蓮塘一中2024-2025學(xué)年度下學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分命題：一、單選題（每小題5分，共40分，每小題四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題意．）1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（）A. B. C. D.2.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0，且成等比數(shù)列，則等于（）A. B. C. D.3.已知各項(xiàng)為正的等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)的積為，且，若，數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，則當(dāng)取得最大值時(shí)，n等于（）A.6 B.7 C.8 D.94.若在處取得極大值，則的值為（）A.或 B.或 C. D.5.用數(shù)學(xué)歸納法證明：，第二步從到，等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是（）A. B.C. D.6.若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.7.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，若對(duì)任意正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.8.過(guò)點(diǎn)可以做三條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題（每小題6分，共18分，每小題四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題意，錯(cuò)選得0分，漏選的部分分．）9.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A. B.數(shù)列是公差為1等差數(shù)列C.數(shù)列前項(xiàng)和為 D.數(shù)列的前2025項(xiàng)的和為10已知函數(shù)，則（）A.為偶函數(shù)B.的最小正周期為C.的最大值為D.在上單調(diào)遞減11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（）①函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；②若關(guān)于的方程恰有1個(gè)解，則；③函數(shù)的圖象與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；④若，且，則無(wú)最值．A.① B.② C.③ D.④三、填空題（每小題5分，共15分）12.已知數(shù)列滿足，，，則______．13.設(shè)、分別是定義在上的奇函數(shù)和非零偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則不等的解集是______．14.已知數(shù)列滿足，為其前項(xiàng)和，則______．四、解答題（共分）15.已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且.（1）求，值；（2）求函數(shù)的極值.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證．17.已知數(shù)列，，（）．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18.已知函數(shù)，.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，求該切線方程；（2）若，求證：當(dāng)時(shí)，；（3）若有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求a值.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若，討論方程的根的個(gè)數(shù).

蓮塘一中2024-2025學(xué)年度下學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分命題：一、單選題（每小題5分，共40分，每小題四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題意．）1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo)即可.【詳解】，故選：C.2.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0，且成等比數(shù)列，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通向公式和等比中項(xiàng)的性質(zhì)列式求解即可.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0，且成等比數(shù)列，設(shè)的公差為，則，解得，所以.故選：B3.已知各項(xiàng)為正的等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)的積為，且，若，數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，則當(dāng)取得最大值時(shí)，n等于（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】設(shè)首項(xiàng)為，由題可知，則數(shù)列為等差數(shù)列，后由，可得，即可得答案.【詳解】設(shè)首項(xiàng)為，因等比數(shù)列各項(xiàng)為正，則，，則數(shù)列為等差數(shù)列.，又由題可得，則，即數(shù)列為遞減等差數(shù)列.則數(shù)列前7項(xiàng)為正數(shù)，則當(dāng)取得最大值時(shí)，n等于7.故選：B4.若在處取得極大值，則的值為（）A.或 B.或 C. D.【答案】C【解析】【分析】求出，由題意可得出，解出、的值，再結(jié)合題意進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.【詳解】因?yàn)?，則又在處取得極大值，，解得或，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在處取得極小值，與題意不符；當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在處取得極大值，符合題意，則，故選：C.5.用數(shù)學(xué)歸納法證明：，第二步從到，等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等式左邊的特點(diǎn)，各數(shù)是先遞增再遞減，分別寫出和的結(jié)論，對(duì)照即可求解.【詳解】根據(jù)等式左邊的特點(diǎn)，各數(shù)是先遞增再遞減，由于，左邊；時(shí)，左邊，比較兩式，從而等式左邊應(yīng)添加的式子是．故選：C6.若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由在上有解得的范圍．轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最最小值．【詳解】因?yàn)樵谏洗嬖趩握{(diào)遞減區(qū)間，所以在上有解，所以當(dāng)時(shí)有解，而當(dāng)時(shí)，，（此時(shí)），所以，所以的取值范圍是.故選：B.7.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，若對(duì)任意正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)與的關(guān)系可得，進(jìn)而可得數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，求通項(xiàng)公式后代入不等式整理可得恒成立，再根據(jù)作差法分析的單調(diào)性求得最大值即可.【詳解】由，令，解得，當(dāng)時(shí)，由得，即，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，由，即恒成立，令，則，而，所以，即數(shù)列單調(diào)遞減，故，所以，所以的最小值為.故選：C8.過(guò)點(diǎn)可以做三條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，代入點(diǎn)，可得，過(guò)點(diǎn)可以做三條直線與曲線相切，即方程有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求極值，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，，點(diǎn)處的切線斜率，則過(guò)點(diǎn)的切線方程為，又切線過(guò)點(diǎn)，所以，化簡(jiǎn)得，過(guò)點(diǎn)可以作三條直線與曲線相切，方程有三個(gè)不等實(shí)根．令，求導(dǎo)得到，令，解得，，則當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，且，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，且時(shí)，，如圖所示，故，即．故選：A．二、多選題（每小題6分，共18分，每小題四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題意，錯(cuò)選得0分，漏選的部分分．）9.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A. B.數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列C.數(shù)列的前項(xiàng)和為 D.數(shù)列的前2025項(xiàng)的和為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)前項(xiàng)和求，利用通項(xiàng)公式判斷A，求出判斷B，利用裂項(xiàng)相消法求和判斷C，利用分組求和判斷D.【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，而滿足上式，因此.對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，，則數(shù)列是公差為等差數(shù)列，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，C正確；對(duì)于D，，則數(shù)列的前2025項(xiàng)的和為，D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)，則（）A.