PAGEPAGE15第5講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)[考綱解讀]駕馭線線、線面、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，并能應(yīng)用它們證明有關(guān)空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)潔命題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來看，本講是高考的必考內(nèi)容．預(yù)料2024年將會(huì)以以下兩種方式進(jìn)行考查：①以幾何體為載體考查線面垂直的判定和性質(zhì)；②依據(jù)垂直關(guān)系的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．試題以解答題第一問干脆考查，難度不大，屬中檔題型.1．直線與平面垂直判定定理與性質(zhì)定理2．平面與平面垂直判定定理與性質(zhì)定理3．直線和平面所成的角(1)定義：一條斜線和它在平面上的eq\o(□,\s\up3(01))射影所成的eq\o(□,\s\up3(02))銳角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．(2)范圍：eq\o(□,\s\up3(03))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).4．二面角(1)定義：從一條直線動(dòng)身的eq\o(□,\s\up3(01))兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角；在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作eq\o(□,\s\up3(02))垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角．(2)范圍：eq\o(□,\s\up3(03))[0，π]．5．必記結(jié)論(1)若兩條平行線中一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．(2)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)任何一條直線．(3)過空間任一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．(4)過空間任一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．(5)兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直．(6)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．1．概念辨析(1)直線l與平面α內(nèi)的多數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.()(2)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行．()(3)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的隨意一條直線垂直于另一個(gè)平面．()(4)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的多數(shù)條直線，則α⊥β.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．小題熱身(1)下列命題中不正確的是()A．假如平面α⊥平面β，且直線l∥平面α，則直線l⊥平面βB．假如平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)肯定存在直線平行于平面βC．假如平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)肯定不存在直線垂直于平面βD．假如平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ答案A解析A錯(cuò)誤，如圖1所示，在長(zhǎng)方體中α⊥β，l∥α，但l?β；B正確，設(shè)α∩β＝l，則α內(nèi)與l平行的直線都與β平行；C正確，由面面垂直的判定可知；D正確，如圖2所示，在平面α內(nèi)，作α與γ交線的垂線m，在平面β內(nèi)作β與γ的交線的垂線n，由α⊥γ得m⊥γ，由β⊥γ得n⊥γ，所以m∥n.可推出m∥β，進(jìn)而推出m∥l，所以l⊥γ.(2)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)O，M，N分別是線段BD，DD1，D1C1的中點(diǎn)，則直線OM與AC，MN的位置關(guān)系是()A．與AC，MN均垂直B．與AC垂直，與MN不垂直C．與AC不垂直，與MN垂直D．與AC，MN均不垂直答案A解析由AC⊥平面BB1D1D可得OM⊥AC.設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2a.則OM＝eq\r(a2＋\r(2)a2)＝eq\r(3)a，MN＝eq\r(a2＋a2)＝eq\r(2)a.ON＝eq\r(a2＋2a2)＝eq\r(5)a，所以O(shè)M2＋MN2＝ON2，所以O(shè)M⊥MN.(3)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則AC1與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為________．答案eq\f(1,3)解析連接A1C1，則∠AC1A1為AC1與平面A1B1C1D1所成的角．因?yàn)锳B＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝2eq\r(2)，又AA1＝1，所以AC1＝3，所以sin∠AC1A1＝eq\f(AA1,AC1)＝eq\f(1,3).(4)已知PD垂直于菱形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PA，AC，BD，則肯定相互垂直的平面有______對(duì)．答案4解析由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，由于AC⊥平面PDB，平面PAC⊥平面PDB，共4對(duì)．題型eq\a\vs4\al(一)直線與平面的位置關(guān)系角度1直線與平面所成的角1．(2024·全國(guó)卷Ⅰ)在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長(zhǎng)方體的體積為()A．