絕密★啟用前試卷類型：B2025屆圓夢(mèng)杯·高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽初賽第I試答案A【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得，從而得甲是真命題，用特值法求出，結(jié)合數(shù)列的周期性即可判斷乙是真命題，從而得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于，存在正整數(shù)，所以甲是真命題；對(duì)于，，，不妨令，故，，，又3是數(shù)列的一個(gè)周期，所以，故存在正整數(shù)，滿足，故乙是真命題，所以甲和乙都是真命題.故選：AB【分析】根據(jù)題意，分類討論，確定平面的位置，結(jié)合點(diǎn)到平面的距離的定義，進(jìn)行分析判斷，即可求解.【詳解】當(dāng)平面與四面體的一條棱的中點(diǎn)相交時(shí)，不妨設(shè)平面過(guò)棱的中點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)到平面的距離相等，且平面平面，如圖（1）所示此時(shí)到平面的距離可能與到平面的距離相同，此時(shí)有1不同的值；不妨設(shè)平面過(guò)棱的中點(diǎn)，且過(guò)分別為的三等分點(diǎn)時(shí)，如圖（2）所示，此時(shí)點(diǎn)到平面的距離相等，且到平面的距離相等，且到平面的距離與到平面的距離不相等，此時(shí)有2不同的值；不妨設(shè)平面過(guò)棱的中點(diǎn)，且過(guò)分別為的三等分點(diǎn)時(shí)，如圖（3）所示，此時(shí)點(diǎn)到平面的距離相等，其中到平面的距離與到平面的距離不相等，此時(shí)有2不同的值；不妨設(shè)平面過(guò)棱的中點(diǎn)，過(guò)的靠近的三等分點(diǎn)，過(guò)靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，此時(shí)到平面的距離不同，到平面的距離不同，且到平面的距離兩兩之間都可能不同，此時(shí)有3個(gè)不同的值；又因?yàn)樗膫€(gè)點(diǎn)均不在平面上，也不在平面的同側(cè)，所以不能有4個(gè)不同的值（若有4個(gè)不同的值，四個(gè)點(diǎn)必然在平面的同側(cè)），所以的所有不同值的個(gè)數(shù)組成的集合為.故選：B.D【分析】由條件，解三角形求，，再結(jié)合兩角和正切公式求結(jié)論.【詳解】連接，設(shè)線段與的交點(diǎn)為，線段與線段的交點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，又，所以，設(shè)，則，所以，所以，所以，，所以.故選：D.D【分析】設(shè)中的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，，，不妨設(shè)，則，利用正余弦定理以及三角形的面積公式可得，結(jié)合離心率可求值.【詳解】設(shè)中的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，，，不妨設(shè)，則，中，由正弦定理，得，中，由余弦定理，得，∴，，∵，∴，∵，∴.故選：D.C【分析】先將已知變形為,然后再運(yùn)用基本不等式得到,利用導(dǎo)數(shù)求證再用取得等號(hào)時(shí)的條件可得，即可求解.【詳解】由題設(shè)可得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),即,由于，均為正實(shí)數(shù)，即，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，故當(dāng)，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，故，則，故，解得,所以,故選：C.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：常用的不等式：，，，，，.C【分析】將合理變形，再利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，進(jìn)而得到的取值即可.【詳解】由題意得,，而一定能被整除，只需保證能被整除即可，而，得到，故，而一定能被整除，只需保證能被整除即可，若使最小，則滿足，解得，故C正確.故選：CACD【分析】A選項(xiàng)，設(shè)，則，利用復(fù)數(shù)乘法法則得到，A正確；B選項(xiàng)，舉出反例得到B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，實(shí)系數(shù)的一元二次方程虛根成對(duì)（互為共軛復(fù)數(shù)），C正確；D選項(xiàng)，利用復(fù)數(shù)幾何意義得到z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡，從而得到的最大值為.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)，則，為實(shí)數(shù)，A對(duì)；對(duì)于B，若，例如，滿足，但，，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，實(shí)系數(shù)的一元二次方程虛根成對(duì)（互為共軛復(fù)數(shù)），所以為一元二次方程的兩根，C對(duì)；對(duì)于D，由復(fù)數(shù)的幾何意義，可知z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以1為半徑的圓，表示圓周上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以的最大值為，故D對(duì)．故選：ACDACD【分析】利用正三角形的性質(zhì)以及曲線方程找出數(shù)列與的遞推關(guān)系，即可判斷AB，然后求得，由平方和公式代入計(jì)算，即可判斷C，再由時(shí)，，由裂項(xiàng)相消法代入計(jì)算，即可判斷D.【詳解】依題意，，設(shè)，由為正三角形，直線的方程為，由，得，則，由，則的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，且在曲線上，則，又，即，得，則，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，，因此，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，由，得，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，正面積，則，C正確；對(duì)于D，由，得，，當(dāng)時(shí)，，則，D正確.故選：ACDBC【分析】選項(xiàng)A由題意可知鐵皮的面積為；選項(xiàng)B：繞旋轉(zhuǎn)不是球體；選項(xiàng)C中任取3個(gè)點(diǎn)組成一個(gè)三角形有，兩個(gè)不是直角三角形，進(jìn)而根據(jù)組合古典概型及組合可得；選項(xiàng)D，先根據(jù)正視圖得到底和高的積為，進(jìn)而可得.【詳解】選項(xiàng)A：設(shè)，則由題意該圓角矩形鐵皮可選用面積為，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：繞旋轉(zhuǎn)不是球體，故B正確；選項(xiàng)C：由題意在中任取3個(gè)點(diǎn)組成一個(gè)三角形中，不是直角三角形的有，故在中任取3個(gè)點(diǎn)組成一個(gè)直角三角形的概率是，故C正確；選項(xiàng)D：如圖為書(shū)立放倒后的正視圖，則，得，故體積為，故D錯(cuò)誤，故選：BCBD【分析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性可以判定A錯(cuò)誤，B正確；取進(jìn)行對(duì)比分析可以發(fā)現(xiàn)在很小時(shí)，可以得到與C相反的結(jié)論，從而判定C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，將看成的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析可以證明D正確.【詳解】當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)分布對(duì)稱，即：,.對(duì)于選項(xiàng)A：由二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性可知：事件發(fā)生的次數(shù)超過(guò)一半的概率等于事件發(fā)生的次數(shù)少于一半的概率.因?yàn)槭瞧鏀?shù)，所以事件發(fā)生的次數(shù)恰好等于一半的概率為0，因此，，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)（為正整數(shù)），則成功次數(shù)超過(guò)一半的條件為.由于，二項(xiàng)分布對(duì)稱，因此：，此外，為中間項(xiàng)的概率.因此，總概率滿足：，由于，有：，即：，由于，因此：，因此，選項(xiàng)B是正確的；對(duì)于選項(xiàng)C：取，，取，，當(dāng)很小，比如時(shí)，，所以，故C是錯(cuò)誤的；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)