第十一章布萊克-舒爾斯-默頓

期權(quán)定價(jià)模型

目錄BSM期權(quán)定價(jià)模型的基本思路股票價(jià)格的變化過(guò)程BSM期權(quán)定價(jià)公式BSM期權(quán)定價(jià)公式的精確度評(píng)價(jià)與拓展2目錄BSM期權(quán)定價(jià)模型的基本思路股票價(jià)格的變化過(guò)程BSM期權(quán)定價(jià)公式BSM期權(quán)定價(jià)公式的精確度評(píng)價(jià)與拓展3基本思路股票價(jià)格服從的隨機(jī)過(guò)程

由It?引理可得期權(quán)價(jià)格相應(yīng)服從的隨機(jī)過(guò)程

BSM微分方程BSM期權(quán)定價(jià)公式4目錄BSM期權(quán)定價(jià)模型的基本思路股票價(jià)格的變化過(guò)程BSM期權(quán)定價(jià)公式BSM期權(quán)定價(jià)公式的精確度評(píng)價(jià)與拓展5標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（維納過(guò)程）

6維納過(guò)程的性質(zhì)

也服從正態(tài)分布均值等于0方差等于T?t標(biāo)準(zhǔn)差等于方差可加性7為何使用布朗運(yùn)動(dòng)？正態(tài)分布：經(jīng)驗(yàn)事實(shí)證明，股票價(jià)格的連續(xù)復(fù)利收益率近似地服從正態(tài)分布數(shù)學(xué)上可以證明，具備特征1和特征2的維納過(guò)程是一個(gè)馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程，從而與弱式EMH相符。維納過(guò)程在數(shù)學(xué)上對(duì)時(shí)間處處不可導(dǎo)和二次變分（QuadraticVariation）不為零的性質(zhì)，與股票收益率在時(shí)間上存在轉(zhuǎn)折尖點(diǎn)等性質(zhì)也是相符的8市場(chǎng)有效理論與隨機(jī)過(guò)程9普通布朗運(yùn)動(dòng)：標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的擴(kuò)展遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)的變量x是關(guān)于時(shí)間和dz的動(dòng)態(tài)過(guò)程：

或者adt為確定項(xiàng)，漂移率a意味著每單位時(shí)間內(nèi)x漂移a；bdz是隨機(jī)項(xiàng)，代表著對(duì)x的時(shí)間趨勢(shì)過(guò)程所添加的噪音，使變量x圍繞著確定趨勢(shì)上下隨機(jī)波動(dòng)，且這種噪音是由維納過(guò)程的b倍給出的，b2稱為方差率，b稱為波動(dòng)率。10對(duì)普通布朗運(yùn)動(dòng)的理解

普通布朗運(yùn)動(dòng)的離差形式為?x具有正態(tài)分布特征，其均值為

，標(biāo)準(zhǔn)差為

，方差為在任意時(shí)間長(zhǎng)度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為。標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)為普通布朗運(yùn)動(dòng)的特例。11伊藤過(guò)程（It?Process）伊藤過(guò)程

其中，是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。12幾何布朗運(yùn)動(dòng)（GeometricBrownianMotion）幾何布朗運(yùn)動(dòng)

其中μ和σ均為常數(shù)一般用幾何布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述股票價(jià)格的隨機(jī)過(guò)程可以避免股票價(jià)格為負(fù)從而與有限責(zé)任相矛盾的問(wèn)題幾何布朗運(yùn)動(dòng)意味著股票連續(xù)復(fù)利收益率服從正態(tài)分布，這與實(shí)際較為吻合13伊藤引理（It?Lemma）若變量x遵循伊藤過(guò)程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過(guò)程：

其中，

是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。14泰勒展開(kāi)式G的泰勒展開(kāi)式為：15忽略比?t高階的項(xiàng)在常微分中，我們得到在隨機(jī)微分中，我們得到：

