PAGEPAGE1考點規(guī)范練35干脆證明與間接證明一、基礎(chǔ)鞏固1.要證a2+b2-1-a2b2≤0,只需證明()A.2ab-1-a2b2≤0 B.a2+b2-1-a4C.(a+b)22-1-a2b2≤0 D.(a2答案D解析在各選項中,只有(a2-1)(b2-1)≥0?a2+b2-1-a2b2≤0,故選D.2.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證:b2-ac<3A.a-b>0 B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0答案C解析b2-ac<3a?b2-ac<3a2?(a+c)2-ac<3a2?a2+2ac+c2-ac-3a2<0?-2a2+ac+c2<0?2a2-ac-c2>0?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)3.設(shè)x>0,P=2x+2-x,Q=(sinx+cosx)2,則()A.P>Q B.P<Q C.P≤Q D.P≥Q答案A解析因為2x+2-x≥22x·2-x=2(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立),而x>0,所以P>2.又(sinx+cosx)2=1+sin2x,而sin2x≤1,所以Q≤2.4.利用反證法證明“若x2+y2=0,則x=y=0”時,應(yīng)假設(shè)()A.x,y都不為0 B.x≠y,且x,y都不為0C.x≠y,且x,y不都為0 D.x,y不都為0答案D解析原命題的結(jié)論是x,y都為0,利用反證法時,應(yīng)假設(shè)x,y不都為0.5.設(shè)a,b是兩個實數(shù),下列條件中,能推出“a,b中至少有一個大于1”的是()A.a+b>1 B.a+b>2 C.a2+b2>2 D.ab>1答案B解析若a=12,b=23,則但a<1,b<1,故A推不出;若a=-2,b=-3,則a2+b2>2,故C推不出;若a=-2,b=-3,則ab>1,故D推不出;對于B,若a+b>2,則a,b中至少有一個大于1.反證法:假設(shè)a≤1,且b≤1,則a+b≤2與a+b>2沖突,因此假設(shè)不成立,故a,b中至少有一個大于1.6.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時,f(x)單調(diào)遞減.若x1+x2>0,則f(x1)+f(x2)的值()A.恒為負(fù)值 B.恒等于零 C.恒為正值 D.無法確定正負(fù)答案A解析由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時,f(x)單調(diào)遞減,可知f(x)是R上的減函數(shù).由x1+x2>0,可知x1>-x2,即f(x1)<f(-x2)=-f(x2),則f(x1)+f(x2)<0,故選A.7.設(shè)a>b>0,m=a-b,n=a-b,則m,n答案m<n解析(方法一:取特別值法)取a=2,b=1,得m<n.(方法二:分析法)因為a>b>0,所以要得出m與n的大小關(guān)系,只需推斷mn=a-ba-b與1的大小關(guān)系,只需推斷a+b-2aba-b與1的大小關(guān)系,只需推斷a+b-2ab-(a-b)與0的大小關(guān)系,只需推斷2b-2ab與0的大小關(guān)系,只需8.6+7與22+5答案6+7>解析要比較6+7與22+5的大小,只需比較(6+7)2與(22+5)2的大小,只需比較6+7+242與8+5∵42>40,∴6+7>29.若a,b,c是不全相等的正數(shù),求證:lga+b2+lgb+c2+lgc+a證明∵a,b,c∈(0,+∞),∴a+b2≥ab>0,b+又上述三個不等式中的等號不能同時成立.∴a+b2上式兩邊同時取常用對數(shù),得lga+b2·∴l(xiāng)ga+b2+lgb+c2+lgc+a10.已知a>0,1b-1a證明由已知1b-1a>1及a>0可知0<b<1,要證1+只需證1+a-b-ab>1,只需證a-b-ab>0,即a-b即1b-111.設(shè)函數(shù)f(x)=1x+2,a,b∈(0,+∞(1)用分析法證明:fab+fb(2)設(shè)a+b>4,求證:af(b),bf(a)中至少有一個大于12證明(1)要證明fab+fb只需證明1a只需證明ba+2b即證(a-b)2≥0,這明顯成立,所以fab+fb(2)假設(shè)af(b),bf(a)都小于或等于12即ab所以2a≤b+2,2b≤a+2,兩式相加得a+b≤4,這與a+b>4沖突,所以af(b),bf(a)中至少有一個大于12二、實力提升12.若△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值,則()A.△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形C.△A1B1C1是鈍角三角形,△A2B2C2是銳角三角形D.△A1B1C1是銳角三角形,△A2B2C2是鈍角三角形答案D解析由條件知,△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值均大于0,則△A1B1C1是銳角三角形,且△A2B2C2不行能是直角三角形.假設(shè)△A2B2C2是銳角三角形.由sin則A2+B2+C2=π2這與三角形內(nèi)角和為180°相沖突.因此假設(shè)不成立,故△A2B2C2是鈍角三角形.13.已知a,b,μ∈(0,+∞),且1a+9b=1,要使得a+b≥μ恒成立,則μ答案(0,16]解析∵a,b∈(0,+∞),且1a+∴a+b=(a+b)1a+9b=10+9ab+ba≥10+∴a+b的最小值為16.∴要使a+b≥μ恒成立,只需16≥μ.∴0<μ≤16.14.在Rt△ABF中,AB=2BF=4,C,E分別是AB,AF的中點(如圖①).將此三角形沿CE對折,使平面AEC⊥平面BCEF(如圖②),已知D是AB的中點.(1)求證:CD∥平面AEF;(2)求證:平面AEF⊥平面ABF.圖①圖②證明(1)取AF中點M,連接DM,EM.∵D,M分別是AB,AF的中點,∴DM是△ABF的中位線,∴DM12BF又CE12BF,∴四邊形CDME∴CD∥EM.又EM?平面AEF,CD?平面AEF,∴CD∥平面AEF.(2)由題意知CE⊥AC,CE⊥BC,且AC∩BC=C,故CE⊥平面ABC.又CD?平面ABC,∴CE⊥CD.∴四邊形CDME是矩形.∴EM⊥MD.在△AEF中,EA=EF,M為AF的中點,∴EM⊥AF,且AF∩MD=M,∴EM⊥平面ABF.又EM?平面AEF,∴平面AEF⊥平面ABF.三、高考預(yù)料15.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=an+1+n-2,n∈N*,a1=2.(1)證明:數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式;(2)設(shè)bn=3nSn-n+1(n∈N*)的前n項和為Tn,(1)解因為Sn=an+1+n-2,所以當(dāng)n≥2時,Sn-1=an+(n-1)-2=an+n-3,兩式相減,得an=an+1-an+1,即an+1=2an-1.設(shè)cn=an-1,代入上式,得cn+1+1=2(cn+1)-1,即cn+1=2cn(n≥2).又Sn=an+1+n-2,則an+1=Sn-n+2,故a2=S1-1+2=3.所以c1=a1-1=1,c2=a2-1=2,即c2=2c1.綜上,對于正整數(shù)n,cn+1=2cn都成立,即數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列,其首項a1-1=1,公比q=2.所以an-1=1×2n-