8 B．6eq\r(2)C．8eq\r(2) D．8eq\r(3)答案C解析在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，連接BC1，依據(jù)線面角的定義可知∠AC1B＝30°，因?yàn)锳B＝2，eq\f(AB,BC1)＝tan30°，所以BC1＝2eq\r(3)，從而求得CC1＝eq\r(BC\o\al(2,1)－BC2)＝2eq\r(2)，所以該長(zhǎng)方體的體積為V＝2×2×2eq\r(2)＝8eq\r(2).故選C.角度2直線與平面垂直的判定和性質(zhì)2．(2024·全國(guó)卷Ⅱ)如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝2eq\r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn)．(1)證明：PO⊥平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且MC＝2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離．解(1)證明：因?yàn)锳P＝CP＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P⊥AC，且OP＝2eq\r(3).連接OB，因?yàn)锳B＝BC＝eq\f(\r(2),2)AC，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝eq\f(1,2)AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知OP⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC，AC∩OB＝O，知PO⊥平面ABC.(2)作CH⊥OM，垂足為H.又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.故CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面POM的距離．由題設(shè)可知OC＝eq\f(1,2)AC＝2，CM＝eq\f(2,3)BC＝eq\f(4\r(2),3)，∠ACB＝45°.所以O(shè)M＝eq\f(2\r(5),3)，CH＝eq\f(OC·MC·sin∠ACB,OM)＝eq\f(4\r(5),5).所以點(diǎn)C到平面POM的距離為eq\f(4\r(5),5).1．求直線和平面所成角的步驟(1)找尋過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線．(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角．(3)把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中，通過解三角形，求出該角．2．證明直線與平面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理，這是主要證明方法．(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個(gè)平面垂直”．(3)利用“一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則與另一個(gè)也垂直”．(4)利用面面垂直的性質(zhì)定理．1．已知一個(gè)正四棱柱的體對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(6)，且體對(duì)角線與底面所成的角的余弦值為eq\f(\r(3),3)，則該四棱柱的表面積為________．答案10解析如圖可知，BD＝eq\r(6)×eq\f(\r(3),3)＝eq\r(2)，DD1＝eq\r(BD\o\al(2,1)－BD2)＝eq\r(6－2)＝2，底面邊長(zhǎng)AB＝eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1，所以所求表面積為4AA1·AB＋2AB2＝4×2×1＋2×12＝10.2．如圖，S是Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)，且SA＝SB＝SC，D為斜邊AC的中點(diǎn)．(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.證明(1)如圖所示，取AB的中點(diǎn)E，連接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)．∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD?平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，∵SA＝SC，D為AC的中點(diǎn)，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)由于AB＝BC，則BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD?平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.題型eq\a\vs4\al(二)面面垂直的判定與性質(zhì)1．如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在平面，C是圓周上不同于A，B兩點(diǎn)的隨意一點(diǎn)，且AB＝2，PA＝BC＝eq\r(3)，則二面角A－BC－P的大小為________．答案60°解析因?yàn)锳B為⊙O的直徑，所以AC⊥BC，又因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA⊥BC，可求得BC⊥PC，所以∠PCA為二面角A－BC－P的平面角．因?yàn)椤螦CB＝90°，AB＝2，PA＝BC＝eq\r(3)，所以AC＝1，所以在Rt△PAC中，tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝eq\r(3).所以∠PCA＝60°.2.如圖，已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F(xiàn)，G分別是PD，PC，BC的中點(diǎn)．(1)求證：平面EFG⊥平面PAD；(2)若M是線段CD上一點(diǎn)，求三棱錐M－EFG的體積．解(1)證明：因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD?