五年級(jí)奧數(shù)-1-

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（五年級(jí)）

第1講數(shù)字迷（一）第16講巧算24

第2講數(shù)字謎（二）第17講位置原則

第18講最大最小

第3講定義新運(yùn)算（一）

第19講圖形的分割與拼接

第4講定義新運(yùn)算（二）

第20講多邊形的面積

第5講數(shù)的整除性（一）

第21講用等量代換求面積

第6講數(shù)的整除性（二）

第22講用割補(bǔ)法求面積

第7講奇偶性（一）

第23講列方程解應(yīng)用題

第8講奇偶性（二）

第24講行程問題（一）

第9講奇偶性（三）

第25講行程問題（二）

第10講質(zhì)數(shù)與合數(shù)

第26講行程問題（三）

第11講分解質(zhì)因數(shù)

第27講邏輯問題（一）

第12講最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（一）

第28講邏輯問題（二）

第13講最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（二）

第29講抽屜原理（一）

第14講余數(shù)問題

也cc二小4工F=?~\

第15講孫子問題與逐步約束法

五年級(jí)奧數(shù)-2-

第1講數(shù)字謎(一)

數(shù)字謎的內(nèi)容在三年級(jí)和四年級(jí)都講過，同學(xué)們已經(jīng)掌握了不少方法。例如用猜想、拼湊、排除、

枚舉等方法解題。數(shù)字謎涉及的知識(shí)多，思考性強(qiáng)，所以很能鍛煉我們的思維。

這兩講除了復(fù)習(xí)鞏固學(xué)過的知識(shí)外，還要講述數(shù)字謎的代數(shù)解法及小數(shù)的除法豎式問題。例1把+,

-,x,寧四個(gè)運(yùn)算符號(hào)，分別填入下面等式的。內(nèi)，使等式成立(每個(gè)運(yùn)算符號(hào)只準(zhǔn)使用一次)：

(501307)0(1709)=12。

分析與解：因?yàn)檫\(yùn)算結(jié)果是整數(shù)，在四則運(yùn)算中只有除法運(yùn)算可能出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，所以應(yīng)首先確定“十”

的位置。

當(dāng)“寧”在第一個(gè)。內(nèi)時(shí)，因?yàn)槌龜?shù)是13,要想得到整數(shù)，只有第二個(gè)括號(hào)內(nèi)是13的倍數(shù)，此

時(shí)只有下面一種填法，不合題意。(5-13-7)X(17+9)。

當(dāng)“寧”在第二或第四個(gè)。內(nèi)時(shí)，運(yùn)算結(jié)果不可能是整數(shù)。當(dāng)“十”在第三個(gè)。內(nèi)時(shí)，可得下

面的填法：(5+13X7)-(17-9)=12。

例2將1?9這九個(gè)數(shù)字分別填入下式中的口中，使等式成立：口口口乂□口=□□*□□=5568。

解：將5568質(zhì)因數(shù)分解為5568=26x3X29。由此容易知道，將5568分解為兩個(gè)兩位數(shù)的乘積有

兩種：58X96和64X87,分解為一個(gè)兩位數(shù)與一個(gè)三位數(shù)的乘積有六種：

12X464,16X348,24X232,

29X192,32X174,48X1160

顯然，符合題意的只有下面一種填法：174X32=58X96=556&

例3在443后面添上一個(gè)三位數(shù)，使得到的六位數(shù)能被573整除。

分析與解：先用443000除以573,通過所得的余數(shù)，可以求出應(yīng)添的三位數(shù)。由443000-

573=773……71推知，443000+(573-71)=443502一定能被573整除，所以應(yīng)添502

例4已知六位數(shù)33口口44是89的倍數(shù)，求這個(gè)六位數(shù)。

分析與解：因?yàn)槲粗臄?shù)碼在中間，所以我們采用兩邊做除法的方法求解。

先從右邊做除法。由被除數(shù)的個(gè)位是4,推知商的個(gè)位是6;由左下式知，十位相減后的差是1,所以商

的十位是9。這時(shí)，雖然89X96=8544,但不能認(rèn)為六位數(shù)中間的兩個(gè)口內(nèi)是85,因?yàn)檫€

沒有考慮前面兩位數(shù)。

89)33Q

E01PET

幺D1a

0

再從左邊做除法。如右上式所示，a可能是6或7,所以b只可能是7或&

由左、右兩邊做除法的商,得到商是3796或3896。由3796X89=337844,3896X89=346744

知，商是3796,所求六位數(shù)是337844。

例5在左下方的加法豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字，請(qǐng)你用適當(dāng)?shù)臄?shù)