其中，最后一項(xiàng)的階數(shù)為?t16將?x代入將代入最后一項(xiàng)，并忽略比?t高階的項(xiàng)，則由于

而的方差和同階，可以忽略，因此有17取極限取極限代入

可得18伊藤引理的運(yùn)用如果我們知道x遵循的伊藤過(guò)程，通過(guò)伊藤引理可以推導(dǎo)出G(x,t)遵循的隨機(jī)過(guò)程。由于衍生產(chǎn)品價(jià)格是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和時(shí)間的函數(shù)，因此伊藤引理在衍生產(chǎn)品分析中扮演重要的角色。19案例11.1：lnS所遵循的隨機(jī)過(guò)程假設(shè)變量S服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)令，則運(yùn)用伊藤引理可得

所遵循的隨機(jī)過(guò)程為

說(shuō)明連續(xù)復(fù)利收益率服從期望值方差為的正態(tài)分布。注意：20案例11.2：F所遵循的隨機(jī)過(guò)程假設(shè)變量S服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)由于，則運(yùn)用伊藤引理可得

說(shuō)明期貨價(jià)格的漂移率比標(biāo)的資產(chǎn)小r。21股票價(jià)格的變化過(guò)程：幾何布朗運(yùn)動(dòng)I

股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)

意味著幾何布朗運(yùn)動(dòng)具有如下性質(zhì)：22股票價(jià)格的變化過(guò)程：幾何布朗運(yùn)動(dòng)IIS不會(huì)為負(fù)，這與有限責(zé)任下股票價(jià)格不可能為負(fù)是一致的。股票連續(xù)復(fù)利收益率服從正態(tài)分布。T?t期間年化的連續(xù)復(fù)利收益率可以表示為可知隨機(jī)變量η服從正態(tài)分布σ是股票連續(xù)復(fù)利收益率的年化標(biāo)準(zhǔn)差，也被稱為股票價(jià)格對(duì)數(shù)的波動(dòng)率（Volatility）23股票價(jià)格的變化過(guò)程：幾何布朗運(yùn)動(dòng)III股票價(jià)格的對(duì)數(shù)服從普通布朗運(yùn)動(dòng)，特定時(shí)刻的股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

其中，μ是?t時(shí)間內(nèi)股票價(jià)格百分比的年化預(yù)期收益率。24案例11.3：幾何布朗運(yùn)動(dòng)下股票價(jià)格的概率分布I

設(shè)A股票的當(dāng)前價(jià)格為50元，預(yù)期收益率為每年18%，波動(dòng)率為每年20%，假設(shè)該股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)且該股票在6個(gè)月內(nèi)不付紅利。請(qǐng)問(wèn)該股票6個(gè)月后的價(jià)格的概率分布如何？A股票在6個(gè)月后股票價(jià)格的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差分別是多少？25案例11.3：幾何布朗運(yùn)動(dòng)下股票價(jià)格的概率分布II由題意知：S=50,μ=0.18,σ=0.2,T?t=0.5年因此6個(gè)月后

的概率分布為即

。26案例11.3：幾何布朗運(yùn)動(dòng)下股票價(jià)格的概率分布III由于一個(gè)正態(tài)分布變量取值位于均值左右兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的概率為95%，因此，置信度為95%時(shí)，

因此，6個(gè)月A股票價(jià)格落在40.85元到71.81元之間的概率為95%。27案例11.3：幾何布朗運(yùn)動(dòng)下股票價(jià)格的概率分布IV

半年后，A股票價(jià)格的期望值為54.71元，標(biāo)準(zhǔn)差為

或7.78。28百分比收益率與對(duì)數(shù)收益率短時(shí)間內(nèi)幾何布朗運(yùn)動(dòng)只意味著短時(shí)間內(nèi)的股票價(jià)格百分比收益率服從正態(tài)分布，長(zhǎng)期間內(nèi)股價(jià)百分比收益率正態(tài)分布的性質(zhì)不再存在，但連續(xù)復(fù)利收益率始終服從正態(tài)分布。291900－2000主要國(guó)家股指實(shí)際收益率30預(yù)期收益率μμ為?t時(shí)間內(nèi)股票的年化百分比期望收益率，股票的連續(xù)復(fù)利收益率。

