PAGE1-課時(shí)32幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型(2)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P75學(xué)問點(diǎn)幾類函數(shù)模型增長(zhǎng)的比較1.當(dāng)x越來(lái)越大時(shí)，下列函數(shù)中，增長(zhǎng)速度最快的應(yīng)當(dāng)是()A．y＝10000xB．y＝log2xC．y＝x1000D．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,2)))x答案D解析y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,2)))x為指數(shù)函數(shù)，增長(zhǎng)最快．2．若x∈(0,1)，則下列結(jié)論正確的是()A．2x>xeq\f(1,2)>lgxB．2x>lgx>xeq\f(1,2)C．xeq\f(1,2)>2x>lgxD．lgx>xeq\f(1,2)>2x答案圖答案A解析如圖所示，在同一坐標(biāo)系中畫出y＝2x和y＝xeq\f(1,2)及y＝lgx的圖象視察當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，2x>xeq\f(1,2)>lgx，故選A.3．以固定的速度向如下圖所示的瓶子中注水，則水深h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是()答案B解析水深h的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快．4．有一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示：x12345y413284976下列所給函數(shù)模型較適合的是()A．y＝logax(a>1)B．y＝ax＋b(a>1)C．y＝ax2＋b(a>0)D．y＝logax＋b(a>1)答案C解析通過所給數(shù)據(jù)可知y隨x增大，其增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，而A，D中的函數(shù)增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，B中的函數(shù)增長(zhǎng)速度保持不變，故選C.5．下列四種說法中，正確的是()A．冪函數(shù)增長(zhǎng)的速度比一次函數(shù)增長(zhǎng)的速度快B．對(duì)隨意的x＞0，xn＞logaxC．對(duì)隨意的x＞0，ax＞logaxD．不肯定存在x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，總有ax＞xn＞logax答案D解析對(duì)于A，冪函數(shù)與一次函數(shù)的增長(zhǎng)速度受冪指數(shù)及一次項(xiàng)系數(shù)的影響，冪指數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)不確定，增長(zhǎng)速度不能比較．對(duì)于B，C，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，明顯不成立．對(duì)于D，當(dāng)a＞1，n＞0時(shí)，肯定存在x0，使得當(dāng)x＞x0時(shí)，總有ax＞xn＞logax，但若去掉限制條件“a＞1，n＞0”，則結(jié)論不成立．故選D.易錯(cuò)點(diǎn)幾類函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異6.下列函數(shù)中隨x的增大而增大且速度最快的是()A．y＝eq\f(1,100)exB．y＝100lnxC．y＝x10D．y＝100·2x易錯(cuò)分析錯(cuò)誤的根本緣由在于影響指數(shù)型函數(shù)增長(zhǎng)速度的量是指數(shù)函數(shù)的底數(shù)，而非其系數(shù)，本題誤認(rèn)為100>eq\f(1,100)，得出100·2x比eq\f(1,100)ex增大速度快的錯(cuò)誤結(jié)論，錯(cuò)選D.答案A正解通過函數(shù)y＝ax，y＝logax，y＝kx(k>0)的圖象視察可得y＝ax的增長(zhǎng)速度大于y＝kx的增長(zhǎng)速度，y＝kx的增長(zhǎng)速度大于y＝logax的增長(zhǎng)速度，∴A，D最快．又∵y＝eq\f(1,100)ex中底數(shù)e>2.∴y＝eq\f(1,100)ex的增長(zhǎng)速度大于y＝100×2x，∴選A.對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P75一、選擇題1．某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長(zhǎng)10.4%，要增長(zhǎng)到原來(lái)的x倍，需經(jīng)過y年，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為()答案D解析設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a，由題意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為D中圖象，故選D.2．據(jù)報(bào)道，青海湖水在最近50年內(nèi)削減了10%，按此規(guī)律，2024年的湖水量為m，從2024年起經(jīng)過x年后湖水量y與x的函數(shù)關(guān)系是()A．y＝0.9eq\f(x,50)·mB．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－0.1\f(x,50)))·mC．y＝0.950x·mD．y＝(1－0.150x)·m答案A解析由已知50年削減10%，則x年后為原來(lái)的0.9eq\f(x,50)，所以湖水量為y＝0.9eq\f(x,50)m，故選A.3．