字代替字母，使加法豎式成立。

FORTY2:9786

TEN850

+TEN+850

SIXTY31486

分析與解：先看豎式的個(gè)位。由Y+N+N=Y￡Y+10,推知N要么是0,要么是5。如果N=5,那么要向上

進(jìn)位,由豎式的十位加法有T+E+E+仁■或T+10,等號(hào)兩邊的奇偶性不同，所以NM5,N=Q此時(shí)，由

豎式的十位加法T+E+E=T或T+10,E不是0就是5,但是N=0,所以E=5

豎式千位、萬位的字母與加數(shù)的千位、萬位上的字母不同，說明百位、千位加法都要向上進(jìn)位。

因?yàn)镹=0,所以I工0,推知1=1,0=9,說明百位加法向千位進(jìn)2。

再看豎式的百位加法。因?yàn)槭患臃ㄏ虬傥贿M(jìn)1，百位加法向千位進(jìn)2,且。。或1,

所以R+T+T+P22，再由R,T都不等于9知，T只能是7或&

若T=7,則R=8,X=3,這時(shí)只剩下數(shù)字2,4,6沒有用過，而S只比F大1,S,F不可能是2,4,6

五年級(jí)奧數(shù)-3-

中的數(shù)，矛盾。

若T=8,則R只能取6或7。R=6時(shí)，X=3,這時(shí)只剩下2,4,7,同上理由，出現(xiàn)矛盾；R=7時(shí)，X=4,

剩下數(shù)字2,3,6,可取F=2,S=3,丫=&所求豎式見上頁右式。

解這類題目，往往要找準(zhǔn)突破口，還要整體綜合研究，不能想一步填一個(gè)數(shù)。這個(gè)題目是美國數(shù)學(xué)月

刊上刊登的趣題，豎式中從上到下的四個(gè)詞分別是40,10,10,60，而40+10+10正好是60,真是巧

極了！

例6在左下方的減法算式中，每個(gè)字母代表一個(gè)數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字。請(qǐng)你填上適當(dāng)?shù)臄?shù)

字，使豎式成立。

107021070310704ABOBDEFAG

-9814-9315-921S-EFAG

838888888FFFABCBD

分析與解：按減法豎式分析，看來比較難。同學(xué)們都知道，加、減法互為逆運(yùn)算，是否可以把減法變成

加法來研究呢(見右上式)？不妨試試看。

因?yàn)榘傥患臃ㄖ荒芟蚯贿M(jìn)1，所以E=9,A=1,B=0b

如果個(gè)位加法不向上進(jìn)位,那么由十位加法1+F=10得F=9,與E=9矛盾，所以個(gè)位加法向上進(jìn)1,

由1+F+1=1Q得到F=8,這時(shí)C=7。余下的數(shù)字有2,3,4,5,6,由個(gè)位加法知，G比D大2,所以G,

D分別可取4,2或5,3或6,4。所求豎式是

解這道題啟發(fā)我們，如果做題時(shí)遇到麻煩，不妨根據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)概念、法則、定律把原題加以變換，

將不熟悉的問題變?yōu)槭煜さ膯栴}。另外，做題時(shí)要考慮解的情況，是否有多個(gè)解。

練習(xí)1

1.在一個(gè)四位數(shù)的末尾添零后，把所得的數(shù)減去原有的四位數(shù)，差是621819,求原來的四位數(shù)。

解：621819-(100-1)=6281。

2.在下列豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字。請(qǐng)你用適當(dāng)?shù)臄?shù)字代替

字母，使豎式成立：

(1)AB(2)ABAB

+BCA-ACA__________________

ABCBAAC

￡4ST3T

+4Q§—8§8

-5497359

(1)由百位加法知，A=B+1再由十位加法A+C=B+10推知C=9,進(jìn)而得至UA=5,B=4(見上右式)

(2)由千位加法知B=A-1＞再由個(gè)位減法知C=Q因?yàn)槭粶p法向百位借1，百位減法向千位借1,所以百

位減法是(10+B-1)-A=A,

化簡為9+B=2A將B=A-1代入，得A=8,B=7(見右上式)。

3.在下面的算式中填上括號(hào)，使得計(jì)算結(jié)果最大：1—2—3—4—5—6—7—8—9。

解：1-(2-3-4-5-6-7-8-9)=90720。

4.在下面的算式中填上若干個(gè)()，使得等式成立：1-2-3-4-5-6-7-8-9=2.8

解：1-(2-3)-4-(5-6-7-8)-9=2.8。

提示’因?yàn)?2冬二而1必須在分子上，2必須在分母上，即器

卞呂、剩下的玉4,6,8,■五個(gè)數(shù)填在耳中，應(yīng)使呂=4只有

3X6X8甜±*,1X3X6X7X8「捍址*

=7一種填法。由山聯(lián)9F帶花

5.將1?9分別填入下式的口中，使等式成立：

□=□□*□□□=3634。

提示：3634=2X23X79?46X79=23X158=3634。

五年級(jí)奧數(shù)-4-

6.六位數(shù)391□□□是789的倍數(shù)，求這個(gè)六位數(shù)。提示：仿照例30391344=

7.已知六位數(shù)7□口888是83的倍數(shù)，求這個(gè)六位數(shù)。

提示：仿例4,商的后3位是336，商的第一位是8或9。774888。

五年級(jí)奧數(shù)-5-

第2講數(shù)字謎（二）

這一講主要講數(shù)字謎的代數(shù)解法及小數(shù)的除法豎式問題。

例1在下面的算式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字，求abode.

