有理數(shù)與其運算

1.1數(shù)怎么不夠用了〔1〕

1、負(fù)數(shù)的引入

生活中具有相反意義的量很多。為了表示區(qū)別具有相反意義的量，產(chǎn)

生了負(fù)數(shù)。

2、負(fù)數(shù)的表示方法：

像5,1.2,500,……這樣的數(shù)叫做正數(shù)，它們比0大.

2

在正數(shù)前面加上“一〃號的數(shù)叫做負(fù)數(shù)，如一10,-3,-i,

2

—0.3145,......它們比0小.

特別的，0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù).

為了突出數(shù)的符號，也可以在正數(shù)前面加“+〃號，如+5,+1.2,+L

2

+500,……根據(jù)需要，有時也可以省略。

3、有理數(shù)的概念：

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).

4、有理數(shù)的分類可有兩種方式：

'正整數(shù)'正整數(shù)

正有理數(shù)

整數(shù)＜0正分?jǐn)?shù)

〔1〕有理數(shù)＜負(fù)整數(shù)〔2〕有理數(shù)＜0

'正分?jǐn)?shù)［負(fù)整數(shù)

分?jǐn)?shù)＜負(fù)有理數(shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)

注意，0是一個特別的數(shù)，它既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，它是一個整數(shù),

也是我們在分類時很容易漏掉的數(shù)，在學(xué)習(xí)這節(jié)時要特別注意.

【學(xué)以致用】

〔1〕在知識競賽中，如果用+10分表示加10分，則扣20分怎樣表示？

答：

12）某人轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，如果用+5圈表示沿逆時針方向轉(zhuǎn)了5圈，則沿順

時針方向轉(zhuǎn)了12圈怎樣表示？

答：

13）在某次乒乓球質(zhì)量檢測中，一只乒乓球超出標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量0.02克記作十

0.02克，則一0.03克表示什么？

答：

【穩(wěn)固練習(xí)】A組判斷題

1.0是有理數(shù).〔〕

2.有理數(shù)可以分為正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)兩類.【）

3.一個有理數(shù)前面加上“+”就是正數(shù).〔）

4.0是最小的有理數(shù).〔〕

選擇題

1.假設(shè)規(guī)定收入為“+〃，則支出-50元表示〔）

A.收入了50元；B.支出了50元；C.沒有收入也沒有支出；

D.收入了100元

2.以下說法正確的選項是〔

A.一個數(shù)前面加上“一〃號，這個數(shù)就是負(fù)數(shù)；B.零既不是

正數(shù)也不是負(fù)數(shù)

C.零既是正數(shù)也是負(fù)數(shù)；D.假設(shè)a是正數(shù)，則-a不一定就是

負(fù)數(shù)

3.既是分?jǐn)?shù)，又是正數(shù)的是［）

13

A.+5B.-5-C.0D.8—

410

4.以下說法不正確的選項是〔）

A.有最小的正整數(shù)，沒有最小的負(fù)整數(shù)；B.一個整數(shù)不是奇

數(shù)，就是偶數(shù)

C.如果a是有理數(shù)，2a就是偶數(shù)；D.正整數(shù)、負(fù)整數(shù)

和零統(tǒng)稱整數(shù)

5.以下說法正確的選項是〔）

A.有理數(shù)是指整數(shù)、分?jǐn)?shù)、正有理數(shù)、零、負(fù)有理數(shù)這五類數(shù)

B.有理數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)C.有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù);

D.以上說法都正確

填空題L如果后退10米記作一10米，則前進10米應(yīng)記作；

2.如果一袋水泥的標(biāo)準(zhǔn)重量是50千克，如果比標(biāo)準(zhǔn)重量少2千克記

作一2千克，則比標(biāo)準(zhǔn)重量多1千克應(yīng)記為；

3.車輪如果逆時針旋轉(zhuǎn)一周記為+1,則順時針旋轉(zhuǎn)兩周應(yīng)記為

4.在東西走向的公路上，乙在甲的東邊3千米處，丙距乙5千米,

則丙在甲的.

5.一潛水艇所在的高度為TOO米，如果它再下潛20米，則高度是

，如果在原來的位置上再上升20米，則高度是.

B組9.某日黃昏，黃山風(fēng)景區(qū)的氣溫由中午的零上2C。下降到了7C。，

這天黃昏黃山風(fēng)景區(qū)的氣溫是多少？

答：

10.寫出5個數(shù)〔不許重復(fù)），同時滿足下面三個條件.

〔1〕其中三個數(shù)是非正數(shù)；〔2〕其中三個數(shù)是非負(fù)數(shù)；〔3〕5個數(shù)都

是有理數(shù).

