQDH是矩形．∴∠QEH=90°．∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG．，又∵∠EQF=∠EHG=90°，∴△EFQ∽△EGH．∴EF∶EG=EQ∶EH．∵AC∶AB=1∶3，∠CAB=90°，∴∠B=30°．在△BEQ中，∵∠BQE=90°，∴sinB=EQBE=1在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH=EHAE=32∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴BE=AE，∴EF∶EG=EQ∶EH=12BE∶32AE=1∶40．如圖，在RtΔABC中，∠C=90°，D為BC上一點(diǎn)，AB=5???,???（1）求AD的長；（2）求sinα【答案】（1）AD=32；（2）sin【分析】（1）根據(jù)tanB=34，可設(shè)AC=3x，得BC=4x，再由勾股定理列出x的方程求得x（2）過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，解直角三角形求得BE與DE，進(jìn)而求得結(jié)果．【詳解】解：（1）∵tanB=34，可設(shè)AC=3x∵AC∴3x2解得，x=?1（舍去），或x=1，∴AC=3???∵BD=1，∴CD=3，∴AD=C（2）過點(diǎn)作DE⊥AB于點(diǎn)E，∵tanB=34，可設(shè)DE=3y∵AE∴3y2解得，y=?15（舍），或∴DE=3∴sinα=【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：解直角三角形.理解三角函數(shù)的定義是關(guān)鍵.41．如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD中CD邊上一點(diǎn)，△BCE沿BE折疊為△BFE，點(diǎn)F落在AD上．（1）求證：△ABF∽△DFE；（2）若sin∠DFE=1【答案】見解析【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠C＝90°．∵△BCE沿BE折疊為△BFE，∴∠BFE＝∠C＝90°．∴∠AFB＋∠DFE＝180°－∠BFE＝90°．又∠AFB＋∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DFE，∴△ABF∽△DFE．（2）在Rt△DEF中，sin∠DFE=∴設(shè)DE＝a，則EF＝3a，∴DF=E∵△BCE沿BE折疊為△BFE，∴CE＝EF＝3a，∠EBC＝∠EBF，∴CD＝DE＋CE＝4a，∴AB＝4a．又由（1）知△ABF∽△DFE，∴FEBF∴tan∠EBF=FEBF42．已知ABCD，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在邊AD上，過點(diǎn)P分別作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分別為E、F，PE＝PF．（1）如圖，若PE＝3，EO＝1，求∠EPF的度數(shù)；（2）若點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DO的中點(diǎn)，BF＝BC＋32－4，求BC的長．【答案】（1）60°（2）4【分析】（1）連接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”證明△PEO和△PFO全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠FPO=∠EPO，從而得解．（2）根據(jù)條件證出?ABCD是正方形．根據(jù)正方形的對角線與邊長的關(guān)系列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：（1）連接PO,∵PE＝PF，PO＝PO，PE⊥AC、PF⊥BD，∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL）．∴∠EPO＝∠FPO．在Rt△PEO中，tan∠EPO＝EOPE＝3∴∠EPO＝30°．∴∠EPF＝60°．（2）∵點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，∴AP＝DP．又∵PE＝PF，∴Rt△PEA≌Rt△PFD（HL）．∴∠OAD＝∠ODA．∴OA＝OD．∴AC＝2OA＝2OD＝BD．∴?ABCD是矩形．∵點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DO的中點(diǎn)，∴AO∥PF．∵PF⊥BD，∴AC⊥BD．∴?ABCD是菱形．∴?ABCD是正方形．∴BD＝2BC．∵BF＝34∴BC＋32－4＝32解得，BC＝4．43．如圖，菱形ABCD的邊長為10，∠ABC=60°，對角線AC,BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在對角線BD上，連接AE，作∠AEF=120°且邊EF與直線DC相交于點(diǎn)F．(1)求菱形ABCD的面積；(2)求證AE=EF．【答案】(1)50(2)見解析【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD且AO=CO，BO=DO，再根據(jù)題意及特殊角的三角函數(shù)值求出AC和BD的長度，根據(jù)菱形的面積＝對角線乘積的一半即可求解．（2）連接EC，設(shè)∠BAE的度數(shù)為x，易得EC=AE，利用三角形的內(nèi)角和定理分別表示出∠EFC和∠ECF的度數(shù)，可得∠EFC=∠ECF，即EC=EF，又因?yàn)镋C=AE，即可得到AE=EF．(1)解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD且AO=CO，BO=DO，∵∠ABC=60°∴∠ABO=30°,∠AOB=90°∵AB=10，∴AO=ABsin30∴AC=2AO=10，BD=2BO=10∴菱形ABCD的面積=1(2)證明：如圖，連接EC，設(shè)∠BAE的度數(shù)為x，∵四邊形ABCD為菱形，∴BD是AC的垂直平分線，∴AE=CE，∠AED=∠CED，∠EAC=∠ECA=60°-x，∵∠ABD=30°，∴∠AED=∠CED=30°+x，∴∠DEF=∠AEF-∠AED=120°-（30°+x）=90°-x∵∠BDC=12∠ADC∴∠EFC=180°-（∠DEF+∠BDC）=180°-（90°-x+30°）=x+60°，∵∠CED=30°+x，∴∠ECD=180°-（∠CED+∠BDC）=180°-（30°+x+30°）=120°-x，∴∠ECF=180°-∠ECD=180°-（120°-x）=x+60°，∴∠EFC=∠ECF，∴EF=EC，∵AE=CE，∴AE=EF．