labcdex3=abcde1

分析與解：這道題可以從個(gè)位開始，比較等式兩邊的數(shù)，逐個(gè)確定各個(gè)字母所代表的數(shù)碼?，F(xiàn)

在，我們從另一個(gè)角度來解。labcde與abcdel只是1所在的位置不同，設(shè)x=abcde則算

式變?yōu)?/p>

（100000+x）x3=10x+1,300000+3x=10x+1,7x=299999,x=42857。

這種代數(shù)方法干凈利落，比用傳統(tǒng)方法解簡潔。我們?cè)倏磶讉€(gè)例子。

例2在口內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使左下方的乘法豎式成立。

□□□124

x81x81

□□□124

m口992

□□□□□10044

解；設(shè)被乘數(shù)為跖由口念<999知K124亍又由81Q1QQ0Q知Q求豎式。

37

123—0因?yàn)镵是整數(shù)』所Ux=124。右上式為所

01

例3左下方的除法豎式中只有一個(gè)8,請(qǐng)?jiān)诳趦?nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使除法豎式成立

9896375

16)102

□□□)□□□□□□112)1107

□□匚二6060

1008120

S96/

ffiSn100880

10CS

解：豎式中除數(shù)與8的積是三位數(shù)，而與商的百位和個(gè)位的積都是四位

數(shù)，所以商為俎陣設(shè)除數(shù)為孤由9x?x>1000>Px>IH\由豎式特點(diǎn)知.除

總一八“上心耳川J菲士*E腎一」數(shù)，

所以x=112,被除數(shù)為989x112=110768右上式為所求豎式。

代數(shù)解法雖然簡潔，但只適用于一些特殊情況，大多數(shù)情況還要用傳統(tǒng)的方法。

例4在口內(nèi)填入適當(dāng)數(shù)字，使下頁左上方的小數(shù)除法豎式成立。

分析與解：先將小數(shù)除法豎式化為我們較熟悉的整數(shù)除法豎式（見下頁右上方豎式）。可以看

出，除數(shù)與商的后三位數(shù)的乘積是1000=23x53的倍數(shù)，即除數(shù)和商的后三位數(shù)一個(gè)是23=8的倍

數(shù)，另一個(gè)是53=125的奇數(shù)倍，因?yàn)槌龜?shù)是兩位數(shù)，所以除數(shù)是8的倍數(shù)。又由豎式特點(diǎn)知a=9,

從而除數(shù)應(yīng)是96的兩位數(shù)的約數(shù)，可能的取值有96,48,32,24和16。

因?yàn)?，c=5,5與除數(shù)的乘積仍是兩位數(shù)，所以除數(shù)只能是16,進(jìn)而推知b=6。因?yàn)樯痰暮笕?/p>

數(shù)是125的奇數(shù)倍，只能是125,375,625和875之一，經(jīng)試驗(yàn)只能取375。至此，已求出除數(shù)為

16,商為6.375，故被除數(shù)為6.375x16=102。上頁右式即為所求豎式。

求解此類小數(shù)除法豎式題，應(yīng)先將其化為整數(shù)除法豎式，如果被除數(shù)的末尾出現(xiàn)n個(gè)0,則

在除數(shù)和商中，一個(gè)含有因子2n（不含因子5），另一個(gè)含有因子5n（不含因子2），以此為突破口即

可求解。

例5一個(gè)五位數(shù)被一個(gè)一位數(shù)除得到下頁的豎式（1），這個(gè)五位數(shù)被另一個(gè)一位數(shù)除得到下頁的豎式

（2），求這個(gè)五位數(shù)。

五年級(jí)奧數(shù)-6-

⑴ric#⑵川*;(1),

旬*#4*

—5L*

0

分析與解：由豎式(1)可以看出被除數(shù)為10**0(見豎式(1)')，豎式(1)的除數(shù)為3或

9。在豎式(2)中，被除數(shù)的前兩位數(shù)10不能被整數(shù)整除，故除數(shù)不是2或5,而被除數(shù)的后兩

位數(shù)*0能被除數(shù)整除，所以除數(shù)是4,6或8。當(dāng)豎式(1)的除數(shù)為3時(shí)，由豎式(1)‘知，

a=1或2,所以被除數(shù)為100*0或101*0，再由豎式(2)中被除數(shù)的前三位數(shù)和后兩位數(shù)分別能被

除數(shù)整除，可得豎式(2)的除數(shù)為4,被除數(shù)為10020;