答：

11.一學(xué)生參加一次智力競賽，其中考五個題，記分標(biāo)準(zhǔn)是這樣定的，如

果答對一題得1分，答錯或不答都扣1分，該生得了3分，問其答對了幾

個題？

答：

1.2數(shù)軸⑵

一、數(shù)軸的概念：

1、考察溫度計，把溫度計水平放置時［零上溫度向右〕，它象什么請

圓1出來。

數(shù)軸的意義:

數(shù)軸的三要素：。

2.提問：在數(shù)軸上，一點F表示數(shù)［-3),如果數(shù)軸上的原點不選在

原來位置。改選在另一位置，則F對應(yīng)的數(shù)是否還是-3?如果單位長度改

變呢？如果直線的正方向改變呢？

FEDOABC

.I1tI1.1_______|_______|_______|______

-3-2-10+1+2+3

3.①畫數(shù)軸時，除注意數(shù)軸三要素缺一不可，還應(yīng)注意什么？

②正、負(fù)有理數(shù)應(yīng)該用原點哪邊的點來表示？數(shù)“0〃可用什么點

表示？

③小數(shù)、分?jǐn)?shù)如何在數(shù)軸上表示？

-1-

【例1】在數(shù)軸上面標(biāo)出表示以下各數(shù)的點一5,-3.5,+2.5,0,2,

+4,并用“<〃號把它們連接起來。

【例2】指出下面數(shù)軸上A、B、C、0、D、E各點分別表示什么有理數(shù)。

答：

ABCODE

4_________I________I______I________I_?---1-------9-------1---?-1--------1-------1----------1---

-5-4-3-23-10132345

22

二、相反數(shù)的意義：

數(shù)軸2與-2有什么一樣點與不同點？它們在數(shù)軸上的位置有什么關(guān)系？5

與-5,1.5與T.5呢？

用自己的言語表達相反數(shù)的意義：①〔代數(shù)定義)

②［幾何定義)____________________________________________

(1)-3的相反數(shù)是〔

A.--B.-3C.3D.-

33

〔2〕以下表達中不正確的選項是〔〕

A.正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)；

B.和原點距離相等的兩個點所表示的數(shù)一定是互為相反數(shù);

C.符號不同的兩個數(shù)一定是互為相反數(shù)；

D.假設(shè)兩個數(shù)互為相反數(shù)，則這兩個數(shù)有可能相等。

[3[以下各對數(shù)中，互為相反數(shù)的是〔

（5（）和+（一5丹

A.B.-(-2008)和+(+2008)

C.+(-4.5)和-4-1

D.—(T.6)和+(T.6)

三、比擬數(shù)的大小:

(3)----和-4

【例3】比擬以下每組數(shù)的大小:[1)-2和+6⑵2

0和T.8

答：

（1）填空：正數(shù)0,負(fù)數(shù)0；正數(shù)—負(fù)數(shù)。

⑵以下說法中正確的選項是〔）

A.沒有最大的正數(shù)，但是有最大的負(fù)數(shù)B.沒有最小的負(fù)數(shù)，但是有

最小的正數(shù)；

C.沒有最小的有理數(shù)，也沒有最大的有理數(shù)；D.有最小的自然數(shù)，也

有最小的整數(shù).

(3)以下說法中錯誤的選項是〔〕

A.存在最小的正整數(shù)，不存在最大的正整數(shù)；B.存在最大的負(fù)整數(shù)，不

存在最小的負(fù)整數(shù)；

C.任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示D.相反數(shù)是它本身

的數(shù)是0,或1

【穩(wěn)固練習(xí)】A組

1.寫出三對非零的相反數(shù)，在數(shù)軸上將它們表示出來，并比擬其中三個負(fù)

數(shù)的大小。

答：

2.在數(shù)軸上距離原點2個單位長度的點表示什么數(shù)？數(shù)軸上與表示-2的點

相距3個單位長度的點表示的數(shù)是

答：

個，它們分別是。小于2的非負(fù)整數(shù)有個，

它們是0

4.根據(jù)以下圖，答復(fù)以下問題：

ABCD

.III1.1.IIl.lI

-510137

-1——

42

(1)C、D兩點之間的距離是多少？

(2)A、B兩點之間的距離是多少？

(3)A、D兩點之間的距離是多少？

B組1.在數(shù)軸上a、b、c的位置如圖，嘗試答復(fù)以下問題：

b0ac

1])a、b、c的大小關(guān)系；

[2)—a、-b、-c的大小關(guān)系;