根據(jù)資本資產(chǎn)定價(jià)原理，μ取決于該證券的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率水平、以及市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。由于后者涉及主觀因素，因此其決定本身就較復(fù)雜。然而幸運(yùn)的是，在無(wú)套利條件下，衍生證券的定價(jià)與標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率是無(wú)關(guān)的。31波動(dòng)率σ證券價(jià)格對(duì)數(shù)的年波動(dòng)率，是股票價(jià)格對(duì)數(shù)收益率的年化標(biāo)準(zhǔn)差人們常常從歷史的證券價(jià)格數(shù)據(jù)中計(jì)算出樣本對(duì)數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，再對(duì)時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)化，得到年標(biāo)準(zhǔn)差，即為波動(dòng)率的估計(jì)值。在計(jì)算中，一般情況下時(shí)間距離計(jì)算時(shí)越近越好；但時(shí)間窗口也不宜太短；一般采用交易天數(shù)計(jì)算波動(dòng)率而不采用日歷天數(shù)。32樣本間隔對(duì)收益率與波動(dòng)率估計(jì)的影響33衍生品價(jià)格所服從的隨機(jī)過(guò)程當(dāng)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)

根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價(jià)格G應(yīng)遵循如下過(guò)程：衍生證券價(jià)格G和股票價(jià)格S都受同一個(gè)不確定性來(lái)源dz的影響34目錄BSM期權(quán)定價(jià)模型的基本思路股票價(jià)格的變化過(guò)程BSM期權(quán)定價(jià)公式BSM期權(quán)定價(jià)公式的精確度評(píng)價(jià)與拓展35假設(shè)證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即μ和σ為常數(shù)允許賣(mài)空標(biāo)的證券沒(méi)有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都完全可分衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒(méi)有現(xiàn)金收益支付不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的衍生證券有效期內(nèi)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)36BSM微分分程的推導(dǎo)I由于假設(shè)股票價(jià)格S遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，因此

在一個(gè)小的時(shí)間間隔?t中，S的變化值?S為

37BSM微分分程的推導(dǎo)II設(shè)f是依賴于S的衍生證券的價(jià)格，則f一定是S和t的函數(shù)，根據(jù)伊藤引理可得：

在一個(gè)小的時(shí)間間隔?t中，f的變化值?f滿足：38BSM微分分程的推導(dǎo)III為了消除風(fēng)險(xiǎn)源?z，可以構(gòu)建一個(gè)包括一單位衍生證券空頭和單位標(biāo)的證券多頭的組合。令Π代表該投資組合的價(jià)值，則：

在?t時(shí)間后，該投資組合的價(jià)值變化?Π為39BSM微分分程的推導(dǎo)IV代入?f和?S可得由于消除了風(fēng)險(xiǎn)，組合Π必須獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益，即

40BSM微分分程的推導(dǎo)V因此

化簡(jiǎn)可得：這就是著名的BSM微分分程，它適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)格S的所有衍生證券的定價(jià)。41風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理I觀察BSM微分方程可以發(fā)現(xiàn)，受制于主觀的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價(jià)值決定公式中。這意味著，無(wú)論風(fēng)險(xiǎn)收益偏好狀態(tài)如何，都不會(huì)對(duì)f的值產(chǎn)生影響。因此我們可以作出一個(gè)可以大大簡(jiǎn)化我們工作的假設(shè)：在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。42風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理II在所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下（有時(shí)我們稱之為進(jìn)入了一個(gè)“風(fēng)險(xiǎn)中性世界”）：所有證券的預(yù)期收益率都等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)中性的投資者并不需要額外的收益來(lái)吸引他們承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)。同樣，在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，所有現(xiàn)金流都應(yīng)該使用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。43理解風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)I假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是11元，要么是9元?，F(xiàn)在我們要找出一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。由于歐式期權(quán)不會(huì)提前執(zhí)行，其價(jià)值取決于3個(gè)月后股票的市價(jià)。若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于11元，則該期權(quán)價(jià)值為0.5元；若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于9元，則該期權(quán)價(jià)值為0。44理解風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)II為了找出該期權(quán)的價(jià)值，我們可構(gòu)建一個(gè)由1單位看漲期權(quán)空頭和?單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。若3個(gè)月后股票價(jià)格等于11元，該組合價(jià)值等于(11??0.5)元；若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于9元，該組合價(jià)值等于9?元。由于