當(dāng)豎式(1)的除數(shù)為9時(shí)，由能被9整除的數(shù)的特征，被除數(shù)的百位與十位數(shù)字之和應(yīng)為&

因?yàn)樨Q式(2)的除數(shù)只能是4,6,8,由豎式(2)知被除數(shù)的百位數(shù)為偶數(shù)，故被除數(shù)只有10080,

10260，10440和10620四種可能，最后由豎式(2)中被除數(shù)的前三位數(shù)和后兩位數(shù)分別能被除數(shù)整

除，且十位數(shù)不能被除數(shù)整除，可得豎式(2)的除數(shù)為8,被除數(shù)為10440。

所以這個(gè)五位數(shù)是10020或10440。

練習(xí)2

1.下面各算式中，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的

數(shù)字,求出［1)labcdA3=abcdS;

(.2)7'Aabcxyz二=6Xxyzabco

答案(1)4285;(2)46153&蒜；(2)用原示五喙示贏耐灌為7X(1000A+B)=6X(1000B+A),

化簡后得538A=461B由于538與461互質(zhì)，且A,B均為三位數(shù)，所以A=461,B=538。所求六

位數(shù)是461538°

2.用代數(shù)方法求解下列豎式：3.在口內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使下列小數(shù)除法豎式成立:

口8口7_____________________口.□□□□□□.□)□□

□□□□□□□□口口□□)口口____________

□8□□□□

□□

0

答案(1)124X81=10044;117684-12=9807°

(2)

提示：(1)設(shè)被乘數(shù)為a,由8a<999,81a>10000推知曉3酢K124#所以a=124o

(2)根據(jù)豎式特點(diǎn)知，商是9807。設(shè)除數(shù)是a,根據(jù)豎式特點(diǎn)由8av100,9a>100,推知

所以a=12o

3.答案(1)先將豎式化為整數(shù)除法豎式如左下式：

易知f=2,g=0；由g=0知b,d中有一個(gè)是5,另一個(gè)是偶數(shù)而f=2,所以b=5,進(jìn)而推知

d=6；再由d=6,f=2知a=2或7,而e=3或4,所以a=7；最后求出c=5。見上頁右下式。

(2)先將除法豎式化為整數(shù)除法豎式如左下式：由豎式特點(diǎn)知b=c=0；因?yàn)槌龜?shù)與d的乘積是1000

的倍數(shù)，d與e都不為0,所以d與除數(shù)中必分別含有因子23和52，故d=8，除數(shù)是125的奇數(shù)倍，因此

________________________________________________________五年級(jí)奧數(shù)_________________________________________________________-7-

e=5；又f工0,e=5，所以f=g=5；由g=5,d=8得到除數(shù)為5000-8=625,再由625Xa是三位數(shù)知a=1,

所以被除數(shù)為625X1008=630000,所求豎式見右上式。

五年級(jí)奧數(shù)-8-

第3講定義新運(yùn)算（一）

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過加、減、乘、除運(yùn)算，這些運(yùn)算，即四則運(yùn)算是數(shù)學(xué)中最基本的運(yùn)算，它們的意義、

符號(hào)及運(yùn)算律已被同學(xué)們熟知。除此之外，還會(huì)有什么別的運(yùn)算嗎？這兩講我們就來研究這個(gè)問題。這些

新的運(yùn)算及其符號(hào)，在中、小學(xué)課本中沒有統(tǒng)一的定義及運(yùn)算符號(hào)，但學(xué)習(xí)討論這些新運(yùn)算，

對(duì)于開拓思路及今后的學(xué)習(xí)都大有益處。

例1對(duì)于任意數(shù)a，b，定義運(yùn)算“*”：a*b=axb-a-b0求12*4的值。

分析與解：根據(jù)題目定義的運(yùn)算要求，直接代人后用四則運(yùn)算即可。

12*4=12X4-12-4=48-12-4=32。

例2己知表示盒的今倍減古b的*例如1A2=1X3A2x1=2.根據(jù)以上的規(guī)定‘求

10A6的值。

解;10216=10X3-6x1=30-3=27.

d3，x>=2，求x的值

例3對(duì)于數(shù)懸b,c,&規(guī)定5b,c,d>=2ab—?己知52,

c

分析與解：按照定義的運(yùn)算，

<1,2,3，x>=2xX=6o

p-W=2,

由上面三例看出，定義新運(yùn)算通常是用某些特殊符號(hào)表示特定的運(yùn)算意義。新運(yùn)算使用的符號(hào)應(yīng)

避免使用課本上明確定義或已經(jīng)約定俗成的符號(hào)，如-,X,寧，V,〉等，以防止發(fā)生混淆，而

表示新運(yùn)算的運(yùn)算意義部分，應(yīng)使用通常的四則運(yùn)算符號(hào)。如例1中，a*b=axb-a-b，新運(yùn)算符號(hào)使用