[3)a、b、-c的大小關(guān)系

1.3絕對值⑶

1、兩輛汽車，其一向東行駛10km,另一向西行駛8km。為了區(qū)別，可規(guī)定

向東行駛為正，則分別記作km和km。但在計算出租車收費，汽車

行駛所耗的汽油，起主要作用的是汽車行駛的路程，而不是行駛的方向。

此時，行駛路程則分別記作—km和—km。

答：

【師生探究，合作交流】

1、絕對值的幾何定義：我們把在數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做

數(shù)a的絕對值[absolutevalue),記作Ia|。因此，上述+10,-8的絕

對值分別是10和80

如在數(shù)軸上表示數(shù)-6的點和表示數(shù)6的點與原點的距離都是6,如何

表示它們的絕對值？

答：I-6I=；I6|=

2、互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值。

3、嘗試答復(fù)⑴|+2|=,Il/5|=,I+8.2

I=;

⑵I-3|=,I-0.2|=,I-8.2|

一;

⑶I0I=o

絕對值的代數(shù)定義：正數(shù)的絕對值是這個正數(shù)本身，負(fù)數(shù)的絕對值是

這個負(fù)數(shù)的相反數(shù)，零的絕對值是零。

如果用字母a表示這個數(shù)，則用式子來表示就是：

a,（當(dāng)a>0時）

時=｝，（當(dāng)〃=耐），因為零的相反數(shù)就超本身，所以〃仁a(a>0)

-a(a<0)

-a,（當(dāng)a<0時）

即：零和正數(shù)的絕對值是它本身，零和負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。

【學(xué)以致用】比擬兩個負(fù)數(shù)的大小

1、在數(shù)軸上總是比左邊的數(shù)大；

正數(shù)0,0負(fù)數(shù)，正數(shù)負(fù)數(shù)；

2、兩個負(fù)數(shù)比擬大小，反而小。

3、利用絕對值比擬下面有理數(shù)的大小

343

——與————與—0.273

4511

A組（一）、填空題：

1.一個數(shù)的絕對值可能小于它本身嗎？

2.假設(shè)|a|=a貝Ua0；假設(shè)|a|>a,貝Ua0

3.如果一個數(shù)的絕對值為2,則這個數(shù)是,得到的這兩個數(shù)是

的關(guān)系。

4.-|-1.5|=,|-〔-2）|=.

5.-的絕對值為________,-的絕對值的相反數(shù)為__________.

22—

6.絕對值不大于2的非負(fù)整數(shù)有，絕對值不小于2的整數(shù)是

7.用“>〃、“〈〃或"="填空.

⑴-100；[2]---

23

⑶----；⑷-0.6-f

1093

[5）|-1-||1.5|；⑹-[-57%）|-0.57|

2.

〔二〕.選擇題：1.以下說法中正確的選項是〔）

A.絕對值是它本身的數(shù)是正數(shù)B.-1是最大的負(fù)數(shù)

C.正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)組成全體有理數(shù)；D.零是整數(shù)

2.以下各式中，等號不成立的是〔〕

A.|-4|=4B.-|4|=-|-4|；C.|-4|=|4|

D.-|-4|=4.

3.以下說法錯誤的選項是〔〕

A.一個正數(shù)的絕對值一定是正數(shù)；B.任何數(shù)的絕對值都是正數(shù)

C.一個負(fù)數(shù)的絕對值一定是正數(shù)；D.任何數(shù)的絕對值都不是負(fù)

數(shù)

4.絕對值大于-3而不大于3的整數(shù)的個數(shù)有〔）

A.3個B.4個C.5個D.6個

5.以下說法中正確的選項是〔〕

A.有理數(shù)的絕對值一定比0大；B.有理數(shù)的相反數(shù)一定比0小

C.假設(shè)兩個數(shù)的絕對值相等，則這兩個數(shù)相等；D.互為相反數(shù)的兩個數(shù)

的絕對值相等

[三）、解答題：1.計算以下各式的值

|10-9.2|=|Ji-3.141=

|-18|+|-6|=|-36|-|-24|=

|-3-|X|--|=|-0.7514-I-3|=

34

2.請寫出介與一4.6與一2.1的絕對值之間的所有整數(shù)，并將他們按照

從小到大的順序排列。

B組1.一零件的長度在圖紙上標(biāo)為10+0.05〔單位：毫米〕，表示這種

零件的長度為10毫米,則加工時要求最大不超過多少？最小不少于多少？

實際生產(chǎn)時，測得一零件的長為9.9毫米，問此零件合格嗎？

C組⑴/a|=|a］；()⑵假設(shè)|x|=5,則*=,

假設(shè)Ix-3|=0,則x=.

⑶假設(shè)|a|=|b|』!ja=b；()⑷假設(shè)則a>b；()

〔5〕|X—4|+,+5|=0,求X、Y的值.