平面ABCD，且CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD.又因?yàn)樵凇鱌CD中，E，F(xiàn)分別是PD，PC的中點(diǎn)，所以EF∥CD，所以EF⊥平面PAD.因?yàn)镋F?平面EFG，所以平面EFG⊥平面PAD.(2)因?yàn)镋F∥CD，EF?平面EFG，CD?平面EFG，所以CD∥平面EFG，因此CD上的點(diǎn)M到平面EFG的距離等于點(diǎn)D到平面EFG的距離，所以V三棱錐M－EFG＝V三棱錐D－EFG，取AD的中點(diǎn)H，連接GH，EH，F(xiàn)H，則EF∥GH，因?yàn)镋F⊥平面PAD，EH?平面PAD，所以EF⊥EH.于是S△EFH＝eq\f(1,2)EF×EH＝2＝S△EFG，因?yàn)槠矫鍱FG⊥平面PAD，平面EFG∩平面PAD＝EH，△EHD是正三角形，所以點(diǎn)D到平面EFG的距離等于正三角形EHD的高，即為eq\r(3).所以三棱錐M－EFG的體積V三棱錐M－EFG＝V三棱錐D－EFG＝eq\f(1,3)×S△EFG×eq\r(3)＝eq\f(2\r(3),3).結(jié)論探究1在舉例說明1條件下，求證：平面PAC⊥平面PBC.證明因?yàn)镻A垂直于⊙O所在平面，BC在⊙O所在平面內(nèi)，所以BC⊥PA.因?yàn)锳B是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的兩點(diǎn)．所以BC⊥AC，又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，又BC?平面PBC.所以平面PAC⊥平面PBC.結(jié)論探究2在舉例說明1條件下，求二面角A－PB－C的正切值．解過A作AF⊥PC，垂足為F，過F作FE⊥PB，垂足為E，連接AE，由舉例說明1易得BC⊥平面PAC.又AF?平面PAC，所以AF⊥BC.又PC∩BC＝C，所以AF⊥平面PBC.所以PB⊥AF，又PB⊥EF，AF∩EF＝F，所以PB⊥平面AEF，所以∠AEF為二面角A－PB－C的平面角，在Rt△PAC中，AC＝1，PA＝eq\r(3)，∠PAC＝90°.所以tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝eq\r(3)，∠PCA＝60°，所以CF＝1×cos60°＝eq\f(1,2)，AF＝1×sin60°＝eq\f(\r(3),2).在Rt△PBC中，PC＝2，BC＝eq\r(3)，∠PCB＝90°，PB＝eq\r(7).由△PEF∽△PCB得eq\f(EF,BC)＝eq\f(PF,PB)，所以eq\f(EF,\r(3))＝eq\f(\f(3,2),\r(7))，EF＝eq\f(3\r(3),2\r(7))，在Rt△AEF中，tan∠AEF＝eq\f(AF,EF)＝eq\f(\f(\r(3),2),\f(3\r(3),2\r(7)))＝eq\f(\r(7),3)，即二面角A－PB－C的正切值為eq\f(\r(7),3).1．證明面面垂直的兩種方法(1)定義法：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題．(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，把問題轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決．2．作二面角的平面角的方法(1)定義法：在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角．如舉例說明1.(2)垂線法：如圖所示，作PO⊥β，垂足為β，作OA⊥l，垂足為A，連接PA，則∠PAO為二面角α－l－β的平面角．(3)補(bǔ)棱法：針對(duì)在解構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒有明確交線的求二面角問題時(shí)，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線(稱為補(bǔ)棱)，然后借助前述的定義法或三垂線法解題．(4)射影面積法eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ＝\f(S射影,S斜)))：二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ＝\f(S射影,S斜)))求出二面角的大小．(5)向量法(最常用)．(6)轉(zhuǎn)化為線面角：如圖，求α－l－β的二面角，即求AB與β所成的角．如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，M是AB的中點(diǎn)，AC＝CB＝CC1＝2.(1)求證：平面A1CM⊥平面ABB1A1；(2)求點(diǎn)M到平面A1CB1的距離．解(1)證明：由A1A⊥平面ABC，CM?平面ABC，則A1A⊥CM.∵AC＝CB，M是AB的中點(diǎn)，∴AB⊥CM.又A1A∩AB＝A.∴CM⊥平面ABB1A1，又CM?平面A1CM，∴平面A1CM⊥平面ABB1A1.(2)設(shè)點(diǎn)M到平面A1CB1的距離為h，由題意可知A1C＝CB1＝A1B1＝2MC＝2eq\r(2)，S△A1CB1＝eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(2))2＝2eq\r(3)，S△A1MB1＝eq\f(1,2)S四邊形ABB1A1＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2).由(1)可知CM⊥平面ABB1A1，得VC－A1MB1＝eq\f(1,3)MC·S△A1MB1＝VM－A1CB1＝eq\f(1,3)h·S△A1CB1.∴點(diǎn)M到平面A1CB1的距離h＝eq\f(MC·S△A1MB1,S△A1CB1)＝eq\f(2\r(3),3).題型eq\a\vs4\al(三)平面圖形的翻折問題(2024·全國(guó)卷Ⅰ)如圖，在平行四邊形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC為折痕將△ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且AB⊥DA.(1)證明：平面ACD⊥平面ABC；(2)Q為線段AD上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且BP＝DQ＝eq\f(2,3)DA，求三棱錐Q－ABP的體積．解(1)證明：由已知可得∠BAC＝90°，即AB⊥AC.又AB⊥DA，且AC∩DA＝A，所以AB⊥平面ACD.又AB?平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝AC＝3，DA＝3eq\r(2).又BP＝DQ＝eq