“…，而等號(hào)右邊新運(yùn)算的意義則用四則運(yùn)算來表示。

例臨激示兩個(gè)就規(guī)定花bCl）29（T?一1

〔2）Q?x=求龍

An2

分析與解：按新運(yùn)算的定義，符號(hào)表示求兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)。

⑴因沏0&確）中機(jī)）齡齷新定氏所以其盍義與

四則運(yùn)算中的意義相同，即先進(jìn)行小括號(hào)中的運(yùn)算，再進(jìn)行小括號(hào)外面的運(yùn)算

3y15

24rr11

按通常的規(guī)則從左

（2）因?yàn)樵谥袥]筆有重新規(guī)定運(yùn)算次序，所以應(yīng)

至右進(jìn)行運(yùn)算。

3h1e11

46,24

五年級(jí)奧數(shù)-9-

粉3烷皤(扣6

由(扣)作：&襁君

器/_24

例5規(guī)定：4@2=4+44

2曲目+H寸恣?

1$A1+1M11+11U,

求佝目

分析與解：從已知的三式來看，運(yùn)算“一”表示幾個(gè)數(shù)相加，每個(gè)加數(shù)各數(shù)位上的數(shù)都是符號(hào)前面

的那個(gè)數(shù)，而符號(hào)后面的數(shù)是幾，就表示幾個(gè)數(shù)之和，其中第1個(gè)數(shù)是1位數(shù)，第2個(gè)數(shù)

是2位數(shù)，第3個(gè)數(shù)是3位數(shù)……按此規(guī)定，得3—5=3+33+333+3333+33333=37035

從例5知，有時(shí)新運(yùn)算的規(guī)定不是很明顯，需要先找規(guī)律，然后才能進(jìn)行運(yùn)算。例6對(duì)于任意

自然數(shù)，定義：n!=1X2X…xn。

例如4!=1X2X3X4。那么1!+2!+3!+…+100!的個(gè)位數(shù)字是幾？

分析與解：1!=1，

2!=1X2=2,

3!=1X2X3=6,

4!=1X2X3X4=24,

5!=1X2X3X4X5=120,

6!=1X2X3X4X5X6=720,……

由此可推知，從5!開始，以后6!>7!，8!,…，100!的末位數(shù)字都是0。

所以，要求1!+2!+3!+…+100!的個(gè)位數(shù)字，只要把1!至4!的個(gè)位數(shù)字相加便可求得：

1+2+6+4=13所求的個(gè)位數(shù)字是3。

例7如果mn表示兩個(gè)數(shù)，那么規(guī)定：nDn=4n-(m+r)寧2。求30(406)012的值。

解:30(406)012=30[4X6-(4+6)十2]O12=3019012

=[4X19-(3+19)+2]012=65012=4X12-(65+12)+2=9.5

練習(xí)3

1.對(duì)于任意的兩個(gè)數(shù)a和b,規(guī)定a*b=3Xa-b-3。求8*9的值。(值為2)

2.已知aHb表示a除以3的余數(shù)再乘以b，求13—：4的值。(值為4)

3.已知a—b表示(a-b)*(a+b)，試計(jì)算：(5—3)一(1人一6)。(值為0)

解；(5田3)e(1璇〕=70-=0,

44

4.規(guī)定a?b表示a與b的積與a除以b所得的商的和，求8?2的值。

答案7■?-

五年級(jí)奧數(shù)-10-

5.假定m。n表示m的3倍減去n的2倍，即mOn=3m-2r。

,(2)已知x0(401)=7,求x的值

(Oit算占(號(hào)行)

答案提示：(2)x0(401)=7,xO(4X3-1X2)=7,

X010=7,3x-10X2=7,x=9。

刃=]K卜'

小?-，⑴求同斗畫的值；

234⑵已陰二詁看弗帕勺僮

6[1)一;⑵8*

(2)相當(dāng)于由1X2X3X—XX=40320,求X。

40320-2=20160,20160-3=6720,6720-4=1680,1680-5=336,……8-8=1,

即1/40320=1X1/2X1/3X1/4X1/5X1/6X1/7X1/8。所以x=8。

AA

7.對(duì)于任意的兩個(gè)數(shù)p,Q,規(guī)定PQ=(pXQ)*4。例如：2侖8=(2X8)*4。已知X(8人5)=10，求x的值。

解：xA(8A5)=*☆(8X5*4)=X☆10=xX10*4,由xX10*4=10>求得x=4。

8.定義：aAb=ab-3b,adb=4a-b/a。計(jì)算：("Z\3)△(2'b)°

解：(4A3)A(2A6)=(4X3-3X3)A(4X2-6/2)=3△5=3X5-3X5=0°

9已

知.23=2X3X4,4=5=4X5X6X7X8,……求(4向〕4)*(3點(diǎn)3)的值。

,提示：新運(yùn)算“：”是：從第一個(gè)數(shù)字起，求越來越大的連續(xù)幾個(gè)自然數(shù)的乘積，因數(shù)個(gè)數(shù)是