11??0.5=9???=0.25因此，一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合應(yīng)包括1份看漲期權(quán)空頭和0.25股標(biāo)的股票。無(wú)論3個(gè)月后股票價(jià)格等于11元還是9元，該組合價(jià)值都將等于2.25元。45理解風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)III假設(shè)現(xiàn)在的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為10%，則該組合現(xiàn)值為

因此

這就是說(shuō)，該看漲期權(quán)的價(jià)值應(yīng)為0.31元，否則就會(huì)存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。46理解風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)IV可以看出，在確定期權(quán)價(jià)值時(shí)，我們并不需要知道股票價(jià)格在真實(shí)世界中上漲到11元的概率和下降到9元的概率。也就是說(shuō)，我們并不需要了解真實(shí)世界中股票未來(lái)價(jià)格的期望值，而期望值的確定正與投資者的主觀風(fēng)險(xiǎn)偏好相聯(lián)系。因此我們可以在假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)中性的前提下為期權(quán)定價(jià)。47理解風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)V投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度、股票的預(yù)期收益率和股票升跌概率之間的聯(lián)系：在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%，則股票上升的概率P為：

如果在現(xiàn)實(shí)世界中股票的預(yù)期收益率為15%，則股票的上升概率為：48無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式I在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)到期時(shí)(T時(shí)刻)的期望值為：

其中，表示風(fēng)險(xiǎn)中性條件下的期望值。相應(yīng)地歐式看漲期權(quán)的價(jià)格c等于49無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式II由于在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中50無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式III積分可得

其中51BSM期權(quán)定價(jià)公式的推導(dǎo)I由于

和令52BSM期權(quán)定價(jià)公式的推導(dǎo)II其中顯然即隨機(jī)變量W的密度函數(shù)h(W)為53BSM期權(quán)定價(jià)公式的推導(dǎo)

54無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式理解I

55無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式理解II從金融工程的角度來(lái)看，歐式看漲期權(quán)可以分拆成或有資產(chǎn)看漲期權(quán)（Asset-or-nothingCallOption）多頭和X份或有現(xiàn)金看漲期權(quán)（Cash-or-nothingCallOption）空頭之和。56無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式理解III是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中大于X的概率，即歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率，因此可以看成預(yù)期執(zhí)行期權(quán)所需支付的現(xiàn)值。而則是在以股票作為記賬單位的風(fēng)險(xiǎn)中性世界里大于X的概率?？梢钥闯善跈?quán)持有者預(yù)期執(zhí)行期權(quán)所得資產(chǎn)的現(xiàn)值。57無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式理解IV是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中大于X的概率，即歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率，因此可以看成預(yù)期執(zhí)行期權(quán)所需支付的現(xiàn)值。而

則是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里，一個(gè)如果就等于

否則就等于0的一個(gè)變量的期望值，

則是這個(gè)值的貼現(xiàn)值，可以看成期權(quán)持有者預(yù)期執(zhí)行期權(quán)所得收入的現(xiàn)值。因此整個(gè)看漲期權(quán)定價(jià)公式就是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里期權(quán)未來(lái)期望回報(bào)的現(xiàn)值。58歐式平價(jià)期權(quán)的定價(jià)公式歐式平價(jià)看漲期權(quán)

59平價(jià)期權(quán)c/S與波動(dòng)率與期限的關(guān)系60無(wú)收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式根據(jù)PCP可得對(duì)于平價(jià)期權(quán)，c=p61無(wú)收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的定價(jià)公式在標(biāo)的資產(chǎn)無(wú)收益情況下，C=c，因此無(wú)收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的定價(jià)公式同樣是：62有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)的定價(jià)公式I在收益已知的情況下，我們可以把標(biāo)的證券的價(jià)格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知收益的現(xiàn)值部分和一個(gè)有風(fēng)險(xiǎn)部分。在期權(quán)到期之前，收益現(xiàn)值部分將由于標(biāo)的資產(chǎn)支付收益而消失。因此，只要從標(biāo)的證券當(dāng)前的價(jià)格S中消去收益現(xiàn)值部分，將剩下有風(fēng)險(xiǎn)部分的證券價(jià)格作為真正影響期權(quán)價(jià)值的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格，用σ表示證券價(jià)格中風(fēng)險(xiǎn)部分的波動(dòng)率，就可直接套用公式分別計(jì)算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)值。63有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)的定價(jià)公式II當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為I時(shí)，用(S?I)代替S當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的固定收益率q（單位為年）時(shí)，用代替S64有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)的定價(jià)公式III一般來(lái)說(shuō)，期貨期權(quán)、股指期權(quán)和外匯期權(quán)都可以看作標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)復(fù)利收益率的期權(quán)。歐式期貨期權(quán)可以看作一個(gè)支付連續(xù)紅利率為r的資產(chǎn)的歐式期權(quán)股指期權(quán)則是以市場(chǎng)平均股利支付率為收益率外匯期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)的連續(xù)紅利率為該外匯在所在國(guó)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率65有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)的定價(jià)先確定提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)是否合理若不合理，則按歐式期權(quán)方法定價(jià)若在提前執(zhí)行可能是合理的，則要分別計(jì)算在T時(shí)刻和