為偶函數(shù)B.的最小正周期為C.的最大值為D.上單調(diào)遞減【答案】ACD【解析】【分析】利用奇偶性的定義判斷A；利用可判斷B；，利用換元法，設(shè)，則，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，可求的最大值判斷C；利用的單調(diào)性可判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以是偶函?shù)，故A正確．因?yàn)?，故В錯(cuò)誤．因?yàn)椋O(shè)，則函數(shù)，所以．由，得或；由，得．故在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因?yàn)椋?，所以的最大值為，故C正確．當(dāng)時(shí)，，即．因?yàn)樵跁r(shí)遞減，在時(shí)遞增，所以在上單調(diào)遞減，故D正確．故選：ACD．11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（）①函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；②若關(guān)于的方程恰有1個(gè)解，則；③函數(shù)的圖象與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；④若，且，則無(wú)最值．A.① B.② C.③ D.④【答案】AC【解析】【分析】求出分段函數(shù)的解析式以及各段導(dǎo)函數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得出①；作出函數(shù)圖象，即可判斷②；根據(jù)①求得的導(dǎo)函數(shù)，可推得，有恒成立，即可得出③；作圖，根據(jù)圖象得出的圖象與有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的范圍，然后用表示出，即可得出，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的最值，即可判斷④.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，恒成立，所以，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，恒成立，所以，在上單調(diào)遞減．綜上所述，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以，在處取得極小值，在處取得極大值，故①正確；對(duì)于②，作出的圖象如下圖1，由圖1可知，若關(guān)于的方程恰有1個(gè)解，則或，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由①知，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)．綜上所述，，有恒成立．又直線可化為，斜率為，所以函數(shù)的圖象與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，故③正確；對(duì)于④，由圖2可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與有3個(gè)不同的交點(diǎn)．則有，所以，所以，．令，，則．令，則在上恒成立，所以，在上單調(diào)遞增．又，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，，使得，且當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增．所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，無(wú)最大值，故④錯(cuò)誤．綜上所述，①③正確．故選：AC．三、填空題（每小題5分，共15分）12.已知數(shù)列滿足，，，則______．【答案】1【解析】【分析】方法一：列出數(shù)列的前幾項(xiàng)，即可得到數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，根據(jù)周期性計(jì)算可得；方法二：把看作，則，即可得到數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，根據(jù)周期性計(jì)算可得.【詳解】方法一：由題意知，，，，則，，，，，因此數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，所以．方法二：把看作，則，因此數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，所以．故答案為：1.13.設(shè)、分別是定義在上的奇函數(shù)和非零偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則不等的解集是______．【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷出函數(shù)的奇偶性，由導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)性，根據(jù)，求出的取值規(guī)律，可得答案.【詳解】、分別是定義在上的奇函數(shù)和非零偶函數(shù)，所以、，令，則，因此函數(shù)在上是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又函數(shù)在上是奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，且，，，因?yàn)?，，所以時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，的解集是，即的解集是．故答案為：．14.已知數(shù)列滿足，為其前項(xiàng)和，則______．【答案】1830【解析】【分析】由題意可得，，，成等差數(shù)列，進(jìn)而可求解.【詳解】因?yàn)椋?，，，即．同理，，，，所?同理可得，由此可知，，，，成等差數(shù)列，首項(xiàng)為10，公差為16，所以．故答案為：.四、解答題（共分）15.已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且.（1）求，的值；（2）求函數(shù)的極值.【答案】（1）（2）極大值為，極小值為【解析】【小問(wèn)1詳解】，.由題意得解得；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，有極大值；當(dāng)時(shí)，有極小值為.綜上，函數(shù)的極大值為，極小值為.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，可得，從而判斷為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）由（1）得，，利用等差數(shù)列的求和公式可得，再利用裂項(xiàng)求和法可求出，進(jìn)而可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，①?dāng)時(shí)，，②由①②得，即，當(dāng)時(shí)，，，所以數(shù)列為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為2，所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，所以，所以，所以所以．17.已知數(shù)列，，（）．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系及等比數(shù)列的定義可得是等比數(shù)列，進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式；（2）由題可得，然后利用錯(cuò)位相減法即得．【小問(wèn)1詳解】由，知，，所以，又，所以，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以，；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以，，所以，所以．18.已知函數(shù)，.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，求該切線方程；（2）若，求證：當(dāng)時(shí)，；（3）若有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的值.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．【解析】【分析】（1）求出，根據(jù)求出，再求出，從而可求切線方程.（2）利用導(dǎo)數(shù)求出，根據(jù)可得不等式成立.（3）就和分類討論，后者可根據(jù)極小值的符號(hào)來(lái)討論.【小問(wèn)1詳解】因，所以，故．所以．所求切線方程為，即．【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以的最小值為．故時(shí)，．【小問(wèn)3詳解】對(duì)于函數(shù)，．（i）當(dāng)時(shí)，，沒(méi)有零點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以是的極大值，是的極小值．因?yàn)椋栽谏嫌星抑挥幸粋€(gè)零點(diǎn)．由于，①若，即，在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)；②若，即，在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)；③若，即，由于，所以在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)．由（2）知，當(dāng)時(shí)，，所以．故在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)．因此時(shí)，在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)．綜上，當(dāng)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，．19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若，討論方程的根的個(gè)數(shù).【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）應(yīng)用分類討論及導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)已知有，構(gòu)造并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到，利用導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)的