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、菱形面積的求解、特殊角的三角函數(shù)值以及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．44．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，連接BD．(1)求BD的長；(2)點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），點(diǎn)F在邊AD上，且BE=3DF，①當(dāng)CE丄AB時(shí)，求四邊形ABEF的面積；②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí)，CE+3CF的值是否也最??？如果是，求CE+3CF的最小值；如果不是，請說明理由．【答案】(1)BD=63(2)①四邊形ABEF的面積為73【分析】（1）證明△ABC是等邊三角形，可得BO=33（2）過點(diǎn)E作AD的垂線，分別交AD和BC于點(diǎn)M，N，根據(jù)菱形的面積可求出MN=33，設(shè)BE=x，則EN=12x，從而得到EM=MN-EN=33?12x，再由BE=3DF，可得DF=33x，從而得到四邊形ABEF的面積s=S△ABD-S△DEF=312x?332+2734，①當(dāng)CE⊥AB時(shí)，可得點(diǎn)E是△ABC重心，從而得到BE=CE=23BO=23×33=23，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得當(dāng)點(diǎn)E和F分別到達(dá)點(diǎn)O(1)解∶連接AC，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，∵∠BAD=120°，∴∠CAB=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴BO=AB?sin60°=6×32=∴BD=2BO=63(2)解：如圖，過點(diǎn)E作AD的垂線，分別交AD和BC于點(diǎn)M，N，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=6，由（1）得：BD=63菱形ABCD中，對角線BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，∴MN⊥BC，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴∠EBN=30°；∴EN=12∵S菱形∴MN=33設(shè)BE=x，則EN=12∴EM=MN-EN=33?∵S菱形ABCD=AD?MN=6×33∴S△ABD=12S菱形ABCD=9∵BE=3DF，∴DF=BE3∴S△DEF=12DF?EM=12?記四邊形ABEF的面積為s，∴s=S△ABD-S△DEF=93-（?312∵點(diǎn)E在BD上，且不在端點(diǎn)，∴0<BE<BD，即0<x<63①當(dāng)CE⊥AB時(shí)，∵OB⊥AC，∴點(diǎn)E是△ABC重心，∴BE=CE=23BO=2此時(shí)s=3122∴當(dāng)CE⊥AB時(shí)，四邊形ABEF的面積為73②作CH⊥AD于H，如圖，∵CO⊥BD，CH⊥AD，而點(diǎn)E和F分別在BD和AD上，∴當(dāng)點(diǎn)E和F分別到達(dá)點(diǎn)O和點(diǎn)H位置時(shí)，CF和CE分別達(dá)到最小值；在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，∵∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴AH=DH=3，∴CH=33∵s=3∴當(dāng)x=33，即BE=33時(shí)，∵BE=3DF，∴DF=3，此時(shí)點(diǎn)E恰好在點(diǎn)O的位置，而點(diǎn)F也恰好在點(diǎn)H位置，∴當(dāng)四邊形ABEF面積取得最小值時(shí)，CE和CF也恰好同時(shí)達(dá)到最小值，∴CE+3CF的值達(dá)到最小，其最小值為CO+3CH=3+3【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的重心，解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的重心，解直角三角形等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．45．如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)P為斜邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABP沿直線AP折疊，使得點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B'，連接AB'，CB（1）如圖①，若PB'⊥AC（2）如圖②，若AB=AC，BP=3PC，求cos∠（3）如圖③，若∠ACB=30°，是否存在點(diǎn)P，使得AB=CB'．