〔6〕.數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對應(yīng)位式L'置如

圖，

化簡：|a+b|+|b+c|-|c-a|o

ab0c

1.4有理數(shù)的加法⑷

⑴兩個有理數(shù)相加，和的符號怎么確定？與兩個加數(shù)的符號有什么關(guān)

系？

⑵和的絕對值與兩個加數(shù)的絕對值有什么關(guān)系？

⑶一個有理數(shù)與零相加，和怎么樣呢？試一試。

結(jié)論：

有理數(shù)加法法則：①同號相加，.

②異號相加，.

③與零相加，.

【重點點撥】

有理數(shù)加法法則有三條：第一條是說同號兩數(shù)相加；第二條是說異號

兩數(shù)相加；第三條是說一個數(shù)同0相加。

加法運算總是涉與兩個方面：一方面是確定結(jié)果的符號，另一方面是

計算絕對值；有理數(shù)加法運算要按照“一定、二求、三和差〃的原則；

例：計算：

〔1〕(-3)+(-8)(2)19+(-11)

解：

〔3)[T23)+21[4[[-45]+0

解：

【穩(wěn)固練習(xí)】

A組1.計算〔應(yīng)用有理數(shù)加法法則進展有理數(shù)的加法運算時，先定和的符

號，再定和的絕對值?！?/p>

[1[(-0.9)+(+1.5)；[2)(+2.7)+(-3)；[3[

(-1.l)+(-2.9)；

iQ⑸(一1.2)+[+1,]

14)(一3/+(-2/

〔7)〔+2)+〔-8)〔8)〔-100〕+0〔9〕〔+2)+〔+10〕

〔10〕4-+〔一5—)；[11][+2-)+〔一2.2)；[12[[一—]+

36515

[+0.8)；

2.求以下各數(shù)的相反數(shù)的和：-3,+21,4.5,-9,-13.5,1

3.閱讀理解：

某同學(xué)在一條筆直的跑道上練習(xí)慢跑，假定由南向北為正?！?〕他從

起點先跑了+45米，遇到了同學(xué)，說了兩句話，又跑了+42米，問他離出發(fā)

點多少米？[2)第二次他由起點先跑了+68米，又跑了-30米，此時他離

出發(fā)點多少米?

B組1、用算式表示：溫度由-5℃上升8℃后所到達的溫度.

2、假設(shè)|a|=2,|b|=3,求|a+b|的值。

3,,如圖是有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置，則|a+b1=.

---------------1----------------1——?----------------------------->

a0b

Aa-bBb-aCa+bD-(a+b)

C組1、3T+科-4|=0,計算下題：

〔1〕。的相反數(shù)與匕的倒數(shù)的相反數(shù)的和；〔2〕。的絕對值與方的絕對

值的和。

2、用或號填空：

(1)如果a>0,b>0,貝a+b0；⑵如果a<0,b<0,貝lja+b0；

(3)如果a>0,b<0,|a|>|b|,則a+b0；(4)如果a<0,b>0,

a|>|b|,則a+b0.

1.4有理數(shù)的加法〔5〕

填空：⑴〔-3)+〔-4)=—〔一4)+〔-3)=__

[-11]+8=—8+f-11)=—

(2)[2+〔一3〕]+=—2+[〔-3]+〔T)]=

[[-4]+7]+[-7)=—[-4)+[7+[一7)]=

通過上面的計算，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

有理數(shù)加法運算律：_________________________________________

則，你認(rèn)為在有理數(shù)的加法運算中，使用運算律的作用是。

【重點點撥】

加法運算律在有理數(shù)運算中仍然成立；

運用運算律常用的方法：互為相反數(shù)法，同步結(jié)合法，同形結(jié)合法〔把

整數(shù)與整數(shù)，小數(shù)與小數(shù)，同分母分?jǐn)?shù)以與分?jǐn)?shù)便于通分的分別結(jié)合相加〕，

湊整法等。

例：計算:⑴31+(-28)+28+69

解：〔法一〕〔法二〕〔法三〕：

⑵[-2)+3+1+〔-3)+2+〔-4〕

解：〔法一)〔法二〕

【獨立思考】

請你認(rèn)真閱讀P57例題，并完成下題。

有假設(shè)干箱蘋果，每箱以15kg為標(biāo)準(zhǔn)重量，超過的千克數(shù)記作正數(shù)，

缺乏的千克數(shù)記作負(fù)數(shù)。各箱情況如下：L5,-0.7,2.3,-1.5,-0.1,

0.8,-0.3,0,2.5求，這批蘋果的總重量。

A組〔提示：運用結(jié)合律時可以：a互為相反數(shù)的結(jié)合；b相加得整〔整

十整百〕的結(jié)合。c同號的結(jié)合?！?/p>

1、計算⑴16+[-25)+24+〔-32](2)[-3]+40+〔-32)+

[一8)

