你有沒有看到過這么壯觀場面:在自行車存放處，整齊擺放著長長一排自行車，突然，一陣大風襲來，第一輛自行車倒下了，在第一輛自行車倒下時碰到了第二輛，于是第二輛也倒下了;而第二輛倒下時又碰到了第三輛，第三輛也倒下了……這么連續(xù)下去，直到最終一輛自行車也倒下.請分析:在這個“倒自行車”過程中，有幾個主要步驟?第9課時不等式證法（三）1/36預學1:數(shù)學歸納法上述情境分兩步，第一步:第1輛自行車倒下，第二步:前一輛倒下后一輛一定倒下.類似于數(shù)學歸納法兩個步驟，什么是數(shù)學歸納法?數(shù)學歸納法:設{pn}是一個與自然數(shù)相關命題集合，假如(1)證實起始命題p0成立;(2)在假設pk成立前提下，推出pk＋1也成立，那么能夠斷定，{pn}對一切正整數(shù)(或自然數(shù))成立.2/36

3/36

4/36預學2:數(shù)學歸納法證題步驟(1)(歸納奠基)證實當n＝n0時，命題成立.(2)(假設與遞推)假設當n＝k(k≥n0，k∈N*)時，命題成立，證實當n＝k＋1時，命題也成立.只要完成這兩個步驟就能夠斷定命題對從n0開始全部正整數(shù)n成立.5/36預習3:貝努利不等式假如x是實數(shù)，且x>－1，x≠0，n為大于1自然數(shù)，那么有(1＋x)n>1＋nx.6/36預學4:歸納、猜測和證實在數(shù)學中經(jīng)過特例或依據(jù)一部分對象得出結論可能是正確，也可能是錯誤，這種不嚴格推理方法稱為不完全歸納法.不完全歸納法得出結論，只能是一個猜測，其正確是否，必須深入檢驗或證實，經(jīng)常采取數(shù)學歸納法證實.不完全歸納法是發(fā)覺規(guī)律、處理問題極好方法.7/36練一練:已知數(shù)列{an}前n項和為Sn，且滿足Sn＋an＝2n＋1.(1)寫出a1，a2，a3，并猜測an表示式.(2)用數(shù)學歸納法證實所得結論.8/36

9/36

10/361.利用數(shù)學歸納法證實等式例1、是否存在常數(shù)a，b，c使等式1·(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝an4＋bn2＋c對一切正整數(shù)n都成立?證實你結論.【方法指導】按數(shù)學歸納法解題時要清楚等式兩邊結構，先取n＝1，2，3求出a，b，c值，再用數(shù)學歸納法證實存在a，b，c所確定等式對一切正整數(shù)n都成立.11/36

12/36

13/36變式訓練1、已知數(shù)列{an}與{bn}通項公式分別是an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*，記Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，用數(shù)學歸納法證實:Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N*).【解析】(1)當n＝1時，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，等式成立.(2)假設當n＝k時，等式成立，即Tk＋12＝－2ak＋10bk，14/36則當n＝k＋1時，有Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1＝ak＋1b1＋2(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk)＝ak＋1b1＋2Tk＝ak＋1b1＋2(－2ak＋10bk－12)＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24＝－2ak＋1＋10bk＋1－12，即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1.所以當n＝k＋1時，等式也成立.由(1)(2)可知，對任意n∈N*，Tn＋12＝－2an＋10bn成立.15/362.利用數(shù)學歸納法證實整除問題例2、是否存在正整數(shù)m，使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9對一切正整數(shù)n都能被m整除?若存在，求出最大m值，并證實你結論;若不存在，請說明理由.【方法指導】先將n＝1，2，3，4依次代入，計算對應f(n)值，猜測滿足條件m值，再依據(jù)數(shù)學歸納法對結論進行證實.16/36【解析】由f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，得f(1)＝36，f(2)＝3×36，f(3)＝10×36，f(4)＝34×36，由此猜測m＝36.下面用數(shù)學歸納法證實:(1)當n＝1時，顯然成立.(2)假設當n＝k時，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除，17/36當n＝k＋1時，[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，因為3k－1－1是2倍數(shù)，故18(3k－1－1)能被36整除.這就是說，當n＝k＋1時，f(n)也能被36整除.由(1)(2)可知，對一切正整數(shù)n都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除，故m最大值為36.18/36變式訓練2、用數(shù)學歸納法證實:32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除.【解析】(1)當n＝1時，34－8－9＝64顯然能被64整除，命題成立.(2)假設當n＝k(k∈N*)時，命題成立，即32k＋2－8k－9＝64m(m∈Z)，19/36則當n＝k＋1時，32k＋4－8(k＋1)－9＝9×32k＋2－8k－17＝9(32k＋2－8k－9)＋64k＋64＝64(9m＋k＋1).又k∈N*，m∈Z，∴9m＋k＋1∈Z，即當n＝k＋1時，32k＋4－8(k＋1)－9也能被64整除.由(1)(2)可知，命題對一切n∈N*均成立.20/36

21/36

22/36

23/36

24/36

25/36

26/36

27/361.數(shù)學歸納法是用來證實與正整數(shù)n相關數(shù)學命題一個方法，其基本步驟是:(1)驗證n＝n0成立.(遞推基礎)(2)假設當n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立前提下，證實當n＝k＋1時命題也成立.(遞推條件)由(1)(2)可知，對一切大于等于n0正整數(shù)n命題都成立.28/362.“觀察—歸納—猜測—證實”思維模式是探索科學規(guī)律普通路徑，我們應用時要注意以下幾點:(1)防止歸納猜測時得犯錯誤結果，從而得犯錯誤結論.(2)假設當n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證實當n＝k＋1時命題也成立.進行這一步時，忽略了利用假設條件去證