若存在，求此時(shí)【答案】（1）證明見解析；（2）35；（3）存在，PCBC的值為12【分析】（1）先根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得∠CPB'=∠ABP，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠AB'（2）設(shè)AC與PB'的交點(diǎn)為點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OD⊥AB'于點(diǎn)D，設(shè)AB=AC=4a(a>0)，從而可得BC=42a，先證出△COP～△B'OA，從而可得OCOB'=OPOA=PC（3）如圖（見解析），設(shè)AB=CB'=2m(m>0)，從而可得BC=4m,AC=23m,AB'=2m，分①點(diǎn)【詳解】（1）證明：∵PB'⊥AC∴PB∴∠CPB由折疊的性質(zhì)得：∠AB∴∠CPB∴AB∴四邊形ABPB又∵PB∴平行四邊形ABPB∴PB（2）如圖，設(shè)AC與PB'的交點(diǎn)為點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OD⊥AB∵AB=AC，∴Rt△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB=45°，設(shè)AB=AC=4a(a>0)，則BC=42∵BP=3PC，∴BP=32由折疊的性質(zhì)得：∠AB在△COP和△B'OA∴△COP～△B∴OC設(shè)OC=2b(b>0)，則∴OP解得b=4∴OA=4a?2在Rt△B'OD∴AD=AB則cos∠（3）∵∠ACB=30°,∠BAC=90°，∴∠ABC=60°，設(shè)AB=CB'=2m(m>0)由折疊的性質(zhì)得：∠AB∴AB由題意，分以下兩種情況：①如圖，當(dāng)點(diǎn)B'在直線AC的左側(cè)時(shí)，過點(diǎn)B'作B'∴CE=1∴B∴在Rt△B'CE∴∠B又∵AB∴∠B∴∠AB∴∠CB∴△CB∴PC=CB∴PC②如圖，當(dāng)點(diǎn)B'在直線AC的右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)B'作B'同理可得：∠B∴∠B∴點(diǎn)B'在BC由折疊的性質(zhì)得：AP⊥BB在Rt△ABP中，BP=AB?cos∴PC=BC?BP=3m，∴PC綜上，存在點(diǎn)P，使得AB=CB'，此時(shí)PCBC的值為1【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．46．在等腰△ABC中，AC＝BC，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝12∠ACB，連接BD，BE，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，連接CF（1）當(dāng)∠CAB＝45°時(shí)．①如圖1，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AC上時(shí)，請直接寫出∠EAB與∠CBA的數(shù)量關(guān)系是．線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是；②如圖2，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AB上時(shí)，（1）中線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由；學(xué)生經(jīng)過討論，探究出以下解決問題的思路，僅供大家參考：思路一：作等腰△ABC底邊上的高CM，并取BE的中點(diǎn)N，再利用三角形全等或相似有關(guān)知識(shí)來解決問題；思路二：取DE的中點(diǎn)G，連接AG，CG，并把△CAG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、三角形全等或相似有關(guān)知識(shí)來解快問題．（2）當(dāng)∠CAB＝30°時(shí)，如圖3，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AC上時(shí)，寫出線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）①∠EAB=∠ABC，CF=12BE【分析】（1）①如圖1中，連接BE，設(shè)DE交AB于T．首先證明AD=AE,BD=BE,再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)解決問題即可．②解法一：如圖2﹣1中，取AB的中點(diǎn)M，BE的中點(diǎn)N，連接CM，MN．證明△CMF≌△BMN（SAS），可得結(jié)論．解法二：如圖2﹣2中，取DE的中點(diǎn)G，連接AG，CG，并把△CAG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBT，連接DT，GT，BG．證明四邊形BEGT是平行四邊形，四邊形DGBT是平行四邊形，可得結(jié)論．（2）結(jié)論：BE＝23CF．如圖3中，取AB的中點(diǎn)T，連接CT，F(xiàn)T．證明【詳解】解：（1）①如圖1中，連接BE，設(shè)DE交AB于T．∵CA＝CB，∠CAB＝45°，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∴∠ACB＝90°，∵∠ADE＝12∠ACB＝45°，∠DAE∴∠ADE＝∠AED＝45°，∴AD＝AE，∵∠DAE=90°,∴∠EAB=∠DAT=∠ABC=45°,∴AT⊥DE，DT＝ET，∴AB垂直平分DE，∴BD＝BE，∵∠BCD＝90°，DF＝FB，∴CF＝12BD∴CF＝12BE故答案為：∠EAB＝∠ABC，CF＝12BE②結(jié)論不變．解法一：如圖2﹣1中，取AB的中點(diǎn)M，BE的中點(diǎn)N，連接CM，MN．∵∠ACB＝90°，CA＝CB，AM＝BM，∴CM⊥AB，CM＝BM＝AM，由①得：AD=AE,設(shè)AD＝AE＝y(tǒng)．FM＝x，DM＝a，∵點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，則DF＝FB＝a+x，∵AM＝BM，∴y+a＝a+2x，∴y＝2x，即AD＝2FM，∵AM＝BM，EN＝BN，∴AE＝2MN，MN∥AE，∴MN＝FM，∠BMN＝∠EAB＝90°，∴∠CMF＝∠BMN＝90°，∴△CMF≌△BMN（SAS），∴CF＝BN，∵BE＝2BN，∴CF＝12BE解法二：如圖2﹣2中，取DE的中點(diǎn)G，連接AG，CG，并把△CAG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBT，連接DT，GT，BG．∵AD＝AE，∠EAD＝90°，EG＝DG，∴AG⊥DE，∠EAG＝∠DAG＝45°，