(3)13+[-56)+47+F34)⑷43+[-77)+27+〔-43)

(5)(+15)+(-20)+(+8)+(-6)+(+2)[6)

0.36+(—7.4)+0.3+(—0.6)+0.64；

⑺[-21)+251+|-21|+[-151)(8)[-2.4)+[-3.7)+〔+4.2)

+0.7+(-4.2)

2、絕對值不小于3但小于5的所有整數(shù)的和是

3、四個數(shù)9、-2、-11.0的和比它們的絕對值的和小

B組1、計算：

133?111

(3)3-+(-2-)+5-+(-8-)(4))+3-+2.75+F6-)

4545242

2、在一次區(qū)級數(shù)學(xué)競賽中，某校8名參賽學(xué)生的成績與全區(qū)參賽學(xué)社

國內(nèi)數(shù)學(xué)平均分80分的差分別為5,-2,8,14,7,5,9,-6,則該校數(shù)

學(xué)競賽的平均成績是多少？

2.5有理數(shù)的減法［6)

【溫故知新】

1.有理數(shù)加法法則:①同號兩數(shù)相加,1

②異號兩數(shù)相

力口，L

③一個數(shù)同0相加；

2.兩個有理數(shù)的和一定大于每一個加數(shù)嗎？；

3.10比3大多少？如何計算？_________________________________

4.3-10有意義嗎？它應(yīng)當(dāng)?shù)扔诙嗌伲?/p>

【師生探究合作交流】

1.看一看p61答復(fù)以下問題

這天的西安的溫差是,你的算

法：.

這天烏魯木齊的溫差是,你的算

法：.

2.算一算

50-20=,50+(-20)=;

50-10=,50+(-10)=;

50-0=,50+0=;

50-(-10)=,50+10=;

50-(-20)=,50+20=

3、你能從3中的加、減法運算中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？

有理數(shù)減法法則：.

【重點點撥】

在運用加法法則時，注意兩個符號的變化，一是運算符號，減號變?yōu)?/p>

加號；二是性質(zhì)符號，減數(shù)變成它的相反數(shù)；

減法法則不能與加法法則中的兩個異號的數(shù)相加混淆；

有理數(shù)的減法中，被減數(shù)與減數(shù)不能互換，減法沒有交換律；

【穩(wěn)固練習(xí)】A組1.計算以下各題：

(1)9-(-5);(2)(-3)-1;

⑴⑶0-8;(4)(-5)-0.

2.某潛艇從海面以下27米處上升到海平面以下18米處，此潛艇上升

了多少米?

3.如果某臺家用電冰箱冷藏室的溫度是4。。，冷凍室的溫度比冷藏室

的溫度低22C,則這臺電冰箱冷凍室的溫度為〔J

A.-26℃B.-22℃C.-18℃D.-16℃

4.寫出以下每組數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)點之間的距離：

[1[-2,-6[2)3,-4[3)-2,6

B組1.計算：

①(-10)-3；②0T2；③(-4)-16；④31+()=-85

⑤(—16)—(—12)—24—(—18)

2、辨一辨，以下哪些說法是正確的.

[1)數(shù)軸上的兩個數(shù)，右側(cè)的數(shù)減去左側(cè)的數(shù)一定大于0.

〔2〕0減去一個數(shù)等于這個數(shù)的相反數(shù).

〔3〕正數(shù)減去負(fù)數(shù)一定大于.

[4)兩個負(fù)數(shù)相減一定還是負(fù)數(shù).

3、世界上最高的山峰是珠穆朗瑪峰,其海拔高度大約是8848米，

吐魯番盆地的海拔高度大約是-155米.兩處高度相差多少米

4、|a|=2,|b|=5,且a<0,b>0,求a-b的值

2.6有理數(shù)的加減混合運算［7)

一、怎樣進展加減混合運算呢？

1、首先我們把它統(tǒng)一成加法.

2、把每個加數(shù)的括號和它前面的加號省略不寫.

3進展運算〔盡可能利用運算律簡化計算).