時(shí)刻到期的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格，然后將二者之中的較大者作為美式期權(quán)的價(jià)格。在大多數(shù)情況下，這種近似效果都不錯(cuò)。案例11.666美式看跌期權(quán)的定價(jià)美式看跌期權(quán)無(wú)論標(biāo)的資產(chǎn)有無(wú)收益都有提前執(zhí)行的可能，而且與其對(duì)應(yīng)的看漲期權(quán)也不存在精確的平價(jià)關(guān)系，因此一般通過(guò)數(shù)值方法來(lái)求美式看跌期權(quán)的價(jià)值。67BSM期權(quán)定價(jià)公式的參數(shù)估計(jì)BSM期權(quán)定價(jià)公式中的期權(quán)價(jià)格取決于下列五個(gè)參數(shù)：標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格、執(zhí)行價(jià)格、到期期限、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率在這些參數(shù)當(dāng)中，前三個(gè)都是很容易獲得的確定數(shù)值。但是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率則需要進(jìn)行估計(jì)。到期期限、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和波動(dòng)率的時(shí)間單位必須相同（通常為年）。68估計(jì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率使用連續(xù)復(fù)利的即期利率美國(guó)：國(guó)債利率；中國(guó)：銀行存款利率/國(guó)債市場(chǎng)即期利率選擇距離期權(quán)到期日最近的利率69估計(jì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率I歷史波動(dòng)率樣本對(duì)數(shù)收益率標(biāo)準(zhǔn)差（案例11.7）廣義自回歸條件異方差模型（GeneralizedAutoregressiveConditionalHeteroskedasticity，GARCH）和隨機(jī)波動(dòng)率模型隱含波動(dòng)率70目錄BSM期權(quán)定價(jià)模型的基本思路股票價(jià)格的變化過(guò)程BSM期權(quán)定價(jià)公式BSM期權(quán)定價(jià)公式的精確度評(píng)價(jià)與拓展71BSM期權(quán)定價(jià)公式的精確度評(píng)價(jià)

BSM期權(quán)定價(jià)公式在定價(jià)方面存在一定偏差，但它依然是迄今為止解釋期權(quán)價(jià)格動(dòng)態(tài)的最佳模型之一，應(yīng)用廣泛，影響深遠(yuǎn)。BSM期權(quán)定價(jià)與市場(chǎng)價(jià)格存在差異的主要原因：期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格偏離均衡；使用錯(cuò)誤的參數(shù)；BSM期權(quán)定價(jià)公式建立在眾多假定的基礎(chǔ)上。72BSM期權(quán)定價(jià)公式的缺陷與拓展無(wú)交易成本假設(shè)的放松常數(shù)波動(dòng)率假設(shè)的放松參數(shù)假設(shè)的放松資產(chǎn)價(jià)格連續(xù)變動(dòng)假設(shè)的放松73

請(qǐng)?zhí)釂?wèn)AnyQuestions？7475金融工程

第十二章期權(quán)定價(jià)的數(shù)值方法

目錄二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型蒙特卡羅模擬有限差分方法77目錄二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型蒙特卡羅模擬有限差分方法78單步二叉樹(shù)模型79證券價(jià)格的樹(shù)形結(jié)構(gòu)80參數(shù)的確定在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里：所有可交易證券的期望收益都是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；未來(lái)現(xiàn)金流可以用其期望值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)。參數(shù)p、u、d須滿足81參數(shù)的確定(cont.)由以上條件可得：

