2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中仿真模擬試卷03數(shù)學(xué)（新高考九省聯(lián)考題型）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以，故選：B2．結(jié)果為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，所以.故選：B3．如圖所示，在四邊形中，,為的中點(diǎn)，且，則（）A.B.C. D.【答案】C【解析】為的中點(diǎn)，而則且，，則故選:C．4．在中，若，則的最大角與最小角之和是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)三角形角邊關(guān)系可得，最大角與最小角所對(duì)的邊的長(zhǎng)分別為8與5，設(shè)長(zhǎng)為7的邊CA所對(duì)的角為θ，則最大角與最小角的和是，由余弦定理可得，，由為三角形內(nèi)角，∴，則最大角與最小角的和是.故選：B5．小明同學(xué)為了估算位于哈爾濱的索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為m，在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂A，教堂頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30°，則小明估算索菲亞教堂的高度為（）A.20m B.30m C.20m D.30m【答案】D【解析】，由題意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°，在Rt△ABM中，AM＝＝，在△ACM中，由正弦定理得＝，所以CM＝＝，在Rt△DCM中，CD＝CM·sin∠AMD＝＝30.故選：D.6．在中，若，則的形狀為（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由正弦定理，以及二倍角公式可知，,即，整理為，即，得，或,所以的形狀為等腰三角形或直角三角形.故選：D7．已知，則的值為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】，，，分子分母同時(shí)除以得：①，由于，所以，所以，所以，所以，即，分子分母同時(shí)除以得：即，代入①得：，解得.故選：A.8．在中，，為線段上的點(diǎn)，且.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不妨設(shè)由余弦定理：聯(lián)立得到：故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．設(shè)平面向量，則（）A. B.可以成為一組基底C.與的夾角為銳角 D.在上的投影向量為【答案】BD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由于，所以不共線，可以成為一組基底，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以，則，所以與的夾角為直角，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，向量在方向上的投影向量為，故D正確．故選：BD.10．在中，，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.外接圓的面積為 B.若，則C.的面積有最大值 D.若有一解，則或【答案】ACD【解析】在中,由,得,

由正弦定理可得,,即3,可得外接圓的面積為,故正確;

若,則得,或,故B錯(cuò)誤；

由余弦定理可得,B,

即,

得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),

則的面積有最大值為,故C正確;

由,得,方程的判別式，①，解得=.當(dāng)時(shí)，=0轉(zhuǎn)化為=0，解得=符合題意；當(dāng)時(shí)=0轉(zhuǎn)化為=0，解得=不符合題意；②0且兩根之積,可得有一正根和一負(fù)根,負(fù)根舍去，此時(shí)有一解，此時(shí)，③0且兩根之積,解得=，當(dāng)時(shí)，=0，解得=符合題意；當(dāng)時(shí)=0，解得=不符合題意；故若有一解，則或，故D正確.

故選：ACD.11．對(duì)于給定的，其外心為，重心為，垂心為，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.過(guò)點(diǎn)的直線交于，若，，則D.與共線【答案】ACD【解析】如圖，設(shè)AB中點(diǎn)為M,則,,故A正確；等價(jià)于等價(jià)于,即，對(duì)于一般三角形而言，是外心，不一定與垂直，比如直角三角形中，若為直角頂點(diǎn)，則為斜邊的中點(diǎn)，與不垂直.故B錯(cuò)誤；設(shè)的中點(diǎn)為,則，∵E,F,G三點(diǎn)共線，，即,故C正確；,與垂直,又,∴與共線，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知，則___________.【答案】1【解析】因?yàn)椋?，即，所?故答案為：113.已知且zC，則取值范圍為___________.【答案】【解析】因，所以.故答案為：14.如圖，在平面四邊形中，，，，，，若點(diǎn)F為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為___________.【答案】【解析】以為原點(diǎn)建立如圖所示平面直角.依題意，，，在三角形中，由余弦定理得.所以，所以.而，所以.在三角形中，由余弦定理得.所以，所以.在三角形中，，所以三角形是等邊三角形，所以.所以，設(shè)依題意令，即，所以，所以，所以.對(duì)于二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為，開口向上，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，也即有最小值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．設(shè)，均為復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)，已知對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，且對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.（1）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若，且是關(guān)于x的方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，求.【答案】（1）（2）【解析】（1）由題可知，其中，∵復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，∴，且，∴.（2）∵，∴，∴，∴關(guān)于的方程的兩根分別為，，∵對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，∴，且，∵，∴，∴，或，∵，∴，∴，∴，∴16.已知為銳角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）（2）因?yàn)闉殇J角，所以，，又，所以，，又，所以因?yàn)?，所?17．如圖：在中，已知與交于點(diǎn)．（1）用向量表示向量；（2）過(guò)點(diǎn)作直線，分別交線段于點(diǎn)，設(shè)，若，，當(dāng)取得最小值時(shí)，求模長(zhǎng)．【答案】（1）（2）5【解析】（1）設(shè)，將代入，得,因?yàn)槿c(diǎn)共線，且三點(diǎn)共線，所以，得即．（2），則，因?yàn)槿c(diǎn)共線，則，即當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)．此時(shí)18．如圖：某公園改建一個(gè)三角形池塘，，（百米），（百米），現(xiàn)準(zhǔn)備養(yǎng)一批觀賞魚供游客觀賞．（1）若在內(nèi)部取一點(diǎn)P，建造APC連廊供游客觀賞，如圖①，使得點(diǎn)P是等腰三角形PBC的頂點(diǎn)，且，求連廊的長(zhǎng)（單位為百米）；（2）若分別在AB，BC，CA上取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，并建行連廊，使得變成池中池，放養(yǎng)更名貴的魚類供游客觀賞．如圖②，當(dāng)為正三角形時(shí)，求的面積的最小值．【答案】（1）百米（2）(百米)【解析】（1）∵點(diǎn)P是等腰三角形PBC的頂點(diǎn)，且，，∴且由余弦定理可得：，解得，又∵∴,∵在中，，,∴,在△ACP中，由余弦定理得,解得，；∴，∴連廊的長(zhǎng)為百米．（2）設(shè)正三角形DEF的邊長(zhǎng)a，，（）則，，設(shè),可得，，∴，在中，由正弦定理得：，即，即,化簡(jiǎn)得：，∴（其中，θ為銳角，且）∴.19．如圖，設(shè)中角，，所對(duì)的邊分別為，，，為邊上的中線，已知且，.（1）求邊的長(zhǎng)度；（2）求的面積；（3）點(diǎn)為上一點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線與邊，（不含端點(diǎn)）分別交于，.若，求的值.【答案】（1）4