第二個(gè)數(shù)字。(4[4)*(313)=(4X5X6X7)*(3X4X5)=14。

第4講定義新運(yùn)算(二)

例1已知b=(a+b)-(a-b)，求9探2的值。

五年級(jí)奧數(shù)-11-

一分析與解：這是一道很簡單的題，把a(bǔ)=9,b=2代入新運(yùn)算式，即可算出結(jié)果。但是，根據(jù)四則運(yùn)算

的法則，我們可以先把新運(yùn)算“※”化簡，再求結(jié)果。

2探b=(a+b)-(a-b)=a+b-a+b=2b。所以，仝※2=2x2=4。

由例1可知，如果定義的新運(yùn)算是用四則混合運(yùn)算表示，那么在符合四則混合運(yùn)算的性質(zhì)、法則

的前提下，不妨先化簡表示式。這樣，可以既減少運(yùn)算量，又提高運(yùn)算的準(zhǔn)確度。

例2定義運(yùn)算：a?b=3a+5ab+kb淇中a,b為任意兩個(gè)數(shù)，k為常數(shù)。比如：207=3x2+5X2x7+7k。

(1)已知502=73。問：805與508的值相等嗎？

2)當(dāng)k取什么值時(shí)，對(duì)于任何不同的數(shù)a，b，都有a?b=b?a，即新運(yùn)算“O”符合交換律？分析與

解：(1)首先應(yīng)當(dāng)確定新運(yùn)算中的常數(shù)k。因?yàn)?02=3x5+5X5X2+kX2=65+2k，所以由已知5

02=73,得65+2k=73,求得k=(73-65)-2=4。定義的新運(yùn)算是：a0b=3a+5ab+4b805=3X8+5X8X

5+4x5=244,508=3X5+5X5X8+4X8=247。

因?yàn)?44工247,所以805工508。

(2)要使aOb=bOa，由新運(yùn)算的定義，有

3a+5ab+kb=3b+5ab+ka3a+kb-3b-ka=0,

3x(a-b)-k(a-b)=O,(3-k)(a-b)=0。

對(duì)于兩個(gè)任意數(shù)a,b,要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。

當(dāng)新運(yùn)算是a0b=3a+5ab+3b時(shí)，具有交換律，即aOb=bOa。

例3對(duì)兩個(gè)自然數(shù)a和b,它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差，定義為a^b,即aAb=[a,b]-(a,

b)。比如，10和14的最小公倍數(shù)是70,最大公約數(shù)是2,那么10A14=70-2=68。

(1)求12八21的值；(2)已知&*x=27，求x的值。

分析與解：(1)12A21=[12,21]-(12,21)=84-3=81;

(2)因?yàn)槎x的新運(yùn)算沒有四則運(yùn)算表達(dá)式，所以不能直接把數(shù)代人表達(dá)式

求x，只能用推理的方法。

因?yàn)?"=[6,x]-(6,x)=27,而6與x的最大公約數(shù)(6,x)只能是1,2,3,6。所以6與x的

最小公倍數(shù)[6,X]只能是28,29,30,33=這四個(gè)數(shù)中只有30是6的倍數(shù)，所以6與x的最小公倍

數(shù)和最大公約數(shù)分別是30和3。因?yàn)閍xb=[a,b]x(a,b),

所以6xx=30x3,由此求得x=15。

例4a表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,b表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°,c表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,d表示不轉(zhuǎn)。定義運(yùn)算

表示“接著做”。求：a?b;b?c;c?a。

分析與解：a◎b表示先順時(shí)針轉(zhuǎn)90。,再順時(shí)針轉(zhuǎn)180。,等于順時(shí)針轉(zhuǎn)270。，也等于逆時(shí)針轉(zhuǎn)90。，所以