期權(quán)價(jià)格為82二叉樹(shù)圖的節(jié)點(diǎn)

由于設(shè)定的是漲跌倍數(shù)，所以節(jié)點(diǎn)會(huì)自然重合，又因?yàn)?，二叉?shù)圖中心線上的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與中心值相等。在

時(shí)刻，證券價(jià)格有i+1種可能，一般表達(dá)式為

其中j=0,1,….i如果假設(shè)p=0.5，雖然節(jié)點(diǎn)仍會(huì)重合，但二叉樹(shù)圖中心線上的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格不再和中心值相等。其優(yōu)點(diǎn)是概率始終不變。83倒推定價(jià)法倒推定價(jià)法：從樹(shù)型結(jié)構(gòu)圖的末端T時(shí)刻開(kāi)始往回倒推，為期權(quán)定價(jià)。歐式期權(quán)：將T時(shí)刻期權(quán)價(jià)值的預(yù)期值在?t時(shí)間長(zhǎng)度內(nèi)以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r貼現(xiàn)求出每一節(jié)點(diǎn)上的期權(quán)價(jià)值。美式期權(quán)：在樹(shù)型結(jié)構(gòu)的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)上，比較在本時(shí)刻提前執(zhí)行期權(quán)和繼續(xù)再持有?t時(shí)間到下一個(gè)時(shí)刻再執(zhí)行期權(quán)的價(jià)值，選擇較大者作為本節(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值。84案例12.1：美式看跌期權(quán)的二叉樹(shù)定價(jià)假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)為不付紅利股票，其當(dāng)前市場(chǎng)價(jià)為50元,波動(dòng)率為每年40%，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%，該股票5個(gè)月期的美式看跌期權(quán)協(xié)議價(jià)格為50元，求該期權(quán)的價(jià)值。85案例12.1：美式看跌期權(quán)的二叉樹(shù)定價(jià)(cont.)

為了構(gòu)造二叉樹(shù)，我們把期權(quán)有效期分為五段，每段一個(gè)月（等于0.0833年）?？梢运愠?6案例12.1：美式看跌期權(quán)的二叉樹(shù)定價(jià)(cont.)87二叉樹(shù)定價(jià)的一般過(guò)程：以美式看跌期權(quán)為例

把期權(quán)有效期劃分為N個(gè)長(zhǎng)度為?t的小區(qū)間，

和分別為節(jié)點(diǎn)(i,j)處的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與期權(quán)價(jià)值：

其中j=0,1,2,…..N當(dāng)時(shí)間區(qū)間劃分趨于無(wú)窮大，可以求出美式看跌期權(quán)的準(zhǔn)確價(jià)值。一般將時(shí)間區(qū)間分成30步就可得到較為理想的結(jié)果。88有紅利資產(chǎn)期權(quán)的定價(jià)：支付連續(xù)紅利率q在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的增長(zhǎng)率應(yīng)該為

，因此式（12.1）變?yōu)椋合鄳?yīng)有式（12.5）和（12.6）仍然成立：89有紅利資產(chǎn)期權(quán)的定價(jià)：支付已知紅利率可通過(guò)調(diào)整在各個(gè)節(jié)點(diǎn)上的證券價(jià)格，算出期權(quán)價(jià)格；如果時(shí)刻i?t在除權(quán)日之前，則節(jié)點(diǎn)處證券價(jià)格仍為：

如果時(shí)刻i?t在除權(quán)日之后，則節(jié)點(diǎn)處證券價(jià)格相應(yīng)調(diào)整為：

90有紅利資產(chǎn)期權(quán)的定價(jià)：支付已知紅利率(cont.)若在期權(quán)有效期內(nèi)有多個(gè)已知紅利率，則i?t時(shí)刻節(jié)點(diǎn)的相應(yīng)的證券價(jià)格為：

（為0時(shí)刻到i?t時(shí)刻之間所有除權(quán)日的總紅利支付率）91有紅利資產(chǎn)期權(quán)的定價(jià)：支付已知紅利數(shù)額92有紅利資產(chǎn)期權(quán)的定價(jià)：支付已知紅利數(shù)額(cont.)在已知紅利額的情況下,為了使得二叉樹(shù)的節(jié)點(diǎn)重合減少計(jì)算量,我們可以將證券價(jià)格分為兩個(gè)部分：一部分是不確定的；另一部分是期權(quán)有效期內(nèi)所有未來(lái)紅利的現(xiàn)值。93有紅利資產(chǎn)期權(quán)的定價(jià)：支付已知紅利數(shù)額(cont.)