三個(gè)變量y1，y2，y3，隨著變量x的改變狀況如下表：x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.9857.27.4則關(guān)于x分別呈對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)改變的變量依次為()A．y1，y2，y3B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1D．y1，y3，y2答案C解析通過指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等不同函數(shù)模型的增長(zhǎng)規(guī)律比較可知，對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，變量y3隨x的改變符合此規(guī)律；指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度成倍增長(zhǎng)，y2隨x的改變符合此規(guī)律；冪函數(shù)的增長(zhǎng)速度介于指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之間，y1隨x的改變符合此規(guī)律，故選C.4．某廠原來(lái)月產(chǎn)量為a,1月份增產(chǎn)10%,2月份比1月份減產(chǎn)10%，設(shè)2月份產(chǎn)量為b，則()A．a(chǎn)＝bB．a(chǎn)＞bC．a(chǎn)＜bD．無(wú)法比較a，b的大小答案B解析b＝a(1＋10%)(1－10%)＝0.99a＜a，∴選B.5．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，下列選項(xiàng)中正確的是()A．f(x)>g(x)>h(x)B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x)D．f(x)>h(x)>g(x)答案B解析畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，當(dāng)x∈(4，＋∞)，指數(shù)函數(shù)的圖象位于二次函數(shù)圖象上方，二次函數(shù)圖象位于對(duì)數(shù)函數(shù)圖象上方，故g(x)>f(x)>h(x)．二、填空題6．函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝xlnx在(0，＋∞)上增長(zhǎng)較快的是________．答案y＝x2解析y＝x2為冪函數(shù)，增長(zhǎng)較快．7．函數(shù)y＝2x－x2的圖象大致是________．(填序號(hào))答案①解析在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y＝2x，y＝x2的圖象(圖略)．易知在區(qū)間(0，＋∞)上，當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，2x>x2，即此時(shí)y>0；當(dāng)x∈(2,4)時(shí)，2x<x2，即y<0；當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，2x>x2，即y>0.當(dāng)x＝－1時(shí)，f(－1)＝2－1－1<0，據(jù)此可知只有選項(xiàng)①中的圖象符合條件．8.如右圖，由桶甲向桶乙輸水，起先時(shí)，桶甲有aL水，tmin后，剩余水yL滿意函數(shù)關(guān)系y＝ae－nt，那么桶乙的水就是y＝a－ae－nt，假設(shè)經(jīng)過5min，桶甲和桶乙的水相等，則再過_______min，桶甲中的水只有eq\f(a,8)L.答案10解析由題意可得，5min時(shí)，ae－5n＝eq\f(1,2)a，n＝eq\f(1,5)ln2，那么ae－eq\f(t,5)ln2＝eq\f(1,8)a，所以t＝15，從而再經(jīng)過10min后，桶甲中的水只有eq\f(1,8)aL.三、解答題9．函數(shù)f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的圖象如圖．(1)指出曲線C1，C2分別對(duì)應(yīng)圖中哪一個(gè)函數(shù)；(2)比較兩函數(shù)的增長(zhǎng)差異(以兩圖象交點(diǎn)為分界點(diǎn)，對(duì)f(x)，g(x)的大小進(jìn)行比較)．解(1)C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝0.3x－1，C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝lgx；(2)當(dāng)x∈(0，x1)時(shí)，g(x)＞f(x)；當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)，g(x)＜f(x)；當(dāng)x∈(x2，＋∞)時(shí)，g(x)＞f(x)．10．某地區(qū)今年1月，2月，3月患某種傳染病的人數(shù)分別為52,54,58.為了預(yù)料以后各月的患病人數(shù)，甲選擇了模型y＝ax2＋bx＋c，乙選擇了模型y＝p·qx＋r，其中y為患病人數(shù)，x為月份數(shù)，a，b，c，p，q，r都是常數(shù)．結(jié)果4月，5月，6月份的患病人數(shù)分別為66,82,115，你認(rèn)為誰(shuí)選擇的模型較好？解依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·12＋b·1＋c＝52，,a·22＋b·2＋c＝54，,a·32＋b·3＋c＝58，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝52，,4a＋2b＋c＝54，,9a＋3b＋c＝58，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，,c＝52，))所以甲：y1＝x2－x＋52，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p·q1＋r＝52，①,p·q2＋r