如：f—11)—7+〔一9)—［一6)=一11-7-9+6

二、代數(shù)式的讀法：

11)按代數(shù)和的意義：讀作“負(fù)11、負(fù)7、負(fù)9、正6的和〃

〔2〕按運算順序：讀作“負(fù)11減7減9加6"

【學(xué)以致用】

例lp66議一議

例2把〔一20〕+〔+3)—〔+5〕-〔一7〕寫成省略括號和的形

式，并用兩種方法把它讀出來。

解：

例3計算：⑴—；—⑵I⑶—2.25+1

解：

【穩(wěn)固練習(xí)】

A組1、計算

[1](-3)-(+6)+(-4)-(-2)

[2]4.5+(-3.2)-(-1.1)+(-2.4)

[3]21+(-3)-(-9)-(-117)

[4](-11)-7+(-9)-(-6)

2、找錯誤

(1)0-5=0+5=5

(2)-2-(-5)=-2+(-5)=-7

(3)12-|0-18|+(-7)+(-15)=12+18-7-15=8

,八152111257

463242364

3、-3的絕對值，減去6的相反數(shù)，加上-8為;

B組1、⑴以下計算正確的選項是〔〕

1,

A、-1+1=0B、-1-1=0C、3--=1D、3=6

3

⑵假設(shè)a+b+c=0,則以下結(jié)論正確的選項是〔〕

A、a=b=c=0B、a、b、c中至少有兩個是負(fù)數(shù)

C、a、b、c中可以沒有負(fù)數(shù)D、a、b、c中至少有兩個是正數(shù)

2、-5的相反數(shù)減去-8,加上-11的絕對值，比-10大多少？

3、|a+2|+|Z?-3|=0,求一的值。

2.6.有理數(shù)的加減混合運算（8）

【溫故知新】

一、有理數(shù)減法法則（體會轉(zhuǎn)化思想）a-b=a+(-b)

二、有理數(shù)的加法口訣:

同號加,取原號,用加法;異號加,取"大〃號，用減法;相反加，值

為零;與零加，得原數(shù).

加法的交換律：加法的結(jié)合律:

三、有理數(shù)加減混合運算的結(jié)合技巧.

（一）把符號一樣的加數(shù)相結(jié)合（二）把和為零的加數(shù)相結(jié)合

（三）把和為整數(shù)的加數(shù)相結(jié)合（四）把整數(shù)與整數(shù)，分?jǐn)?shù)與

分?jǐn)?shù)相結(jié)合

（五）統(tǒng)一形式后再結(jié)合（六）把分母一樣或便于通分

的加數(shù)相結(jié)合

（七）分組后再結(jié)合.（八）巧添輔助數(shù)后再結(jié)合

（九）先拆項再結(jié)合

【學(xué)以致用】

例1計算：(+6.4)+(-5.1)-(-3.9)+(-2.4)-(+4.9)

71113

例2計算：[1)-4--3-+6--2-〔2](-0.125)+(-0.75)++1+1

3324

【穩(wěn)固練習(xí)】

A組1.計算：1—2+3—4+5—6+7—8+9—10的結(jié)果為()

A.5B.-C.-5D.--

99

2、計算

⑴〔+5)+〔一6)+〔+4)+〔+9)+〔一7)+〔-8)

5+4151

⑵++++26++(+3)

4)137

B組1、計算

111111

248163264

[2[2-3-4+5+6-7-8+9+…+66-67-68+69

⑶假設(shè)Ia|=5,|b|=2,且a,b同號,則|a-b|=.

2、當(dāng)x=l±y=-2-,z=-33時，分別求出以下代數(shù)式的值：⑴x-(-y)-z

324

(2)x+(-y)+(-z)

2.8有理數(shù)的乘法(9)

【師生探究，合作交流】

有理數(shù)的乘法法則：

11)兩數(shù)相乘，同號得—，異號得—，絕對值_______。

[2)任何數(shù)與0相乘，o

計算1：-X0.2=⑵12X[-3)-

3

⑶1-1.2)X(-3)=⑷〔一3)x」)=

82

⑸(_g)xo=

7

2.探究1：什么是倒數(shù)？

計算2：

(1)2X1/2=⑵6/7X7/6=

(3)(-8/3)X(-3/8)=⑷(一4)X[-1/4)=

總結(jié)：[1)乘積為1的兩個有理數(shù)互為

即：ab=ioa、b互為倒數(shù)

(2)正數(shù)的倒數(shù)是;負(fù)數(shù)的倒數(shù)是；0

(3)倒數(shù)是它本身的數(shù)有：o

[4)互為倒數(shù)的兩個數(shù)的特征.①乘積為—②符號―

〔5〕如何求一個數(shù)的倒數(shù)？你能說說嗎？

3.探究2：多個有理數(shù)相乘的法則？

計算3：(1〕(-4)X8X(-0.25]=

⑵(--)X〔—竺)X〔-2)=

56

(3)-X[一5)XX0=

37

總結(jié)：幾個有理數(shù)相乘，因數(shù)都不為0時，積的由符號的個

數(shù)決定：奇數(shù)個；偶數(shù)個為；有一個因數(shù)為0時，積為一

多個有理數(shù)相乘，計算的第一步

計算的第二步

例1計算:

7

[3)(-13.65)x(--)[4)[-24)X0

例2(1)^x(-^)x(-^)

例3如果a,b滿足。+匕>0,a-b<0,則以下式子正確的選項是〔

\a\>\b\B.\a\<\b\

C.當(dāng)a〉0,b<0時，14>網(wǎng)D.當(dāng)a<0,人>0時，H>H

A組一、填空題

1.如果a>0,b<0,則ab0.假設(shè)。方<。，且。<人，則。

2.一§的倒數(shù)是o倒數(shù)的相反數(shù)是

3.23的相反數(shù)是,倒數(shù)是。

4.-2.75的相反數(shù)的倒數(shù)是o

5.確定以下各個積的符號，填在空格內(nèi)：

⑴〔一7.4)X［一3.2)；

(-2)X［一2)X2［一2)

⑶

二.選擇題：L以下說法正確的選項是〔)

A.兩個數(shù)的積大于每一個因數(shù)

B.兩個有理數(shù)的積的絕對值等于這兩個數(shù)的絕對值的積

C.兩個數(shù)的積是0,則這兩個數(shù)都是0

D.一個數(shù)與它的相反數(shù)的積是負(fù)數(shù)

2.以下說法正確的選項是〔)

A.異號兩數(shù)相乘，取絕對值較大的因數(shù)的符號B.同號兩數(shù)相乘,

符號不變

C.兩數(shù)相乘，如果積為負(fù)數(shù)，則這兩個因數(shù)異號

D.兩數(shù)相乘，如果積為正數(shù)，則這兩個因數(shù)都是正數(shù)

3.兩個有理數(shù)的積是負(fù)數(shù)，和為零，則這兩個有理數(shù)〔)

A.一個為零，另一個為正數(shù)B.一個為正數(shù)，另一個為負(fù)數(shù)

C.一個為零，另一個為負(fù)數(shù)D.互為相反數(shù)

4.一個數(shù)的倒數(shù)是它本身，則這個數(shù)是〔〕

A.1B.-1C.0D.+1

W

5.假設(shè)》＜0,則%的值是〔)

A.1B.-1C.0D.不能確定

6.以下說法錯誤的選項是〔〕

A.有理數(shù)m的倒數(shù)是蔡B.兩個數(shù)互為倒數(shù)，則這兩個數(shù)的積

是1

C.兩個數(shù)互為負(fù)倒數(shù)，則這兩個數(shù)的積是D.0乘以任何數(shù)

都等于0.

三.計算題：

①(-8)義多②|x(-1)

434

④GT

③

合、/、(-11)x(-^)xOx1

(§)—4x(/--2-5)x(——7)

5610

B組選擇題

1.假設(shè)的＞0,則勿,n{

A.都為正B.都為負(fù)C.同號D.異號

2.假設(shè)以、〃互為相反數(shù)，則

A.mn<0B.mn>0C.D.77777^0

三、|a|=5,|引=2,a僅0.求：1、3a+26的值.2、劭的值.

解：1.|a|=5,，a=

V|Z?|=2,.'.b=

ab<Q,：.當(dāng)a=時，b=,

當(dāng)a=時，b=.

3<a+2b=或3a+2b=.

2.ak

c組1.倒數(shù)等于本身的數(shù)是；絕對值等于本身的數(shù)

是;

相反數(shù)等于本身的數(shù)是0

2.a、b互為相反數(shù),c、d互為倒數(shù)，x的絕對值是1,

求|x|+(a+b+cd)x-cd的值

2.8有理數(shù)的乘法(10)

請用字母表示乘法的交換律、結(jié)合律、分配律.

交換律：______________________________________________________

結(jié)合律：_______________________________________________________

分配律：_______________________________________________________

2、探究：乘法運算律在有理數(shù)運算中的應(yīng)用。

計算：

⑴(--|+|)x(-24)⑵(-7)x(-^)x^-

解：原式=解：原式=

請你判斷以下算式的正誤，將錯誤的算式改正。

33

1.8—x—=8()

77

3(i5)x+(-i5)x=i2

--HlhHHi（）

（）

總結(jié)：乘法運算律可以推廣到有理數(shù)范圍內(nèi)，求幾個有理數(shù)相乘的積時靈

活應(yīng)用運算律，以使

計算得到簡便。

【學(xué)以致用】

例1計算：

8)(2)30義[[[(3)[0.25一|卜(一36)

j_j_j_

例2⑴(3+4-6)X48.⑵

45355

-x(--)-(--)x—x

51351313

【穩(wěn)固練習(xí)】A組計算題:

〔2〕8x(-

⑶-3.14x35.2+6.28x(-23.3)-1.57x36.4

73

[4)[(4X8)X25-8]X125[5)-99—X18

24

B組1.絕對值大于1,小于4的所有整數(shù)的積是—

2.絕對值不大于5的所有負(fù)整數(shù)的積是。

3.假設(shè)Ia|=1,|b|=4,且ab<0,貝lja+b=.