假設(shè)在期權(quán)有效期內(nèi)只有一次紅利，除息日τ在k?t到(k+1)?t之間，則在i?t時(shí)刻不確定部分的價(jià)值為：當(dāng)

時(shí)

當(dāng)

時(shí)

其中，D表示紅利。94有紅利資產(chǎn)期權(quán)的定價(jià)：支付已知紅利數(shù)額(cont.)因此，我們需要先構(gòu)造不含紅利的價(jià)格樹(shù)圖，之后再加上未來(lái)紅利的現(xiàn)值。在

時(shí)刻：當(dāng)

時(shí)，這個(gè)樹(shù)上每個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的證券價(jià)格為：

當(dāng)時(shí)，這個(gè)樹(shù)上每個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的證券價(jià)格為：

其中,為零時(shí)刻的值。相應(yīng)地使用的是

的波動(dòng)率。95構(gòu)造樹(shù)圖的其他方法和思路p=0.5的二叉樹(shù)圖三叉樹(shù)圖控制方差技術(shù)適應(yīng)性網(wǎng)狀模型96p=0.5的二叉樹(shù)圖在確定參數(shù)u，p，d時(shí)不再假設(shè)，而令p=0.5，可得：該方法優(yōu)點(diǎn)在于無(wú)論?t和σ如何變化，概率總是不變的。97三叉樹(shù)圖每一個(gè)時(shí)間間隔?t內(nèi)證券價(jià)格有三種運(yùn)動(dòng)的可能：從開(kāi)始的S上升到原先的u倍，即到達(dá)Su；保持不變，仍為S；下降到原先的d倍，即Sd。98三叉樹(shù)圖(cont.)

99三叉樹(shù)圖(cont.)相關(guān)參數(shù)：100控制方差技術(shù)基本原理：期權(quán)A和期權(quán)B的性質(zhì)相似，我們可以得到期權(quán)B的解析定價(jià)公式，而只能得到期權(quán)A的數(shù)值方法解，這時(shí)就可以利用期權(quán)B解析法與數(shù)值法定價(jià)的誤差來(lái)糾正期權(quán)A的數(shù)值法的定價(jià)誤差。用

代表期權(quán)B的真實(shí)價(jià)值（解析解），

表示關(guān)于期權(quán)A的較優(yōu)估計(jì)值，和表示用同一個(gè)二叉樹(shù)、相同的蒙特卡羅模擬或是同樣的有限差分過(guò)程得到的估計(jì)值。101控制方差技術(shù)(cont.)假設(shè)

則期權(quán)A的更優(yōu)估計(jì)值為102適應(yīng)性網(wǎng)狀模型在使用三叉樹(shù)圖為美式期權(quán)定價(jià)時(shí)，在接近到期的執(zhí)行價(jià)格附近，用高密度的樹(shù)圖來(lái)取代原先低密度的樹(shù)圖。在樹(shù)圖中那些提前執(zhí)行可能性較大的部分，將一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)?t進(jìn)一步細(xì)分，如分為，每個(gè)小步長(zhǎng)仍然采用相同的三叉樹(shù)定價(jià)過(guò)程。103目錄二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型蒙特卡羅模擬有限差分方法104蒙特卡羅模擬105隨機(jī)路徑在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，為了模擬路徑