a?b=c。

b?c表示先順時(shí)針轉(zhuǎn)180。,再逆時(shí)針轉(zhuǎn)90。，等于順時(shí)針轉(zhuǎn)90。，所以b?c=a。

c?a表示先逆時(shí)針轉(zhuǎn)90。，再順時(shí)針轉(zhuǎn)90。，等于沒轉(zhuǎn)動(dòng)，所以c?a=d。

對(duì)于a,b,c,d四種運(yùn)動(dòng)，可以做一個(gè)關(guān)于“◎”的運(yùn)算表(見下表)。比如c?b,由c所在的行和

b所在的列，交叉處a就是c@b的結(jié)果。因?yàn)檫\(yùn)算◎符合交換律，所以由c所在的列和b所在的行也可

得到相同的結(jié)果。

abcd

a.bCdSL

buaab

u■1宜bc

datc

例5對(duì)任意的數(shù)a,b,定義：f(a)=2a+1,g(b)=bxb。

(1)求f(5)-g(3)的值；(2)求f(g(2))+g(f(2))的值；

(3)已知f(x+1)=21，求x的值。

解：(1)f(5)-g(3)=(2X5+1)-(3X3)=2；

(2)f(g(2))+g(f(2))=f(2x2)+g(2x2+1)=f(4)+g(5)=(2x4+1)+(5X5)=34；

(3)f(x+1)=2X(x+1)+1=2x+3,由f(x+1)=21，知2x+3=21,解得x=9。

五年級(jí)奧數(shù)-12-

練習(xí)4「詢訕劇,

⑴逆甸「嘴吾肓火靚,叭倔姻

AW=B9L

⑵帝(3邊?(2朝癱：

答案*工衛(wèi)*I_____—

答嬴伽班胞寸石亟處配淵觀於：m砥畀：m瀚

[W麗那耶信曷加鋸潮，所曠眄1低3)=01

⑶(5?3)@2=汨盼尋?2訝+令=召+鼎(購2)=5?(舟畔音寸令茅

顯歌(阿〕因2去M(3?2),所以運(yùn)算“回，瑕有名拾負(fù)

2.定義兩種運(yùn)算“X”和“△”如下：

b表示a,b兩數(shù)中較小的數(shù)的3倍，a2表示a,b兩數(shù)中較大的數(shù)的2.5倍。比如：A派5=4

X3=12,4\5=5X2,5=12.5。計(jì)算：[(0.6探0.5)+(0.3△0.8)]-[(1.2探0.7)-(0.64△0.2)]解：原式

=(0.5X3+0,8X2.5)-(0.7X3-0.64X2.5)=7。

仍-框野『虹曦垃

3?4=16,KSS11M?.SfcBg田觸

提示：從已知的四式發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)數(shù)的4倍加上第二個(gè)數(shù)等于結(jié)果，所"二=七

5測(cè)二翻和血滋

4.設(shè)mn是任意的自然數(shù)，A是常數(shù)，定義運(yùn)算nOn=(AXm-n)*4,并且203=0.75。試確定常

數(shù)A,并計(jì)算：(507)X(202)*(302)

提示：由203=(AX2-3)*4=0.75，推知A=3定義的運(yùn)算是：mOn=(3m-n)*4。(507)X

(202)*(302)=[(3X5-7)*4]X[(3X2-2)*4]*[(3X3-2)*4]=2X1*714=8/7。

5.用a,b,c表示一個(gè)等邊三角形圍繞它的中心在同一平面內(nèi)所作的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)：

a表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn)240°,b表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,c表示不旋轉(zhuǎn)

6.對(duì)任意兩個(gè)不同的自然數(shù)a和b,較大的數(shù)除以較小的數(shù)，余數(shù)記為a：-b。比如73=1,529=4,

4㈠20=0。(1)計(jì)算：19982000,(5人19)㈠19,5(199);

(2)已知11』?x=4,x小于20,求x的值。6.(1)2,3,1;(2)7或14。

提示：(1)(59)19=4—19=3,5㈠(19㈠5)=5-：4=1。

運(yùn)算“V”表示“接著做”。試以a,b,c為運(yùn)算對(duì)象做運(yùn)算

(2)當(dāng)xV11時(shí)，x是7；當(dāng)x>11時(shí)，x是14。

7.對(duì)于任意的自然數(shù)a,b,定義：f(a)=aXa-1,g(b)=b*2+1。

(1)求f(g(6))-g(f(3))的值；(2)已知f(g(x))=8,求x的值

解：(1)f(g(6))-g(f(3))=f(6*2+1)-g(3X3-1)=f(4)-g(8)

=(4X4-1)-(8*2+1)=10;°

(2)由f(g(x))=8=3X3-1，推知g(x)=3；再由x*2+仁3得x=4。

第5講數(shù)的整除性(一)

三、四年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了能被2,3,5和4,8,9,6以及11整除的數(shù)的特征，也學(xué)習(xí)了一些整除的

性質(zhì)。這兩講我們系統(tǒng)地復(fù)習(xí)一下數(shù)的整除性質(zhì)，并利用這些性質(zhì)解答一些問題。

五年級(jí)奧數(shù)-13-

數(shù)的整除性質(zhì)主要有：

(1)如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能被丙數(shù)整除。

(2)如果兩個(gè)數(shù)都能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差都能被這個(gè)自然數(shù)整除。

(3)如果一個(gè)數(shù)能分別被幾個(gè)兩兩互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)能被這幾個(gè)兩兩互質(zhì)的自然

數(shù)的乘積整除。

(4)如果一個(gè)質(zhì)數(shù)能整除兩個(gè)自然數(shù)的乘積，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個(gè)自然數(shù)中的一個(gè)。

(5)幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中一個(gè)因數(shù)能被某數(shù)整除，那么乘積也能被這個(gè)數(shù)整除。

靈活運(yùn)用以上整除性質(zhì)，能解決許多有關(guān)整除的問題。

例1在口里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得七位數(shù)口7358□口能分別被9,25和8整除。

分析與解：分別由能被9,25和8整除的數(shù)的特征，很難推斷出這個(gè)七位數(shù)。因?yàn)?,25,8兩

兩互質(zhì)，由整除的性質(zhì)(3)知，七位數(shù)能被9X25X8=1800整除，所以七位數(shù)的個(gè)位，十位都是

0；再由能被9整除的數(shù)的特征，推知首位數(shù)應(yīng)填4。這個(gè)七位數(shù)是4735800。

例2由2000個(gè)1組成的數(shù)111…11能否被41和271這兩個(gè)質(zhì)數(shù)整除?