4.假設(shè)時=3,例=5,且b異號，則。力=。

(-1)(-1)(-1)……(-1)=

5.當(dāng)n是奇數(shù)時7

6.aZK|a引，則有()

A.ab<QB.a<b<QC.a>0,b<QD.a<Q<b

C組1.假設(shè)a+b〈O且ab〈O,則必有〔〕

A.a>0,b>0B.a<0,b<0

C.a、b異號且正數(shù)的絕對值較大D.a、b異號且負(fù)數(shù)的絕對值

較大

2.如果一abc>0,b>c異號，貝Ua_0；如果abc<0,b>c同號，貝Uc___0。

3.如果a+b>0,a-b<0,ab<0,貝11alb

2.9有理數(shù)的除法（11）

【師生探究，合作交流】

1.議一議，猜一猜：

（⑷+4=（⑷.（⑷=

1）.2==

（⑷！0=0+（⑷=

結(jié)論：負(fù)數(shù)除以正數(shù)得數(shù)，并把絕對值_________；

負(fù)數(shù)除以負(fù)數(shù)得數(shù)，并把絕對值

2.有理數(shù)的除法法則⑴:

兩個有理數(shù)數(shù)相除，同號得,異號得—，并把絕對

值______

0除以任何非零的數(shù)都得。

3.除法是乘法的逆運算：

計算8+［一4）=8X［一工），其中一工與一4互為倒數(shù)

44

4.有理數(shù)的除法法則（2）：

除以一個數(shù)等于O注0不能作除數(shù)。

即〃+/?=白,3。0）

【學(xué)以致用】

例1課本P80頁例題1

例2①2：xxA.il②2。(-2”安)

32114

例3假設(shè)a,b,c為有理數(shù)，且@+4+0=1,求回的值。

abcabc

【穩(wěn)固練習(xí)】A組1.以下計算結(jié)果為1的是〔)

A.〔+1)+〔一2)B〔-1)-〔一2)C〔+1)X〔-2)D〔一2)!〔+2)

2.兩個有理數(shù)的商是正數(shù)，這兩個有理數(shù)一定〔)

3.如果a與-2互為倒數(shù)，則@為〔)

1C.1

22

4.假設(shè)x,y互為倒數(shù)，貝卜3xy=。

5.倒數(shù)等于它本身的數(shù)是,相反數(shù)等于它本身的數(shù)

是o

6.計算：

①〔」)②154-(---)③[-12)

3653

?〔-3)X［一2)

![一5)X[-3-)⑤-125H-[-25)

3

-644-[一4)

B組1.當(dāng)a=Lb=-2.7,c=-3.6時，求以下代數(shù)式的值:

①竽②匕

3a

2.當(dāng)a=l.8,b=—2.7,c=—3.6時，求以下代數(shù)式的值：①一

3a②子

c

C組1.慟=4,|y|=-,孫＜0,則土的值等于

2y

2.計算:

①…小-4-11②一2-{[-3+[1-1.2X-)4-(-3)]+3}

6

③(1；7…(v)+v)y

8:二)④

(」)加-

6397213

2.10有理數(shù)的乘方(12)

1.探究結(jié)論：求n個一樣因數(shù)a的乘積的厚號叫做乘方〔Power),

乘方的結(jié)果叫做幕［Power),a叫做底數(shù)［basenumber),

n叫做指數(shù)［exponent)oa"讀做a的n次方。

2.乘方的性質(zhì)：①正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)；

②負(fù)數(shù)的奇次幕是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次幕是正數(shù)；

③0的任何正整數(shù)次幕都是0.

④任何數(shù)的偶次哥都是非負(fù)數(shù)。

注意：分?jǐn)?shù)乘方、負(fù)數(shù)乘方在書寫時一定要將整個底數(shù)用小括號括起

來，然后在右上角寫上指數(shù)，因為有括號與沒有括號，它的意義、讀法與

計算結(jié)果有時是不同的.

例如1°丫表示三個3連乘，

⑺5

(3丫33327

—=—X—X—=--,

⑸555125

又如(-2)4表示四個一2連乘，(-2)4讀作“一2的