我們把期權(quán)的有效期分為N個(gè)長(zhǎng)度為?t的時(shí)間段，則上式的近似方程為：

或106隨機(jī)路徑(cont.)其中S(t)代表t時(shí)刻S的價(jià)值,ε是從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取的一個(gè)隨機(jī)樣本。通過(guò)N個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)抽樣就可以組建一條資產(chǎn)價(jià)格的蒙特卡羅模擬樣本路徑，并得到相應(yīng)的回報(bào)值。重復(fù)以上的模擬至足夠大的次數(shù)，計(jì)算回報(bào)值的平均值，貼現(xiàn)后就得到了期權(quán)的期望值和估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差。107隨機(jī)路徑(cont.)用lnS比S準(zhǔn)確。用蒙特卡羅模擬為歐式期權(quán)定價(jià)時(shí)，由于期權(quán)回報(bào)只與期權(quán)到期時(shí)刻的股票價(jià)格有關(guān)，可以讓t+?t=T并直接利用公式lnS的隨機(jī)過(guò)程來(lái)求T時(shí)刻的股票價(jià)格。108案例12.2：蒙特卡羅模擬的路徑模擬

假設(shè)無(wú)紅利的股票價(jià)格服從式（12.9），年預(yù)期收益率r=14%，收益波動(dòng)率為σ=20%，時(shí)間步長(zhǎng)為?t=0.01年，則根據(jù)式（12.9）有

假設(shè)股票價(jià)格的初始值為20，ε的第一個(gè)樣本值為0.52，則第一個(gè)步長(zhǎng)結(jié)束后，第二步開(kāi)始時(shí)的股票價(jià)格上升為20.236，這次抽到的ε為1.44，因此109案例12.2：蒙特卡羅模擬的路徑模擬（Cont.）下表給出了案例12.2中模擬的路徑：110ε的產(chǎn)生ε是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一個(gè)隨機(jī)數(shù)。如果只有一個(gè)單變量，則可以通過(guò)下式獲得：

其中是相互獨(dú)立的0到1均勻分布的隨機(jī)數(shù)在Excel中，NORM.S.INV(RAND())可以生成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)樣本111模擬運(yùn)算次數(shù)的確定如果對(duì)估計(jì)值要求95%的置信度，則期權(quán)價(jià)值應(yīng)滿足其中，M為進(jìn)行運(yùn)算的次數(shù)，μ為均值，ω為標(biāo)準(zhǔn)差。112主要優(yōu)點(diǎn)和主要缺點(diǎn)主要優(yōu)點(diǎn)：應(yīng)用簡(jiǎn)單，無(wú)需深刻理解定價(jià)模型適用情形廣泛歐式衍生產(chǎn)品回報(bào)路徑依賴回報(bào)取決于多個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)主要缺點(diǎn)：難以處理提前執(zhí)行的情形為了達(dá)到一定的精確度，一般需要大量的模擬運(yùn)算113目錄二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型蒙特卡羅模擬有限差分方法114主要思想用離散算子逼近各項(xiàng)，將衍生證券所滿足的偏微分方程

轉(zhuǎn)化為一系列近似的差分方程，用迭代法求解，得到期權(quán)價(jià)值。在坐標(biāo)圖上，有限差分方法體現(xiàn)為格（Grids）115劃分格點(diǎn)把從初始零時(shí)刻到到期日時(shí)刻之間的時(shí)間分為有限

等間隔的小時(shí)間段，得到N+1個(gè)時(shí)點(diǎn)。把資產(chǎn)價(jià)格的變化從0到最大值也分成M個(gè)等間隔

的小價(jià)格段

，得到M+1個(gè)資產(chǎn)價(jià)格。如果劃分合理，初始的資產(chǎn)價(jià)格會(huì)落在零時(shí)刻的一個(gè)格點(diǎn)上。這樣就構(gòu)造了一個(gè)共有(M+1)(N+1)個(gè)格點(diǎn)的圖，時(shí)間、資產(chǎn)價(jià)格和期權(quán)價(jià)值都僅僅在相應(yīng)的格點(diǎn)處離散計(jì)算。點(diǎn)(i,j)對(duì)應(yīng)i?t時(shí)刻和資產(chǎn)價(jià)格j?S，f(i,j)則表示(i,j)處的期權(quán)價(jià)值。116有限差分方法的格點(diǎn)圖117隱性差分法下的差分近似的近似對(duì)于坐標(biāo)方格內(nèi)部的點(diǎn)(i,j)，期權(quán)價(jià)值對(duì)資產(chǎn)價(jià)格的一階導(dǎo)數(shù)可以用三種差分來(lái)表示：118隱性差分法下