分析與解：因?yàn)?1X27仁11111,所以由每5個(gè)1組成的數(shù)11111能被41和271整除。按“11111”

把2000個(gè)1每五位分成一節(jié)，2000-5=400,就有400節(jié)，訂1瓷更i上…訐蒼

400人11111

因?yàn)?000個(gè)1組成的數(shù)11…11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根據(jù)整

除的性質(zhì)(1)可知，由2000個(gè)1組成的數(shù)111…11能被41和271整除。

例3有四個(gè)數(shù)：76550,76551,76552,76554。能不能從中找出兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積能被12整除？分

析與解：根據(jù)有關(guān)整除的性質(zhì)，先把12分成兩數(shù)之積：12=12X仁6X2=3X4。

要從已知的四個(gè)數(shù)中找出兩個(gè)，使其積能被12整除，有以下三種情況：

(1)找出一個(gè)數(shù)能被12整除，這個(gè)數(shù)與其它三個(gè)數(shù)中的任何一個(gè)的乘積都能被12整除；

(2)找出一個(gè)數(shù)能被6整除，另一個(gè)數(shù)能被2整除，那么它們的積就能被12整除；

(3)找出一個(gè)數(shù)能被4整除，另一個(gè)數(shù)能被3整除，那么它們的積能被12整除。

容易判斷，這四個(gè)數(shù)都不能被12整除，所以第(1)種情況不存在。

對(duì)于第(2)種情況，四個(gè)數(shù)中能被6整除的只有76554,而76550,76552是偶數(shù)，所以可以選

76554和76550,76554和76552。

對(duì)于第(3)種情況，四個(gè)數(shù)中只有76552能被4整除，76551和76554都能被3整除，所以可以

選76552和76551,76552和76554。

綜合以上分析，去掉相同的，可知兩個(gè)數(shù)的乘積能被12整除的有以下三組數(shù)：76550和76554,

76552和76554,76551和76552。

例4在所有五位數(shù)中，各位數(shù)字之和等于43且能夠被11整除的數(shù)有哪些？

分析與解：從題設(shè)的條件分析，對(duì)所求五位數(shù)有兩個(gè)要求：

①各數(shù)位上的數(shù)字之和等于43;②能被11整除。

因?yàn)槟鼙?1整除的五位數(shù)很多，而各數(shù)位上的數(shù)字之和等于43的五位數(shù)較少，所以應(yīng)選

擇①為突破口。有兩種情況：

(1)五位數(shù)由一個(gè)7和四個(gè)9組成；(2)五位數(shù)由兩個(gè)8和三個(gè)9組成。

上面兩種情況中的五位數(shù)能不能被11整除？9,8,7如何擺放呢？根據(jù)被11整除的數(shù)的特

征，如果奇數(shù)位數(shù)字之和是27,偶數(shù)位數(shù)字之和是16,那么差是11，就能被11整除。滿足這些要求

的五位數(shù)是：97999,99979,98989。

例5能不能將從1到10的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個(gè)數(shù)之和都能被3整除？

分析與解：10個(gè)數(shù)排成一行的方法很多，逐一試驗(yàn)顯然行不通。我們采用反證法。

假設(shè)題目的要求能實(shí)現(xiàn)。那么由題意，從前到后每兩個(gè)數(shù)一組共有5組，每組的兩數(shù)之和都能

被3整除，推知1?10的和也應(yīng)能被3整除。實(shí)際上，1?10的和等于55，不能被3整除。這個(gè)矛盾

說明假設(shè)不成立，所以題目的要求不能實(shí)現(xiàn)。

練習(xí)5

1.已知4205和2813都是29的倍數(shù)，1392和7018是不是29的倍數(shù)？(1)提示：.是。7018和

1392分別是4205與2813的和與差。

五年級(jí)奧數(shù)-14-

2.如果兩個(gè)數(shù)的和是64，這兩個(gè)數(shù)的積可以整除4875，那么這兩個(gè)數(shù)的差是多少？（14）。

提示：已知這兩個(gè)數(shù)的積可以整除4875,說明這兩個(gè)數(shù)都是4875的因數(shù)。4875=3X5X5X5X13,

用這些因子湊成兩個(gè)數(shù)，使它們的和是64,顯然這兩個(gè)數(shù)是3X