第=page11頁，共=sectionpages33頁2024-2025學(xué)年廣東省廣州八十九中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z1=2+i，z2=a-i(aA.1 B.0 C.2 D.-2.已知a,b是平面內(nèi)的一組基底，則下列四組向量中，能作為一組基底的是(

)A.a-2b和-a+2b B.a-b和a+b3.如圖，正方形O'A'B'C'的邊長為A.8cm

B.6cm

C.2(1+4.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足b2+c2A.π6 B.π3 C.2π5.如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，下列命題正確的是(

)A.AB與HG相交

B.AB與EF平行

C.AB與CD相交

D.EF與CD異面6.如圖，測量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)C與D，現(xiàn)測得∠BCD=15°，∠BDC=135°，CD=20m，在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為60°A.30m

B.202m

C.7.設(shè)向量α,β的夾角為θ，定義：α?β=|α||β|sinθ.若平面內(nèi)不共線的兩個(gè)非零向量a,b滿足：A.32 B.3 C.18.已知點(diǎn)O為△ABC的外心，且向量AO=λAB+(1-λ)AC，λ∈R，若向量BAA.32 B.55 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z=3-4i(i為虛數(shù)單位)A.|z|=5

B.復(fù)數(shù)1z的虛部為-425

C.若z對(duì)應(yīng)的向量為OA,1+i對(duì)應(yīng)的向量為OB，則向量AB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-2+5i

10.在△ABC中，下列結(jié)論中，正確的是(

)A.若sin2A=sinB，則△ABC是等腰三角形

B.若sinA>sinB，則A>B

C.若AB2+AC211.如圖，ABCD是邊長為2的正方形，AA1，BB1，CC1，DD1都垂直于底面ABCD，且DD1=32AAA.A1，B1，C1，D1四點(diǎn)共面

B.該幾何體的體積為6

C.過四點(diǎn)A1，C1，B，D四點(diǎn)的外接球表面積為12π

D.截面四邊形BED1F的周長的最小值為12.如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，且BF=12(BC+BD13.下列命題正確的有______．

①若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l//α

②若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的所有直線都平行

③若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn)

④如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行14.已知四棱錐P-ABCD的5個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，且PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=4，CD=3四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a=(3,2),b=(x,-1)．

(1)當(dāng)(a+2b)⊥(2a-b)，且x>0時(shí)，求|16.(本小題15分)

如圖，圓錐PO的底面直徑和高均是a，過PO上的一點(diǎn)O'作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱．

(1)若O'是PO的中點(diǎn)，求圓錐挖去圓柱剩下幾何體的表面積和體積；

(2)當(dāng)OO'17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2為菱形，∠DAB=60°，△PAD是以PA為斜邊的等腰直角三角形，F(xiàn)，G分別是PB，CD的中點(diǎn)．

(1)求證：GF//平面PAD；

(2)設(shè)E為AB的中點(diǎn)，過E，F(xiàn)，G三點(diǎn)的截面與棱PC交于點(diǎn)18.(本小題17分)

在斜△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若asin2C+ccosA=b，且cosB=17．

(1)求sinA；

(2)若點(diǎn)19.(本小題17分)

如圖，半圓O的直徑為4cm，A為直徑延長線上的點(diǎn)，OA=4cm，B為半圓上任意一點(diǎn)，以AB為一邊作等邊三角形ABC.設(shè)∠AOB=α．

(1)當(dāng)α=π3時(shí)，求四邊形OACB的周長；

(2)克羅狄斯?托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào)，根據(jù)以上材料，則當(dāng)線段

參考答案1.C

2.B

3.A

4.C

5.D

6.D

7.A

8.D

9.ACD

10.BD

11.ACD

12.9213.③

14.196315.解：(1)∵(a+2b)⊥(2a-b)?(a+2b)?(2a-b)=0，

a+2b=(3+2x,0)，2a-b=(6-x,5)，∴(3+2x)(6-x)+0×5=0，解得x16.解：(1)設(shè)圓柱的底面半徑為r，

由三角形中位線定理可得，r=a4，圓柱的母線長為OO'=a2，

又圓錐的母線長為l=a2+a24=52a，

所以圓錐挖去圓柱剩下幾何體的表面積為圓錐的表面積加上圓柱的側(cè)面積，

則S=π×(a2)2+π×a2×17.(1)證明：如圖，取PA中點(diǎn)H，連接FH，HD，

因?yàn)镕為PB中點(diǎn)，所以HF//AB，且HF=12AB，

又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且G為CD中點(diǎn)，

所以DG//AB，且DG=12AB，

所以HF//DG，且HF=DG，所以四邊形HDGF為平行四邊形，

所以GF//HD，

因?yàn)镚F?平面PAD，HD?平面PAD，

所以GF//平面PAD；

(2)解：Q為PC的中點(diǎn)，

證明如下：因?yàn)镃G//BE且CG=BE，故BCGE為平行四邊形，故EG//BC，

EG?平面PBC，BC?平面PBC，故EG//平面PBC，

18.解：(1)因?yàn)閍sin2C+ccosA=b，

由正弦定理可得：sinAsin2C+sinCcosA=sinB=sinAcosC+cosAsinC，

所以2sinAsinCcosC=sinAcosC，

因?yàn)閏osC≠0，sinA≠0，

所以sinC=12，而C∈(0,π)，

所以C=5π6或π6，

當(dāng)C=5π6時(shí)，因?yàn)閏osB=17<cosπ6，

所以B>π6，此時(shí)B+C>π，不符合條件；

所以C19.解：(1)半圓O的直徑為4cm，A為直徑延長線上的點(diǎn)，OA=4cm，

B為半圓上任意一點(diǎn)，以AB為一邊作等邊三角形ABC，設(shè)∠AOB=α，

△ABO中，OA=4，OB=2，∠AOB=α=π3，

由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA?OB?cosα=16+4-2×4×2×12=12，

即AB=23，于是四邊形OACB的周長為